ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP
CONCOURS D'ADMISSION 2002
DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
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On attachem la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la
concision de la
rédaction.
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Dans les trois premières parties, on désigne par
. n et m des entiers > 0 tels que n { m;
0 E l'espace euclidien R" avec son produit scalaire usuel (--|) et la norme
associée |) - || ;
. ej, j = 1, . . . ,m, des éléments non nuls de E satisfaisant une condition de
la forme
VoeeE ana:n2 O;
. T l'endomorphisme de E défini par
T(fE) = Z(OEl6j)8j -
j
Si S est un endomorphisme de E, sa norme HS || est défini par
MSN = sup{llS(OE)ll = IIOEII I= 1}-
Première partie
1. Donner un exemple simple de famille (ej) satisfaisant une condition de la
forme (1).
2. Déterminer le sous--espace vectoriel de E engendré par les ej.
3. On prend n = 2, m = 3, 61 = (0,1), 82 : (--Jä/2, --1/2), 83 : («É/2, --1/2).
Déterminer
Z(oe|ej)2 et T.
j
4. Vérifier que T est autoadjoint, inversible et satisfait (T(æ) | a:) }
oz||æ||2 pour tout a: E E.
5. Comparer HT" et sup{(T(oe) |a:) : ||oe|| : 1}.
6. Trouver un réel 5 tel que (T_1(oe) |oe) < fl||æ||2 pour tout oe E E. Que peut--on dire de HT--1u? 7. On suppose que oz||æ||2 : Z(a: | «e,-)2 pour tout ac EUR E. Déterminer T. j Deuxième part ie On note F l'espace euclidien Rm, ( f1, . .. , f...) sa base naturelle, (|) F son produit scalaire naturel. On définit une application linéaire : E --> F par
<Ï>(îä) = Z(OE | e,) fj--
j
On pourra admettre qu'il existe une unique application linéaire 'Il : F --> E
satisfaisant
(OE(h) |oe) : (h|(oe))F pour tous a: E E, h E F.
8. Vérifier que l'on a \I/(h) : z hjej et \I! 0 (I) = T.
' j
On pose êj : T _1(ej) et on définit une application linéaire &) : E ----> F par
N
<æ> = 2 (a: | ê.)fæ
j
9. Vérifier que l'on a F : Im <Î> @ (Im )l.
10. Étant donné un élément a: de E, déterminer le minimum des nombres 2 h? pour
les
]
familles (il,-) vérifiant a: = 2 hj ej, et préciser pour quelles familles (hj)
ce minimum est atteint.
j
11. Expliquer ce qui se passe dans chacun des cas suivants :
a) les 6,- forment une base de E;
b) les 6,- forment une base orthonormale de E ;
c) on a cv||a:||2 : z (a: | ca,--)2 pour tout 33 E E.
j
Troisième part ie
On se propose, dans cette partie, de résoudre l'équation T (a:) = y par une
méthode d'itéra--
tions successives. On pose
a= inf{(T(æ) |a:) : ||oe|| = 1} , b= "TH;
onadonc O< & < b. Pour tout réels > 0 on pose V$ =idE--ST.
12. Montrer que l'on a
llell = maX(l1 -- MI, |1 -- MI),
13. Déterminer le minimum C de la fonction 3 |--> ||Vsll, préciser pour quelle
valeur 30 de s
il est atteint, et montrer que C E [0,1[. A quelle condition C est--il égal à 0
?
[Il est conseillé de dessiner les courbes représentatives des fonctions 3
l----> |1 -- a sl et 3 r----> |1 -- b si ].
On fixe un élément y de E et on définit une application U de E dans lui--même
par
U(oe) = a: + 30(y -- T(oe)) .
14. Étant donné a: et oe' EUR E, comparer ||U(oe) -- U(oe')H et Ulla: -- a:'||.
15. On désigne par 5130 un élément de E et on pose, pour tout entier n > O, oen
= U "(:m).
Etudier le comportement de la suite (:un). Oonclure.
Quatrième partie
Dans cette partie, on désigne par
. E un espace préhilbertien réel;
0 T un endomorphisme continu de E (on ne le suppose pas autoadjoint) ;
o 270 et yo des éléments de E.
Pour tout réel 3 > 0 on définit une application U 5 de E dans lui--même par
Us(üî) = 513 + 8(y0 -- T(OE)) -
16.a) Trouver une condition portant sur T suffisante pour que l'on ait une
majoration de la
forme
HidE --3T||2 { 1 --2as+b232
avec a > 0, b réel.
b) Trouver alors une condition portant sur E, impliquant que la suite 313" = U
ÿ(oe0) soit
convergente pour un 3 convenable; préciser dans ce cas la nature (injectif'?,
surjectif?) de T.
