X Maths 2 MP 2005

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2005

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Etude de certaines matrices symétriques réelles

Le but de ce problème est l'étude des valeurs propres et vecteurs propres de 
certaines matrices
symétriques réelles. '

On désigne par N un nombre entier au moins égal à 2. On munit l'espace RN de 
son produit
scalaire et de sa norme usuels notés respectivement ( | ) et || ||. On 
identifie une matrice N >< N réelle A avec l'endomorphisme qu'elle représente dans la base naturelle de RN et on note ||A|| : sup{l|A--'Bll | "fill < 1}- Première partie 1. Etant donné une matrice N >< N réelle symétrique A, démontrer les assertions suivantes : a) "A" est égal au maximum des valeurs absolues des valeurs propres de A. b) La plus grande valeur propre de A, notée À, est égale à la borne supérieure des nombres A ("îllî) où :D E RN et a: # O. c) Pour un élément a: de RN, on a Acc = Àa: si et seulement si (Aælæ) : À||oe||2. Dans la suite du problème, on désigne par E un ensemble de couples (i, j ) de {l, . .. ,N } >< {1,.... ,N}, tels que z' # j et que (i,j) E E implique (j,i) E E; on note ME l'ensemble des matrices N >< N réelles symétriques et dont les coefficients ai,j satisfont, pour z' # j : a... > 0 si (i,j) E E , a... = 0 dans le cas contraire .

Deuxième partie

\

Dans cette deuxième partie, on prend pour E l'ensemble des couples (i,z' + 1) 
et (i + 1, i) ou
i=L...WN--L

2. Montrer que toutes les valeurs propres de toute matrice A de M E sont 
simples.

Dans la suite de cette partie, on prend pour A la matrice, notée AN, de 
coefficients
Ci...-=D, a....--=1 si (i,j) EE,

tous les autres coefficients étant nuls. On note PN son polynôme caractéristique
PN(X) == dét (X.?fld -- AN). On pose P1(X) : X.

3.51) Calculer P2 et P3.

b) Écrire une relation donnant PN en fonction de PN_1 et PN_2.

0) Calculer dét A N.
d) Le polynôme PN est--il pair, impair '?

4. Soit 33 un vecteur propre de A N associé à une valeur propre À, de 
coordonnées a:1, . . . ,oeN.'
Exprimer cv,, en fonction de 501 et de Pk_1(À) pour lc : 2, . .. ,N, puis oeN_k 
en fonction de JDN
et de Pk(À) pour k = 1,... ,N-- 1.

5.31) Démontrer les inégalités

6
4--.

q=0

8.a) Montrer que (I) est un isomorphisme unitaire, et déterminer son inverse.

b) On définit un endomorphisme \IJ de F par
(WMP) = f(p -- 1) + f(p+ 1) .

Calculer l'endomorphisme Q = (I) o \I/ o (I)--1.

c) Déduire de ce qui précède une nouvelle démonstration de la question 7 .b).

Quatrième partie

On suppose maintenant que l'ensemble E satisfait la condition suivante :
(C) Pour tout couple (i,j) EUR {1,... ,N} >< {1,... ,N}, z' # j, il existe un entier 17 > 1 et des
indices kg,k1, . .. ,kp tels que ko = @, kp = j, (kq,kq+1) E E pour tout q = O, 
. .. ,p -- 1.

On note A une matrice de M E, et À sa plus grande valeur propre. On se propose 
de démontrer
le résultat suivant :
(R) La valeur propre A est simple et le sous--espace propre correspondant EÀ 
dans RN contient
un vecteur 513 ayant toutes ses coordonnées strictement positives.

9. Vérifier que, si un vecteur a: appartient a EÀ, il en est de même du vecteur 
|æ| de coordon--
nées [rm].

10. On suppose que EÀ contient un vecteur a:, non nul, tel que a:i ; O pour 
tout z' et acl-0 = 0
pour un certain indice ig.

3) Montrer qu'il existe deux indices u et @ tels que æu = O, 1130 > 0 et (u, U) 
E E.

b) On fixe u et 1) ayant la propriété ci--dessus. Pour tout 8 > 0 on définit un 
vecteur 5175
par ses coordonnées
oe...;=oei si i7£u, oeEUR,u=e.

?

Montrer que, pour tout 5 suffisamment petit, on &

(Aoe5|oeEUR) (Aoelæ)
HSEaH2 llflîll2

c) L'hypothèse faite au début de la question 10. est-elle valide ?

11. Démontrer le résultat (R).