Thème de l'épreuve | Matrices réelles de partie symétrique positive |
Principaux outils utilisés | applications linéaires continues, exponentielle matricielle, algèbre linéaire, équations différentielles |
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2006 DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** Matrices réelles de partie symétrique positive Dans tout le problème, l'espace vectoriel R" sera muni du produit scalaire usuel noté (..|) et de la norme correspondante ||.H. On notera M,,(R) l'espace vectoriel des matrices a n lignes et n colonnes, à coefficients réels, et I la matrice identité; on munira M,,(R) de la norme usuelle : HAOEII llüîll HA||=sup{ ,oe7éo}. Une matrice A de M,,(R) sera dite s--positive si l'on a (Aoelæ) ; 0 pour tout a: de R'". Première partie 1. Montrer que toute matrice A de M,,(R) s'écrit de façon unique comme somme d'une matrice symétrique AS et d'une matrice antisymétrique AC,. 2. Soit A une matrice de M,, (R). Trouver une condition nécessaire et suffisante, portant sur les valeurs propres de A5, pour que A soit s--positive. Deuxième partie 3. Montrer que, pour toute matrice s--positive A et tout nombre réel À > 0, la matrice A] + A est inversible. On posera alors RÀ(A) : (A] + A)_1. 4. (Étude d'exemples) On examinera les deux exemples suivants : 0 1 a)n--2, A---(_1 0)° 0 b)n=3, A: 0 1 0 --1 () OGG Pour chacun de ces exemples : calculer Ker A, Im A, RÀ(A), dire si RÀ(A) (resp. ÀRÀ(A)) admet une limite lorsque A ----> 0 et, si oui, donner cette limite. Dans la suite de cette deuxième partie on se donne une matrice s--positive A et un réel A > O. 5. Démontrer les assertions suivantes : 5.8) ARÀ(A) = RÀ(A)A = I -- ÀRÀ(A) . 5.b) Pour tout réel ,u > 0, on a f...) -- RAA) = (# ---- A>RÀRM . 1 6.- Démontrer l'inégalité HRÀ(A)H < --, avec égalité si et seulement si det A est nul. À 7. Démontrer les assertions suivantes : ' 7.3) Pour tout oe EUR Im A, ÀRÀ(A)OE --+ 0 lorsque À ----> O. 7 .b) L'espace R" est somme directe de Ker A et Im A. 7 .c) Lorsque À tend vers 0, ÀRÀ(A) tend vers le projecteur sur Ker A parallèlement à Im A. '8. Montrer que l'application @ : /\ l----> RÀ(A) de ]0, +00[ dans MAR) est indéfiniment déri-- vable, et exprimer ses dérivées successivesq : À +--> (À)q. Troisième partie Dans cette troisième partie on se donne une application F de ]0, +oo[ dans MAR) possédant les propriétés suivantes : 1 (i) VA > 0, ||F(À)ll < Xi (ii) V/\7 N> 0, F(À) --F(#) = (u--À)F(À)F(u); (iii) F(1) est inversible. 9. Montrer que F (À) est inversible pour tout À > 0. 10.3) Calculer F(À)_1 -- F(u)_1. 10.b) Montrer que, lorsque À --+ O, F(À)_1 admet une limite A et que l'on a, pour tout /\ > O, /\I + A : F(À)_1. 11. Montrer que les matrices AF (À) et A sont s--positives. Quatrième partie Étant donné une matrice A de Mn(R), on pourra admettre les résultats suivants : (i) La série ---- est convergente. Notons epr sa somme. ' k=0 k. (ii) La fonction de variable réelle t |--+ exp(tA) est dérivable et sa dérivée est donnée par %exp(tA) : Aexp(tA) . 12. Soit A une matrice de MAR). Démontrer l'équivalence des conditions suivantes : (i) pour tout t > 0, on a || exp(--tA)ll { 1; (ii) pour tout a: E R'", la fonction t l--> || exp(----tA)acll2 est décroissante; (iii) A est s--positive. On fixe maintenant une matrice A s--positive et un réel À > O. 13. Démontrer la convergence des intégrales +oo p(,\)i,j=/ e"Àt(exp(--tA))i,j dt , 1