X Maths 2 MP 2013

Thème de l'épreuve Exposant de Hölder ponctuel d'une fonction continue
Principaux outils utilisés analyse générale, formules de Taylor, suites et séries de fonctions
Mots clefs exposant de Hölder, système de Schauder, module de continuité, partie entière, convergence normale, convergence uniforme

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ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2013 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES -- B -- (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Exposant de Hôlder ponctuel d'une fonction continue

N désigne l'ensemble des entiers naturels et R celui des nombres réels.

On note C l'espace vectoriel réel des fonctions continues définies sur 
l'intervalle compact [O, 1[
et a valeurs dans R. Cet espace est muni de la norme [[ ' [[oo définie pour 
tout f E C, par

W...» = SUpoeEUR[0,l] lf(OE)l-

On note C0 le sous--espace de C formé par les fonctions f telles que f (O) = f 
(1) = O.

n t
log2 est la fonction définie pour t E [O, +oo[, par log2 t : ñ' où ln est le 
logarithme népérien.
n

Première partie : définition de l'exposant de Hôlder ponctuel

Soit 560 E [O, 1]. Pour tout 3 E [O, 1[, on désigne par F3(a30) le 
sous--ensemble de C formé par
les fonctions f qui vérifient :

|f<æ> -- f<æo>|
sup < --l--oo . oeEUR[O,l[\{oeo} [oe -- OE0[S la. Montrer que F3(a30) est un sous--espace vectoriel de C, puis que, pour tous réels 51 et 52 vérifiant O S 51 S 52 < 1, l'on a F32(oe0) C F31(oe0). Enfin, déterminer F0(oe0). lb. Soit f E C. Si f est dérivable en 550, montrer que f E F3(a30) pour tout 3 E [O, 1[. 1c. Montrer que pour tout 560 EUR [O,1[, il existe f E C non dérivable en 5130 tel que pour tout 5 EUR [O,1[, f E F3(oe0). Pour tout f E C et tout 560 E [O, 1], on pose Oéf(âî0) = SUP {5 E [O, 1l[f EUR 118(550)} - Le réel OEf(SIÏO) est appelé eæposant de Holder ponctuel de f en 5130 ; il permet de mesurer finement la régularité locale de f au voisinage du point 5170. 1 2.S°t : 01 R \/1--4 2.D't ' l' td H"ld t ld --. 01 p [ , [ --> , a: l--> [ a: [ e erm1ner exposan e 0 er ponc ue e p en 2

Pour tout f E C, on définit la fonction wf : [O, 1[ --> R+ par

Wf(h) =Sup{lf(æ) --f(y)l [way EUR l071l et la?--gl £ h}-

3a. Montrer que wf est croissante, et continue en O.

3b. Montrer que pour tous h, H E [O, 1[ tels que h S H, wf vérifie
wf(h') £ Wf(h) + Wf(h' -- h) -

3c. En déduire que wf est continue sur [O, 1[.

4a. Soit 3 E [O, 1[. On suppose que la fonction h l-->

h

w';L(S ) est bornée sur [0,1]. Pour tout

5130 E [O, 1[, montrer que f E F3(oe0).

4b. Soit q : [O, 1[ --> R définie par

77

{q(oe) : a:cos (--) pour a: > O,
56

q(O) O.

wq(h)
\/Ë

Montrer que pour tout 5130 E [O, 1], qu(aî0) : 1, mais que

ne tend pas vers 0 quand h tend

vers O.
Deuxième partie : le système de Schauder

On note 1 = {(j, lc) E N2 [j E N et O S 16 < 27}; pourj E N, on désigne par 7}- l'ensemble T,={keN[ng [O, 1[ la fonction de Co, 
définie pour tout a: E [O, 1[ par

1 _ [2j+1oe _ 2k -- 1[ si a: & [k2_--7, (k + 1)2_--7l7
j,k(aï) :

O sinon.

La famille des fonctions (9j,k)(j,k)eî est appelée le système de Schauder.

On note là,--(a:) la partie entière du réel 2jÇC, c'est donc l'unique entier 
tel que

"là,--(oe) g 235: < "%,--(a:) + 1. 5a. Montrer que pour tout j E N et tout lc EUR 7}+1, il existe un unique entier lc' EUR Î, tel que [k2--j--1, (k + 1)2--j--1[ c [k'2--j, (k' + 1)2--j] . On précisera le lien entre 1--6 et lc' . 5b. Calculer 9j,k(Æ2_j_l) pour tous j E N, lc EUR 7}, EUR EUR 7}+1. 5c. Montrer que pour tout ( j, lc) EUR I , la fonction 93--71, est continue, affine sur chaque intervalle de la forme [Æ2_n, (EUR + 1)2_"[ où n > j et EUR EUR 7},

5d. Prouver que pour tous (j, lc) EUR I et (a:,y) E [O, 1[2, on a
|9j,k<æ> -- 9j,k| £ Wlæ -- y\ .
Dans le reste de cette partie f est un élément de Cg.

Pour tout n E N, soit Sn f la fonction de Cg définie par
Snf = Z Z Cj,k(f) 9j,k ,
j=0 keTj

où, pour tout (j, lc) EUR 1, on a posé

cj,i =f((k+g)2--j) _ f +f2<2"> .

6. M t 1' ° = 0-
on rer que j_1}ranO %Ê7Ë [Cg,k(f)[

721. Pour tout (j, lc) EUR I, (i,Æ) EUR I, calculer Cj7k(9i7g).

7b. Soit dj,], une famille de réels indexée par (j, lc) EUR 1. On note bj : 
rfinaÎx [aj,k[, et on suppose
EUR j

que la série 2 b, est convergente.

Pour tout j E N, soit ff la fonction définie par

f Ï(OE) = 2 aj,k9j,k(æ) -

keTj

Montrer que la série z ff est uniformément convergente sur [0,1] vers une 
fonction noté f a, qui
appartient a Cg et qui vérifie, pour tout (j, lc) EUR I, cj,k(fa) : aj,k.

821. On suppose f de classe C 1. Montrer qu'il existe une constante M 2 0 telle 
que pour tous
(ja [EUR) EUR 17 [Cj7k(f)[ £ M2_j°

En déduire que la suite de fonction Sn f est uniformément convergente sur [O, 
1[ lorsque n
tend vers oo.

8b. On suppose f de classe C2. Montrer qu'il existe une constante M ' 2 0 telle 
que pour tous
(jvk) EUR 17 [Cj7k(f)[ £ Ml4_g°

9a. Montrer que pour tout n E N et tout EUR EUR %+1, la fonction Sn f est 
affine sur l'intervalle
[£2--n--1, (EUR + 1)2--n--1].

9b. Soit n E N. On suppose que pour tout EUR EUR %, (Sn--if)(Æ2_n) : f(Æ2_n). 
Montrer que
l'on a aussi que pour tout EUR EUR %+1, (Snf)(Æ2_n_l) : f(£2_n_l).

On pourra distinguer les cas suivant la parité de EUR.
9c. En déduire que pour tout n E N et tout EUR EUR %+1, (Snf)(Æ2_n_l) : 
f(£2_n_l).

10a. Déduire de la question 9 que pour tout f de Co, nl_lïloe llf _ Sanoe = 0.

10h. Soit n E N. Montrer que Sn est un projecteur sur Co, dont la norme 
subordonnée (à
H - Hoc) vaut 1.

1121. Soit 3 EUR ]0,1[. Montrer que si a, b 2 0, alors a.3 + 193 £ 21_3(a + b)3.

11b. Montrer que si f E F3(a30) fiCg, alors il existe un réel c1 > 0, tel que 
pour tout (j, lc) EUR 1,
on a,

\c,,k(f)\ g 01 (r?" + lk2_j -- æ0\)3 .
Troisième partie : min0ration de l'exposant de Hôlder ponctuel

L'objectif de cette partie est d'établir une forme de réciproque du résultat de 
la question
11b. Dans toute cette partie, on désigne par f E Cg une fonction vérifiant la 
propriété suivante :

(731) il existe 560 EUR [0,1], 3 EUR ]0,1[ et c1 EUR ]0, +oo[, tels que pour 
tout (j, lc) EUR I,
le,k(f)l £ c1(2----7' + vw -- OE0l)8 .
Dans tout le reste de cette partie, on fixe les 560, 3 et cl de la propriété 
731 et a: E [O, 1] \ {270}.
12. Montrer qu'il existe un unique 710 E N tel que 2_"0_1 < la: -- a:0l S 2_"0. 13. On rappelle que la notation là,--(a:) a été introduite en préambule de la deuxième partie. On pose W....-- = 2 lc;--.æ(f)l |H...<æ> -- e.,.<æo>| .

keî}

Montrer que
. N ... j+1 _
W.... £ (le,,,,(oe,l + \c,,,,.,,,l) 2 tv æo\ .
14a. Montrer que pour j £ no (no est déterminé dans la question 12), on a
Wj S 4c12(1_3)j33loe -- aîgl .

14h. En déduire que, en posant c2 : 8(21_3 -- 1)_1(3/2)8c1,

Z 2 lcj,k(f)l |9...<æ> -- e.,.<æo>| £ c.læ -- :... . .

j=0 keî}

15. Montrer que pour tout j E N, le (f)l £ 23<1_j)01. En déduire, en posant 03 = (1 -- 2--8)_12801, j,kj(oeo) +00 2 Z le,I--c(f)l l9j,k(oeo)l S CBlOE -- oeOls- j=no+l kEUR'Îj Dans la suite du problème, on suppose que M flloe : 1 et on rappelle que la fonction wf a été définie a la question 3. 16. Montrer qu'il existe un unique nl E N tel que wf(2_nl_l) < 2_"03 S wf(2_nl). 17. Montrer que pour tout n 2 nl, où nl est déterminé dans la question 16, on a Hf _ SanOO £ 28+1'oe _ oe0'8° On pourra utiliser les résultats des questions 93 et 9e. 1821. Montrer que lorsque no < nl, on a, Z Z le,k(f)l lQÿ,k(OE)l S 0133(n1 -- "O)loe -- oeOls- j=no+1 kEURTj On suppose de plus dans la suite que la fonction wf vérifie la propriété suivante : (732) pour tout entier N 2 1, il existe un réel C4(N) > 0, tel que pour tout h 
EUR ]0,1],
wf(h) £ C4(N) (1 + l10g2 hl)_N -

18h. Pour tout entier N 2 1, on pose C5(N) : 3301(04(N))1/N. Montrer que

n1--nol s C5læ -- æ0\<1--w>s .

j=no+l kEUR'Îj

19. Déduire de ce qui précède que ozf(oe0) > 3

On pourra distinguer les cas no 2 nl et no < nl.