X Maths 2 MP 2014

ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2014 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES -- B -- (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
* * *

Toute affirmation doit être justifiée. On prendra soin a la clarté et a la 
précision de la rédaction.

Notations

Soit d un entier strictement positif. On note MAR) l'espace vectoriel des 
matrices carrées réelles
de taille d et Id désigne la matrice identité. Le produit de deux matrices A et 
B de MAR) est noté
A >< B ou simplement AB. On appelle commutateur de A et B la matrice [A, B] = AB -- BA. On rappelle que l'exponentielle d'une matrice carrée A E MAR) est définie par 00 A'ÏL OXp(A) : Id + z ?. n--1 On munit MAR) d'une norme d'algèbre H - H, c'est--à--dire que pour toutes matrices A, B de MAR), HABH £ llAllllBll- On note GLAR) le groupe linéaire des matrices de MAR) qui sont inversibles, et SLAR) le sous--groupe de GLAR) formé des matrices de déterminant 1. La première et la troisième parties sont consacrées a l'étude de matrices carrées de taille d = 3. La deuxième partie est largement indépendante des autres parties. Première partie On considère l'ensemble des matrices carrées de taille 3 triangulaires supérieures strictes : L : {Mp,q,r l (p, 61,7") EUR R3} Où Mp,q,r : ooo OO'Ü ©»Q'3 On définit H = {13+M \ M E L}. 1. Calculer l'exponentielle de la matrice Mp,q,f,... Za. Montrer que l'on définit une loi de groupe * sur L en posant pour M, N E L : 1 M*N=M+N+5[M,N]. . . ,. On exphoetera l inverse de Mp,q,f,... 2b. Déterminer les matrices Mp,q,fr E L qui oommutent avec tous les éléments de L pour la loi *. (L, *) est--il commutatif ? 3. Montrer que pour toutes matrices M, N E L, on a : (expM) >< (expN) : exp(M * N). 4. Soient M et N deux éléments de L. Montrer que eXp(lMa Nl) = eXp(M) EURXp(N) eXp(--M) eXp(--N)- 5. Montrer que H muni du produit usuel des matrices est un sous--groupe de SL3(R) et que exp : (L, *) --> (H, ><) est un isomorphisme de groupes. Deuxième partie On considère dans cette partie deux matrices A et B de Md(R). Dans les questions 6 et 7, on suppose de plus que A et B oommutent avec [A, B]. ôa. Montrer que [A,exp(B)] : exp(B)[A,B]. 6b. Déterminer une équation différentielle vérifiée par t |--> exp(tA) exp(tB).

6(:. En déduire la formule :

exp(A) exp(B) : exp (A + B + %[A, B]) .

7. On note E : Ve0t(A, B, [A, B]).
721. Si M, N E E, montrer que [M, N] oommute avec M et N.

7b. Soit G = {exp(M) \ M E E}. Montrer que (G, ><) est un groupe et que l'application  : H --> G, exp(Mp,q,fr) |--> exp(pA + qB + r[A, B]),
est un morphisme de groupes.

Dans toute la suite de cette partie, A et B sont a nouveau deux matrices 
quelconques de Md(R).

8. Soit (Dn)nEURN une suite de MAR) qui converge vers D E MAR). Elle est donc 
bornée : soit
À > 0 tel que pour tout entier n E N, HD,,H $ À.

|
821. Soit le E N. Justifier que ("W --> 1 quand n --> +00 et que si n 2 le (et 
n 2 1),
n -- .n
n!
0 < 1 < 1 _ (n--k)!nk _ En déduire que D,, " " 1 (Id + --) -- Ü(Dn)k --> 0 quand n --> +oo.
n .
k=0

8b. Montrer que pour tous entiers le 2 1 et n 2 O,

H(D,,)"" -- Dkll £ 7EURÀk_1lan -- Dll-
Dn "
8c. Conclure que (Id + --) --> exp(D) quand n --> +oo.
n

921. Soit D E MAR) telle que HDH S 1. Montrer qu'il existe une constante ,u > 0 
indépendante de
D telle que
ll GXP(D) -- Ïd -- Dll S MllDll2-

9b. Montrer qu'il existe une constante V > O, et pour tout n 2 1 une matrice Cn 
EUR MAR), tels
que

A B A B V

10. Déduire de ce qui précède que
A B "
exp(A + B) : lim (exp (--) exp (--)) .
n-->+oo n n

Troisième partie

Soit T un réel strictement positif. On note E (T) l'ensemble constitué des 
couples (u, v) de fonctions
continues sur [O, T] a valeurs réelles.

Un chemin de Carnot contrôle" par (u, @) EUR E(T) est une application v : [O, 
T] --> MAR) de classe
C'1 solution de l'équation différentielle matricielle :

{y'(t) : u(t)v(t)Mi,0,0 + U(Ë)V(É)MÜ>LÛ?
v(0) = 13»

où les matrices M1)0)0 et MO,... ont été introduites dans la première partie.

1121. Pour tout (u, @) E E (T ), justifier l'existence d'un unique chemin de 
Carnot controlé par (u, v).

11b. Montrer que y vérifie
W EUR l07Tl, v(t) E H,

et calculer explicitement, en fonction de t, u et c les fonctions p(t), q(t) et 
r(t) telles que
W) = exp(Mp,qm)-
12. Pour tout (EUR, 90) E R2 et t E R, on définit les contrôles
ue,fi(t) : sin(9 -- got) et v9,@(t) : cos(9 -- got),

et on note vg,oe(t) : exp(Mp(t)7q(tw(t)) le chemin de Carnot controlé par 
("9,907 o9,SÛ).

1221. On suppose 90 # 0. Calculer p(t) et q(t) et vérifier que

1590 -- sin(tgp)

12h. Calculer de même v970(t).

La sphère de Carnot est l'ensemble :

B... = {(paqn") EUR R3 \ 3(9790) EUR l--7md >< l--27T927Tl9 19, =

Montrer que f et g se prolongent par continuité sur [O, 27r] , que f est alors 
une bijection continue de

2(1 -- cos s) 3 -- sins

t =
52 EUR 9(8)

[O, 27r] sur un ensemble qu'on précisera; et que g atteint son maximum en 7T.

14. Montrer que si (p, q, 7") EUR B(1) avec 7" 2 0 alors 7" = g @ f_1(p2 + q2).
Énoncer et établir une réciproque.

On pourra donner l'allure de la fonction 3 |--> go f _1(32) pour 3 E [O, 1] et 
notamment les tangentes
en 3 = 0 et 3 = 1.

15. Montrer l'existence d'une constante c1 > 0 telle que pour tout (p, q, T) E 
B(1), on ait
cî' Sp2+q2+lrl Sci-
1ôa. Montrer que pour tout (p, q, 7") EUR R3\{(O, O, O)}, il existe un unique À 
> 0 tel que :

(Àp, Àq, À2r) e B(1).

16h. En déduire que pour tout point A E H, il existe un réel positif T(A) et 
des paramètres
(EUR, go) (dépendants également de A) tels que A soit l'extrémité du chemin de 
Carnot contrôlé par

("9,g07 Ü9,g0) EUR E(T(A))

16c. Montrer l'existence d'une constante c2 > 0 telle que pour tout (p, q, 7") 
EUR R3,

02_1 V 292 + 612 + ... É T(eXp(Mp,q/r)) É 02'V P2 + 612 + ...