X Maths 2 MP 2006

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2006

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Matrices réelles de partie symétrique positive

Dans tout le problème, l'espace vectoriel R" sera muni du produit scalaire 
usuel noté (..|) et
de la norme correspondante ||.H. On notera M,,(R) l'espace vectoriel des 
matrices a n lignes et
n colonnes, à coefficients réels, et I la matrice identité; on munira M,,(R) de 
la norme usuelle :

HAOEII

llüîll

HA||=sup{ ,oe7éo}.

Une matrice A de M,,(R) sera dite s--positive si l'on a (Aoelæ) ; 0 pour tout 
a: de R'".

Première partie

1. Montrer que toute matrice A de M,,(R) s'écrit de façon unique comme somme 
d'une
matrice symétrique AS et d'une matrice antisymétrique AC,.

2. Soit A une matrice de M,, (R). Trouver une condition nécessaire et 
suffisante, portant sur
les valeurs propres de A5, pour que A soit s--positive.

Deuxième partie

3. Montrer que, pour toute matrice s--positive A et tout nombre réel À > 0, la 
matrice A] + A
est inversible.

On posera alors RÀ(A) : (A] + A)_1.

4. (Étude d'exemples) On examinera les deux exemples suivants :

0 1
a)n--2, A---(_1 0)°

0
b)n=3, A: 0

1
0
--1 ()

OGG

Pour chacun de ces exemples : calculer Ker A, Im A, RÀ(A), dire si RÀ(A) (resp. 
ÀRÀ(A))

admet une limite lorsque A ----> 0 et, si oui, donner cette limite.
Dans la suite de cette deuxième partie on se donne une matrice s--positive A et 
un réel A > O.

5. Démontrer les assertions suivantes :

5.8) ARÀ(A) = RÀ(A)A = I -- ÀRÀ(A) .
5.b) Pour tout réel ,u > 0, on a

f...) -- RAA) = (# ---- A>RÀRM .

1
6.- Démontrer l'inégalité HRÀ(A)H < --, avec égalité si et seulement si det A est nul. À 7. Démontrer les assertions suivantes : ' 7.3) Pour tout oe EUR Im A, ÀRÀ(A)OE --+ 0 lorsque À ----> O.
7 .b) L'espace R" est somme directe de Ker A et Im A.

7 .c) Lorsque À tend vers 0, ÀRÀ(A) tend vers le projecteur sur Ker A 
parallèlement à Im A.

'8. Montrer que l'application @ : /\ l----> RÀ(A) de ]0, +00[ dans MAR) est 
indéfiniment déri--
vable, et exprimer ses dérivées successives q : À +--> (À)q.

Troisième partie

Dans cette troisième partie on se donne une application F de ]0, +oo[ dans MAR) 
possédant
les propriétés suivantes :

1
(i) VA > 0, ||F(À)ll < Xi (ii) V/\7 N> 0, F(À) --F(#) = (u--À)F(À)F(u);
(iii) F(1) est inversible.

9. Montrer que F (À) est inversible pour tout À > 0.
10.3) Calculer F(À)_1 -- F(u)_1.

10.b) Montrer que, lorsque À --+ O, F(À)_1 admet une limite A et que l'on a, 
pour tout /\ > O,
/\I + A : F(À)_1.

11. Montrer que les matrices AF (À) et A sont s--positives.

Quatrième partie

Étant donné une matrice A de Mn(R), on pourra admettre les résultats suivants :

(i) La série ---- est convergente. Notons epr sa somme.

'
k=0 k.

(ii) La fonction de variable réelle t |--+ exp(tA) est dérivable et sa dérivée 
est donnée par

%exp(tA) : Aexp(tA) .

12. Soit A une matrice de MAR). Démontrer l'équivalence des conditions 
suivantes :
(i) pour tout t > 0, on a || exp(--tA)ll { 1;
(ii) pour tout a: E R'", la fonction t l--> || exp(----tA)acll2 est 
décroissante;

(iii) A est s--positive.

On fixe maintenant une matrice A s--positive et un réel À > O.

13. Démontrer la convergence des intégrales

+oo
p(,\)i,j=/ e"Àt(exp(--tA))i,j dt , 1