X Maths 2 MP 2009

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2009 DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension infinie Première partie Pour tout nombreÇréel , åon désigne par T l'endomorphisme de l'espace vectoriel C2 repré0 1 dans la base naturelle de C2 notée (e1 , e2 ). senté par la matrice -1 1. Construire une base (f,1 , f,2 ) de C2 telle que chacun des f,i ait une composante sur e1 égale à 1 et, en outre, ayant les propriétés suivantes : 1.a) Si || > 2, il existe un réel µ de module > 1 tel que T f,1 = µ f,1 T f,2 = µ-1 f,2 . , 1.b) Si || < 2, on a une formule analogue, mais où µ est un nombre complexe de module 1 et de partie imaginaire > 0, que l'on précisera. 1.c) Si = 2, on a T2 f2,1 = f2,1 , T2 f2,2 = f2,1 + f2,2 . T-2 f-2,1 = -f-2,1 , T-2 f-2,2 = f-2,1 - f-2,2 . 1.d) Si = -2, on a Deuxième partie On désigne par E l'espace vectoriel des suites de nombres complexes x = (xk )kZ et par A l'endomorphisme de E défini par x E, k Z , (Ax)k = xk-1 + xk+1 . 1 On s'intéresse au noyau de l'endomorphisme A - idE où est un nombre réel. 2.a) Vérifier qu'un élément x de E appartient à Ker (A - idE ) si et seulement si l'on a k Z , Ç xk xk+1 å = Tk Ç x0 x1 å . 2.b) Préciser la dimension de Ker (A - idE ). 3. On suppose x Ker (A Ç -å idE ) et on note ,1 et ,2 les composantes, dans la base x0 (f,1 , f,2 ) de C2 , du vecteur . Démontrer les assertions suivantes : x1 3.a) Si || 6= 2, on a xk = µk ,1 + µ-k ,2 . 3.b) Si = 2, on a xk = 2,1 + (k + 1)2,2 . 3.c) Si = -2, on a xk = (-1)k (-2,1 + (1 - k)-2,2 ) . 4. On fixe un entier N > 2 et on désigne par PN l'ensemble des x de E tels que l'on ait xk+N = xk pour tout k Z. Dire pour quelles valeurs de le sous-espace Ker(A - idE ) PN n'est pas réduit à {0} et, dans ce cas, en donner une base. Troisième partie On définit deux sous-espaces vectoriels de E de la façon suivante : · E1 est l'ensemble des éléments x de E tels que P |xk | < + et on le munit de la norme kZ kxk1 = X |xk | . kZ · E est l'ensemble des éléments u de E tels que sup |uk | < + et on le munit de la norme kZ kuk = sup |uk | . kZ 5. Étant donnés x E1 et u E , on pose hx, ui = X xk uk . kZ Vérifier que, pour tout u E (resp. tout x E1 ), l'application x 7 hx, ui (resp. u 7 hx, ui) est une forme linéaire continue sur E1 (resp. sur E ) dont on précisera la norme. 2 6. Montrer que l'on a A(E1 ) E1 , A(E ) E . Montrer que les endomorphismes A1 et A induits par A respectivement sur E1 et E sont continus et de norme 2. 7. Démontrer les assertions suivantes : 7.a) Pour tout entier n > 0, tout k Z et tout x E on a n (A x)k = n X Ç å n p p=0 et X |(An x)k | 6 2n kZ xk-n+2p X |xk | . kZ 7.b) Si || > 2, pour tout x E1 , la formule B x = X -n An1 x n>0 a un sens et définit un endomorphisme bijectif B de E1 dont on précisera l'inverse. 8. Soit un nombre réel. 8.a) Déterminer Ker(A1 - idE1 ). 8.b) Déterminer Ker(A - idE ). 9. Dire pour quelles valeurs de le sous-espace image de A1 - idE1 est une partie dense de E1 . [On pourra évaluer hx, ui pour x Im(A1 - idE1 ) et u Ker(A - idE ).] Quatrième partie Pour tout élément x de E1 on définit comme suit une fonction x d'une variable réelle, continue, de période 2 : X x (t) = xk eikt . 10. Calculer Z 2 0 kZ x (t)e-int dt, pour n Z. 11. Calculer A1 x (t). 12. Calculer B x (t) pour || > 2. 13. Donner une nouvelle démonstration de la question 8.a). 3

 X Maths 2 MP 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet est loin d'être le plus passionnant de l'année 2009. Il consiste à étudier les éléments propres d'un endomorphisme opérant sur un espace de dimension infinie ainsi que ceux de certains endomorphismes induits sur des sous-espaces stables. · La première partie porte sur l'algèbre linéaire. L'objectif est simplement de trouver une base de diagonalisation ou de trigonalisation d'une matrice carrée d'ordre 2. Elle est tout à fait abordable mais il y faut distinguer quatre cas. Cette distinction doit être refaite quasi systématiquement dans toute la suite. · Dans la seconde partie, on définit un endomorphisme sur les suites complexes indexées par Z, puis on s'attaque à la recherche des éléments propres de ce dernier. Il n'y a pas de réelle difficulté, à l'exception de la dernière question. · La troisième partie introduit deux sous-espaces stables de l'endomorphisme de la partie précédente. On reprend alors la recherche d'éléments propres, cette fois pour les endomophismes induits. · Enfin la dernière partie, indépendante des précédentes, fait une brève incursion dans les séries de Fourier. On y redémontre un résultat de la partie précédente à l'aide d'une technique complètement différente. D'un point de vue mathématique, la démarche n'a que très peu d'intérêt : les résultats obtenus n'ont pas de réelle utilité et ne sont pas spécialement généralisables à une classe plus vaste d'endomorphismes. Seules quelques questions sont un peu techniques et constituent finalement les seuls moments agréables du sujet. Pour conclure, ce problème est à conseiller principalement aux élèves souhaitant se préparer à l'X et s'exercer sur des questions rendues délicates par le nombre de cas à traiter. Indications 1 Remarquer qu'il s'agit simplement de diagonaliser ou trigonaliser la matrice T . Utiliser alors les techniques classiques de réduction. xp xp-1 2.a Etablir une relation de récurrence entre les vecteurs et . xp+1 xp 2.b Justifier que l'application suivante est un isomorphisme d'espaces vectoriels : ( Ker (A - idE ) - C2 : x 7- (x0 , x1 ) xk 3 Exprimer pour tout k Z le vecteur en fonction des vecteurs f,1 et f,2 . xk+1 4 Remarquer qu'une suite périodique est nécessairement bornée et utiliser les résultats de la question 3. 5 Établir pour tout (x, u) E1 × E l'inégalité |hx | ui| 6 kxk1 · kuk . 7.a Pour l'égalité, raisonner par récurrence sur n. La preuve est très similaire à celle de la formule de Leibnitz (dérivée n-ième d'un produit de fonction). X 7.b Justifier que la série -n A1 n x est absolument convergente dans E1 . nN 8.a Remarquer qu'un élément de Ker (A1 - idE1 ) est un élément de Ker (A - idE ) borné et de limite nulle en +. 8.b Même technique qu'à la question précédente en recherchant cette fois uniquement les éléments bornés de Ker (A - idE ). 9 Montrer que la quantité hx | ui est nulle pour tout élément x de Im (A1 - idE1 ) et tout élément u de Ker (A - idE ). Utiliser ensuite la continuité d'une application continue sur un ensemble dense pour prouver que Ker (A - idE ) est réduit au singleton {0}. 10 Effectuer une interversion série-intégrale. 11 Utiliser successivement une séparation de somme, deux changements d'indices et enfin les formules d'Euler. 12 Calculer B,n x où B,n est la n-ième somme partielle de la série définissant B puis faire tendre n vers +. On pourra utiliser la linéarité et la continuité de x 7- x . 13 Justifier que si x est un élément de Ker (A1 -idE1 ), alors x est la fonction nulle. Première partie Dans tout le corrigé, T désignera par abus de langage à la fois l'endomorphisme introduit par l'énoncé et sa matrice respectivement à la base canonique de C2 . Cet abus est d'ailleurs implicitement réalisé par l'auteur de l'énoncé lorsqu'il écrit T f,1 comme un produit au lieu de noter T (f,1 ). 1 L'objectif de ces quatre premières questions est simplement d'exhiber une base de diagonalisation ou de trigonalisation de la matrice T . Commençons donc par faire les préliminaires classiques pour ce genre de travail. Le polynôme caractéristique de T est donné par -X 1 T (X) = det = X2 - X + 1 -1 - X Son discriminant vaut alors = 2 - 4 On peut ainsi distinguer les quatre cas suivants : · Si || > 2, alors T a deux racines réelles distinctes, qui sont donc les deux valeurs propres de T . Puisque det T = 1, elles sont également inverses l'une de l'autre. · Si || < 2, T a cette fois deux racines complexes conjuguées, qui sont les deux valeurs propres de T . L'égalité det T = 1 assure ici qu'elles sont de module 1. · Enfin si = 2 (resp. si = -2), alors T admet 1 (resp. -1) pour unique valeur propre. Comme cette matrice n'est pas égale à I2 (resp. -I2 ), elle n'est pas diagonalisable. Passons maintenant à ce que demande précisément l'énoncé. 1.a Le réel étant de valeur absolue strictement supérieure à 2, l'étude précédente montre que les deux racines du polynôme T sont réelles et inverses l'une de l'autre. Une résolution rapide de l'équation du second degré T (X) = 0 donne précisément les valeurs suivantes ! ! r r 1 1 1 1 1 1 -1 + - et µ = - - µ = 2 4 2 2 4 2 Pour trouver le premier vecteur f,1 , il suffit de déterminer le noyau de T - µ I2 . Soit X = t (, ) un élément de C2 . En remarquant que - µ = µ -1 , il vient -µ 1 (T - µ I2 )X = 0 = 0 = µ -1 µ -1 Le vecteur f,1 = t (1, µ ) est par conséquent un vecteur qui convient. De la même manière, on prouve que le vecteur f,2 = t (1, µ -1 ) est également un vecteur propre associé à la valeur propre µ -1 et dont la composante suivant e1 est égale à 1. Ces deux vecteurs étant deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, ils forment une base de R2 . ! r 1 1 1 1 Si || > 2, en posant µ = + - 2 puis f,1 = µ 2 4 1 et f,2 = , on a bien |µ | > 1 et les relations µ -1 et T f,1 = µ f,1 T f,2 = µ -1 f,2 Les notations de la valeur µ et de son inverse peuvent paraître curieuses. On serait plutôt tenté en effet de noter 1 1 et + 2 - 4 - 2 - 4 2 2 les deux racines du polynôme caractéristique. Cette notation n'est cependant pas très pratique car, suivant le signe de , µ correspondra tantôt à la quantité de gauche, tantôt à celle de droite. La notation précédente a le mérite de ne pas nécessiter cette distinction de cas. 1.b Cette fois, les racines du polynôme T sont complexes conjuguées et de module 1. Précisément, on trouve dans ce cas 1 1 + i 4 - 2 et µ = - i 4 - 2 µ = 2 2 La recherche des vecteurs propres reste similaire et amène aux mêmes expressions de f,1 et f,2 en fonction de µ et µ -1 = µ . Ils forment une base de R2 pour les mêmes raisons qu'à la question 1.a. Si || < 2, il suffit de poser µ = + i 4 - 2 /2 et de conserver les expressions de f,1 et f,2 de la question 1.a pour satisfaire les conditions de l'énoncé. 1.c Si = 2, le réel 1 est la seule valeur propre de T2 et les expressions précédente donnent f2,1 = t (1, 1) comme vecteur propre associé. Pour trouver le vecteur f2,2 , considérons un réel quelconque et posons f2,2 = t (1, ). On constate que 0 1 1 2 T2 f2,2 = = et f2,1 + f2,2 = -1 2 2 - 1 1+ La condition T2 f2,2 = f2,1 + f2,2 est alors satisfaite si et seulement si on a = 2. Les deux vecteurs f2,1 et f2,2 ainsi choisis n'étant pas colinéaires, ils forment une base de R2 . 1 1 Les vecteurs f2,1 = et f2,2 = satisfont les conditions 1 2 T2 f2,1 = f2,1 et T2 f2,2 = f2,1 + f2,2 1.d Pour ce dernier cas, l'unique valeur propre -1 de T-2 admet f-2,1 = t (1, -1) comme vecteur propre associé. Cherchons à nouveau le vecteur f-2,2 sous la forme t (1, ) où est un réel à déterminer. Cette fois, 0 1 1 0 T-2 f-2,2 = = et f2,1 - f2,2 = -1 -2 -2 - 1 -1 -