X Maths 2 MP 2014

Thème de l'épreuve Exponentielles de matrices et application aux chemins de Carnot
Principaux outils utilisés calcul matriciel, groupes, équations différentielles linéaires, trigonométrie
Mots clefs groupes de matrices, exponentielle, chemin de Carnot

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ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2014 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES -- B -- (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
* * *

Toute affirmation doit être justifiée. On prendra soin a la clarté et a la 
précision de la rédaction.

Notations

Soit d un entier strictement positif. On note MAR) l'espace vectoriel des 
matrices carrées réelles
de taille d et Id désigne la matrice identité. Le produit de deux matrices A et 
B de MAR) est noté
A >< B ou simplement AB. On appelle commutateur de A et B la matrice [A, B] = AB -- BA. On rappelle que l'exponentielle d'une matrice carrée A E MAR) est définie par 00 A'ÏL OXp(A) : Id + z ?. n--1 On munit MAR) d'une norme d'algèbre H - H, c'est--à--dire que pour toutes matrices A, B de MAR), HABH £ llAllllBll- On note GLAR) le groupe linéaire des matrices de MAR) qui sont inversibles, et SLAR) le sous--groupe de GLAR) formé des matrices de déterminant 1. La première et la troisième parties sont consacrées a l'étude de matrices carrées de taille d = 3. La deuxième partie est largement indépendante des autres parties. Première partie On considère l'ensemble des matrices carrées de taille 3 triangulaires supérieures strictes : L : {Mp,q,r l (p, 61,7") EUR R3} Où Mp,q,r : ooo OO'Ü ©»Q'3 On définit H = {13+M \ M E L}. 1. Calculer l'exponentielle de la matrice Mp,q,f,... Za. Montrer que l'on définit une loi de groupe * sur L en posant pour M, N E L : 1 M*N=M+N+5[M,N]. . . ,. On exphoetera l inverse de Mp,q,f,... 2b. Déterminer les matrices Mp,q,fr E L qui oommutent avec tous les éléments de L pour la loi *. (L, *) est--il commutatif ? 3. Montrer que pour toutes matrices M, N E L, on a : (expM) >< (expN) : exp(M * N). 4. Soient M et N deux éléments de L. Montrer que eXp(lMa Nl) = eXp(M) EURXp(N) eXp(--M) eXp(--N)- 5. Montrer que H muni du produit usuel des matrices est un sous--groupe de SL3(R) et que exp : (L, *) --> (H, ><) est un isomorphisme de groupes. Deuxième partie On considère dans cette partie deux matrices A et B de Md(R). Dans les questions 6 et 7, on suppose de plus que A et B oommutent avec [A, B]. ôa. Montrer que [A,exp(B)] : exp(B)[A,B]. 6b. Déterminer une équation différentielle vérifiée par t |--> exp(tA) exp(tB).

6(:. En déduire la formule :

exp(A) exp(B) : exp (A + B + %[A, B]) .

7. On note E : Ve0t(A, B, [A, B]).
721. Si M, N E E, montrer que [M, N] oommute avec M et N.

7b. Soit G = {exp(M) \ M E E}. Montrer que (G, ><) est un groupe et que l'application  : H --> G, exp(Mp,q,fr) |--> exp(pA + qB + r[A, B]),
est un morphisme de groupes.

Dans toute la suite de cette partie, A et B sont a nouveau deux matrices 
quelconques de Md(R).

8. Soit (Dn)nEURN une suite de MAR) qui converge vers D E MAR). Elle est donc 
bornée : soit
À > 0 tel que pour tout entier n E N, HD,,H $ À.

|
821. Soit le E N. Justifier que ("W --> 1 quand n --> +00 et que si n 2 le (et 
n 2 1),
n -- .n
n!
0 < 1 < 1 _ (n--k)!nk _ En déduire que D,, " " 1 (Id + --) -- Ü(Dn)k --> 0 quand n --> +oo.
n .
k=0

8b. Montrer que pour tous entiers le 2 1 et n 2 O,

H(D,,)"" -- Dkll £ 7EURÀk_1lan -- Dll-
Dn "
8c. Conclure que (Id + --) --> exp(D) quand n --> +oo.
n

921. Soit D E MAR) telle que HDH S 1. Montrer qu'il existe une constante ,u > 0 
indépendante de
D telle que
ll GXP(D) -- Ïd -- Dll S MllDll2-

9b. Montrer qu'il existe une constante V > O, et pour tout n 2 1 une matrice Cn 
EUR MAR), tels
que

A B A B V

10. Déduire de ce qui précède que
A B "
exp(A + B) : lim (exp (--) exp (--)) .
n-->+oo n n

Troisième partie

Soit T un réel strictement positif. On note E (T) l'ensemble constitué des 
couples (u, v) de fonctions
continues sur [O, T] a valeurs réelles.

Un chemin de Carnot contrôle" par (u, @) EUR E(T) est une application v : [O, 
T] --> MAR) de classe
C'1 solution de l'équation différentielle matricielle :

{y'(t) : u(t)v(t)Mi,0,0 + U(Ë)V(É)MÜ>LÛ?
v(0) = 13»

où les matrices M1)0)0 et MO,... ont été introduites dans la première partie.

1121. Pour tout (u, @) E E (T ), justifier l'existence d'un unique chemin de 
Carnot controlé par (u, v).

11b. Montrer que y vérifie
W EUR l07Tl, v(t) E H,

et calculer explicitement, en fonction de t, u et c les fonctions p(t), q(t) et 
r(t) telles que
W) = exp(Mp,qm)-
12. Pour tout (EUR, 90) E R2 et t E R, on définit les contrôles
ue,fi(t) : sin(9 -- got) et v9,@(t) : cos(9 -- got),

et on note vg,oe(t) : exp(Mp(t)7q(tw(t)) le chemin de Carnot controlé par 
("9,907 o9,SÛ).

1221. On suppose 90 # 0. Calculer p(t) et q(t) et vérifier que

1590 -- sin(tgp)

12h. Calculer de même v970(t).

La sphère de Carnot est l'ensemble :

B... = {(paqn") EUR R3 \ 3(9790) EUR l--7md >< l--27T927Tl9 19, =

Montrer que f et g se prolongent par continuité sur [O, 27r] , que f est alors 
une bijection continue de

2(1 -- cos s) 3 -- sins

t =
52 EUR 9(8)

[O, 27r] sur un ensemble qu'on précisera; et que g atteint son maximum en 7T.

14. Montrer que si (p, q, 7") EUR B(1) avec 7" 2 0 alors 7" = g @ f_1(p2 + q2).
Énoncer et établir une réciproque.

On pourra donner l'allure de la fonction 3 |--> go f _1(32) pour 3 E [O, 1] et 
notamment les tangentes
en 3 = 0 et 3 = 1.

15. Montrer l'existence d'une constante c1 > 0 telle que pour tout (p, q, T) E 
B(1), on ait
cî' Sp2+q2+lrl Sci-
1ôa. Montrer que pour tout (p, q, 7") EUR R3\{(O, O, O)}, il existe un unique À 
> 0 tel que :

(Àp, Àq, À2r) e B(1).

16h. En déduire que pour tout point A E H, il existe un réel positif T(A) et 
des paramètres
(EUR, go) (dépendants également de A) tels que A soit l'extrémité du chemin de 
Carnot contrôlé par

("9,g07 Ü9,g0) EUR E(T(A))

16c. Montrer l'existence d'une constante c2 > 0 telle que pour tout (p, q, 7") 
EUR R3,

02_1 V 292 + 612 + ... É T(eXp(Mp,q/r)) É 02'V P2 + 612 + ...