X Maths 2 MP 2009

Thème de l'épreuve Endomorphismes en dimension infinie
Principaux outils utilisés réduction, séries de nombres complexes, séries de Fourier
Mots clefs Noyau, Image, Eléments propres, diagonalisation, trigonalisation

Corrigé

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

MP

CONCOURS D'ADMISSION 2009

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension infinie
Première partie
Pour tout nombreÇréel , åon désigne par T l'endomorphisme de l'espace vectoriel 
C2 repré0 1
dans la base naturelle de C2 notée (e1 , e2 ).
senté par la matrice
-1 
1. Construire une base (f,1 , f,2 ) de C2 telle que chacun des f,i ait une 
composante sur e1
égale à 1 et, en outre, ayant les propriétés suivantes :
1.a) Si || > 2, il existe un réel µ de module > 1 tel que
T f,1 = µ f,1

T f,2 = µ-1
 f,2 .

,

1.b) Si || < 2, on a une formule analogue, mais où µ est un nombre complexe de module 1 et de partie imaginaire > 0, que l'on précisera.
1.c) Si  = 2, on a
T2 f2,1 = f2,1

,

T2 f2,2 = f2,1 + f2,2 .

T-2 f-2,1 = -f-2,1

,

T-2 f-2,2 = f-2,1 - f-2,2 .

1.d) Si  = -2, on a

Deuxième partie
On désigne par E l'espace vectoriel des suites de nombres complexes x = (xk )kZ 
et par A
l'endomorphisme de E défini par
x  E, k  Z ,

(Ax)k = xk-1 + xk+1 .

1

On s'intéresse au noyau de l'endomorphisme A -  idE où  est un nombre réel.
2.a) Vérifier qu'un élément x de E appartient à Ker (A -  idE ) si et seulement 
si l'on a
k  Z ,

Ç

xk
xk+1

å

=

Tk

Ç

x0
x1

å

.

2.b) Préciser la dimension de Ker (A -  idE ).
3. On suppose x  Ker (A
Ç -å idE ) et on note ,1 et ,2 les composantes, dans la base
x0
(f,1 , f,2 ) de C2 , du vecteur
. Démontrer les assertions suivantes :
x1
3.a) Si || 6= 2, on a
xk = µk ,1 + µ-k
 ,2 .
3.b) Si  = 2, on a
xk = 2,1 + (k + 1)2,2 .
3.c) Si  = -2, on a
xk = (-1)k (-2,1 + (1 - k)-2,2 ) .
4. On fixe un entier N > 2 et on désigne par PN l'ensemble des x de E tels que 
l'on ait
xk+N = xk pour tout k  Z.
Dire pour quelles valeurs de  le sous-espace Ker(A -  idE )  PN n'est pas 
réduit à {0} et,
dans ce cas, en donner une base.

Troisième partie
On définit deux sous-espaces vectoriels de E de la façon suivante :
· E1 est l'ensemble des éléments x de E tels que

P

|xk | < + et on le munit de la norme kZ kxk1 = X |xk | . kZ · E est l'ensemble des éléments u de E tels que sup |uk | < + et on le munit de la norme kZ kuk = sup |uk | . kZ 5. Étant donnés x  E1 et u  E , on pose hx, ui = X xk uk . kZ Vérifier que, pour tout u  E (resp. tout x  E1 ), l'application x 7 hx, ui (resp. u 7 hx, ui) est une forme linéaire continue sur E1 (resp. sur E ) dont on précisera la norme. 2 6. Montrer que l'on a A(E1 )  E1 , A(E )  E . Montrer que les endomorphismes A1 et A induits par A respectivement sur E1 et E sont continus et de norme 2. 7. Démontrer les assertions suivantes : 7.a) Pour tout entier n > 0, tout k  Z et tout x  E on a
n

(A x)k =

n
X

Ç å

n
p

p=0

et

X

|(An x)k | 6 2n

kZ

xk-n+2p

X

|xk | .

kZ

7.b) Si || > 2, pour tout x  E1 , la formule
B x =

X

-n An1 x

n>0

a un sens et définit un endomorphisme bijectif B de E1 dont on précisera 
l'inverse.
8. Soit  un nombre réel.
8.a) Déterminer Ker(A1 -  idE1 ).
8.b) Déterminer Ker(A -  idE ).
9. Dire pour quelles valeurs de  le sous-espace image de A1 -  idE1 est une 
partie dense
de E1 .
[On pourra évaluer hx, ui pour x  Im(A1 -  idE1 ) et u  Ker(A -  idE ).]

Quatrième partie
Pour tout élément x de E1 on définit comme suit une fonction x d'une variable 
réelle,
continue, de période 2 :
X
x (t) =
xk eikt .
10. Calculer

Z 2
0

kZ

x (t)e-int dt, pour n  Z.

11. Calculer A1 x (t).
12. Calculer B x (t) pour || > 2.
13. Donner une nouvelle démonstration de la question 8.a).

3

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths 2 MP 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet est loin d'être le plus passionnant de l'année 2009. Il consiste à 
étudier
les éléments propres d'un endomorphisme opérant sur un espace de dimension 
infinie
ainsi que ceux de certains endomorphismes induits sur des sous-espaces stables.
· La première partie porte sur l'algèbre linéaire. L'objectif est simplement de
trouver une base de diagonalisation ou de trigonalisation d'une matrice carrée
d'ordre 2. Elle est tout à fait abordable mais il y faut distinguer quatre cas.
Cette distinction doit être refaite quasi systématiquement dans toute la suite.
· Dans la seconde partie, on définit un endomorphisme sur les suites complexes
indexées par Z, puis on s'attaque à la recherche des éléments propres de ce
dernier. Il n'y a pas de réelle difficulté, à l'exception de la dernière 
question.
· La troisième partie introduit deux sous-espaces stables de l'endomorphisme de
la partie précédente. On reprend alors la recherche d'éléments propres, cette
fois pour les endomophismes induits.
· Enfin la dernière partie, indépendante des précédentes, fait une brève 
incursion
dans les séries de Fourier. On y redémontre un résultat de la partie précédente
à l'aide d'une technique complètement différente.
D'un point de vue mathématique, la démarche n'a que très peu d'intérêt : les
résultats obtenus n'ont pas de réelle utilité et ne sont pas spécialement 
généralisables
à une classe plus vaste d'endomorphismes. Seules quelques questions sont un peu
techniques et constituent finalement les seuls moments agréables du sujet.
Pour conclure, ce problème est à conseiller principalement aux élèves souhaitant
se préparer à l'X et s'exercer sur des questions rendues délicates par le 
nombre de
cas à traiter.

Indications
1 Remarquer qu'il s'agit simplement de diagonaliser ou trigonaliser la matrice 
T .
Utiliser alors les techniques classiques de réduction.

xp
xp-1
2.a Etablir une relation de récurrence entre les vecteurs
et
.
xp+1
xp
2.b Justifier que l'application suivante est un isomorphisme d'espaces 
vectoriels :
(
Ker (A - idE ) - C2
:
x
7- (x0 , x1 )

xk
3 Exprimer pour tout k  Z le vecteur
en fonction des vecteurs f,1 et f,2 .
xk+1
4 Remarquer qu'une suite périodique est nécessairement bornée et utiliser les 
résultats de la question 3.
5 Établir pour tout (x, u)  E1 × E l'inégalité |hx | ui| 6 kxk1 · kuk .

7.a Pour l'égalité, raisonner par récurrence sur n. La preuve est très 
similaire à celle
de la formule de Leibnitz (dérivée n-ième d'un produit de fonction).
X
7.b Justifier que la série
-n A1 n x est absolument convergente dans E1 .
nN

8.a Remarquer qu'un élément de Ker (A1 - idE1 ) est un élément de Ker (A - idE )
borné et de limite nulle en +.
8.b Même technique qu'à la question précédente en recherchant cette fois 
uniquement
les éléments bornés de Ker (A - idE ).

9 Montrer que la quantité hx | ui est nulle pour tout élément x de Im (A1 - 
idE1 )
et tout élément u de Ker (A - idE ).
Utiliser ensuite la continuité d'une application continue sur un ensemble dense
pour prouver que Ker (A - idE ) est réduit au singleton {0}.

10 Effectuer une interversion série-intégrale.

11 Utiliser successivement une séparation de somme, deux changements d'indices 
et
enfin les formules d'Euler.
12 Calculer B,n x où B,n est la n-ième somme partielle de la série définissant B
puis faire tendre n vers +. On pourra utiliser la linéarité et la continuité
de x 7- x .
13 Justifier que si x est un élément de Ker (A1 -idE1 ), alors x est la 
fonction nulle.

Première partie

Dans tout le corrigé, T désignera par abus de langage à la fois l'endomorphisme 
introduit par l'énoncé et sa matrice respectivement à la base canonique de C2 . 
Cet abus est d'ailleurs implicitement réalisé par l'auteur de
l'énoncé lorsqu'il écrit T f,1 comme un produit au lieu de noter T (f,1 ).
1 L'objectif de ces quatre premières questions est simplement d'exhiber une 
base de
diagonalisation ou de trigonalisation de la matrice T . Commençons donc par 
faire les
préliminaires classiques pour ce genre de travail. Le polynôme caractéristique 
de T
est donné par

-X
1
T (X) = det
= X2 - X + 1
-1  - X
Son discriminant vaut alors

 = 2 - 4

On peut ainsi distinguer les quatre cas suivants :
· Si || > 2, alors T a deux racines réelles distinctes, qui sont donc les deux
valeurs propres de T . Puisque det T = 1, elles sont également inverses l'une
de l'autre.
· Si || < 2, T a cette fois deux racines complexes conjuguées, qui sont les deux valeurs propres de T . L'égalité det T = 1 assure ici qu'elles sont de module 1. · Enfin si  = 2 (resp. si  = -2), alors T admet 1 (resp. -1) pour unique valeur propre. Comme cette matrice n'est pas égale à I2 (resp. -I2 ), elle n'est pas diagonalisable. Passons maintenant à ce que demande précisément l'énoncé. 1.a Le réel  étant de valeur absolue strictement supérieure à 2, l'étude précédente montre que les deux racines du polynôme T sont réelles et inverses l'une de l'autre. Une résolution rapide de l'équation du second degré T (X) = 0 donne précisément les valeurs suivantes ! ! r r 1 1 1 1 1 1 -1 + - et µ = - - µ = 2 4 2 2 4 2 Pour trouver le premier vecteur f,1 , il suffit de déterminer le noyau de T - µ I2 . Soit X = t (, ) un élément de C2 . En remarquant que  - µ = µ -1 , il vient -µ 1 (T - µ I2 )X = 0 = 0   =  µ -1 µ -1 Le vecteur f,1 = t (1, µ ) est par conséquent un vecteur qui convient. De la même manière, on prouve que le vecteur f,2 = t (1, µ -1 ) est également un vecteur propre associé à la valeur propre µ -1 et dont la composante suivant e1 est égale à 1. Ces deux vecteurs étant deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, ils forment une base de R2 . ! r 1 1 1 1 Si || > 2, en posant µ = 
+
- 2
puis f,1 =
µ
2
4 

1
et f,2 =
, on a bien |µ | > 1 et les relations
µ -1
et

T f,1 = µ f,1

T f,2 = µ -1 f,2

Les notations de la valeur µ et de son inverse peuvent paraître curieuses.
On serait plutôt tenté en effet de noter

1
1
et
 + 2 - 4
 - 2 - 4
2
2
les deux racines du polynôme caractéristique. Cette notation n'est cependant
pas très pratique car, suivant le signe de , µ correspondra tantôt à la
quantité de gauche, tantôt à celle de droite. La notation précédente a le
mérite de ne pas nécessiter cette distinction de cas.
1.b Cette fois, les racines du polynôme T sont complexes conjuguées et de 
module 1. Précisément, on trouve dans ce cas

1
1
 + i 4 - 2
et
µ =
 - i 4 - 2
µ =
2
2
La recherche des vecteurs propres reste similaire et amène aux mêmes expressions
de f,1 et f,2 en fonction de µ et µ -1 = µ . Ils forment une base de R2 pour les
mêmes raisons qu'à la question 1.a.

Si || < 2, il suffit de poser µ =  + i 4 - 2 /2 et de conserver les expressions de f,1 et f,2 de la question 1.a pour satisfaire les conditions de l'énoncé. 1.c Si  = 2, le réel 1 est la seule valeur propre de T2 et les expressions précédente donnent f2,1 = t (1, 1) comme vecteur propre associé. Pour trouver le vecteur f2,2 , considérons un réel  quelconque et posons f2,2 = t (1, ). On constate que 0 1 1 2 T2 f2,2 = = et f2,1 + f2,2 = -1 2 2 - 1 1+ La condition T2 f2,2 = f2,1 + f2,2 est alors satisfaite si et seulement si on a = 2. Les deux vecteurs f2,1 et f2,2 ainsi choisis n'étant pas colinéaires, ils forment une base de R2 . 1 1 Les vecteurs f2,1 = et f2,2 = satisfont les conditions 1 2 T2 f2,1 = f2,1 et T2 f2,2 = f2,1 + f2,2 1.d Pour ce dernier cas, l'unique valeur propre -1 de T-2 admet f-2,1 = t (1, -1) comme vecteur propre associé. Cherchons à nouveau le vecteur f-2,2 sous la forme t (1, ) où  est un réel à déterminer. Cette fois, 0 1 1 0 T-2 f-2,2 = = et f2,1 - f2,2 = -1 -2 -2 - 1 -1 -