X Maths 2 MP 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Céline Mazoit (Professeur agrégé) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Comme souvent dans les épreuves de Polytechnique, le problème traite d'un thème largement hors programme, le semi-groupe d'évolution et la résolvante associés à un opérateur dissipatif, mais dans un cadre accessible en prépa (la dimension finie). En particulier, le sujet n'utilise pas de mots savants, et peut être entièrement traité sans faire appel à des connaissances hors programme. · La première partie, brève, fait le lien entre matrices dissipatives (que l'énoncé appelle « matrices s-positives ») et la notion de positivité connue pour les matrices symétriques. · La deuxième étudie quelques propriétés classiques de la résolvante R (A) d'une matrice s-positive A (qui est, par définition, l'inverse de A + I). · La troisième est une réciproque partielle de la partie précédente, qui montre que certaines des propriétés précédemment établies sur la résolvante sont bien caractéristiques. · Enfin, à l'aide d'une transformée de Laplace, la quatrième partie traite des relations qui existent entre le semi-groupe d'évolution engendré par -A (c'està-dire la fonction t 7- exp(-t A)) et la résolvante. Ce problème est d'une longueur raisonnable pour un sujet de Polytechnique. Sa principale difficulté réside dans l'originalité des méthodes utilisées. Indications Deuxième partie 3 Vérifier que l'application x 7- (A + I)x est injective. 4 Pour le calcul de R (A), utiliser la formule sur la comatrice. 5.a Revenir à la définition de R (A). 5.b Au brouillon : composer à gauche et à droite l'égalité à montrer par les inverses de R (A) et Rµ (A). En déduire la démonstration à chercher. 6 Préciser « quantitativement » le caractère injectif de A + I. 7.a Utiliser la question 5.a. 7.b Montrer que la somme est directe en calculant R (A)x pour x Ker A. 7.c Utiliser les deux questions précédentes. 8 Pour deviner le résultat à montrer, penser au calcul des dérivées successives de la fonction réelle x 7- 1/(+x). Pour la démonstration, utiliser la question 5.b. Troisième partie 9 À l'aide de l'égalité (ii), écrire F(1) comme le produit de F() avec autre chose. 10.a Composer l'égalité (ii) par F()-1 et F(µ)-1 . 10.b Vérifier que 7- F()-1 vérifie le critère de Cauchy lorsque tend vers 0. 11 La positivité de A F() résulte de la question 10.b et de l'inégalité (i). Celle de A en découle, du fait que F() - I lorsque tend vers l'infini. Quatrième partie 12 Montrer que (i) = (iii) = (ii) = (i). Pour (i) = (iii), remarquer que d exp(-tA) A=- dt t=0 14 Intégrer judicieusement par parties. 15 Remarquer que A2 = -I. Première Partie 1 L'application de transposition ( T: Mn (R) - Mn (R) t A 7- A est une symétrie de Mn (R), c'est-à-dire une application linéaire involutive (elle vérifie T T = Id Mn (R) ). Elle admet donc comme polynôme annulateur X2 - 1 = (X + 1)(X - 1) où les polynômes X + 1 et X - 1 sont premiers entre eux. D'après le lemme de décomposition des noyaux, on a Mn (R) = Ker (T - Id Mn (R) ) Ker (T + Id Mn (R) ) c'est-à-dire Mn (R) = Sn (R) An (R) où l'on a noté comme d'habitude Sn (R) (respectivement : An (R)) le sous-espace des matrices symétriques (respectivement : antisymétriques) de Mn (R). En particulier, Toute matrice A de Mn (R) s'écrit bien de manière unique sous la forme As + Aa , où As Sn (R) et Aa An (R) Cette preuve peut paraître assez formelle pour un résultat classique et facile à démontrer en écrivant 1 1 t t A = (A + A) + (A - A) 2 2 Elle a cependant le mérite d'être très générale. Elle convient par exemple pour démontrer que l'espace vectoriel des fonctions paires sur R et celui des fonctions impaires sont supplémentaires : il suffit de considérer l'application T : f 7- fe où, par définition, fe(x) = f (-x). 2 Rappelons que dans Mn (R), une matrice A est antisymétrique si et seulement si elle vérifie (Ax|x) = 0 pour tout x dans Rn . En particulier, toute matrice antisymétrique est s-positive. En effet, dire qu'une matrice est antisymétrique revient à dire que la forme bilinéaire sur le R-espace vectoriel Rn , (x, y) 7- (Ax|y) est antisymétrique, ie x, y Rn (Ax|y) = -(x|Ay) Comme R est de caractéristique différente de 2, ceci est également équivalent au fait que la forme bilinéaire (x, y) 7- (Ax|y) est alternée. En particulier, (comme Aa est antisymétrique), il vient : x Rn (Ax|x) = (As x|x) Ainsi, A est s-positive si et seulement si la matrice symétrique As est positive (en tant que matrice symétrique), ce qui est équivalent au fait que le spectre de As est inclus dans R+ . Finalement, A est s-positive si et seulement si les valeurs propres de As sont toutes positives ou nulles. Deuxième partie 3 Si A est une matrice s-positive et un réel strictement positif, on a, pour tout x non nul dans Rn (I + A)x x = kxk2 + (Ax|x) > kxk2 > 0 En particulier, pour tout x non nul, (I + A)x l'est aussi, ce qui signifie que l'application linéaire x 7- (I + A)x est injective. Comme il s'agit d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, il en résulte que cet endomorphisme est inversible, ou encore Pour tout > 0, la matrice I + A est inversible. 4.a Tout d'abord, remarquons que A est antisymétrique, ce qui implique bien évidemment que A est s-positive. En conséquence, il est pertinent de définir R (A). A est inversible (du fait, par exemple que det A = 1 6= 0). En conséquence, Ker A = {0} et Im A = R2 Rappelons matrice inversible de taille 2 × 2 : l'expression de l'inverse d'une 1 a b d -b Si A = alors A-1 = . c d det A -c a 2 Vu que det(I + A) = 1 + , il en résulte que : 1 -1 R (A) = 1 + 2 1 On en déduit alors que R (A) a une limite lorsque tend vers 0 : 0 -1 lim R (A) = et lim R (A) = 0 1 0 0 0 On peut également remarquer que, si A est inversible, alors R (A) a pour limite R0 (A) = A-1 lorsque tend vers 0. 4.b Remarquons qu'ici aussi, A est antisymétrique, donc s-positive, ce qui rend pertinente la définition de R (A). Notons (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 . On voit alors que Ae1 = -e3 , Ae2 = 0 et Ae3 = e1 , ce qui permet de constater que l'image de A est engendrée par e1 et e3 , et que son noyau est engendré par e2 . Ker A = R (0, 1, 0) et Im A = Vect (1, 0, 0) , (0, 0, 1) 
