X Maths 2 MP 2012

Thème de l'épreuve Valeurs d'adhérence de séries entières sur le cercle de convergence
Principaux outils utilisés séries entières, moyenne de Césaro, sommes d'exponentielles
Mots clefs séries entières, Césaro

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE CONCOURS D'ADMISSION 2012 MP COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ B ­ (X) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Valeurs d'adhérence de séries entières sur le cercle de convergence La notation i étant réservée (c'est un nombre complexe dont le carré est -1) les candidats éviteront de l'utiliser à d'autres fins, par exemple comme indice de suite, de sommation ou de produit. Première partie : convergence au sens de Césaro Soit (an )n>0 une suite de nombres complexes. On dit qu'elle est C-convergente si la suite (mn )n>0 définie par n > 0, mn = a0 + a1 + · · · + an n+1 est convergente et on appelle alors C-limite de (an )n>0 la limite de la suite (mn )n>0 . 1. Montrer que toute suite convergente est C-convergente et donner un exemple de suite C-convergente mais non convergente. 2. Montrer que si la suite (an )n>0 est C-convergente, alors lim n an = 0. n 3. Montrer que pour tout ]0, 1[, la suite de terme général an = (-1)n n est C-convergente. X Si (bn )n>0 est une suite de nombre complexes, on dit que la série bn est C-convergente si la suite des sommes partielles de la série est C-convergente et la C-limite de la suite des sommes partielles sera appelée C-limite de la série. Soit X cn z n une série entière de rayon de convergence R > 0. On note pour tout n > 0, Sn (z) = n X ck z k , n (z) = k=0 1 S0 (z) + S1 (z) + · · · + Sn (z) . n+1 4. Soit z0 un nombre complexe tel que la série |z0 | 6 R. X cn z0n soit C-convergente. Montrer que X Si z0 C est tel que cn z0n est C-convergente, on note (z0 ) sa C-limite. On note F l'ensemble des nombres complexes de module R pour lesquels la série est C-convergente. X 5. Pour chacune des séries entières cn z n suivantes, déterminer le rayon de convergence, l'ensemble F et la valeur de (z) pour tout z F . 5a. n N, cn = 1. 5b. n N, c2n = , c2n+1 = + , 5c. n N, cn = 1 + ein , , C, ]0, 1[, 6= 0, 2 + 6= 0. R. Deuxième partie : un théorème de Kronecker On rappelle que des nombres réels x1 , . . . , xm sont linéairement indépendants sur Q s'ils forment un système libre de R considéré comme Q-espace vectoriel. Soit Cb (R, C) le C-espace vectoriel des fonctions continues bornées de R dans C. Il est muni de la norme définie pour toute fonction f Cb (R, C) par ||f || = sup |f (x)| . xR Si R, on désigne par e Cb (R, C) la fonction définie par e (t) = eit . Soit E le sous-espace de Cb (R, C) engendré par les fonctions e , R. Z 1 x f (t) dt admet une limite lorsque x 2x -x tend vers + qu'on note M (f ). Vérifier que f 7 M (f ) est une forme linéaire continue sur E. 6a. Montrer que pour tout f E, la fonction x 7 6b. Montrer que (e )R est une base de E et que pour tout f E, M (f ) est la coordonnée de f suivant e0 dans la base des (e )R . 6c. Montrer que si f, g E alors il en est de même de f g. Dans le cas où g est à valeurs réelles positives, établir que |M (f g)| 6 ||f || M (g). 7. On pose pour tout entier N > 0, KN = N X j=-N 7a. Montrer que KN (t) = 1 + Ç |j| 1- N +1 å ej . N X 2j cos((N + 1 - j)t). N +1 j=1 7b. Montrer que pour tout t R \ 2Z, N sin( N 2+1 t) X N 1 = ei( 2 -k)t puis que KN (t) = t N +1 sin( 2 ) k=0 2 Ñ Ä N +1 2 t sin( 2t ) sin ä é2 . Dans la suite de cette partie, on fixe un entier n > 1, des nombres réels 1 , . . . , n , n+1 linéairement indépendants sur Q, des nombres réels positifs r0 , . . . , rn+1 et des nombres réels 1 , . . . , n+1 . Pour j = 1, . . . , n + 1, on pose aj = rj eij et pour tout x R, f (x) = r0 + 8. Pour tout entier N > 0, on pose gN (x) = n+1 Y n+1 X aj eij x . j=1 KN (p x + p ). p=1 8a. Écrire gN comme combinaison linéaire de fonctions e avec de la forme = k1 1 + · · · + kn+1 n+1 , ki {-N, . . . , N } . En déduire que M (gN ) = 1. 8b. Montrer que M (f gN ) = r0 + 8c. En déduire que ||f || = n+1 X X N n+1 rj . N + 1 j=1 rj , (on pourra utiliser 6c). j=0 9. Soient u1 , . . . , um des nombres complexes de module 1 et un réel strictement positif. On suppose que |u1 +· · ·+um | > m-. Montrer que si k 6= j on a |uk +uj | > 2- et |uk -uj | 6 2 . Dans la suite on suppose de plus que n+1 = 2, rj = 1 pour tout j {1, . . . , n + 1} et n+1 = 0, de sorte que f (x) = 1 + n X eij eij x + ei2x . j=1 10a. Montrer qu'il existe une suite de nombres réels (xm )mN telle que lim |f (xm )| = n+2. m+ 10b. Montrer qu'une telle suite (xm )mN vérifie pour tout j {1, . . . , n}, lim eij xm = e-ij , m+ lim ei2xm = 1 . m+ 10c. Posons xm = Nm + ym , avec ym [- 12 , 12 [ et Nm Z. Montrer que que pour tout j {1, . . . , n}, on a ij Nm lim e m+ -ij =e lim ym = 0, puis m+ . 11. Dans cette question, on considère le cas particulier où j = , pour tout j {1, . . . , n}, de sorte que f (x) = 1 - n X eij x + ei2x . j=1 11a. Montrer que sur tout intervalle fermé borné I de R, sup |f (x)| < n + 2. xI ) 11b. En déduire l'existence d'une suite (Nm mN d'entiers relatifs telle que lim Nm = ± m+ 3 et pour tout j {1, . . . , n}, lim eij Nm = -1. Que peut-on dire des suites (ei2j Nm )mN ? m+ 12. Déduire de ce qui précède le théorème suivant. Théorème de Kronecker. Soient 1 , . . . , n des réels tels que 1 , . . . , n , sont linéairement indépendants sur Q. Soient 1 , . . . , n des réels. Alors il existe une suite (Nm )mN d'entiers naturels tels que lim Nm = + et pour tout j {1, . . . , n}, lim eij Nm = eij . m+ m+ Troisième partie : valeurs d'adhérence aux points de C-convergence On rappelle que est une valeur d'adhérence de la suite (un )nN s'il existe une application strictement croissante : N N telle que = lim u(n) . n+ X Les valeurs d'adhérence d'une série sont celles de la suite de ses sommes partielles. Si cn z n est X une série entière et z0 C, on note L(z0 ) l'ensemble des valeurs d'adhérence de la série cn z0n . Dans cette partie, on étudie l'ensemble L(z0 ), z0 F , pour les exemples de la question 5. Les notations F , (z) sont celles de la première partie. x x Q. Lorsque / Q, montrer que L(eix ) est un cercle de centre (eix ) dont on déterminera le rayon. 13a. On reprend l'exemple 5a. Déterminer L(eix ), lorsque x / Q, 6= 0 et / R. Montrer que L(eix ) est réunion de deux cercles de centre (eix ) dont on déterminera les rayons. 13b. On reprend l'exemple 5b. On suppose que 13c. On reprend l'exemple 5c. On suppose que les nombres x, , sont linéairement indépendants sur Q. Montrer que pour > 0 suffisamment petit, L(eix ) = { C; | - (eix )| [r1 , r2 ]} pour des réels 0 < r1 < r2 que l'on déterminera. 4

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 X Maths B MP 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jules Svartz (ENS Cachan) ; il a été relu par Yvon Vignaud (Professeur en CPGE) et Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université). Toute série entière converge absolument à l'intérieur de son disque ouvert de convergence. Sur le bord peut apparaître chacune des situations de convergence absolue, de convergence simple ou de divergence. Le problème porte essentiellement sur des outils pour étudier la divergence de séries entières en des points de ce bord. · La première partie introduit la convergence au sens de Césaro, appelée Cconvergence, d'une suite ouP d'une série, qui est plus générale que la convergence usuelle. Une série entière cn z n est C-convergente en z0 et de C-limite si la suite des moyennes des n premières sommes partielles en z0 converge vers . Le sujet pose des questions classiques sur les suites et les séries entières. La dernière question demande une certaine technicité calculatoire pour déterminer le domaine de C-convergence sur trois exemples. · La seconde partie, indépendante de la première, propose d'établir le théorème de Kronecker qui généralise à n complexes le résultat classique suivant : si z C est de module 1 sans être une racine de l'unité, alors l'ensemble {z k | k N} est dense dans U = {z C | |z| = 1}. On y trouve de nombreuses manipulations de sommes et d'exponentielles complexes. C'est la partie la plus longue et la plus technique du problème alors qu'elle porte essentiellement sur les suites numériques. · La troisième partie reprend les trois exemples de la première partie. À l'aide du théorème de Kronecker, on détermine l'ensemble des valeurs d'adhérence des sommes partielles d'une série entière en un point de C-convergence se trouvant sur le bord du disque de convergence. Cette partie demande une grande part d'autonomie pour répondre aux questions. Indications Partie I 1 La suite (mn )nN a en fait la même limite que (an )nN . Choisir > 0 et couper la somme mn en deux parties. 2 Exprimer an en fonction de mn et de mn-1 . n P 3 L'expression ak est une somme alternée dans le sens où les termes sont k=0 alternativement positifs et négatifs. Utiliser en outre la croissance de (|ak |)kN n P pour majorer ak . k=0 4 Appliquer deux fois le résultat de la question 2. Que peut-on dire des rayons de P cn n P convergence des séries z et cn z n ? n Partie II Z 1 x 6.a Pour toute fonction f dans E, introduire la fonction x 7 f (t) dt, et se 2x -x ramener par combinaisons linéaires au cas des fonctions x 7 eix . P 6.b Pour montrer que les coefficients d'une combinaison linéaire S = a e supposée nulle sont nuls, on pourra utiliser astucieusement la forme linéaire M, en remarquant que multiplier S par une fonction e0 permet de translater les indices, puisque e e0 = e+0 . N P ia ia ia N 7.b Partir de ei( 2 -k)t et remarquer que 1 - e-ia = e- 2 (e 2 - e- 2 ). k=0 7.c Utiliser la question précédente en partant du terme de droite. 8.a Développer le produit ! 8.b Dans le produit f gN , on ne s'intéresse en fait qu'aux produits de termes colinéaires à e0 . 9 Appliquer l'identité du parallélogramme à uk et uj . 10.a Utiliser le résultat de la question 8.c. 10.b Exploiter la question 9. 10.c Montrer tout d'abord que sin(ym ) ---- 0 et utiliser ensuite la concavité de m la fonction sin sur [ 0 ; /2 ] pour conclure. 11.b L'égalité lim Nm = + - est à comprendre comme m+ lim Nm = + m+ ou lim Nm = -. m+ On pourra d'abord montrer que la suite (xm )mN n'est pas bornée, et procéder à une extraction. 12 Utiliser les deux suites construites dans les questions 10.c et 11.b. On pourra encore une fois procéder à une extraction, et s'assurer que la suite (Nm )mN ainsi construite est strictement croissante, ce qui est utile dans la partie III. Partie III 13.a Appliquer le théorème de Kronecker à la famille {x, }. 13.b Appliquer le théorème de Kronecker à la famille {x, , }. 13.c Appliquer le théorème de Kronecker à la famille {x, + x, }. I. Convergence au sens de Césaro Dans tout le corrigé, on désigne par U l'ensemble {z C | |z| = 1} des complexes de module 1. 1 Supposons (an )nN convergente de limite C. Montrons que (mn )nN converge elle aussi vers . Soient n N et > 0. L'inégalité triangulaire donne n 1 P |aj - | |mn - | 6 n + 1 j=0 Puisque (an )nN converge vers , n1 N n > n1 |an - | 6 2 Par conséquent, pour tout n > n1 |mn - | 6 6 |mn - | 6 n 1 -1 1 nP 1 P |aj - | + |aj - | n + 1 j=0 n + 1 j=n1 1 -1 1 nP 1 (n - n1 + 1) |aj - | + n + 1 j=0 n+1 2 1 -1 1 nP |aj - | + n + 1 j=0 2 1 -1 1 nP |aj - | décroît vers 0 n + 1 j=0 puisque la somme est constante par rapport à n et que 1/(n + 1) tend vers 0 en décroissant. Par suite, De plus, lorsque n tend vers +, la quantité n2 N n > n2 1 -1 1 nP |aj - | 6 n + 1 j=0 2 Prenons n0 = Max (n1 , n2 ), on a donc montré n0 N Autrement dit, n > n0 |mn - | 6 La suite (mn )nN converge vers . Cette démonstration est un classique à maîtriser. Considérons maintenant la suite (an )nN telle que an = (-1)n pour tout n. Cette suite n'est pas convergente, mais ( 1 si n est pair (n + 1) mn = a0 + · · · + an = 0 si n est impair Ainsi, mn ---- 0. n La suite ((-1)n )nN est C-convergente mais n'est pas convergente. 2 Remarquons que pour tout n supérieur ou égal à 1, an n = mn - mn-1 n+1 n+1 an n+1 n = mn - mn-1 et donc n n n+1 Si (an )nN est C-convergente vers , les deux suites (mn )nN et (mn-1 )nN ont même n n+1 limite . De plus, ---- 1 et ---- 1 donc n n + 1 n n an =0 n lim n+ 3 Remarquons que la suite (an )nN proposée a ses termes alternativement positifs ( R+ - R+ et négatifs. De plus, pour tout > 0, la fonction f : est strictement x 7- x croissante. Soit n N. · Si n = 2p est pair, on a, d'une part, 2p P ak = k=0 donc 2p P p-1 P (a2k + a2k+1 ) + an = p-1 P (f (2k) - f (2k + 1)) +an {z } k=0 | k=0 ak 6 an . D'autre part, 60 car f croissante k=0 2p P k=0 ak = a0 + p-1 P (a2k+1 + a2k+2 ) = p-1 P (-f (2k + 1) + f (2k + 2)) > 0 {z } k=0 | k=0 Par conséquent, si n est pair, 0 6 n P >0 car f croissante ak 6 n k=0 · Si n = 2p + 1 est impair, écrivons 2p+1 P ak = k=0 06 2p P 2p P ak + a2p+1 . D'après le cas pair, k=0 ak 6 (n - 1) k=0 donc -n = 0 + a2p+1 6 2p+1 P ak 6 (n - 1) - n 6 0 k=0 Ainsi, si n est impair, -n 6 n P ak 6 0 k=0 Par suite, pour toutes les valeurs de n, paires ou impaires, |mn | 6 n 1 6 1- ---- 0 n n+1 n car ] 0 ; 1 [ La suite de terme général an = (-1)n n est C-convergente de C-limite 0.