X Maths 2 MP 2002

Thème de l'épreuve Étude d'une classe particulière d'endomorphismes d'un espace euclidien
Principaux outils utilisés espaces préhilbertiens et euclidiens, orthogonalité, endomorphismes auto-adjoints, théorème du point fixe de Picard
Mots clefs théorème de Picard

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2002

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

On attachem la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la 
concision de la
rédaction.

***

Dans les trois premières parties, on désigne par
. n et m des entiers > 0 tels que n { m;
0 E l'espace euclidien R" avec son produit scalaire usuel (--|) et la norme 
associée |) - || ;

. ej, j = 1, . . . ,m, des éléments non nuls de E satisfaisant une condition de 
la forme

VoeeE ana:n2  O;

. T l'endomorphisme de E défini par

T(fE) = Z(OEl6j)8j -

j
Si S est un endomorphisme de E, sa norme HS || est défini par

MSN = sup{llS(OE)ll = IIOEII I= 1}-

Première partie

1. Donner un exemple simple de famille (ej) satisfaisant une condition de la 
forme (1).

2. Déterminer le sous--espace vectoriel de E engendré par les ej.

3. On prend n = 2, m = 3, 61 = (0,1), 82 : (--Jä/2, --1/2), 83 : («É/2, --1/2). 
Déterminer
Z(oe|ej)2 et T.

j
4. Vérifier que T est autoadjoint, inversible et satisfait (T(æ) | a:) } 
oz||æ||2 pour tout a: E E.

5. Comparer HT" et sup{(T(oe) |a:) : ||oe|| : 1}.

6. Trouver un réel 5 tel que (T_1(oe) |oe) < fl||æ||2 pour tout oe E E. Que peut--on dire de HT--1u? 7. On suppose que oz||æ||2 : Z(a: | «e,-)2 pour tout ac EUR E. Déterminer T. j Deuxième part ie On note F l'espace euclidien Rm, ( f1, . .. , f...) sa base naturelle, (|) F son produit scalaire naturel. On définit une application linéaire  : E --> F par

<Ï>(îä) = Z(OE | e,) fj--
j
On pourra admettre qu'il existe une unique application linéaire 'Il : F --> E 
satisfaisant

(OE(h) |oe) : (h|(oe))F pour tous a: E E, h E F.

8. Vérifier que l'on a \I/(h) : z hjej et \I! 0 (I) = T.
' j

On pose êj : T _1(ej) et on définit une application linéaire &) : E ----> F par

N

<æ> = 2 (a: | ê.)fæ
j
9. Vérifier que l'on a F : Im <Î> @ (Im )l.

10. Étant donné un élément a: de E, déterminer le minimum des nombres 2 h? pour 
les

]
familles (il,-) vérifiant a: = 2 hj ej, et préciser pour quelles familles (hj) 
ce minimum est atteint.
j

11. Expliquer ce qui se passe dans chacun des cas suivants :
a) les 6,- forment une base de E;

b) les 6,- forment une base orthonormale de E ;

c) on a cv||a:||2 : z (a: | ca,--)2 pour tout 33 E E.
j

Troisième part ie

On se propose, dans cette partie, de résoudre l'équation T (a:) = y par une 
méthode d'itéra--
tions successives. On pose

a= inf{(T(æ) |a:) : ||oe|| = 1} , b= "TH;

onadonc O< & < b. Pour tout réels > 0 on pose V$ =idE--ST.

12. Montrer que l'on a
llell = maX(l1 -- MI, |1 -- MI),

13. Déterminer le minimum C de la fonction 3 |--> ||Vsll, préciser pour quelle 
valeur 30 de s
il est atteint, et montrer que C E [0,1[. A quelle condition C est--il égal à 0 
?

[Il est conseillé de dessiner les courbes représentatives des fonctions 3 
l----> |1 -- a sl et 3 r----> |1 -- b si ].

On fixe un élément y de E et on définit une application U de E dans lui--même 
par

U(oe) = a: + 30(y -- T(oe)) .
14. Étant donné a: et oe' EUR E, comparer ||U(oe) -- U(oe')H et Ulla: -- a:'||.

15. On désigne par 5130 un élément de E et on pose, pour tout entier n > O, oen 
= U "(:m).
Etudier le comportement de la suite (:un). Oonclure.

Quatrième partie

Dans cette partie, on désigne par
. E un espace préhilbertien réel;
0 T un endomorphisme continu de E (on ne le suppose pas autoadjoint) ;
o 270 et yo des éléments de E.

Pour tout réel 3 > 0 on définit une application U 5 de E dans lui--même par
Us(üî) = 513 + 8(y0 -- T(OE)) -

16.a) Trouver une condition portant sur T suffisante pour que l'on ait une 
majoration de la
forme

HidE --3T||2 { 1 --2as+b232

avec a > 0, b réel.

b) Trouver alors une condition portant sur E, impliquant que la suite 313" = U 
ÿ(oe0) soit
convergente pour un 3 convenable; préciser dans ce cas la nature (injectif'?, 
surjectif?) de T.