X Maths 2 MP 2003

Thème de l'épreuve Étude de la trigonalisation simultanée d'endomorphismes unipotents
Principaux outils utilisés endomorphismes nilpotents, trigonalisation, commutant, propriétés de la trace
Mots clefs trace, sO(n, k), sous-algèbre, lemme de Schur

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2003 DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** 'I'rigonalisation simultanée d'endomorphismes unipotents Notations. On désignera par K le corps des réels ou celui des complexes; pour tout entier n > 1, on note M (n,K ) l'espace des matrices a n--lignes et n--colonnes à coefficients dans K et on l'identifie à l'espace des endomorphismes de K ". On note S O(n, R) le sous-ensemble de M (n, R) formé des matrices orthogonales de déterminant 1. La lettre E désignera toujours un K --espace vectoriel de dimension n > 1; L(E) désignera l'ensemble des endomorphismes de E et GL(E ) désignera celui des endomorphismes inversibles. On dit qu'une partie F de E est laissée stable par un endomorphisme T si l'on a T(F) C F. On appelle commutant d'une partie X d'une algèbre Y l'ensemble des éléments de Y qui commutent a tous les éléments de X. Première partie 1. Soit A une matrice de M (n,R), diagonale avec coefficients diagonaux a1, . .. ,on; on suppose qu'il existe deux indices i et j tels que ai # aj. Vérifier que si une matrice B commute a A, on a b...-- = O. 2. Déterminer le commutant de SO(2, R) dans M (2, R). 3.a) Montrer que, si n > 3, le commutant de SO(n, R) dans M (n, R) est formé de matrices diagonales. b) Déterminer ce commutant. Deuxième partie Une partie W de L(E) sera dite irréductible si {0} et E sont les seuls sous--espaces vectoriels de E laissés stables par tous les éléments de W. 4. Vérifier que, si E = R", n > 2, SO(n, R) est irréductible. 5. Vérifier que, si deux éléments A et B de L(E) commutent, tout sous--espace propre de l'un deux est laissé stable par l'autre. 6. Montrer que, si K = C, le commutant d'une partie irréductible de L(E) est réduit aux multiples scalaires de l'endomorphisme identité, id E. 7. Ce résultat subsiste--t-il lorsque K = R? Troisième partie Un élément A de L(E) est dit unipotent si A -- id E est nilpotent (c'est--à--dire s'il existe un entier [EUR > 0 tel que (A -- idE)k = 0). On se propose de démontrer que, si K = C et si G est un sous--groupe de GL(E) formé d'éléments unipotents, E admet une base dans laquelle tous les éléments de G sont représentés par des matrices triangulaires supérieures avec coefficients diagonaux égaux à 1. 8. Montrer que tout élément unipotent A est inversible, et déterminer la somme Z (id E -- A)". n20 9. Traiter le cas où n = 2 et où G est l'ensemble des puissances d'un élément go. Dans ce cas, est--il nécessaire de supposer K = C ? On suppose maintenant n > 1. On rappelle que K = C. 10. Vérifier que le sous--espace vectoriel W de L(E) engendré par G est une sous--algèbre de L(E). 11. Calculer Tr (g ---- idE), Tr (g), Tr ((g -- idE)g') pour g,g' E G. 12. Supposant en outre G irréductible, montrer que G est réduit à id E, et préciser la valeur de n. ' [On pourra utiliser le résultat suivant, qui sera démontré dans la quatrième partie : si K = C et si W est une sous--algèbre de L(E), irréductible et contenant id E, alors W = L(E)]. 13. Ne supposant plus G irréductible, démontrer l'existence d'un vecteur non nul a: de E tel que g(oe) = :c pour tout 9 E G. 14. Conclure. Quatrième part ie Le but de cette partie est de démontrer le résultat admis à la question 12. Procédant par l'absurde, on suppose W # L(E). On fixe une base (el, . .. ,en) de E et on identifie les éléments de L(E) a leurs matrices représentatives dans cette base. Pour tout z' = 1, . . . ,n on désigne par -- V.- l'ensemble des matrices A telles que a... = 0 si EUR # i; -- L.- l'application de E dans V}; définie par (Li(oe))k,EUR = 673,EUR 9% ; ---- P.; l'application de L(E) dans V.; définie par (Pi(A))l--c,£ = 51,5 Ak,i -- Enfin on note (1) l'application linéaire de L(E) dans L(L(E)) définie par (A), A E L(E) et OE(A)(Lz(oe)) = L.(A(oe)). b) (A) 0 PL-- = R- o (A). c) W n V.- est nul ou égal à Vi. 16. Construire un sous--espace vectoriel W' de L(E), supplémentaire de W et laissé stable par tous les <Ï>(A), A EUR L(E). On note 7r le projecteur de L(E) sur W parallèlement à W'; pour i,j = 1, . .. ,n, on pose A...- =L;10PjO7r0Li & L(E) . 17. Montrer que A...-- est un multiple scalaire de id E, que l'on notera &... id E. 18. Vérifier les égalités suivantes : &) 7r(idE) = idE. b) 2 L.)--(ei) = idE. C) Pz(ldE) = Li(EURz')- 19. Déterminer a.... 20. Conclure.

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 X Maths 2 MP 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (ENS Ulm) ; il a été relu par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) et Walter Appel (Professeur en CPGE). Cette épreuve d'algèbre linéaire se propose de démontrer un élégant théorème de coréduction : Si E est un C-espace vectoriel et si G est un sous-groupe de GL(E) formé d'éléments unipotents, alors il existe une base de E dans laquelle tous les éléments de G sont représentés par des matrices triangulaires supérieures dont les coefficients diagonaux sont égaux à un. Ce problème ne requiert pas l'utilisation de théorèmes complexes, mais une certaine dextérité dans la manipulation des matrices et une bonne intuition en algèbre linéaire. Dans la première des quatre parties de ce problème, on effectue les calculs classiques des commutants de SO(2, R) d'une part, et de SO(n, R) pour n > 3 d'autre part. Dans la deuxième, on montre que le commutant d'une partie irréductible de L(C n ) est trivial. La troisième constitue la démonstration proprement dite du théorème de coréduction annoncé. Enfin, dans la quatrième et dernière partie de ce problème, on établit le lemme « clef » de la démonstration de la partie précédente : la seule sous-algèbre irréductible de L(C n ) contenant idn est L(C n ) tout entier. Indications Première Partie 2 Qu'est-ce qu'un élément de SO(2, R) ? 3.a Utiliser la question 1. 3.b Utiliser la rotation d'angle /2 pour la dimension 2, et généraliser pour les dimensions supérieures. Deuxième Partie 4 Une matrice de SO(2, R) est une matrice de passage d'une base orthonormée directe vers une base orthonormée directe. 6 Utiliser la question 5. 7 Qu'a-t-on calculé dans la première partie ? Troisième Partie 8 Montrer que si x est nilpotent d'ordre p, alors (id -x) est inversible, d'inverse p-1 P xk . k=0 11 Quelle est la trace d'un endomorphisme nilpotent ? 12 Utiliser la question 11. 13 Faire une récurrence sur la dimension de E et utiliser la question 12. 14 Faire une récurrence sur la dimension de E et utiliser la question 13. Quatrième Partie 15.c Montrer que si x est un vecteur non nul de E, alors Wx = {w(x) w W} = E. 16 Construire W à partir de certains Vj qui ne sont pas dans W, en pensant au théorème de la base incomplète. 17 Montrer que Ai,j est dans le commutant de W. P 19 Calculer Ai,j (ei ). i 20 Utiliser les questions 15.c et 19. Première partie 1 Soit B une matrice de M (n, R) commutant a1 b1,1 a1 b1,2 a2 b2,1 a2 b2,2 AB = . .. .. . et an bn,1 a1 b1,1 a1 b2,1 BA = . .. a1 bn,1 an bn,2 a2 b1,2 a2 b2,2 .. . a2 bn,2 avec A. Alors, on a · · · a1 b1,n · · · a2 b2,n .. .. . . · · · an bn,n · · · an b1,n · · · an b2,n .. .. . . · · · an bn,n En identifiant les coefficients d'indice (i, j) dans l'égalité AB = BA, on trouve ai bi,j = bi,j aj . L'hypothèse ai 6= aj implique bien bi,j = 0 2 Le groupe SO(2, R) est constitué des matrices de la forme a -b b a où a et b sont des réels vérifiant a2 + b2 = 1. Soit A une matrice de M (2, R) commutant avec toute matrice de SO(2, R). Écrivons x y A= z t Soient a et b deux réels vérifiant a2 + b2 = 0. Calculons x y a -b a -b x y · = · z t b a b a z t xa + yb -xb + ya xa - zb ya - tb = za + tb -zb + ta xb + za yb + ta En mettant tous les termes de cette dernière égalité à gauche, il vient y+z t-x b =0 t - x -y - z En prenant (a, b) = (0, 1), on en déduit que x = t et y = -z. Réciproquement, il suffit de « remonter » les calculs pour vérifier que toute matrice de la forme x -y avec x R et y R y x commute avec toute matrice de SO(2, R). Le commutant de SO(2, R) est donc l'ensemble x -y x R, y R y x Il est indispensable de connaître le groupe SO(2, R). Il faut aussi savoir que le groupe des déplacements de l'espace affine R2 est constitué des rotations et des translations. Le commutant que l'on a calculé est en fait le groupe des similitudes, auquel on a ajouté la matrice nulle. 3.a Soit n > 3. Soit B M (n, R) commutant avec toute matrice de SO(n, R). Montrons que B est une matrice diagonale. Montrons d'abord que b1,2 est nul. Notons 1 0 0 e A 0 e = 0 -1 0 A= où A 0 In-3 0 0 -1 Alors A t A = In donc A O(n, R). De plus, comme son déterminant vaut 1, A est dans SO(n, R). Puisque B commute avec A, et comme a1 6= a2 , d'après la question 1, b1,2 est nul. De même, pour i et j distincts dans [[ 1 ; n ]], comme n > 3, on choisit un k dans [[ 1 ; n ]], distinct de i et de j. Alors, en utilisant la matrice diagonale A dont les coefficients diagonaux sont -1 si = j ou k a = 1 sinon on montre bi,j = 0. On en déduit que B est une matrice diagonale. Il est bon de connaître les différentes caractérisations des matrices orthogonales. La plus utile d'entres elles est sans doute celle utilisée ici : A O(n, R) t A A = In 3.b Soit B une matrice dans le commutant de SO(n, R). D'après la question 3.a, c'est une matrice diagonale. Notons (b1 , . . . , bn ) ses coefficients diagonaux et montrons que B = b1 In . Montrons par exemple b2 = b1 . Notons e 0 -1 A 0 e A= où A = 1 0 0 In-2 t Alors A A = In donc A O(n, R). En outre, e det In-2 = det A e =1 det A = det A. d'où A SO(n, R). Ainsi, A et B commutent. De plus, en notant e1 et e2 les deux premiers vecteurs de la base canonique de Rn , on a AB(e1 ) = A(b1 e1 ) = b1 e2 et BA(e1 ) = B(e2 ) = b2 e2 de sorte que b1 = b2 .