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| Thème de l'épreuve | Étude de certaines classes de matrices symétriques réelles |
| Principaux outils utilisés | produits scalaires, orthogonalité, matrices symétriques, développements limités, nombres complexes, raisonnement par récurrence |
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP
CONCOURS D'ADMISSION 2005
DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
***
Etude de certaines matrices symétriques réelles
Le but de ce problème est l'étude des valeurs propres et vecteurs propres de
certaines matrices
symétriques réelles. '
On désigne par N un nombre entier au moins égal à 2. On munit l'espace RN de
son produit
scalaire et de sa norme usuels notés respectivement ( | ) et || ||. On
identifie une matrice N >< N
réelle A avec l'endomorphisme qu'elle représente dans la base naturelle de RN
et on note ||A|| :
sup{l|A--'Bll | "fill < 1}-
Première partie
1. Etant donné une matrice N >< N réelle symétrique A, démontrer les assertions
suivantes :
a) "A" est égal au maximum des valeurs absolues des valeurs propres de A.
b) La plus grande valeur propre de A, notée À, est égale à la borne supérieure
des nombres
A
("îllî) où :D E RN et a: # O.
c) Pour un élément a: de RN, on a Acc = Àa: si et seulement si (Aælæ) :
À||oe||2.
Dans la suite du problème, on désigne par E un ensemble de couples (i, j ) de
{l, . .. ,N } ><
{1,.... ,N}, tels que z' # j et que (i,j) E E implique (j,i) E E; on note ME
l'ensemble des
matrices N >< N réelles symétriques et dont les coefficients ai,j satisfont,
pour z' # j :
a... > 0 si (i,j) E E , a... = 0 dans le cas contraire .
Deuxième partie
\
Dans cette deuxième partie, on prend pour E l'ensemble des couples (i,z' + 1)
et (i + 1, i) ou
i=L...WN--L
2. Montrer que toutes les valeurs propres de toute matrice A de M E sont
simples.
Dans la suite de cette partie, on prend pour A la matrice, notée AN, de
coefficients
Ci...-=D, a....--=1 si (i,j) EE,
tous les autres coefficients étant nuls. On note PN son polynôme caractéristique
PN(X) == dét (X.?fld -- AN). On pose P1(X) : X.
3.51) Calculer P2 et P3.
b) Écrire une relation donnant PN en fonction de PN_1 et PN_2.
0) Calculer dét A N.
d) Le polynôme PN est--il pair, impair '?
4. Soit 33 un vecteur propre de A N associé à une valeur propre À, de
coordonnées a:1, . . . ,oeN.'
Exprimer cv,, en fonction de 501 et de Pk_1(À) pour lc : 2, . .. ,N, puis oeN_k
en fonction de JDN
et de Pk(À) pour k = 1,... ,N-- 1.
5.31) Démontrer les inégalités
6
4--.
q=0
8.a) Montrer que (I) est un isomorphisme unitaire, et déterminer son inverse.
b) On définit un endomorphisme \IJ de F par
(WMP) = f(p -- 1) + f(p+ 1) .
Calculer l'endomorphisme Q = (I) o \I/ o (I)--1.
c) Déduire de ce qui précède une nouvelle démonstration de la question 7 .b).
Quatrième partie
On suppose maintenant que l'ensemble E satisfait la condition suivante :
(C) Pour tout couple (i,j) EUR {1,... ,N} >< {1,... ,N}, z' # j, il existe un
entier 17 > 1 et des
indices kg,k1, . .. ,kp tels que ko = @, kp = j, (kq,kq+1) E E pour tout q = O,
. .. ,p -- 1.
On note A une matrice de M E, et À sa plus grande valeur propre. On se propose
de démontrer
le résultat suivant :
(R) La valeur propre A est simple et le sous--espace propre correspondant EÀ
dans RN contient
un vecteur 513 ayant toutes ses coordonnées strictement positives.
9. Vérifier que, si un vecteur a: appartient a EÀ, il en est de même du vecteur
|æ| de coordon--
nées [rm].
10. On suppose que EÀ contient un vecteur a:, non nul, tel que a:i ; O pour
tout z' et acl-0 = 0
pour un certain indice ig.
3) Montrer qu'il existe deux indices u et @ tels que æu = O, 1130 > 0 et (u, U)
E E.
b) On fixe u et 1) ayant la propriété ci--dessus. Pour tout 8 > 0 on définit un
vecteur 5175
par ses coordonnées
oe...;=oei si i7£u, oeEUR,u=e.
?
Montrer que, pour tout 5 suffisamment petit, on &
(Aoe5|oeEUR) (Aoelæ)
HSEaH2 llflîll2
c) L'hypothèse faite au début de la question 10. est-elle valide ?
11. Démontrer le résultat (R).
X Maths 2 MP 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (ENS Ulm) ; il a été relu par Julien
Tailleur
(ENS Cachan) et Olivier Dudas (ENS Ulm).
Ce problème propose d'étudier des propriétés de certaines matrices symétriques
réelles. Il est constitué de quatre parties. Les trois dernières sont largement
indépendantes et peuvent éventuellement être traitées dans le désordre. Elles
utilisent les
résultats de la première partie, qu'il ne faut donc pas négliger.
· Dans la première partie, plutôt courte, il est demandé de démontrer trois
caractérisations de la plus grande valeur propre d'une matrice symétrique
réelle.
Ces trois caractérisations sont classiques et doivent être connues.
· La deuxième partie, plus longue, est aussi plus simple. Cependant, elle
comporte un grand nombre de calculs assez rébarbatifs. Elle permet d'établir
d'une
part une propriété asymptotique sur des normes de matrices, d'autre part une
propriété sur des sous-espaces propres.
· La troisième partie propose de diagonaliser une matrice en utilisant deux
méthodes différentes. C'est la plus calculatoire des quatre, mais cela reste
assez
simple. Il suffit de garder son calme et de bien poser les calculs.
· La dernière partie est sans doute la plus difficile. Cependant, en pensant à
bien
utiliser les résultats de la première partie et en restant concentré jusqu'au
bout,
elle reste tout à fait abordable.
Il s'agit d'un beau sujet d'algèbre linéaire dont les calculs, quoiqu'assez
longs,
sont relativement simples. Il permet en outre de démontrer le théorème de
PerronFrobenius.
Indications
Première partie
1 Que peut-on dire d'une matrice réelle symétrique ?
1.a Introduire une base orthonormée de RN diagonalisant A.
1.b Un majorant qui est atteint est une borne supérieure.
1.c Pour l'implication réciproque, on peut décomposer un vecteur x satisfaisant
(Ax | x) = kxk2 dans une base orthonormée de RN diagonalisant A et exprimer
(Ax|x) et kxk2 en fonction de cette décomposition.
Deuxième partie
2 Introduire un vecteur propre x = (x1 , . . . , xN ) de A et chercher des
relations
liant les xi .
3.b Développer det(X id -AN ) selon la première ligne ou la première colonne.
3.c Quel rapport y a-t-il entre det AN et PN ?
3.d Utiliser la formule de récurrence obtenue à la question 3.b.
4 Raisonner par récurrence sur k et utiliser à nouveau la formule obtenue à la
question 3.b.
5.a Utiliser l'indication de l'énoncé et l'identité 2a2 + 2b2 - (a + b)2 = (a -
b)2 .
5.b Utiliser les questions 1.a et 4 et introduire un vecteur propre de AN-1
correspondant à sa plus grande valeur propre en valeur absolue.
6 Utiliser les questions 1.a, 3.d, 4 et 5.b. Que peut-on dire du signe de PN
(x) si x
est un réel supérieur à N ?
Troisième partie
7.a Quelles relations obtient-on en écrivant Ax = c x ?
7.b Utiliser la question 7.a.
7.c Utiliser les questions 7.a et 7.b.
8.a Identifier le produit scalaire sous-jacent.
8.c Quel lien existe-t-il entre l'endomorphisme et la matrice A ?
Quatrième partie
9 Utiliser la question 1.c.
10.a Raisonner par l'absurde.
10.b Faire un développement limité.
10.c Utiliser les questions 1.b et 10.b.
11 Utiliser les questions 9 et 10 pour construire un vecteur x. Pour montrer que
la valeur propre est simple, utiliser la question 10 pour montrer que tout
vecteur de E est colinéaire au vecteur x construit.
Première partie
1.a Comme A est une matrice symétrique réelle, elle est diagonalisable dans une
base orthonormée et ses valeurs propres sont réelles.
Il s'agit là d'un des théorèmes fondamentaux du programme. Il faut bien sûr
le connaître parfaitement, mais aussi penser systématiquement à s'en servir
dès que l'on rencontre des matrices symétriques réelles (ou des endomorphismes
autoadjoints d'un espace euclidien).
L'énoncé suggère dans son avant-propos d'identifier les matrices N×N réelles
avec
les endomorphismes qu'elles représentent dans la base naturelle de RN . C'est
donc ce
que nous faisons dans tout ce corrigé.
Soit e = (e1 , . . . , eN ) une base orthonormée de RN qui diagonalise A. Pour
tout i
dans {1, . . . , N}, notons i la valeur propre de A associé à ei . Puisque ces
valeurs
propres sont en nombre fini, il en existe une de valeur absolue maximale. Fixons
i0 {1, . . . , N} tel que |i0 | soit le maximum des valeurs absolues des
valeurs propres
de la matrice A.
Il se peut très bien que la matrice A admette deux valeurs propres distinctes
dont la valeur absolue est maximale, par exemple i0 et -i0 . Cela ne joue
pas ici.
Montrons tout d'abord que kAk 6 |i0 |. Soit x RN vérifiant kxk 6 1. Il suffit
de montrer que kAxk 6 |i0 |. Écrivons x = x1 e1 + · · · + xN eN et calculons
P
N
N
P
P
kAxk2 = (Ax | Ax) =
i xi ei
j xj ej =
i j xi xj (ei | ej )
i=1
j=1
16i,j6N
La base e étant orthonormée, ie
(ei | ej ) =
cela donne kAxk2 =
N
P
1
0
si i = j
sinon
i 2 xi 2 . Puisque, pour tout i, |i | 6 |i0 |, on a
i=1
kAxk2 6
N
P
i=1
soit
i02 xi 2 = i02
N
P
xi 2 = i02 kxk2 6 i02
i=1
kAxk 6 |i0 |
Ceci étant vrai pour tout x de norme inférieure ou égale à 1, |i0 | est un
majorant
de l'ensemble {kAxk | kxk 6 1} ; ce qui implique
kAk 6 |i0 |
Montrons maintenant que ce majorant |i0 | est atteint. En prenant x = ei0 ,
on trouve kAxk = |i0 | kei0 k, soit kAxk = |i0 | avec kxk = 1. Cela prouve que
|i0 |
est bien la borne supérieure de l'ensemble {kAxk | kxk 6 1}. En d'autres termes,
kAk est égal au maximum des valeurs absolues des valeurs propres de A.
Ce résultat est extrêmement classique. Il est important de le connaître et de
savoir le démontrer car il revient fréquemment à l'écrit comme à l'oral des
concours.
1.b Reprenons les notations introduites à la question 1.a. Soit e = (e1 , . . .
, eN )
une base orthonormée de RN qui diagonalise A. Pour tout i dans {1, . . . , N},
notons i
la valeur propre de A associé à ei .
Soit x RN vérifiant x 6= 0. Écrivons x = x1 e1 + · · · + xN eN et calculons,
en utilisant le caractère orthonormé de la base e
P
P
N
N
N
N
P
P
(Ax | x) =
i xi ei
xj ej =
i xi 2 6 xi 2 = kxk2
i=1
j=1
i=1
i=1
(Ax | x)
6
kxk2
soit
car x 6= 0.
Ainsi est un majorant des nombres (Ax | x)/kxk2 où x RN et x 6= 0.
Montrons que ce majorant est atteint. Soit i0 {1, . . . , N} tel que = i0 .
En prenant x = ei0 , on trouve
(Ax | x)
(i0 x | x)
kxk2
=
= i0
=
2
2
kxk
kxk
kxk2
Ce qui prouve que le majorant est atteint. On en déduit que
est égale à la borne supérieure des nombres (Ax | x)/kxk2 où x RN et x 6= 0.
Il faut bien faire attention à ne pas confondre « plus grande valeur propre »
et « plus grande valeur propre en valeur absolue ». Ici est la « plus grande
valeur propre » de A. Le maximum des valeurs absolues des valeurs propres
de A, quant à lui, est égal à la borne supérieure des nombres |(Ax | x)|/kxk2
où x RN et x 6= 0.
1.c Soit x un élément de RN .
Supposons Ax = x. On vérifie aisément (Ax | x) = (x | x) = kxk2 .
Réciproquement, supposons (Ax|x) = kxk2 . Reprenons les notations (e1 , . . . ,
eN )
et (1 , . . . , N ) introduites aux questions 1.a et 1.b et décomposons x dans
la base
(e1 , . . . , eN ) : x = x1 e1 + · · · + xN eN . On a calculé à la question
précédente
(Ax | x) =
N
P
i xi 2
i=1
Comme (Ax | x) = kxk2 , cela donne
N
P
i xi 2 =
i=1
soit
N
P
i=1
N
P
xi 2
i=1
( - i )x2i = 0