X Maths 2 MP 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).
Ce sujet est loin d'être le plus passionnant de l'année 2009. Il consiste à
étudier
les éléments propres d'un endomorphisme opérant sur un espace de dimension
infinie
ainsi que ceux de certains endomorphismes induits sur des sous-espaces stables.
· La première partie porte sur l'algèbre linéaire. L'objectif est simplement de
trouver une base de diagonalisation ou de trigonalisation d'une matrice carrée
d'ordre 2. Elle est tout à fait abordable mais il y faut distinguer quatre cas.
Cette distinction doit être refaite quasi systématiquement dans toute la suite.
· Dans la seconde partie, on définit un endomorphisme sur les suites complexes
indexées par Z, puis on s'attaque à la recherche des éléments propres de ce
dernier. Il n'y a pas de réelle difficulté, à l'exception de la dernière
question.
· La troisième partie introduit deux sous-espaces stables de l'endomorphisme de
la partie précédente. On reprend alors la recherche d'éléments propres, cette
fois pour les endomophismes induits.
· Enfin la dernière partie, indépendante des précédentes, fait une brève
incursion
dans les séries de Fourier. On y redémontre un résultat de la partie précédente
à l'aide d'une technique complètement différente.
D'un point de vue mathématique, la démarche n'a que très peu d'intérêt : les
résultats obtenus n'ont pas de réelle utilité et ne sont pas spécialement
généralisables
à une classe plus vaste d'endomorphismes. Seules quelques questions sont un peu
techniques et constituent finalement les seuls moments agréables du sujet.
Pour conclure, ce problème est à conseiller principalement aux élèves souhaitant
se préparer à l'X et s'exercer sur des questions rendues délicates par le
nombre de
cas à traiter.
Indications
1 Remarquer qu'il s'agit simplement de diagonaliser ou trigonaliser la matrice
T .
Utiliser alors les techniques classiques de réduction.
xp
xp-1
2.a Etablir une relation de récurrence entre les vecteurs
et
.
xp+1
xp
2.b Justifier que l'application suivante est un isomorphisme d'espaces
vectoriels :
(
Ker (A - idE ) - C2
:
x
7- (x0 , x1 )
xk
3 Exprimer pour tout k Z le vecteur
en fonction des vecteurs f,1 et f,2 .
xk+1
4 Remarquer qu'une suite périodique est nécessairement bornée et utiliser les
résultats de la question 3.
5 Établir pour tout (x, u) E1 × E l'inégalité |hx | ui| 6 kxk1 · kuk .
7.a Pour l'égalité, raisonner par récurrence sur n. La preuve est très
similaire à celle
de la formule de Leibnitz (dérivée n-ième d'un produit de fonction).
X
7.b Justifier que la série
-n A1 n x est absolument convergente dans E1 .
nN
8.a Remarquer qu'un élément de Ker (A1 - idE1 ) est un élément de Ker (A - idE )
borné et de limite nulle en +.
8.b Même technique qu'à la question précédente en recherchant cette fois
uniquement
les éléments bornés de Ker (A - idE ).
9 Montrer que la quantité hx | ui est nulle pour tout élément x de Im (A1 -
idE1 )
et tout élément u de Ker (A - idE ).
Utiliser ensuite la continuité d'une application continue sur un ensemble dense
pour prouver que Ker (A - idE ) est réduit au singleton {0}.
10 Effectuer une interversion série-intégrale.
11 Utiliser successivement une séparation de somme, deux changements d'indices
et
enfin les formules d'Euler.
12 Calculer B,n x où B,n est la n-ième somme partielle de la série définissant B
puis faire tendre n vers +. On pourra utiliser la linéarité et la continuité
de x 7- x .
13 Justifier que si x est un élément de Ker (A1 -idE1 ), alors x est la
fonction nulle.
Première partie
Dans tout le corrigé, T désignera par abus de langage à la fois l'endomorphisme
introduit par l'énoncé et sa matrice respectivement à la base canonique de C2 .
Cet abus est d'ailleurs implicitement réalisé par l'auteur de
l'énoncé lorsqu'il écrit T f,1 comme un produit au lieu de noter T (f,1 ).
1 L'objectif de ces quatre premières questions est simplement d'exhiber une
base de
diagonalisation ou de trigonalisation de la matrice T . Commençons donc par
faire les
préliminaires classiques pour ce genre de travail. Le polynôme caractéristique
de T
est donné par
-X
1
T (X) = det
= X2 - X + 1
-1 - X
Son discriminant vaut alors
= 2 - 4
On peut ainsi distinguer les quatre cas suivants :
· Si || > 2, alors T a deux racines réelles distinctes, qui sont donc les deux
valeurs propres de T . Puisque det T = 1, elles sont également inverses l'une
de l'autre.
· Si || < 2, T a cette fois deux racines complexes conjuguées, qui sont les deux valeurs propres de T . L'égalité det T = 1 assure ici qu'elles sont de module 1. · Enfin si = 2 (resp. si = -2), alors T admet 1 (resp. -1) pour unique valeur propre. Comme cette matrice n'est pas égale à I2 (resp. -I2 ), elle n'est pas diagonalisable. Passons maintenant à ce que demande précisément l'énoncé. 1.a Le réel étant de valeur absolue strictement supérieure à 2, l'étude précédente montre que les deux racines du polynôme T sont réelles et inverses l'une de l'autre. Une résolution rapide de l'équation du second degré T (X) = 0 donne précisément les valeurs suivantes ! ! r r 1 1 1 1 1 1 -1 + - et µ = - - µ = 2 4 2 2 4 2 Pour trouver le premier vecteur f,1 , il suffit de déterminer le noyau de T - µ I2 . Soit X = t (, ) un élément de C2 . En remarquant que - µ = µ -1 , il vient -µ 1 (T - µ I2 )X = 0 = 0 = µ -1 µ -1 Le vecteur f,1 = t (1, µ ) est par conséquent un vecteur qui convient. De la même manière, on prouve que le vecteur f,2 = t (1, µ -1 ) est également un vecteur propre associé à la valeur propre µ -1 et dont la composante suivant e1 est égale à 1. Ces deux vecteurs étant deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, ils forment une base de R2 . ! r 1 1 1 1 Si || > 2, en posant µ =
+
- 2
puis f,1 =
µ
2
4
1
et f,2 =
, on a bien |µ | > 1 et les relations
µ -1
et
T f,1 = µ f,1
T f,2 = µ -1 f,2
Les notations de la valeur µ et de son inverse peuvent paraître curieuses.
On serait plutôt tenté en effet de noter
1
1
et
+ 2 - 4
- 2 - 4
2
2
les deux racines du polynôme caractéristique. Cette notation n'est cependant
pas très pratique car, suivant le signe de , µ correspondra tantôt à la
quantité de gauche, tantôt à celle de droite. La notation précédente a le
mérite de ne pas nécessiter cette distinction de cas.
1.b Cette fois, les racines du polynôme T sont complexes conjuguées et de
module 1. Précisément, on trouve dans ce cas
1
1
+ i 4 - 2
et
µ =
- i 4 - 2
µ =
2
2
La recherche des vecteurs propres reste similaire et amène aux mêmes expressions
de f,1 et f,2 en fonction de µ et µ -1 = µ . Ils forment une base de R2 pour les
mêmes raisons qu'à la question 1.a.
Si || < 2, il suffit de poser µ = + i 4 - 2 /2 et de conserver les expressions de f,1 et f,2 de la question 1.a pour satisfaire les conditions de l'énoncé. 1.c Si = 2, le réel 1 est la seule valeur propre de T2 et les expressions précédente donnent f2,1 = t (1, 1) comme vecteur propre associé. Pour trouver le vecteur f2,2 , considérons un réel quelconque et posons f2,2 = t (1, ). On constate que 0 1 1 2 T2 f2,2 = = et f2,1 + f2,2 = -1 2 2 - 1 1+ La condition T2 f2,2 = f2,1 + f2,2 est alors satisfaite si et seulement si on a = 2. Les deux vecteurs f2,1 et f2,2 ainsi choisis n'étant pas colinéaires, ils forment une base de R2 . 1 1 Les vecteurs f2,1 = et f2,2 = satisfont les conditions 1 2 T2 f2,1 = f2,1 et T2 f2,2 = f2,1 + f2,2 1.d Pour ce dernier cas, l'unique valeur propre -1 de T-2 admet f-2,1 = t (1, -1) comme vecteur propre associé. Cherchons à nouveau le vecteur f-2,2 sous la forme t (1, ) où est un réel à déterminer. Cette fois, 0 1 1 0 T-2 f-2,2 = = et f2,1 - f2,2 = -1 -2 -2 - 1 -1 -