X Maths 2 MP 2013

Thème de l'épreuve Exposant de Hölder ponctuel d'une fonction continue
Principaux outils utilisés analyse générale, formules de Taylor, suites et séries de fonctions
Mots clefs exposant de Hölder, système de Schauder, module de continuité, partie entière, convergence normale, convergence uniforme

Corrigé

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ECOLE POLYTECHNIQUE CONCOURS D'ADMISSION 2013 FILIÈRE MP COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES -- B -- (X) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** Exposant de Hôlder ponctuel d'une fonction continue N désigne l'ensemble des entiers naturels et R celui des nombres réels. On note C l'espace vectoriel réel des fonctions continues définies sur l'intervalle compact [O, 1[ et a valeurs dans R. Cet espace est muni de la norme [[ ' [[oo définie pour tout f E C, par W...» = SUpoeEUR[0,l] lf(OE)l- On note C0 le sous--espace de C formé par les fonctions f telles que f (O) = f (1) = O. n t log2 est la fonction définie pour t E [O, +oo[, par log2 t : ñ' où ln est le logarithme népérien. n Première partie : définition de l'exposant de Hôlder ponctuel Soit 560 E [O, 1]. Pour tout 3 E [O, 1[, on désigne par F3(a30) le sous--ensemble de C formé par les fonctions f qui vérifient : |f<æ> -- f<æo>| sup < --l--oo . oeEUR[O,l[\{oeo} [oe -- OE0[S la. Montrer que F3(a30) est un sous--espace vectoriel de C, puis que, pour tous réels 51 et 52 vérifiant O S 51 S 52 < 1, l'on a F32(oe0) C F31(oe0). Enfin, déterminer F0(oe0). lb. Soit f E C. Si f est dérivable en 550, montrer que f E F3(a30) pour tout 3 E [O, 1[. 1c. Montrer que pour tout 560 EUR [O,1[, il existe f E C non dérivable en 5130 tel que pour tout 5 EUR [O,1[, f E F3(oe0). Pour tout f E C et tout 560 E [O, 1], on pose Oéf(âî0) = SUP {5 E [O, 1l[f EUR 118(550)} - Le réel OEf(SIÏO) est appelé eæposant de Holder ponctuel de f en 5130 ; il permet de mesurer finement la régularité locale de f au voisinage du point 5170. 1 2.S°t : 01 R \/1--4 2.D't ' l' td H"ld t ld --. 01 p [ , [ --> , a: l--> [ a: [ e erm1ner exposan e 0 er ponc ue e p en 2 Pour tout f E C, on définit la fonction wf : [O, 1[ --> R+ par Wf(h) =Sup{lf(æ) --f(y)l [way EUR l071l et la?--gl £ h}- 3a. Montrer que wf est croissante, et continue en O. 3b. Montrer que pour tous h, H E [O, 1[ tels que h S H, wf vérifie wf(h') £ Wf(h) + Wf(h' -- h) - 3c. En déduire que wf est continue sur [O, 1[. 4a. Soit 3 E [O, 1[. On suppose que la fonction h l--> h w';L(S ) est bornée sur [0,1]. Pour tout 5130 E [O, 1[, montrer que f E F3(oe0). 4b. Soit q : [O, 1[ --> R définie par 77 {q(oe) : a:cos (--) pour a: > O, 56 q(O) O. wq(h) \/Ë Montrer que pour tout 5130 E [O, 1], qu(aî0) : 1, mais que ne tend pas vers 0 quand h tend vers O. Deuxième partie : le système de Schauder On note 1 = {(j, lc) E N2 [j E N et O S 16 < 27}; pourj E N, on désigne par 7}- l'ensemble T,={keN[ng [O, 1[ la fonction de Co, définie pour tout a: E [O, 1[ par 1 _ [2j+1oe _ 2k -- 1[ si a: & [k2_--7, (k + 1)2_--7l7 j,k(aï) : O sinon. La famille des fonctions (9j,k)(j,k)eî est appelée le système de Schauder. On note là,--(a:) la partie entière du réel 2jÇC, c'est donc l'unique entier tel que "là,--(oe) g 235: < "%,--(a:) + 1. 5a. Montrer que pour tout j E N et tout lc EUR 7}+1, il existe un unique entier lc' EUR Î, tel que [k2--j--1, (k + 1)2--j--1[ c [k'2--j, (k' + 1)2--j] . On précisera le lien entre 1--6 et lc' . 5b. Calculer 9j,k(Æ2_j_l) pour tous j E N, lc EUR 7}, EUR EUR 7}+1. 5c. Montrer que pour tout ( j, lc) EUR I , la fonction 93--71, est continue, affine sur chaque intervalle de la forme [Æ2_n, (EUR + 1)2_"[ où n > j et EUR EUR 7}, 5d. Prouver que pour tous (j, lc) EUR I et (a:,y) E [O, 1[2, on a |9j,k<æ> -- 9j,k| £ Wlæ -- y\ . Dans le reste de cette partie f est un élément de Cg. Pour tout n E N, soit Sn f la fonction de Cg définie par Snf = Z Z Cj,k(f) 9j,k , j=0 keTj où, pour tout (j, lc) EUR 1, on a posé cj,i =f((k+g)2--j) _ f +f2<2"> . 6. M t 1' ° = 0- on rer que j_1}ranO %Ê7Ë [Cg,k(f)[ 721. Pour tout (j, lc) EUR I, (i,Æ) EUR I, calculer Cj7k(9i7g). 7b. Soit dj,], une famille de réels indexée par (j, lc) EUR 1. On note bj : rfinaÎx [aj,k[, et on suppose EUR j que la série 2 b, est convergente. Pour tout j E N, soit ff la fonction définie par f Ï(OE) = 2 aj,k9j,k(æ) - keTj Montrer que la série z ff est uniformément convergente sur [0,1] vers une fonction noté f a, qui appartient a Cg et qui vérifie, pour tout (j, lc) EUR I, cj,k(fa) : aj,k. 821. On suppose f de classe C 1. Montrer qu'il existe une constante M 2 0 telle que pour tous (ja [EUR) EUR 17 [Cj7k(f)[ £ M2_j° En déduire que la suite de fonction Sn f est uniformément convergente sur [O, 1[ lorsque n tend vers oo. 8b. On suppose f de classe C2. Montrer qu'il existe une constante M ' 2 0 telle que pour tous (jvk) EUR 17 [Cj7k(f)[ £ Ml4_g° 9a. Montrer que pour tout n E N et tout EUR EUR %+1, la fonction Sn f est affine sur l'intervalle [£2--n--1, (EUR + 1)2--n--1]. 9b. Soit n E N. On suppose que pour tout EUR EUR %, (Sn--if)(Æ2_n) : f(Æ2_n). Montrer que l'on a aussi que pour tout EUR EUR %+1, (Snf)(Æ2_n_l) : f(£2_n_l). On pourra distinguer les cas suivant la parité de EUR. 9c. En déduire que pour tout n E N et tout EUR EUR %+1, (Snf)(Æ2_n_l) : f(£2_n_l). 10a. Déduire de la question 9 que pour tout f de Co, nl_lïloe llf _ Sanoe = 0. 10h. Soit n E N. Montrer que Sn est un projecteur sur Co, dont la norme subordonnée (à H - Hoc) vaut 1. 1121. Soit 3 EUR ]0,1[. Montrer que si a, b 2 0, alors a.3 + 193 £ 21_3(a + b)3. 11b. Montrer que si f E F3(a30) fiCg, alors il existe un réel c1 > 0, tel que pour tout (j, lc) EUR 1, on a, \c,,k(f)\ g 01 (r?" + lk2_j -- æ0\)3 . Troisième partie : min0ration de l'exposant de Hôlder ponctuel L'objectif de cette partie est d'établir une forme de réciproque du résultat de la question 11b. Dans toute cette partie, on désigne par f E Cg une fonction vérifiant la propriété suivante : (731) il existe 560 EUR [0,1], 3 EUR ]0,1[ et c1 EUR ]0, +oo[, tels que pour tout (j, lc) EUR I, le,k(f)l £ c1(2----7' + vw -- OE0l)8 . Dans tout le reste de cette partie, on fixe les 560, 3 et cl de la propriété 731 et a: E [O, 1] \ {270}. 12. Montrer qu'il existe un unique 710 E N tel que 2_"0_1 < la: -- a:0l S 2_"0. 13. On rappelle que la notation là,--(a:) a été introduite en préambule de la deuxième partie. On pose W....-- = 2 lc;--.æ(f)l |H...<æ> -- e.,.<æo>| . keî} Montrer que . N ... j+1 _ W.... £ (le,,,,(oe,l + \c,,,,.,,,l) 2 tv æo\ . 14a. Montrer que pour j £ no (no est déterminé dans la question 12), on a Wj S 4c12(1_3)j33loe -- aîgl . 14h. En déduire que, en posant c2 : 8(21_3 -- 1)_1(3/2)8c1, Z 2 lcj,k(f)l |9...<æ> -- e.,.<æo>| £ c.læ -- :... . . j=0 keî} 15. Montrer que pour tout j E N, le (f)l £ 23<1_j)01. En déduire, en posant 03 = (1 -- 2--8)_12801, j,kj(oeo) +00 2 Z le,I--c(f)l l9j,k(oeo)l S CBlOE -- oeOls- j=no+l kEUR'Îj Dans la suite du problème, on suppose que M flloe : 1 et on rappelle que la fonction wf a été définie a la question 3. 16. Montrer qu'il existe un unique nl E N tel que wf(2_nl_l) < 2_"03 S wf(2_nl). 17. Montrer que pour tout n 2 nl, où nl est déterminé dans la question 16, on a Hf _ SanOO £ 28+1'oe _ oe0'8° On pourra utiliser les résultats des questions 93 et 9e. 1821. Montrer que lorsque no < nl, on a, Z Z le,k(f)l lQÿ,k(OE)l S 0133(n1 -- "O)loe -- oeOls- j=no+1 kEURTj On suppose de plus dans la suite que la fonction wf vérifie la propriété suivante : (732) pour tout entier N 2 1, il existe un réel C4(N) > 0, tel que pour tout h EUR ]0,1], wf(h) £ C4(N) (1 + l10g2 hl)_N - 18h. Pour tout entier N 2 1, on pose C5(N) : 3301(04(N))1/N. Montrer que n1--nol s C5læ -- æ0\<1--w>s . j=no+l kEUR'Îj 19. Déduire de ce qui précède que ozf(oe0) > 3 On pourra distinguer les cas no 2 nl et no < nl.

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 X Maths B MP 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (ENS Cachan) ; il a été relu par Samuel Baumard (ENS Ulm) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE). Ce sujet est consacré au thème original de l'exposant de Hölder ponctuel d'une fonction continue. · Dans la première partie on définit l'ensemble s (x0 ) des f C([ 0 ; 1 ]) vérifiant Hs,x0 (f ) = |f (x) - f (x0 )| < + |x - x0 |s xIr{x0 } Sup On y montre la décroissance de la fonction s 7 s (x0 ) pour l'inclusion, ce qui permet de définir l'exposant de Hölder d'une fonction f en x0 par f (x0 ) = Sup {s [ 0 ; 1 [ | f s (x0 )} On étudie, de façon théorique ainsi que sur des exemples, le lien entre cet exposant et le module de continuité de f défini pour h [ 0 ; 1 ] par n o f (h) = Sup |f (x) - f (y)| : (x, y) [ 0 ; 1 ]2 et |x - y| 6 h La dernière question de cette partie est astucieuse ; le reste relève de l'analyse plus classique de première année. · La deuxième partie est consacrée à l'étude du système dit de Schauder, c'est-àdire la famille indexée j N et k [[ 0 ; 2j -1 ]] de fonctions positives « en tri par -j angle » de support k 2 ; (k + 1)2-j , de maximum 1 atteint en (k + 1/2)2-j . Le résultat principal de cette partie est que toute fonction continue sur [ 0 ; 1 ] et nulle au bord de l'intervalle est développable en série de fonctions suivant cette « base », avec convergence uniforme de la série et avec des « coefficients de Schauder » cj,k (f ) = f ((k + 1/2)2-j ) - f (k 2-j ) + f ((k + 1)2-j ) 2 Enfin, si f s (x0 ) est nulle au bord, alors les coefficients de Schauder vérifient aussi une sorte d'inégalité höldérienne localisée en x0 dans laquelle intervient Hs,x0 (f ). Ici, beaucoup de technique et une compréhension fine de la position relative de deux subdivisons dyadiques différentes de [ 0 ; 1 ] sont requises. · Enfin, dans la dernière partie on s'intéresse à une réciproque partielle de l'inégalité sur les coefficients obtenue en fin de deuxième partie, en rajoutant une hypothèse de décroissance logarithmique sur le module de continuité f . On en déduit une minoration de l'exposant de Hölder. Ici encore, peu de références au cours, mais beaucoup de technique, de rapidité d'esprit et d'aisance dans les calculs sont nécessaires pour s'en sortir. Ce sujet est long, difficile car technique, calculatoire, et éloigné du cours travaillé pendant l'année. Même si les résultats développés sont intéressants et ont des applications concrètes en mathématiques (ondelettes, traitement du signal), dans l'optique de l'entraînement aux concours il ne constitue pas vraiment un bon sujet de révision. Indications Première partie -s1 -s s -s 1.a Remarquer que |x - x0 | = |x - x0 | 2 × |x - x0 | 2 1 avec s2 - s1 > 0. Pour déterminer 0 (x0 ) : toute fonction continue sur [ 0 ; 1 ] y est bornée. 1.b Se servir du taux de variation de la fonction en x0 . 1.c Utiliser le fait que la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en zéro. 3.a Pour la croissance, établir que les ensembles dont on prend le supremum sont croissants en h pour l'inclusion. Pour la continuité en zéro, calculer f (0) et noter que toute fonction continue sur [ 0 ; 1 ] y est uniformément continue. 3.b Prendre h 6 h et (x, y) [ 0 ; 1 ]2 vérifiant |x - y| 6 h et distinguer suivant que |x - y| est inférieur ou supérieur à h. 4.a La relation |f (x) - f (y)| 6 f (|x - y|) est valable pour tous x, y [ 0 ; 1 ]. 4.b Noter que q est continue sur [ 0 ; 1 ] et dérivable sur ] 0 ; 1 ]. Pour la deuxième partie de la question, prendre hn = 2-2n et trouver xn et yn vérifiant |yn - xn | 6 hn , et cos(/xn ) = -1 cos(/yn ) = 1 Deuxième partie 5.a Distinguer les cas suivant la parité de k. 5.b Remarquer que j,k (x) 6= 0 équivaut à x k 2-j ; (k + 1)2-j . 5.c Tracer la fonction j,k pour visualiser la continuité. Ensuite, si n > j, montrer [ 2-n ; ( + 1)2-n ] p 2-j ; (p + 1)2-j pour un certain entier k Tj . Distinguer les cas suivant que p 6= k ou p = k. -n -n Pour ce dernier on montrera -j que [ 2 -j ;( + 1)2 ] est inclus dans l'une des moitiés de l'intervalle k 2 ; (k + 1)2 . -j 5.d Distinguer suivant que x et y sont dans k 2 ; (k + 1)2-j ou non. 6 Se servir de l'uniforme continuité d'une fonction continue sur [ 0 ; 1 ]. 7.a Distinguer suivant que j > i, i > j, ou i = j. · Si j > i, utiliser la question 5.c. · Si i > j, situer par rapport à l'intervalle 2-i ; ( + 1)2-i , les points j,k = k 2-j , j,k = k 2-j + 2-j-1 et j,k = (k + 1)2-j En particulier, montrer qu'ils sont toujours en dehors ou à une extrémité de cet intervalle, ce qui assure que la fonction i, y est nulle. · Si i = j, utiliser le résultat de la question 5.b. 7.b Montrer la convergence normale de la série en majorant le terme général après P j,k . En utilisant des opérations sur les avoir tracé le graphe de la fonction kTj séries convergentes, établir ensuite que (j, k) I cj,k (f a ) = P + j=0 cj,k (fja ) 8.a Penser à l'inégalité des accroissements finis et au résultat de la question 7.b. 8.b Utiliser la formule de Taylor-Lagrange avec la majoration du reste pour une fonction de classe C 2 entre les points x et (x + y)/2, puis y et (x + y)/2. 9.a Se souvenir de la question 5.b. 9.b Expliciter une relation de récurrence entre Sn f et Sn-1 f puis distinguer suivant la parité de . Si est pair, utiliser la question 5.b. Si est impair, utiliser en plus la question 9.a. 9.c Interpréter le résultat de la question 9.b en termes d'hérédité d'une propriété sur les entiers. 10.a Pour > 0, utiliser un réel > 0 associé et donné par l'uniforme continuité de f . Pour x [ 0 ; 1 ], considérer n > - log2 - 1 et = e kn+1 (x). En utilisant l'inégalité triangulaire, majorer la différence |f (x) - Sn f (x)| par la somme de trois termes en introduisant les points f ( 2-n-1 ) et Sn f ( 2-n-1 ). Que fournissent alors les questions 9.a et 9.c, ainsi que l'uniforme continuité de f ? 10.b Calculer Sn (j,k ) pour j [[ 0 ; n ]] et k Tj en utilisant la question 7.a. Pour la norme, remarquer que Sn f est affine par morceaux avec une subdivision qui fournit les maxima potentiels, puis utiliser la question 9.c. Trouver enfin une fonction telle que Sn f = f . 11.a L'inégalité se réécrit : (as + bs )/2 6 ((a + b)/2)s 11.b Faire intervenir f (x0 ) par inégalité triangulaire dans la définition de cj,k (f ) puis examiner les trois cas x0 k 2-j ; (k + 1)2-j ou x0 < k2-j ou x0 > (k + 1)2-j Troisième partie 12 Passer au logarithme en base 2 et utiliser la partie entière. 13. Noter que j,k (x) est non nul si et seulement si k = e kj (x). Se servir ensuite du résultat de la question 5.d. 14.a Commencer par utiliser la propriété (P1 ), puis l'inégalité de la question 11.a, et enfin montrer que kj (x0 ) 2-j x0 - e kj (x) 2-j 6 |x - x0 | + x0 - e 14.b 15 16 17 18.a Se souvenir ensuite que |x - x0 | 6 2-n0 et utiliser la condition j 6 n0 . Sommer les inégalités de la question 14.a et se servir de la définition de n0 . Ici encore, utiliser la définition de e kj (x0 ) et de n0 . Considérer X = {p N | f (2-p ) > 2-n0 s }. Utiliser la condition kf k = 1 en lien avec le fait qu'une fonction continue sur un segment atteint ses bornes. Montrer que X est majoré. Reprendre le découpage de la question 10.a afin d'utiliser les questions 9.a et 9.c avec n > n1 , en majorant à présent à l'aide de f (2-n-1 ). La somme portant sur Tj ne comporte qu'un élément. Se servir de (P1 ) puis se rappeler que x0 - e kj (x) 2-j 6 |x - x0 | + 2-j 18.b La propriété (P2 ) donne l'inégalité droite par croissance de la fonction x 7 x1/N . 19 Majorer |f (x) - f (x0 )| par trois différences où interviennent Sn f (x) et Sn f (x0 ). Distinguer ensuite les cas suivant que n0 > n1 ou n0 < n1 . Montrer que f appartient à s (x0 ) dans le premier cas et à (1-1/N)s pour tout N N dans le second cas, grâce aux inégalités des questions 14.b, 15 et 18.b. I. Définition de l'exposant de Hölder ponctuel 1.a Soient x0 [ 0 ; 1 ], R, s [ 0 ; 1 [ et f, g s (x0 ). Posons h = f + g. Alors h C car C est un R-espace vectoriel et x [ 0 ; 1 ] Notons Hs,x0 () = |h(x) - h(x0 )| 6 || |f (x) - f (x0 )| + |g(x) - g(x0 )| Sup x[ 0 ;1 ]r{x0 } |(x) - (x0 )| pour toute fonction s (x0 ). s |x - x0 | Remarquons que pour tout C, l'ensemble {|(x) - (x0 )| / |x - x0 | s | x0 [ 0 ; 1 ]} est un sous-ensemble non vide de R+ . Il admet par conséquent une borne supérieure dans R+ {+}. Cela légitime la définition de s (x0 ). Il vient alors |h(x) - h(x0 )| 6 || Hs,x0 (f ) + Hs,x0 (g) |x - x0 |s La borne supérieure étant le plus petit des majorants on en déduit que |h(x) - h(x0 )| Sup 6 || Hs,x0 (f ) + Hs,x0 (g) < + |x - x0 |s x[ 0 ;1 ]r{x0 } x [ 0 ; 1 ] r {x0 } f + g s (x0 ) Par suite, En remarquant que la fonction nulle appartient à s (x0 ) on peut ainsi conclure que L'ensemble s (x0 ) est un sous-R-espace vectoriel de C. Soient deux réels s1 , s2 vérifiant 0 6 s1 6 s2 < 1 et f s2 (x0 ). Alors |f (x) - f (x0 )| |f (x) - f (x0 )| s -s s -s = × |x - x0 | 2 1 6 Hs,x0 (f ) |x - x0 | 2 1 |x - x0 |s1 |x - x0 |s2 Comme s2 - s1 > 0, il vient que |x - x0 | s2 -s1 est borné, donc |f (x) - f (x0 )| < + s |x - x0 | 1 x[ 0 ;1 ]r{x0 } Sup c'est-à-dire f s1 (x0 ). Finalement, 0 6 s1 6 s2 < 1 Enfin, par définition, 0 (x0 ) = f C | Sup x[ 0 ;1 ]r{x0 } s2 (x0 ) s1 (x0 ) |f (x) - f (x0 )| < + C Réciproquement, si f C, alors la fonction x 7- f (x) - f (x0 ) est continue sur l'intervalle compact [ 0 ; 1 ], donc elle y est bornée. A fortiori Sup |f (x) - f (x0 )| < + x[ 0 ;1 ]r{x0 } Cela montre que C 0 (x0 ). Ainsi, x0 [ 0 ; 1 ] 0 (x0 ) = C