X Maths 2 MP 2005

Thème de l'épreuve Étude de certaines classes de matrices symétriques réelles
Principaux outils utilisés produits scalaires, orthogonalité, matrices symétriques, développements limités, nombres complexes, raisonnement par récurrence

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2005 DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** Etude de certaines matrices symétriques réelles Le but de ce problème est l'étude des valeurs propres et vecteurs propres de certaines matrices symétriques réelles. ' On désigne par N un nombre entier au moins égal à 2. On munit l'espace RN de son produit scalaire et de sa norme usuels notés respectivement ( | ) et || ||. On identifie une matrice N >< N réelle A avec l'endomorphisme qu'elle représente dans la base naturelle de RN et on note ||A|| : sup{l|A--'Bll | "fill < 1}- Première partie 1. Etant donné une matrice N >< N réelle symétrique A, démontrer les assertions suivantes : a) "A" est égal au maximum des valeurs absolues des valeurs propres de A. b) La plus grande valeur propre de A, notée À, est égale à la borne supérieure des nombres A ("îllî) où :D E RN et a: # O. c) Pour un élément a: de RN, on a Acc = Àa: si et seulement si (Aælæ) : À||oe||2. Dans la suite du problème, on désigne par E un ensemble de couples (i, j ) de {l, . .. ,N } >< {1,.... ,N}, tels que z' # j et que (i,j) E E implique (j,i) E E; on note ME l'ensemble des matrices N >< N réelles symétriques et dont les coefficients ai,j satisfont, pour z' # j : a... > 0 si (i,j) E E , a... = 0 dans le cas contraire . Deuxième partie \ Dans cette deuxième partie, on prend pour E l'ensemble des couples (i,z' + 1) et (i + 1, i) ou i=L...WN--L 2. Montrer que toutes les valeurs propres de toute matrice A de M E sont simples. Dans la suite de cette partie, on prend pour A la matrice, notée AN, de coefficients Ci...-=D, a....--=1 si (i,j) EE, tous les autres coefficients étant nuls. On note PN son polynôme caractéristique PN(X) == dét (X.?fld -- AN). On pose P1(X) : X. 3.51) Calculer P2 et P3. b) Écrire une relation donnant PN en fonction de PN_1 et PN_2. 0) Calculer dét A N. d) Le polynôme PN est--il pair, impair '? 4. Soit 33 un vecteur propre de A N associé à une valeur propre À, de coordonnées a:1, . . . ,oeN.' Exprimer cv,, en fonction de 501 et de Pk_1(À) pour lc : 2, . .. ,N, puis oeN_k en fonction de JDN et de Pk(À) pour k = 1,... ,N-- 1. 5.31) Démontrer les inégalités 6 4--. q=0 8.a) Montrer que (I) est un isomorphisme unitaire, et déterminer son inverse. b) On définit un endomorphisme \IJ de F par (WMP) = f(p -- 1) + f(p+ 1) . Calculer l'endomorphisme Q = (I) o \I/ o (I)--1. c) Déduire de ce qui précède une nouvelle démonstration de la question 7 .b). Quatrième partie On suppose maintenant que l'ensemble E satisfait la condition suivante : (C) Pour tout couple (i,j) EUR {1,... ,N} >< {1,... ,N}, z' # j, il existe un entier 17 > 1 et des indices kg,k1, . .. ,kp tels que ko = @, kp = j, (kq,kq+1) E E pour tout q = O, . .. ,p -- 1. On note A une matrice de M E, et À sa plus grande valeur propre. On se propose de démontrer le résultat suivant : (R) La valeur propre A est simple et le sous--espace propre correspondant EÀ dans RN contient un vecteur 513 ayant toutes ses coordonnées strictement positives. 9. Vérifier que, si un vecteur a: appartient a EÀ, il en est de même du vecteur |æ| de coordon-- nées [rm]. 10. On suppose que EÀ contient un vecteur a:, non nul, tel que a:i ; O pour tout z' et acl-0 = 0 pour un certain indice ig. 3) Montrer qu'il existe deux indices u et @ tels que æu = O, 1130 > 0 et (u, U) E E. b) On fixe u et 1) ayant la propriété ci--dessus. Pour tout 8 > 0 on définit un vecteur 5175 par ses coordonnées oe...;=oei si i7£u, oeEUR,u=e. ? Montrer que, pour tout 5 suffisamment petit, on & (Aoe5|oeEUR) (Aoelæ) HSEaH2 llflîll2 c) L'hypothèse faite au début de la question 10. est-elle valide ? 11. Démontrer le résultat (R).

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 X Maths 2 MP 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (ENS Ulm) ; il a été relu par Julien Tailleur (ENS Cachan) et Olivier Dudas (ENS Ulm). Ce problème propose d'étudier des propriétés de certaines matrices symétriques réelles. Il est constitué de quatre parties. Les trois dernières sont largement indépendantes et peuvent éventuellement être traitées dans le désordre. Elles utilisent les résultats de la première partie, qu'il ne faut donc pas négliger. · Dans la première partie, plutôt courte, il est demandé de démontrer trois caractérisations de la plus grande valeur propre d'une matrice symétrique réelle. Ces trois caractérisations sont classiques et doivent être connues. · La deuxième partie, plus longue, est aussi plus simple. Cependant, elle comporte un grand nombre de calculs assez rébarbatifs. Elle permet d'établir d'une part une propriété asymptotique sur des normes de matrices, d'autre part une propriété sur des sous-espaces propres. · La troisième partie propose de diagonaliser une matrice en utilisant deux méthodes différentes. C'est la plus calculatoire des quatre, mais cela reste assez simple. Il suffit de garder son calme et de bien poser les calculs. · La dernière partie est sans doute la plus difficile. Cependant, en pensant à bien utiliser les résultats de la première partie et en restant concentré jusqu'au bout, elle reste tout à fait abordable. Il s'agit d'un beau sujet d'algèbre linéaire dont les calculs, quoiqu'assez longs, sont relativement simples. Il permet en outre de démontrer le théorème de PerronFrobenius. Indications Première partie 1 Que peut-on dire d'une matrice réelle symétrique ? 1.a Introduire une base orthonormée de RN diagonalisant A. 1.b Un majorant qui est atteint est une borne supérieure. 1.c Pour l'implication réciproque, on peut décomposer un vecteur x satisfaisant (Ax | x) = kxk2 dans une base orthonormée de RN diagonalisant A et exprimer (Ax|x) et kxk2 en fonction de cette décomposition. Deuxième partie 2 Introduire un vecteur propre x = (x1 , . . . , xN ) de A et chercher des relations liant les xi . 3.b Développer det(X id -AN ) selon la première ligne ou la première colonne. 3.c Quel rapport y a-t-il entre det AN et PN ? 3.d Utiliser la formule de récurrence obtenue à la question 3.b. 4 Raisonner par récurrence sur k et utiliser à nouveau la formule obtenue à la question 3.b. 5.a Utiliser l'indication de l'énoncé et l'identité 2a2 + 2b2 - (a + b)2 = (a - b)2 . 5.b Utiliser les questions 1.a et 4 et introduire un vecteur propre de AN-1 correspondant à sa plus grande valeur propre en valeur absolue. 6 Utiliser les questions 1.a, 3.d, 4 et 5.b. Que peut-on dire du signe de PN (x) si x est un réel supérieur à N ? Troisième partie 7.a Quelles relations obtient-on en écrivant Ax = c x ? 7.b Utiliser la question 7.a. 7.c Utiliser les questions 7.a et 7.b. 8.a Identifier le produit scalaire sous-jacent. 8.c Quel lien existe-t-il entre l'endomorphisme et la matrice A ? Quatrième partie 9 Utiliser la question 1.c. 10.a Raisonner par l'absurde. 10.b Faire un développement limité. 10.c Utiliser les questions 1.b et 10.b. 11 Utiliser les questions 9 et 10 pour construire un vecteur x. Pour montrer que la valeur propre est simple, utiliser la question 10 pour montrer que tout vecteur de E est colinéaire au vecteur x construit. Première partie 1.a Comme A est une matrice symétrique réelle, elle est diagonalisable dans une base orthonormée et ses valeurs propres sont réelles. Il s'agit là d'un des théorèmes fondamentaux du programme. Il faut bien sûr le connaître parfaitement, mais aussi penser systématiquement à s'en servir dès que l'on rencontre des matrices symétriques réelles (ou des endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien). L'énoncé suggère dans son avant-propos d'identifier les matrices N×N réelles avec les endomorphismes qu'elles représentent dans la base naturelle de RN . C'est donc ce que nous faisons dans tout ce corrigé. Soit e = (e1 , . . . , eN ) une base orthonormée de RN qui diagonalise A. Pour tout i dans {1, . . . , N}, notons i la valeur propre de A associé à ei . Puisque ces valeurs propres sont en nombre fini, il en existe une de valeur absolue maximale. Fixons i0 {1, . . . , N} tel que |i0 | soit le maximum des valeurs absolues des valeurs propres de la matrice A. Il se peut très bien que la matrice A admette deux valeurs propres distinctes dont la valeur absolue est maximale, par exemple i0 et -i0 . Cela ne joue pas ici. Montrons tout d'abord que kAk 6 |i0 |. Soit x RN vérifiant kxk 6 1. Il suffit de montrer que kAxk 6 |i0 |. Écrivons x = x1 e1 + · · · + xN eN et calculons P N N P P kAxk2 = (Ax | Ax) = i xi ei j xj ej = i j xi xj (ei | ej ) i=1 j=1 16i,j6N La base e étant orthonormée, ie (ei | ej ) = cela donne kAxk2 = N P 1 0 si i = j sinon i 2 xi 2 . Puisque, pour tout i, |i | 6 |i0 |, on a i=1 kAxk2 6 N P i=1 soit i02 xi 2 = i02 N P xi 2 = i02 kxk2 6 i02 i=1 kAxk 6 |i0 | Ceci étant vrai pour tout x de norme inférieure ou égale à 1, |i0 | est un majorant de l'ensemble {kAxk | kxk 6 1} ; ce qui implique kAk 6 |i0 | Montrons maintenant que ce majorant |i0 | est atteint. En prenant x = ei0 , on trouve kAxk = |i0 | kei0 k, soit kAxk = |i0 | avec kxk = 1. Cela prouve que |i0 | est bien la borne supérieure de l'ensemble {kAxk | kxk 6 1}. En d'autres termes, kAk est égal au maximum des valeurs absolues des valeurs propres de A. Ce résultat est extrêmement classique. Il est important de le connaître et de savoir le démontrer car il revient fréquemment à l'écrit comme à l'oral des concours. 1.b Reprenons les notations introduites à la question 1.a. Soit e = (e1 , . . . , eN ) une base orthonormée de RN qui diagonalise A. Pour tout i dans {1, . . . , N}, notons i la valeur propre de A associé à ei . Soit x RN vérifiant x 6= 0. Écrivons x = x1 e1 + · · · + xN eN et calculons, en utilisant le caractère orthonormé de la base e P P N N N N P P (Ax | x) = i xi ei xj ej = i xi 2 6 xi 2 = kxk2 i=1 j=1 i=1 i=1 (Ax | x) 6 kxk2 soit car x 6= 0. Ainsi est un majorant des nombres (Ax | x)/kxk2 où x RN et x 6= 0. Montrons que ce majorant est atteint. Soit i0 {1, . . . , N} tel que = i0 . En prenant x = ei0 , on trouve (Ax | x) (i0 x | x) kxk2 = = i0 = 2 2 kxk kxk kxk2 Ce qui prouve que le majorant est atteint. On en déduit que est égale à la borne supérieure des nombres (Ax | x)/kxk2 où x RN et x 6= 0. Il faut bien faire attention à ne pas confondre « plus grande valeur propre » et « plus grande valeur propre en valeur absolue ». Ici est la « plus grande valeur propre » de A. Le maximum des valeurs absolues des valeurs propres de A, quant à lui, est égal à la borne supérieure des nombres |(Ax | x)|/kxk2 où x RN et x 6= 0. 1.c Soit x un élément de RN . Supposons Ax = x. On vérifie aisément (Ax | x) = (x | x) = kxk2 . Réciproquement, supposons (Ax|x) = kxk2 . Reprenons les notations (e1 , . . . , eN ) et (1 , . . . , N ) introduites aux questions 1.a et 1.b et décomposons x dans la base (e1 , . . . , eN ) : x = x1 e1 + · · · + xN eN . On a calculé à la question précédente (Ax | x) = N P i xi 2 i=1 Comme (Ax | x) = kxk2 , cela donne N P i xi 2 = i=1 soit N P i=1 N P xi 2 i=1 ( - i )x2i = 0