ÉCOLE POLYTECHNIQUE
FILIÈRE
MP
CONCOURS D'ADMISSION 2009
DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension infinie
Première partie
Pour tout nombreÇréel , åon désigne par T l'endomorphisme de l'espace vectoriel
C2 repré0 1
dans la base naturelle de C2 notée (e1 , e2 ).
senté par la matrice
-1
1. Construire une base (f,1 , f,2 ) de C2 telle que chacun des f,i ait une
composante sur e1
égale à 1 et, en outre, ayant les propriétés suivantes :
1.a) Si || > 2, il existe un réel µ de module > 1 tel que
T f,1 = µ f,1
T f,2 = µ-1
f,2 .
,
1.b) Si || < 2, on a une formule analogue, mais où µ est un nombre complexe de module 1 et de partie imaginaire > 0, que l'on précisera.
1.c) Si = 2, on a
T2 f2,1 = f2,1
,
T2 f2,2 = f2,1 + f2,2 .
T-2 f-2,1 = -f-2,1
,
T-2 f-2,2 = f-2,1 - f-2,2 .
1.d) Si = -2, on a
Deuxième partie
On désigne par E l'espace vectoriel des suites de nombres complexes x = (xk )kZ
et par A
l'endomorphisme de E défini par
x E, k Z ,
(Ax)k = xk-1 + xk+1 .
1
On s'intéresse au noyau de l'endomorphisme A - idE où est un nombre réel.
2.a) Vérifier qu'un élément x de E appartient à Ker (A - idE ) si et seulement
si l'on a
k Z ,
Ç
xk
xk+1
å
=
Tk
Ç
x0
x1
å
.
2.b) Préciser la dimension de Ker (A - idE ).
3. On suppose x Ker (A
Ç -å idE ) et on note ,1 et ,2 les composantes, dans la base
x0
(f,1 , f,2 ) de C2 , du vecteur
. Démontrer les assertions suivantes :
x1
3.a) Si || 6= 2, on a
xk = µk ,1 + µ-k
,2 .
3.b) Si = 2, on a
xk = 2,1 + (k + 1)2,2 .
3.c) Si = -2, on a
xk = (-1)k (-2,1 + (1 - k)-2,2 ) .
4. On fixe un entier N > 2 et on désigne par PN l'ensemble des x de E tels que
l'on ait
xk+N = xk pour tout k Z.
Dire pour quelles valeurs de le sous-espace Ker(A - idE ) PN n'est pas
réduit à {0} et,
dans ce cas, en donner une base.
Troisième partie
On définit deux sous-espaces vectoriels de E de la façon suivante :
· E1 est l'ensemble des éléments x de E tels que
P
|xk | < + et on le munit de la norme kZ kxk1 = X |xk | . kZ · E est l'ensemble des éléments u de E tels que sup |uk | < + et on le munit de la norme kZ kuk = sup |uk | . kZ 5. Étant donnés x E1 et u E , on pose hx, ui = X xk uk . kZ Vérifier que, pour tout u E (resp. tout x E1 ), l'application x 7 hx, ui (resp. u 7 hx, ui) est une forme linéaire continue sur E1 (resp. sur E ) dont on précisera la norme. 2 6. Montrer que l'on a A(E1 ) E1 , A(E ) E . Montrer que les endomorphismes A1 et A induits par A respectivement sur E1 et E sont continus et de norme 2. 7. Démontrer les assertions suivantes : 7.a) Pour tout entier n > 0, tout k Z et tout x E on a
n
(A x)k =
n
X
Ç å
n
p
p=0
et
X
|(An x)k | 6 2n
kZ
xk-n+2p
X
|xk | .
kZ
7.b) Si || > 2, pour tout x E1 , la formule
B x =
X
-n An1 x
n>0
a un sens et définit un endomorphisme bijectif B de E1 dont on précisera
l'inverse.
8. Soit un nombre réel.
8.a) Déterminer Ker(A1 - idE1 ).
8.b) Déterminer Ker(A - idE ).
9. Dire pour quelles valeurs de le sous-espace image de A1 - idE1 est une
partie dense
de E1 .
[On pourra évaluer hx, ui pour x Im(A1 - idE1 ) et u Ker(A - idE ).]
Quatrième partie
Pour tout élément x de E1 on définit comme suit une fonction x d'une variable
réelle,
continue, de période 2 :
X
x (t) =
xk eikt .
10. Calculer
Z 2
0
kZ
x (t)e-int dt, pour n Z.
11. Calculer A1 x (t).
12. Calculer B x (t) pour || > 2.
13. Donner une nouvelle démonstration de la question 8.a).
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