X Maths 2 MP 2007

Thème de l'épreuve Relations de commutation
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction des endomorphismes
Mots clefs sous espaces stables, diagonalisation, commutation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2007 DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** Relations de commutation Dans ce problème, on se propose de décrire les triplets (K, E, F) où K, E, F sont trois endo-- morphismes d'un espace vectoriel satisfaisant certaines relations de commutation. On désignera toujours par q un nombre complexe non nul et tel que pour tout entier n > 0, q" # 1. Première partie Dans cette partie, on désigne par X un espace vectoriel complexe de dimension finie n > 2, et par (an, . .. ,a:,,) une base de X. 1. Soit A un endomorphisme de X représenté dans la base (an, . . . ,a3n) par une matrice diago-- nale de coefficients diagonaux 0.1, . . . , un deux a deux distincts. Montrer que tout endomorphisme B de X, commutant a A, est aussi représenté par une matrice diagonale. 2. Soit A1, . . . ,Ap des endomorphismes de X. 2.21) Montrer que, si les seuls sous-espaces vectoriels de X stables par A1, . .. ,Ap sont {0} et X, alors tout endomorphisme B de X, commutant a A1, . .. ,Ap, est un multiple scalaire de l'identité. 2.b) La réciproque est--elle vraie ? Deuxième partie On définit X et (an, . .. ,a3n) comme a la première partie. On note Kg et F0 les endomor-- phismes de X définis comme suit : a: si < 77. n--l--1--2p a: "" p p Vp=1,...,n , Kgoep=q , F0oep= 0 sip=n 3. Calculer Ko F0 -- q_2F0 Ko. 4. Déterminer les sous--espaces vectoriels de X stables par Fg, puis ceux stables par Fg et Kg. On définit un troisième endomorphisme Eg de X par { (q -- ç'F')_2(çfi'_1 -- q1_p)(qn+l_p -- qp_"_') ftp--1 si 29 > 1 EO £L'p = 0 si p = 1 5. Calculer Kg Eg -- q2Eg Kg. 6. Vérifier la relation EO F0 -- F0 EO = (q -- q_1)_1(K0 -- K0_1) - 7. Déterminer les sous--espaces vectoriels de X stables par Kg, Eg, Fg. Troisième partie Dans cette partie, on désigne par K et E deux endomorphismes d'un espace vectoriel complexe X de dimension n satisfaisant les conditions suivantes : i) KE = q2EK ii) K est inversible iii) E est non nul. Pour tout nombre complexe À on pose X,\=Ker (K--Àl) , Y,\=Ker (E--Àl). 8. Vérifier les relations E(XÀ) C Xq2,\ , K(YÀ) C Yq_2/\ . 9. Montrer que Y,\ est réduit a {0} si À est non nul. 10. Indiquer un nombre entier 7" > 0 tel que E" = O. 11. Montrer qu'il existe un élément a: non nul de Ker E, vecteur propre pour K. 12. On suppose X de dimension 2, et on se propose de démontrer l'existence d'une base (551,152) de X possédant les propriétés suivantes : (P1) K 5171 : Àa:1 où À est un scalaire convenable (PQ) KSL'2 = q_2Àoe2 (P3) EOE1 = 0 (P4) EOEQ = 5171. 12.21) Montrer qu'il existe un vecteur a:? et un scalaire À tels que l'on ait KOEÊ=ÀOEY et EoeY=O. On note 513% un vecteur non nul et non proportionnel a 5179. 12.b) Montrer que le vecteur E 5178, qu'on note 5171, est un multiple non nul de 5179. 12.c) Montrer qu'il existe un scalaire fi tel que Ka:3 : fia:1 + q_2Àaîg . 12.d) Trouver un scalaire & tel que les vecteurs 5171 et 5132 = 5138 + aa:1 répondent a la question. Quatrième partie Dans cette quatrième partie on désigne par X un espace vectoriel complexe de dimension n > 2 et on considère un triplet (K ,E,F) d'endomorphismes de X satisfaisant les conditions suivantes : 13. Vérifier que) pour tout entier m > 0, on a EFm _ FmE : (Q _ q--1)--2(qm _ q--m) Fm--1 (q1--mK _ qm--1K--1)_ Dans ce qui suit) on note V1 un vecteur non nul de X , annulé par E et vecteur propre de K pour une certaine valeur propre que l'on notera À. Pour tout entier m > 0, on pose V... : Fm_1 m. 14. Calculer K V.... 15. Démontrer la relation Vm > 2 , EV... = (q -- (1--1)_2(çfl"_1 -- q1_m)(q2_mÀ -- qm_2À_1) %... . 16. Démontrer les assertions suivantes : 16.a) Ceux des vecteurs V... qui sont non nuls, sont linéairement indépendants. 16.b) Il existe m0 > 1 tel que V... = 0 pour tout m > m0 et que y1, . .. ,u...O soient linéaire-- n1ent indépendants. 16.c) On a m0 = n. 16.d) On a A = :|:qn_1. 17. Comparer le triplet (K , E, F) avec le triplet (Ko, Eg, F0) considéré a la deuxième partie.

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 X Maths 2 MP 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été relu par Rafik Imekraz (ENS Cachan) et Walter Appel (Professeur en CPGE). Cette épreuve consiste en un sujet d'algèbre linéaire portant sur des triplets d'endomorphismes d'un espace vectoriel complexe X satisfaisant certaines relations de commutation. Il est constitué de quatre parties pouvant parfaitement être abordées indépendamment. · Dans la première partie, on s'intéresse au lien entre la commutation d'endomorphismes de X et l'existence de sous-espaces vectoriels de X stables par ceux-ci. · La deuxième partie est consacrée à l'étude de trois endomorphismes E0 , F0 et K0 définis explicitement par leur action sur une base de X. On établit quelques relations de commutation et l'on détermine ensuite les sous-espaces de X stables par ces endomorphismes. · Enfin, dans la troisième puis la quatrième partie, on adopte la démarche inverse : partant des relations de commutation entre deux puis trois endomorphismes (qui sont en fait les relations établies au cours de la deuxième partie), on montre l'existence d'une base dans laquelle les endomorphismes considérés ont des expressions similaires à celles de E0 , F0 et K0 . Ce sujet est remarquablement court et d'un niveau de difficulté assez faible (surtout pour le concours d'entrée à l'École Polytechnique) : en particulier, les parties II et IV peuvent parfaitement être proposées à des élèves de Mathématiques Supérieures. Par ailleurs, les différentes questions sont globalement dépourvues d'originalité et ne requièrent aucune astuce particulière ; certaines se limitent même à des manipulations d'indice pures et simples. Tout ceci nous donne finalement un sujet peu intéressant et peu apte à départager clairement les candidats. Indications Première partie 1 Raisonner sur les espaces propres de A. 2.a Considérer un sous-espace propre de l'endomorphisme B. 2.b Construire un contre-exemple en dimension 2 en prenant pour A1 et A2 deux endomorphismes ayant un vecteur propre commun. Deuxième partie 3 Évaluer cet endomorphisme en chaque vecteur de la base (x1 , . . . , xn ). 4 Effectuer une récurrence sur la dimension des sous-espaces stables par F0 . 7 Exploiter le résultat de la question 4. Troisième partie 9 Raisonner par l'absurde en faisant usage de la seconde des relations établies précédemment. 10 Déduire de la question précédente le spectre de E. 11 Montrer d'abord que Ker E est stable par K. 12.b Utiliser le résultat de la question 10. 12.c Appliquer la relation KE = q 2 EK au vecteur x02 . Quatrième partie 14 Itérer la relation (iii). 16.a Exploiter le résultat de la question 14. 16.c Faire usage de la condition (v). 16.d Appliquer le résultat de la question 15 à l'entier m = n + 1. Première partie 1 L'endomorphisme A admet dans la base B = (x1 , . . . , xn ) une matrice diagonale de coefficients diagonaux deux à deux distincts ; il possède donc n valeurs propres distinctes et les sous-espaces propres associés sont les droites vectorielles C xi pour i [[ 1 ; n ]]. Soit maintenant un endomorphisme B de X commutant à A : il laisse stable tout sous-espace propre de A. En effet, soient C et x Ker (A - Id ) ; comme AB = BA, on a A(Bx) = B(Ax) = Bx c'est-à-dire que Bx Ker (A - Id ). Ainsi, C B(Ker (A - Id )) Ker (A - Id ) Concernant la base B, i [[ 1 ; n ]] B(xi ) C xi Ceci montre que B est également une base de vecteurs propres de B, dans laquelle cet endomorphisme est par conséquent représenté par une matrice diagonale. Ainsi, Tout endomorphisme B de X commutant à A est aussi représenté par une matrice diagonale dans la base B. 2.a Supposons que les seuls sous-espaces de X stables par A1 , . . . , Ap soient {0} et X, et considérons un endomorphisme B de X commutant à A1 , . . . , Ap . Comme X est un espace vectoriel complexe, B est un endomorphisme scindé et il possède donc une valeur propre . L'espace propre associé Ker (B - Id ) ­ qui n'est pas réduit au vecteur nul ­ est stable par A1 , . . . , Ap puisqu'ils commutent tous à B : c'est donc X. En conséquence, B = Id ; ainsi, Si les seuls sous-espaces de X stables par A1 , . . . , Ap sont {0} et X, alors tout endomorphisme B de X commutant à A1 , . . . , Ap est un multiple scalaire de l'identité. On a ici affaire à un cas particulier du lemme de Schur, qui intervient dans la théorie de la représentation des groupes. 2.b Pour construire un contre-exemple, fixons n = p = 2 et appelons A1 , A2 les endomorphismes admettant pour matrices dans la base B = (x1 , x2 ) : 1 0 1 1 M1 = et M2 = 0 0 0 0 Soit B un endomorphisme commutant avec A1 et A2 . Comme A1 admet dans la base B une matrice diagonale à coefficients distincts, on déduit de la question 1 que la matrice M de B dans la base B est également diagonale. Notons-la M = Diag(a, b) ; la relation de commutation BA2 = A2 B s'écrit alors a 0 1 1 1 1 a 0 MM2 = M2 M = 0 b 0 0 0 0 0 b a a a b = 0 0 0 0 MM2 = M2 M a = b Il s'ensuit que M = a I2 et B = a Id Nous avons prouvé que tout endomorphisme B de X commutant à A1 et A2 est un multiple scalaire de l'identité. Cependant, la forme des matrices M1 et M2 montre clairement que la droite C x1 est stable par A1 et A2 . Comme elle n'est égale ni à X ni à {0} pour des raisons de dimensions, on peut alors en déduire que La réciproque de la propriété établie à la question précédente est fausse. Pour montrer que cette réciproque est fausse, il nous faut considérer des endomorphismes laissant stable un sous-espace de X distinct de {0} et de X : c'est ce qui nous a incité à étudier deux endomorphismes en dimension 2 possédant une droite propre ; il suffit pour cela de prendre les endomorphismes canoniquement associés à des matrices triangulaires supérieures. Deuxième partie 3 Notons L0 = K0 F0 - q -2 F0 K0 . Par définition de F0 et K0 , on a K0 F0 (xn ) = K0 (0) = 0 et F0 K0 (xn ) = F0 (q 1-n xn ) = 0 d'où L0 (xn ) = 0. Prenons maintenant p [[ 1 ; n - 1 ]]. Il vient ( K0 F0 (xp ) = K0 (xp+1 ) = q n-1-2p xp+1 = q -2 q n+1-2p xp+1 F0 K0 (xp ) = F0 (q n+1-2p xp ) = q n+1-2p xp+1 si bien que L0 (xp ) = 0. Ainsi, l'endomorphisme L0 envoie tous les vecteurs de la base B = (x1 , . . . , xn ) sur le vecteur nul, ce qui permet d'affirmer que L0 = 0 soit K0 F0 - q -2 F0 K0 = 0 4 Par définition de F0 , on a Im F0 = Vect {F0 (x1 ), . . . , F0 (xn )} = Vect {x2 , . . . , xn } donc F0 est de rang n - 1. D'après le théorème du rang, Ker F0 est de dimension 1 : comme il contient xn 6= 0, alors Ker F0 = Vect {xn }. Enfin, il est clair que F0 n = 0 par définition de cet endomorphisme. Maintenant, considérons la propriété P définie pour k [[ 0 ; n ]] par P(k) : « si le sous-espace A est stable par F0 et de dimension k, alors A est le sous-espace vectoriel engendré par (xn+1-k , . . . , xn ). » · P(0) est vraie puisque A = {0} = Vect lorsque dim A = 0. · P(k) = P(k + 1) : supposons la propriété P vraie au rang k [[ 0 ; n - 1 ]] et considérons un sous-espace A stable par F0 et de dimension k + 1. Dans ce cas, F0 (A) A et donc F0 (F0 (A)) F0 (A). De surcroît, F0 (A) = A implique F0 n (A) = A 6= {0} ce qui contredit la relation F0 n = 0 ; par conséquent, on a F0 (A) dim F0 (A) 6 k. Le théorème du rang appliqué à F0 fournit A dim A = dim F0 (A) + dim Ker F0 d'où A 6 dim F0 (A) + dim Ker F0 dim F0 (A) > dim A - dim Ker F0 = k A et