X Maths 2 MP 2004

Thème de l'épreuve Courbure des surfaces dans R3
Principaux outils utilisés fonctions de plusieurs variables, calcul différentiel, équations différentielles, courbes paramétrées, calcul matriciel, déterminants, espaces euclidiens

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2004 DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** Courbures des surfaces dans l'espace R3 Ce problème propose une étude des surfaces de l'espace R3 et de leurs courbures totale et moyenne. Pour tout entier n > O, l'espace R" sera muni de son produit scalaire et de sa norme usuels notés respectivement (.l.) et ||..." La première partie est consacrée à des préliminaires algébriques. Première part ie 1. Soient a:..., . .. ,æ(") des éléments de R"+1,(oeÿ))j=l,___,n+l les composantes de :c(') dans la base canonique de En". Pour tout k = 1, . .. ,n + 1 on note Vk le produit par (--1)""+1 du déterminant de la matrice (a:ÿ') où @ : 1,...,n etj = 1,...,k-- 1,k+1,.... ,n+1. On note V le vecteur de R"+1 de composantes Vk. La) Montrer que V est orthogonal à. tous les a:('). 1.b) Comparer les conditions suivantes : i) V = 0 ii) la famille (æ('))i=1,...,n est liée. 1.0) Exprimer en fonction de HVH le déterminant des n + 1 vecteurs V, a:..., . . . ,æ(n) dans la base canonique de Rn+1. 2.a) Montrer que, pour tout n-uple de vecteurs (a:..., . .. ,æ(n)) linéairement indépendants, il existe un unique vecteur W(æ..., . . . ,,oe(")) ayant les propriétés suivantes i) W(oe..., . .. ,æ(n)) est de norme 1 et orthogonal à tous les ai") ii) le déterminant des n+1 vecteurs W(oe..., . . . ,oe(")),æ(1), . . . ,oe(") dans la base canonique de Rn+1 est strictement positif. 2.b) Vérifier que, pour toute rotation R de Rn+1, on a W(R(oe<1>),... ,R(oe("))) = R(W(oe...,... ,oe("))) . 3) Soit (el, . .. ,en) une base de R", Q la matrice de coefficients q...-- : (e,!ej). 3.a) Montrer que Q est inversible et diagonalisable. Que peut--on dire de ses valeurs propres ? 3.b) Soit ?) un vecteur de R", de coordonnées U,; dans la base (61, . .. ,en). Exprimer le vecteur ligne (vl, . .. ,on) en fonction de Q et du vecteur ligne ((vie1),. .. , (view)). Dans la suite du problème, on désigne par U une partie ouverte de R", par u : (ul, . . . ,un) un élément quelconque de U, par F une application de classe C2 de U dans R"+1, par Ô,--F (resp. ÔZ-ÔjF ) ses dérivées partielles d'ordre 1 (resp. 2). On suppose que les n--vecteurs (Ô,F)(u) sont linéairement indépendants pour tout u, et on pose W(u) : W((ÔlF)(u), . .. ,(ÛnF)(u)). 4.a) Vérifier que l'application u l--> W(u) est de classe C 1. 4.b) Comparer ((akW)(u)z(a--F)(U)) et (W(u)y(aakm(u)). 4.c) Démontrer l'existence et l'unicité de nombres réels a...(u) tels que l'on ait <&W> = za.,,ffl(U1) 0 > . 0 __(1 + f'(u1)2) 7.e) Donner une fonction f élémentaire pour laquelle H (u) est nul pour tout u. 7 .d) Montrer que, pour tous nombres réels & et 5 , a > 0, il existe f satisfaisant H(u) = 0 pour tout u , f(0) = oz , f'(O) =fi. Interpréter géométriquement le résultat obtenu. 7 .e) Calculer K (u) pour une telle fonction f. 8.) Indiquer, sans aucun calcul, des surfaces pour lesquelles K (u) et H (u) sont des constantes. Troisième part ie Dans cette partie, on se propose d'étudier l'effet d'un changement de paramétrage sur les fonctions H et K. Dans la 51tuat10n du début de la deux1ème part1e on note 8-- la matrice (Jacob1enne) de u . ÔF . ÛW coeffic1ents (Æ)i,j : Ôsz'. Notation analogue pour Ë° , . ÔW ÔF 9. Ver1fier que _ÔÎ= --à----u tA(u ). On se donne maintenant un difléomorphisme @ de U sur un autre ouvert Ü de R2 et on pose \Il=  1.Pour tout 11 EUR U on écrira aussi u-- -- (u); on pose F(u ) : F(u), (: est- a-dire F: F o \II, et on note W(u), Â(u), K(u), H(u ) les objets définis à partir de F et 11 comme W(u), A(u), K(u), H(u ) l'ont été a partir de F et u. On suppose U connexe par ares. , ÔF ÔF Ô\II . ... ... -- N . 10.a) Exprimer % en ôfoynotion de % et ä' pu1s (ÔlF)(u) /\ (ÔgF)(U) en fonct10n de (ÔiF)(u) /\ (Ô2F )(u )et dët % 10.b) Montrer qu'il existe 5 E {l, --1} tel que l'on ait W(ü) : EURW(u) pour tout 11 EUR U. 10.c) Exprimer Â(ü) en fonction de EUR,A(u ) et --Ô--\--II--. Ôu 10.d) Comparer Ê(ü) et H(u),Ë(ü) et K(u).

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 X Maths 2 MP 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) ; il a été relu par Walter Appel (Professeur en CPGE) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). L'objet du problème est clairement annoncé en préambule dans l'énoncé : il s'agit d'étudier deux caractéristiques classiques que l'on peut définir sur des surfaces de R3 , la courbure moyenne et la courbure totale. · La première partie introduit rigoureusement quelques notions concernant des hypersurfaces de dimension n de Rn+1 . Les deux premières questions concernent la définition du produit vectoriel de n vecteurs dans Rn+1 . Cet objet est utilisé, dans les questions suivantes, pour définir convenablement la normale à une hypersurface paramétrée. · La deuxième partie revient aux surfaces paramétrées de R3 . On y définit la courbure moyenne et la courbure totale ; suivent quelques exemples, dans lesquels des calculs sont effectués sur des cylindres et des surfaces de révolution. · La dernière partie consiste à montrer que les notions de courbure moyenne et de courbure totale sont invariantes par changement de paramétrage. Ce problème est assez classique dans sa problématique globale, et correspond globalement à un chapitre d'un cours de niveau première année de master de géométrie différentielle. Le fait de rendre un tel sujet accessible à des élèves de classe préparatoire est une démarche classique des sujets de l'École polytechnique. Remarquons également qu'il est possible de traiter la quasi-totalité du sujet sans comprendre vraiment la problématique. Indications Première partie 1.a Reconnaître dans le produit scalaire de V avec ei le déterminant d'un (n + 1)-uplet de vecteurs contenant deux fois ei . 1.c Développer le déterminant par rapport à sa première colonne. 2.b Utiliser la caractérisation de W établie à la question 2.a. 3.a Vérifier que Q = t P P, où P est la matrice ayant pour vecteurs colonnes les ei . 3.b Exprimer (v|ej ) en fonction des qij et des ei , puis ramener les égalités obtenues à une seule égalité matricielle. 4.b Reconnaître, dans la somme des deux termes, la dérivée partielle par rapport à la k e variable d'une fonction. 4.d Appliquer la question 3.b avec v = (j W)(u) et ei = (i F)(u). Deuxième partie 5 Utiliser le fait que R est une application linéaire (ce qui permet de faire facilement les calculs de dérivées partielles de composées). 6.a Effectuer les calculs de S(0) et Q(0). Compte tenu des hypothèses faites, on trouve r s A(0) = s t 7.a Calculer le produit vectoriel de (1 F)(u) avec (2 F)(u). 7.c Penser aux fonctions de trigonométrie hyperbolique. 7.d Utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz. 8 Tenter une extrapolation de ce que l'on connaît sur les courbes du plan à courbure constante. Troisième partie 9 Revenir strictement à la définition des ai,j (u) (question 4.c). e F F = . Pour la suite, prendre 10.a La composition des différentielles s'écrit : e u u e u les déterminants des matrices 2 × 2 extraites de chaque membre dans l'égalité précédente. 10.b Utiliser le résultat de la question 10.a. 10.c Vérifier que l'égalité à la question 9 caractérise la matrice A, et utiliser cette caractérisation. 10.d Nécessite le résultat de la question précédente. Première partie Notation : étant donnée une famille (y0 , y1 , . . . , yn ) de n + 1 vecteurs de Rn+1 , on notera tout au long de corrigé [y0 , y1 , . . . , yn ] le déterminant de cette famille de vecteurs dans la base canonique de Rn+1 . 1.a Soit i [[ 1 ; n ]]. On a (V|x(i) ) = n+1 P k=1 (i) Vk xk On reconnaît dans cette expression le développement par rapport à la première colonne de x(i) , x(1) , x(2) , x(3) , . . . , x(n) . On y trouve deux fois le vecteur (x(i) ). En conséquence, (V|x(i) ) = [x(i) , x(1) , x(2) , . . . , x(n) ] = 0 et donc V est orthogonal à tous les x(i) . 1.b Montrons que les deux conditions (i) et (ii) sont équivalentes en raisonnant par équivalences successives : V = 0; Vj = 0 pour tout j ; (i) chaque déterminant de taille n × n extrait de la matrice (xj )16j6n+1 , 16i6n c'est-à-dire obtenu en enlevant une ligne, est nul ; (i) la matrice (xj )16j6n+1 Mn,n+1 (R) est de rang strictement inférieur à n ; 16i6n (i) la famille des n vecteurs colonnes de la matrice (xj )16j6n+1 est liée ; 16i6n (i) la famille (x )16i6n est liée. (i) Afin d'avoir des notations en accord avec l'énoncé, xj la matrice (i) (xj )16j6n+1 16i6n est le terme de situé en j ligne et i colonne, ce qui est une convene e tion inhabituelle. 1.c Effectuons un développement par rapport à la première colonne du déterminant [V, x(1) , x(2) , . . . , x(n) ] ; il vient n+1 P [V, x(1) , x(2) , . . . , x(n) ] = Vk · Vk k=1 c'est-à-dire (1) [V, x (2) ,x (n) ,...,x ] = kVk2 'La construction de V est la généralisation à Rn+1 du produit vectoriel dans R3 . V est parfois appelé le produit vectoriel de x(1) , x(2) , . . . , x(n) . On note même parfois V = x(1) x(2) · · · x(n) . 2.a Pour l'existence, remarquons au préalable, en gardant les notations de la question 1, que comme la famille (x(1) , . . . , x(n) ) est libre, la question 1.b montre que V 6= 0 ; posons alors 1 W= V kVk De la sorte, par construction kWk = 1. De plus, la question 1.a montre que W est orthogonal à tous les x(i) , ce qui montre la condition (i). La question 1.c montre alors que [W, x(1) , . . . , x(n) ] = kVk > 0, ce qui montre la condition (ii). Pour l'unicité, comme la famille (x(1) , . . . , x(n) ) est libre, elle engendre un hyperplan de Rn+1 et son orthogonal est donc une droite vectorielle. Si W vérifie la condition (i), il appartient à cette droite vectorielle et est de norme 1. Sous ces deux conditions, le choix de W ne peut que se faire parmi deux vecteurs possibles : kVk-1 V ou bien son opposé. Comme le déterminant V, x(1) , . . . , x(n) est strictement positif, seul kVk-1 V vérifie à la fois les conditions (i) et (ii). 2.b Utilisons la caractérisation établie à la question 2.a de W R(x(1) ), . . . , R(x(n) ) . Si R est une rotation, c'est-à-dire que R SOn+1 (R), R préserve en particulier la norme et le produit scalaire et donc, en notant W = W(x(1) , . . . , x(n) ) : · kR(W)k = kWk = 1 (R préserve la norme) · R(W) R(x(i) ) = W x(i) = 0 (R préserve le produit scalaire) h i (1) (n) · R(W), R(x(1) ), . . . , R(x(n) ) = det >0 | {zR} W, x , . . . , x =1 La partie unicité de la question 2.a montre alors que W R(x(1) ), . . . , R(x(n) ) = R W(x(1) , . . . , x(n) ) 3.a Notons (ei,k )16k6n les coordonnées dans la base canonique du vecteur ei . n P On a donc qi,j = ei,k ej,k . Ainsi, si P désigne la matrice de passage de la base k=1 canonique de Rn à (e1 , . . . , en ), on reconnaît en qi,j le coefficient en position (i, j) t de la matrice P P. Ainsi, t Q = P P où P GLn (R) Q est inversible et symétrique, donc diagonalisable. donc Montrons que Q est définie positive : on a, pour x Rn r {0}, Px 6= 0 (vu que P est inversible) et t (Qx|x) = ( P Px|x) = (Px|Px) = kPxk2 > 0 Par suite, Les valeurs propres de Q sont strictement positives. En effet, si est valeur propre d'une matrice symétrique Q définie positive, et x un vecteur propre associé (en particulier, un vecteur non nul) alors (Qx|x) = kxk2 > 0, donc > 0. 3.b On a v = P vi ei , donc On en déduit que en encore (v|ej ) = n P vi qij . i=1 (v|e1 ), . . . , (v|en ) = (v1 , . . . , vn )Q (v1 , . . . , vn ) = (v|e1 ), . . . , (v|en ) Q-1 La formule établie, ainsi que le raisonnement, est valable dans tout espace euclidien de dimension n, et pas seulement Rn ; elle sera utilisée à la question 4.d dans le cas d'un hyperplan de Rn+1 .