X Maths 2 MP 2004

Thème de l'épreuve Courbure des surfaces dans R3
Principaux outils utilisés fonctions de plusieurs variables, calcul différentiel, équations différentielles, courbes paramétrées, calcul matriciel, déterminants, espaces euclidiens

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2004

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Courbures des surfaces dans l'espace R3

Ce problème propose une étude des surfaces de l'espace R3 et de leurs courbures 
totale et
moyenne. Pour tout entier n > O, l'espace R" sera muni de son produit scalaire 
et de sa norme
usuels notés respectivement (.l.) et ||..." La première partie est consacrée à 
des préliminaires

algébriques.

Première part ie

1. Soient a:..., . .. ,æ(") des éléments de R"+1,(oeÿ))j=l,___,n+l les 
composantes de :c(') dans
la base canonique de En". Pour tout k = 1, . .. ,n + 1 on note Vk le produit 
par (--1)""+1 du
déterminant de la matrice (a:ÿ') où @ : 1,...,n etj = 1,...,k-- 1,k+1,.... 
,n+1. On note V

le vecteur de R"+1 de composantes Vk.
La) Montrer que V est orthogonal à. tous les a:(').
1.b) Comparer les conditions suivantes :
i) V = 0
ii) la famille (æ('))i=1,...,n est liée.

1.0) Exprimer en fonction de HVH le déterminant des n + 1 vecteurs V, a:..., . 
. . ,æ(n) dans la
base canonique de Rn+1.

2.a) Montrer que, pour tout n-uple de vecteurs (a:..., . .. ,æ(n)) linéairement 
indépendants,
il existe un unique vecteur W(æ..., . . . ,,oe(")) ayant les propriétés 
suivantes

i) W(oe..., . .. ,æ(n)) est de norme 1 et orthogonal à tous les ai")

ii) le déterminant des n+1 vecteurs W(oe..., . . . ,oe(")),æ(1), . . . ,oe(") 
dans la base canonique
de Rn+1 est strictement positif.

2.b) Vérifier que, pour toute rotation R de Rn+1, on a
W(R(oe<1>),... ,R(oe("))) = R(W(oe...,... ,oe("))) .

3) Soit (el, . .. ,en) une base de R", Q la matrice de coefficients q...-- : 
(e,!ej).

3.a) Montrer que Q est inversible et diagonalisable. Que peut--on dire de ses 
valeurs propres ?

3.b) Soit ?) un vecteur de R", de coordonnées U,; dans la base (61, . .. ,en). 
Exprimer le
vecteur ligne (vl, . .. ,on) en fonction de Q et du vecteur ligne ((vie1),. .. 
, (view)).
Dans la suite du problème, on désigne par U une partie ouverte de R", par u : 
(ul, . . . ,un)

un élément quelconque de U, par F une application de classe C2 de U dans R"+1, 
par Ô,--F (resp.
ÔZ-ÔjF ) ses dérivées partielles d'ordre 1 (resp. 2). On suppose que les 
n--vecteurs (Ô,F)(u) sont
linéairement indépendants pour tout u, et on pose W(u) : W((ÔlF)(u), . .. 
,(ÛnF)(u)).

4.a) Vérifier que l'application u l--> W(u) est de classe C 1.
4.b) Comparer ((akW)(u)z(a--F)(U)) et (W(u)y(aakm(u)).

4.c) Démontrer l'existence et l'unicité de nombres réels a...(u) tels que l'on 
ait

<&W> = za.,,ffl(U1) 0 > .

0 __(1 + f'(u1)2)

7.e) Donner une fonction f élémentaire pour laquelle H (u) est nul pour tout u.

7 .d) Montrer que, pour tous nombres réels & et 5 , a > 0, il existe f 
satisfaisant
H(u) = 0 pour tout u , f(0) = oz , f'(O) =fi.

Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
7 .e) Calculer K (u) pour une telle fonction f.

8.) Indiquer, sans aucun calcul, des surfaces pour lesquelles K (u) et H (u) 
sont des constantes.

Troisième part ie

Dans cette partie, on se propose d'étudier l'effet d'un changement de 
paramétrage sur les
fonctions H et K.

Dans la 51tuat10n du début de la deux1ème part1e on note 8-- la matrice 
(Jacob1enne) de
u
. ÔF . ÛW
coeffic1ents (Æ)i,j : Ôsz'. Notation analogue pour Ë°

, . ÔW ÔF
9. Ver1fier que _ÔÎ= --à----u tA(u ).

On se donne maintenant un difléomorphisme @ de U sur un autre ouvert Ü de R2 et 
on
pose \Il=  1.Pour tout 11 EUR U on écrira aussi u-- -- (u); on pose F(u ) 
: F(u), (: est- a-dire

F: F o \II, et on note W(u), Â(u), K(u), H(u ) les objets définis à partir de F 
et 11 comme
W(u), A(u), K(u), H(u ) l'ont été a partir de F et u. On suppose U connexe par 
ares.

, ÔF ÔF Ô\II . ... ... -- N .
10.a) Exprimer % en ôfoynotion de % et ä' pu1s (ÔlF)(u) /\ (ÔgF)(U) en fonct10n 
de
(ÔiF)(u) /\ (Ô2F )(u )et dët %

10.b) Montrer qu'il existe 5 E {l, --1} tel que l'on ait W(ü) : EURW(u) pour 
tout 11 EUR U.

10.c) Exprimer Â(ü) en fonction de EUR,A(u ) et --Ô--\--II--.

Ôu

10.d) Comparer Ê(ü) et H(u),Ë(ü) et K(u).