X Maths 2 MP 2014

Thème de l'épreuve Exponentielles de matrices et application aux chemins de Carnot
Principaux outils utilisés calcul matriciel, groupes, équations différentielles linéaires, trigonométrie
Mots clefs groupes de matrices, exponentielle, chemin de Carnot

Corrigé

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ECOLE POLYTECHNIQUE CONCOURS D'ADMISSION 2014 FILIÈRE MP COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES -- B -- (X) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. * * * Toute affirmation doit être justifiée. On prendra soin a la clarté et a la précision de la rédaction. Notations Soit d un entier strictement positif. On note MAR) l'espace vectoriel des matrices carrées réelles de taille d et Id désigne la matrice identité. Le produit de deux matrices A et B de MAR) est noté A >< B ou simplement AB. On appelle commutateur de A et B la matrice [A, B] = AB -- BA. On rappelle que l'exponentielle d'une matrice carrée A E MAR) est définie par 00 A'ÏL OXp(A) : Id + z ?. n--1 On munit MAR) d'une norme d'algèbre H - H, c'est--à--dire que pour toutes matrices A, B de MAR), HABH £ llAllllBll- On note GLAR) le groupe linéaire des matrices de MAR) qui sont inversibles, et SLAR) le sous--groupe de GLAR) formé des matrices de déterminant 1. La première et la troisième parties sont consacrées a l'étude de matrices carrées de taille d = 3. La deuxième partie est largement indépendante des autres parties. Première partie On considère l'ensemble des matrices carrées de taille 3 triangulaires supérieures strictes : L : {Mp,q,r l (p, 61,7") EUR R3} Où Mp,q,r : ooo OO'Ü ©»Q'3 On définit H = {13+M \ M E L}. 1. Calculer l'exponentielle de la matrice Mp,q,f,... Za. Montrer que l'on définit une loi de groupe * sur L en posant pour M, N E L : 1 M*N=M+N+5[M,N]. . . ,. On exphoetera l inverse de Mp,q,f,... 2b. Déterminer les matrices Mp,q,fr E L qui oommutent avec tous les éléments de L pour la loi *. (L, *) est--il commutatif ? 3. Montrer que pour toutes matrices M, N E L, on a : (expM) >< (expN) : exp(M * N). 4. Soient M et N deux éléments de L. Montrer que eXp(lMa Nl) = eXp(M) EURXp(N) eXp(--M) eXp(--N)- 5. Montrer que H muni du produit usuel des matrices est un sous--groupe de SL3(R) et que exp : (L, *) --> (H, ><) est un isomorphisme de groupes. Deuxième partie On considère dans cette partie deux matrices A et B de Md(R). Dans les questions 6 et 7, on suppose de plus que A et B oommutent avec [A, B]. ôa. Montrer que [A,exp(B)] : exp(B)[A,B]. 6b. Déterminer une équation différentielle vérifiée par t |--> exp(tA) exp(tB). 6(:. En déduire la formule : exp(A) exp(B) : exp (A + B + %[A, B]) . 7. On note E : Ve0t(A, B, [A, B]). 721. Si M, N E E, montrer que [M, N] oommute avec M et N. 7b. Soit G = {exp(M) \ M E E}. Montrer que (G, ><) est un groupe et que l'application  : H --> G, exp(Mp,q,fr) |--> exp(pA + qB + r[A, B]), est un morphisme de groupes. Dans toute la suite de cette partie, A et B sont a nouveau deux matrices quelconques de Md(R). 8. Soit (Dn)nEURN une suite de MAR) qui converge vers D E MAR). Elle est donc bornée : soit À > 0 tel que pour tout entier n E N, HD,,H $ À. | 821. Soit le E N. Justifier que ("W --> 1 quand n --> +00 et que si n 2 le (et n 2 1), n -- .n n! 0 < 1 < 1 _ (n--k)!nk _ En déduire que D,, " " 1 (Id + --) -- Ü(Dn)k --> 0 quand n --> +oo. n . k=0 8b. Montrer que pour tous entiers le 2 1 et n 2 O, H(D,,)"" -- Dkll £ 7EURÀk_1lan -- Dll- Dn " 8c. Conclure que (Id + --) --> exp(D) quand n --> +oo. n 921. Soit D E MAR) telle que HDH S 1. Montrer qu'il existe une constante ,u > 0 indépendante de D telle que ll GXP(D) -- Ïd -- Dll S MllDll2- 9b. Montrer qu'il existe une constante V > O, et pour tout n 2 1 une matrice Cn EUR MAR), tels que A B A B V 10. Déduire de ce qui précède que A B " exp(A + B) : lim (exp (--) exp (--)) . n-->+oo n n Troisième partie Soit T un réel strictement positif. On note E (T) l'ensemble constitué des couples (u, v) de fonctions continues sur [O, T] a valeurs réelles. Un chemin de Carnot contrôle" par (u, @) EUR E(T) est une application v : [O, T] --> MAR) de classe C'1 solution de l'équation différentielle matricielle : {y'(t) : u(t)v(t)Mi,0,0 + U(Ë)V(É)MÜ>LÛ? v(0) = 13» où les matrices M1)0)0 et MO,... ont été introduites dans la première partie. 1121. Pour tout (u, @) E E (T ), justifier l'existence d'un unique chemin de Carnot controlé par (u, v). 11b. Montrer que y vérifie W EUR l07Tl, v(t) E H, et calculer explicitement, en fonction de t, u et c les fonctions p(t), q(t) et r(t) telles que W) = exp(Mp,qm)- 12. Pour tout (EUR, 90) E R2 et t E R, on définit les contrôles ue,fi(t) : sin(9 -- got) et v9,@(t) : cos(9 -- got), et on note vg,oe(t) : exp(Mp(t)7q(tw(t)) le chemin de Carnot controlé par ("9,907 o9,SÛ). 1221. On suppose 90 # 0. Calculer p(t) et q(t) et vérifier que 1590 -- sin(tgp) 12h. Calculer de même v970(t). La sphère de Carnot est l'ensemble : B... = {(paqn") EUR R3 \ 3(9790) EUR l--7md >< l--27T927Tl9 19, = Montrer que f et g se prolongent par continuité sur [O, 27r] , que f est alors une bijection continue de 2(1 -- cos s) 3 -- sins t = 52 EUR 9(8) [O, 27r] sur un ensemble qu'on précisera; et que g atteint son maximum en 7T. 14. Montrer que si (p, q, 7") EUR B(1) avec 7" 2 0 alors 7" = g @ f_1(p2 + q2). Énoncer et établir une réciproque. On pourra donner l'allure de la fonction 3 |--> go f _1(32) pour 3 E [O, 1] et notamment les tangentes en 3 = 0 et 3 = 1. 15. Montrer l'existence d'une constante c1 > 0 telle que pour tout (p, q, T) E B(1), on ait cî' Sp2+q2+lrl Sci- 1ôa. Montrer que pour tout (p, q, 7") EUR R3\{(O, O, O)}, il existe un unique À > 0 tel que : (Àp, Àq, À2r) e B(1). 16h. En déduire que pour tout point A E H, il existe un réel positif T(A) et des paramètres (EUR, go) (dépendants également de A) tels que A soit l'extrémité du chemin de Carnot contrôlé par ("9,g07 Ü9,g0) EUR E(T(A)) 16c. Montrer l'existence d'une constante c2 > 0 telle que pour tout (p, q, 7") EUR R3, 02_1 V 292 + 612 + ... É T(eXp(Mp,q/r)) É 02'V P2 + 612 + ...

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 X Maths B MP 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Antoine Sihrener (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Walter Appel (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE). Ce sujet a pour but d'établir des propriétés de l'exponentielle de matrices. · La première partie traite de l'exponentielle sur l'ensemble des matrices de taille 3 triangulaires supérieures strictes. On donne le produit de deux exponentielles de telles matrices et on finit par démontrer que l'exponentielle est un isomorphisme de groupes. Les questions de cette partie sont assez abordables et ne consistent qu'à faire des produits de matrices et à montrer que des ensembles sont des groupes, mais il faut faire attention à ne pas se lancer tête baissée dans certains calculs, qui peuvent être évités avec des propriétés de symétrie et qui sinon prendraient énormément de temps. · La deuxième partie étudie l'exponentielle des matrices de taille quelconque d. On donne d'abord exp(A) exp(B), dans le cas où A et B commutent avec leur commutateur [A, B] = AB - BA, en résolvant une équation linéaire matricielle à coefficients constants. Le reste de la partie a pour but d'établir le résultat suivant, appelé formule de Lie : n A B exp exp ----- exp(A + B) n+ n n pour des matrices A et B qui sont maintenant quelconques. Cette partie est plus difficile et demande d'être à l'aise avec les majorations. · Enfin, la troisième et dernière partie a pour cadre la théorie du contrôle. On étudie ce qu'on appelle des « chemins de Carnot contrôlés par deux fonctions u et v », encore une fois pour des matrices de taille 3. On s'intéresse aux matrices qui sont à une extrémité de tels chemins, et on finit par donner un encadrement de la « durée de vie » d'un tel chemin. En clair, on résout des équations différentielles sur des matrices 3 × 3, et on s'intéresse à l'intervalle de définition des solutions, ainsi que de leurs valeurs aux bornes. Cette dernière partie introduit un vocabulaire nouveau, avec lequel il est toujours difficile de se familiariser en temps limité, mais derrière lequel se cachent des questions plus concrètes : la plupart des questions de cette partie sont des calculs sur R ou des systèmes 3 × 3 à résoudre. Elle est tout de même difficile et calculatoire. En conclusion, c'est un problème utilisant des chapitres variés, la difficulté est progressive, et les résultats sont souvent donnés dans l'énoncé, de sorte qu'un candidat n'arrivant pas à faire une question est rarement bloqué pour la suite. Il faut enfin être efficace sur les calculs car ils peuvent prendre beaucoup de temps et empêcher d'atteindre les questions où un raisonnement plus fin est attendu. Indications Première partie 1 Voir que la matrice Mp,q,r est nilpotente. 2.a Pour l'associativité, voir qu'un produit de trois éléments de L est nul. 2.b Calculer Ma,b,c Mp,q,r et Mp,q,r Ma,b,c pour tous réels a, b, c, p, q, r et comparer les matrices obtenues. 3 Utiliser le fait que M N est un élément de L que l'on connaît (en utilisant la question 2.a), et utiliser la première question. 4 Utiliser la question précédente, ne surtout pas faire le calcul ! Montrer enfin que (M N) et ((-M) (-N)) commutent. 5 Pour la bijectivité, résoudre l'équation exp(Ma,b,c ) = I3 + Mp,q,r . Deuxième partie 6.a Écrire les deux quantités de l'énoncé sous forme d'une somme. 6.b Dériver , et utiliser la question précédente pour donner une autre expression de exp(tA)B, puis montrer que exp(tA) et [A, B] commutent. 6.c Résoudre l'équation différentielle de la question précédente et prendre t = 1. 7.a Montrer que le commutateur est une application bilinéaire, développer, et utiliser le fait que celui-ci est nul si les deux matrices commutent. 7.b Appliquer la question 6.c à M et N. 8.a Pour le calcul de la limite, utiliser la formule du binôme de Newton, puis rajouter le reste de la série donnant exp(), couper en un n0 bien choisi, et ensuite seulement faire tendre n vers +. 8.b Introduire le terme Dn Dk et faire une récurrence sur k. 8.c Introduire exp(D) dans la limite apparaissant à la question 8.a, couper la somme infinie en n, factoriser, et montrer que deux des trois membres tendent vers 0. 9.a Utiliser l'inégalité triangulaire. A A - Id - 9.b Poser En = exp n n et B B Fn = exp - Id - n n et faire le produit de l'énoncé. Poser la matrice Cn qui conviendrait et appliquer la question précédente pour borner En et Fn , avec n > n0 tel que kA/nk et kB/nk soient inférieures à 1. Trouver enfin qui convient pour n < n0 . 10 Mettre A, B et Cn sur n et poser Dn = A+ B+ nCn pour utiliser la question 8.c. Troisième partie 11.a C'est une question de cours. 11.b Résoudre l'équation différentielle de l'énoncé, en n'oubliant pas la condition initiale. Le système 9 × 9 est plus facile qu'il n'y paraît ! Z 1 t 12.a Remarquer que r(t) = v(x)p(x) - u(x)q(x) dx. 2 0 13 Remarquer qu'on peut écrire f à l'aide du sinus cardinal, et étudier les variations de cette fonction. Pour g, dériver normalement, chercher les points où g s'annule, pour cela utiliser la stricte convexité de la fonction tangente sur l'intervalle [ 0 ; /2 [. Se souvenir du signe de la tangente, et ne pas oublier de préciser qu'une quantité est non nulle avant de diviser. Utiliser enfin les formules donnant cos(s) et sin(s) en fonction de cos(s/2) et sin(s/2). 14 Utiliser les formules donnant cos(a) - cos(b) et sin(a) - sin(b) et mettre p et q au carré. Séparer les cas r = 0 et r 6= 0. Préciser pourquoi appartient à l'intervalle [ 0 ; 2 ]. Pour la réciproque, séparer les cas = 2 et 6= 2, puis utiliser le fait que a2 + b 2 = 1 = R a = sin() et b = cos() 15 Montrer que si (p, q, r) B(1) avec r < 0 alors r = -g f -1 p2 + q 2 . Écrire p2 + q 2 + |r| comme une fonction continue prise en p2 + q 2 . 16.a Ne pas oublier les cas particuliers r = 0 et p2 + q 2 = 0. Dans le cas général, appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à L définie par L(x) = rx - g f -1 x p2 + q 2 Montrer ensuite que g f -1 est concave en la dérivant deux fois (ne surtout pas remplacer ces fonctions ni leurs dérivées par leurs valeurs). Faire apparaître g /f et simplifier son expression à l'aide de formules de trigonométrie pour faire apparaître la fonction cotangente. 16.b Appliquer la question précédente, donner les valeurs de p, q et r, et chercher les paramètres T(A), et permettant d'avoir l'expression de la question 12.a. 16.c Appliquer les trois questions précédentes. Première partie 1 Soit (p, q, r) R3 . Calculons les puissances 0 p r 0 p Mp,q,r 2 = 0 0 q 0 0 0 0 0 0 0 Ensuite, Mp,q,r 3 successives r 0 q = 0 0 0 de Mp,q,r . Tout d'abord, 0 pq 0 0 0 0 = 03 et, pour tout n > 3 Mp,q,r n = Mp,q,r 3 Mp,q,r n-3 = 03 Ainsi, la somme définissant l'exponentielle de la matrice 1 2 Mp,q,r exp(Mp,q,r ) = I3 + Mp,q,r + = 0 2 0 Mp,q,r est finie et pq p r+ 2 1 q 0 1 2.a Montrons que (L, ) est un groupe. · Montrons que est une loi interne de L. 0 Mp,q,r Ma,b,c = 0 0 et Ma,b,c Mp,q,r Par conséquent, Mp,q,r Ma,b,c 0 = 0 0 0 = 0 0 a+p 0 0 Soit (p, q, r, a, b, c) R6 . 0 pb 0 0 0 0 0 aq 0 0 0 0 1 c + r + (pb - aq) 2 L q+b 0 (1) Il en découle que est interne dans L. · Montrons que la loi est associative dans L. Soient M, N, P trois éléments de L. Par définition de la loi , 1 (M N) P = M + N + (MN - NM) P 2 1 1 = M + N + (MN - NM) + P + 2 2 1 M + N + (MN - NM) P 2 1 -P M + N + (MN - NM) 2 1 (M N) P = M + N + P + (MN - NM + MP + NP - PM - PN) 2 1 + (MNP - NMP - PMN + PNM) 4