X Maths 2 MP 2010

Thème de l'épreuve Sur les sous-groupes finis de GL2(C)
Principaux outils utilisés calcul matriciel, réduction des endomorphismes, groupes
Mots clefs algèbre générale, algèbre linéaire

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2010 DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Sur les sous-groupes finis de GL2 (C) Le but de ce problème est de caractériser les sous-groupes finis de GL2 (C) ne contenant pas d'homothétie autre que l'identité. Notations et conventions Soit G un groupe fini (noté multiplicativement) de cardinal |G|. On note 1G l'unité de G. On rappelle que tout élément g de G vérifie g|G| = 1G et on admet que si p est un nombre premier qui divise |G|, alors il existe g G \ {1G } tel que gp = 1G . Si E est un C-espace vectoriel de dimension finie, on note GL(E) le groupe des endomorphismes inversibles de E et IdE l'identité de E. Si un endomorphisme de E, on note Tr() la trace de et det() son déterminant. Si G est un sous-groupe fini de GL(E), et V un sous-espace vectoriel de E, on note V G l'ensemble des vecteurs fixés par G : V G = {v V | g G, g(v) = v}. On dit que V est stable par G si quels que soient g G, v V , on a g(v) V et on dit que E est irréductible pour G si ses seuls sous-espaces stables par G sont E et {0}. On note Mn (C) l'espace des matrices carrées de taille n à coefficients complexes et GLn (C) le groupe des matrices inversibles dans Mn (C). On note Dn le sous-groupe de GL2 (C) à 2n éléments formé des matrices Ç ck 0 0 c-k å et 0 -ck , où k est un entier compris entre 0 et n - 1 et c = e2i/n (on ne demande pas de -k -c 0 vérifier que Dn est un groupe). Ç å I ­ Sous-groupes finis de GL(E) 1. Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie et soit G un sous-groupe fini de GL(E). Démontrer que, pour tout g G, g est diagonalisable et que, si G est commutatif, tous les éléments de G sont diagonalisables dans une même base. 1 II ­ Isométries du triangle 2. On se place dans le plan euclidien, muni d'un repère orthonormé centré en O. On s'inté<3 des isométries du plan qui préservent un triangle équilatéral ABC de resse au sous-groupe D centre O. <3 et démontrer que D <3 est de cardinal 6. 2a. Faire l'inventaire des éléments de D - - <3 2b. En se plaçant dans la base (non orthonormée) (OA, OB), que le groupe D Ç démontrer å a b est isomorphe à un sous-groupe de GL2 (C) formé de matrices où a, b, c, d sont dans c d {-1, 0, 1}. 2c. Diagonaliser dans C la matrice Ç groupe D3 . å 0 -1 <3 est isomorphe au . En déduire que le groupe D 1 -1 III ­ Lemme de Schur Notons A = Mn (C) et E = Cn . Notons In la matrice identité de Mn (C). On appelle homothétie une matrice de la forme In , C. Soit G un sous-groupe fini de GLn (C). Pour tout B G, on note i(B) l'application : i(B) : ( A - A M 7 BM B -1 . 3. Montrer que i : B 7 i(B) est un morphisme de groupes de G dans GL(A), et que i est injectif si et seulement si G ne contient pas d'homothéties autres que l'identité. e < l'image par i de G et AG On note G l'ensemble des matrices M A telles que i(B)(M ) = M pour tout B dans G. 4. Soit M AGe . Démontrer que Ker(M ) et Im (M ) sont des sous-espaces stables par G. 5. On suppose que E est irréductible pour G. Soit M AGe , démontrer que M est soit nulle, soit inversible. En déduire que AGe est de dimension 1. 6. Soient M, N A. On considère l'endomorphisme de A suivant, : X 7 M XN . Démontrer que Tr() = Tr(M ) Tr(N ). 7. Soit P = 1 X B. |G| BG 7a. Démontrer que P 2 = P . En déduire que P est diagonalisable. 7b. Démontrer que Im (P ) = E G et en déduire que dim(E G ) = e 8. Démontrer que dim(AG ) = 1 X Tr(B -1 ) Tr(B). |G| BG (On pourra considérer d'abord le cas où i est injectif.) 2 1 X Tr (B). |G| BG On suppose, jusqu'à la fin de cette partie, que E est irréductible pour G. 9a. Soit X dans A une matrice qui commute avec toutes les matrices de G. Démontrer que 1 X = Tr(X)In . n 9b. Soit Y = X Tr(B -1 )B. Démontrer que Y = BG |G| In . n 10. On garde la notation Y jusqu'à la fin de cette partie. Soit = e2i/|G| . On note ZG = {a0 0 + a1 1 + · · · + a|G|-1 |G|-1 , ai Z} et ZG [G] les combinaisons linéaires, à coefficients dans ZG , de matrices de G. 10a. Démontrer que pour tout B G, Tr(B) est dans ZG , puis que Y est dans ZG [G]. 10b. On note (Ck )1k|G|2 les |G|2 matrices i B (où 1 i |G| et B G) de ZG [G]. Démontrer que pour tous 1 k |G|2 , on peut trouver des coefficients (aij )1i,j|G|2 dans Z X tels que Y Ck = ak C . 1|G|2 10c. On pose A = (aij )1i,j|G|2 et R = |G| I 2 - A. Démontrer que det(R) = 0. n |G| |G| est racine d'un polynôme à coefficients dans Z de degré |G|2 et de n terme dominant égal à 1. En déduire que n divise |G|. 10d. Démontrer que IV - Une caractérisation de Dn , n impair Soit G un sous-groupe fini de GL2 (C). Notons h. , .i le produit scalaire hermitien usuel sur C2 , et posons pour tout v, w C2 1 X hv, wi0 = hB(v), B(w)i. |G| BG 11a. Montrer que h. , .i0 est un produit scalaire hermitien sur C2 , vérifiant quels que soient v, w C2 et B G, hB(v), B(w)i0 = hv, wi0 . 11b. Démontrer que si C2 n'est pas irréductible pour G, il existe une base orthogonale de pour le produit scalaire hermitien h. , .i0 qui diagonalise les matrices de G. En déduire que G est commutatif. C2 12a. On note SL2 (C) le sous-groupe de GL2 (C) des matrices de déterminant 1. Quels sont les matrices B SL2 (C) telles que B 2 = I2 ? 12b. Démontrer que si G SL2 (C) est non commutatif, alors |G| est pair. En déduire que -I2 G. (Utiliser les rappels du préambule.) On suppose par la suite que G est un sous groupe fini de GL2 (C) ne contenant aucune homothétie autre que l'identité. On note G0 = G SL2 (C) 13a. Démontrer que G0 est commutatif. En déduire qu'il existe P dans GL2 (C) et un sous3 groupe 0 de GL2 (C) formé de matrices diagonales de la forme Ç 0 0 -1 å tels que B 7 P BP -1 soit un isomorphisme de G0 sur 0 . 13b. Démontrer qu'il existe un entier m tel que 0 soit le groupe Zm des matrices Ç ck 0 0 c-k å où c = e2i/m et k prend les valeurs de 0 à m - 1. 13c. Si G0 = {I2 } démontrer qu'alors G est commutatif (considérer le morphisme de groupe det : G C ). On suppose dans les questions 14 et 15 que G n'est pas commutatif et que G0 est exactement le groupe Zm . 14. Soit B0 une matrice dans G qui n'est pas diagonale. -1 14a. Démontrer Ç å que pour tout C Zm on a B0 CB0 Zm . En déduire que B0 est de la 0 b forme B0 = avec b, b C. b 0 14b. Calculer B02 et en déduire que b = b-1 . 14c. Montrer qu'il existe Q GL2 (C) diagonale telle que QB0 Q-1 = Ç å 0 -1 . -1 0 15a. Soit B une matrice diagonale dans G. Montrer que B Zm . 15b. Montrer que B 7 QBQ-1 est un isomorphisme de G sur le groupe Dm . 16. Soit G un sous-groupe fini commutatif de GL2 (C) qui ne contient pas d'homothétie autre que l'identité. 16a. Montrer qu'il existe une matrice P GL2 (C)Çet deux morphismes de groupes å 1 (B) 0 1 , 2 : G C tels que toute matrice de G s'écrive B = P P -1 . 0 2 (B) 16b. Montrer que B 7 1 (B)2 (B)-1 est un isomorphisme de G dans le groupe des racines |G|-ièmes de l'unité. ck 0 16c. Montrer que G est le groupe des matrices de la forme P P -1 , k variant de 0 0 dk à |G| - 1, où l'on a posé c = e2ip/|G| et d = e2iq/|G| , p et q étant deux entiers tels que p - q est premier avec |G|. Ç å 17. Décrire à partir des questions précédentes tous les sous-groupes finis de GL2 (C) ne contenant pas d'homothétie autre que l'identité. 18. Montrer que le groupe fini commutatif Z/2Z × Z/2Z × Z/2Z ne peut pas être isomorphe à un sous-groupe de GL2 (C). 4

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 X Maths 2 MP 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jérôme Gärtner (ENS Cachan) ; il a été relu par Romain Cosset (ENS Cachan) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE). Ce sujet d'algèbre générale et linéaire aborde le problème des représentations linéaires de groupes finis, ainsi que la classification des sous-groupes finis de GL2 (C). Il est composé de quatre parties : les deux premières sont plutôt courtes -- la première partie ne comporte qu'une question -- tandis que les deux suivantes représentent le coeur du problème. · La première partie s'intéresse à la réduction des matrices appartenant à un sous-groupe fini de GL2 (C). · La deuxième consiste en une rapide étude du groupe diédral d'ordre 3, qui est le groupe des isométries vectorielles planes conservant un triangle équilatéral. · La troisième partie aborde un cas particulier de représentation linéaire de groupes finis, principalement du point de vue des vecteurs invariants sous un groupe et de l'algèbre de groupe, qui est un outil formel introduit à la question 10. Cette partie fait intervenir beaucoup de notations. · La dernière partie vise à classer les sous-groupes finis de GL2 (C) ne contenant pas d'homothétie non-triviale. La dernière question consiste en une application rapide de cette classification. Cette partie demande un bon esprit de synthèse. Ce sujet est long et varié : on y trouve des questions classiques (notamment 1, 2, 7 et 11), astucieuses ou de synthèse (8, 10, 13, 15), calculatoires (3, 6) et même des questions assez faciles (14 et 16). Sa difficulté provient pour l'essentiel du thème choisi, qui nécessite l'introduction de définitions dans le sujet et un bon recul sur le programme pour l'aborder. En le travaillant, vous musclerez votre capacité d'abstraction et vous vous entraînerez efficacement à réutiliser des questions déjà traitées. Indications 1 Chercher un polynôme annulateur à l'aide des rappels de l'énoncé, puis raisonner par récurrence sur la dimension de E. e 3 sur les sommets du triangle. 2.a Étudier l'action des éléments de D 3 Utiliser les matrices élémentaires pour montrer que les seules matrices qui commutent avec toutes les autres sont les homothéties. e 5 Montrer que toutes les matrices de AG s'écrivent In pour C. 6 Utiliser la base canonique (Ep,q )p,q de A et calculer la composante suivant le vecteur Ep,q de MEp,q N. 7.a Remarquer que si C G, l'application B 7 BC est une bijection de G. 7.b Pour un projecteur d'un C-espace vectoriel, le rang est égal à la trace. e et à l'espace A. Pour le cas où i est 8 Appliquer ce qui précède au groupe G non-injectif, regrouper les éléments de G selon leur image par i : ces éléments ne différent que par un élément du noyau de i. e 9.a Montrer que X AG . 9.b Utiliser la question 9.a et le fait que P Tr i(B) = Tr Y. BG t 10.c Construire un vecteur propre de A, en isolant un terme dans l'égalité matricielle, qui découle des questions 10.b et 9.b, pour montrer que det( t R) = 0. 10.d Utiliser la caractérisation des racines rationnelles d'un polynôme à coefficients n P entiers : si ak Xk est un polynôme à coefficients entiers et p/q une racine de k=0 ce polynôme, alors p divise a0 et q divise an . 11.b 12.a 12.b 13.a 13.c 14.a 15.a 15.b 16.a 16.b 16.c 17 18 Utiliser l'orthogonal pour le produit h | i0 . Ces matrices sont diagonalisables... Appliquer le résultat de la question 10.d. Utiliser le résultat de la question 1. Un groupe isomorphe à un sous-groupe d'un groupe commutatif est lui-même commutatif. Calculer le déterminant de B0 CB0 -1 , puis identifier les coefficients de ce produit. Conjuguer la matrice B par la matrice B0 de la question 14 et utiliser l'absence d'homothéties non triviales dans le groupe G. Distinguer l'action du morphisme sur les matrices diagonales à l'aide de la question 15.a et sur les matrices non diagonales à l'aide de la question 14. Utiliser les valeurs propres. Calculer le noyau de et utiliser le résultat de la question 1. Utiliser l'isomorphisme et le fait que le groupe des racines |G|-ièmes de l'unité est cyclique. Distinguer suivant le caractère commutatif ou non de G et utiliser les résultats des questions 15 et 16. Commencer par montrer qu'un sous-groupe répondant à la question ne contient pas d'homothétie différente de l'identité, puis remarquer qu'un tel groupe est commutatif. Enfin, utiliser le résultat de la question 17. I. Sous-groupes finis de GL(E) Soit G un groupe de cardinal fini ps m avec p et m premiers entre eux. Le premier rappel de l'énoncé est un cas particulier dû à Cauchy du premier théorème de Sylow. Les trois théorèmes de Sylow s'énoncent ainsi : · Il existe un sous-groupe H de G de cardinal ps . Un tel sous-groupe s'appelle un p-Sylow. On peut en déduire que pour tout k 6 s, il existe un sous-groupe de G de cardinal pk . · Si H et K sont des sous-groupes de G de cardinal ps , alors il existe g G tel que K = gHg -1 . · Le nombre np de p-Sylow vérifie les conditions suivantes : np | m et np 1 mod p Ces théorèmes constituent une réciproque partielle au théorème de Lagrange, qui affirme que l'ordre d'un sous-groupe H de G est un diviseur de |G|. Ils sont fondamentaux en théorie des groupes et n'apparaissent pas au programme des classes préparatoires. Le lecteur intéressé pourra se reporter au livre de Daniel Perrin, Cours d'algèbre chez Ellipses. 1 Soit g G un élément quelconque. L'énoncé rappelle que g |G| = 1G , c'est-à-dire que le polynôme X|G| - 1 C[X] annule g. Ce polynôme est scindé à racines simples dans C, les e2ik/|G| pour k [[ 0 ; |G| - 1 ]]. Ainsi, g est diagonalisable. Supposons que G est commutatif. D'après le raisonnement ci-dessus, tout g G est diagonalisable. Nous allons montrer par récurrence et pour tout n N la propriété suivante : P(n) : Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie n, et (fi )iI une famille d'endomorphismes diagonalisables de E, qui commutent deux à deux. Alors, il existe une base de E qui diagonalise tous les fi , i I. · P(0) : Si E est un C-espace vectoriel de dimension 0, alors E = {0} et le seul endomorphisme de E est l'endomorphisme nul. · P(n) = P(n + 1) : Soit n N. Supposons que P(k) est vraie pour tout entier k 6 n. Soit E un C-espace vectoriel de dimension n + 1 et (fi )iI une famille d'endomorphismes diagonalisables de E, qui commutent deux à deux. Les endomorphismes fi sont donc annulés chacun par un polynôme Pi , scindé à racines simples dans C. S'il existe pour tout i I un C tel que fi = IdE , alors toute base de E diagonalise tous les fi . Supposons que l'on n'est pas dans ce cas. Soit alors i0 I, tel que fi0 ne s'écrit pas IdE . Notons E1 , . . . , Ep les espaces propres associés à fi0 ; p > 2 par hypothèse. Comme fi0 est diagonalisable, l'espace E se décompose en Lp E = j=1 Ej Soit i I, i 6= i0 et j [[ 1 ; p ]]. Comme fi et fi0 commutent, on sait d'après le cours, que Ej est stable par fi : x Ej fi (x) Ej On peut considérer l'endomorphisme fij de Ej induit par fi et ce, pour tout indice i I. La famille (fij )iI est constituée d'endomorphismes de Ej , qui commutent deux à deux et qui sont diagonalisables, car fij est encore annulé par le polynôme Pi scindé à racines simples. Par hypothèse, l'espace Ej est de dimension inférieure à n. D'après l'hypothèse de récurrence, il existe donc une base Bj de Ej , qui diagonalise les fij , i I. En construisant une telle base Bj pour tout j [[ 1 ; p ]], on en déduit que la famille constituée des vecteurs des Bj mis bout à bout B = B1 · · · Bp constitue une base de E, qui diagonalise tous les fi , i I. · Conclusion : n > 0 P(n) Tous les éléments de G sont diagonalisables dans une même base. II. Isométries du triangle e 3 est un sous-groupe du groupe des isométries 2.a Remarquons tout d'abord que D e 3 . Soit f une du plan euclidien. Commençons par majorer le nombre d'éléments de D isométrie du plan qui conserve le triangle ABC. Par définition, f fixe le point O, qui est aussi le centre du triangle. Notons la longueur commune OA, OB, OC. Les seuls points du triangle ABC à distance de O sont les points A, B et C. Comme f conserve les longueurs, f induit une permutation des trois points A, B e 3 est d'ordre au plus 6. et C. Ceci montre que D L'énoncé précise que l'on se place dans le plan euclidien. Si le cadre avait été affine, on pouvait aussi adopter la démonstration suivante : soit x la longueur du côté du triangle ABC. Alors (A, B), (A, C) et (B, C) sont les seuls couples de points du triangle à distance x. Par conservation des distances, f induit une permutation des points A, B et C. D'après le cours, on sait que les isométries du plan euclidien sont soit des rotations, soit des réflexions. Cherchons parmi ces transformations des isométries qui conservent le triangle ABC. On a · L'identité. · Les rotations (de centre O) et d'angle 2/3 et 4/3. Ces rotations correspondent A B C A B C aux permutations et . B C A C A B