X/ENS Maths A MP-MPI 2025

ECOLE POLYTECHNIQUE
ECOLES NORMALES SUPERIEURES
CONCOURS D'ADMISSION 2025

LUNDI 14 AVRIL 2025
08h00 - 12h00
FILIERES MP-MPI

-

Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES A (XULSR)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Notations
. On note N l'ensemble des entiers naturels strictement positifs.
. On note C le corps des nombres complexes. Tous les espaces vectoriels sont 
sur C.
. On note C[X] l'anneau des polynômes en une indéterminée X à coefficients 
complexes et C(X)
le corps des fractions rationnelles en X.
. Pour m et n entiers naturels, on note Mm,n (C) l'espace des matrices de 
taille m × n. Lorsque
l'on a m = n on le note simplement Mm (C). On note GLm (C) le groupe des 
matrices inversibles
dans Mm (C).
. On note 0m,n la matrice nulle de Mm,n (C). On note 0m (resp. Im ) la matrice 
nulle (resp. la
matrice identité) de Mm (C).
. Étant donné deux matrices carrées M1 et M2 , on construit une matrice 
diagonale par blocs :

M1 0
diag(M1 , M2 ) =
,
0 M2

où les « 0 » désignent des matrices nulles de tailles convenables. La notation 
s'étend naturellement à un nombre fini de matrices carrées (M1 , . . . , Ms ) 
appelées alors blocs diagonaux de la
matrice ainsi construite.
. Étant donné un entier naturel s non nul et une s-liste (1 , . . . , s )  Cs , 
on note diag(1 , . . . , s )
la matrice diagonale s × s dont les coefficients diagonaux sont, dans l'ordre, 
1 , . . . , s .
. Dans ce problème, étant donné un entier naturel r non nul, on appelle bloc de 
Jordan de
taille r la matrice r × r suivante :

0 0 ··· ··· 0
.. 
 ..
. ...
1
.

 .
.
.

. . ... 
..
Jr = 0 . .

. .
.
.
..
. . 0
 .. . .
0 ··· 0
1 0
(tous les coefficients de Jr sont nuls sauf
 ceux d'indice (j +1, j) pour 1  j  r-1, qui valent 1).
La matrice J1 est la matrice nulle 0 .
. Une matrice est dite diagonale par blocs de Jordan si elle est diagonale par 
blocs avec des
blocs diagonaux qui sont des blocs de Jordan.
. Étant donné un espace vectoriel V , on note idV l'identité de V .
. Étant donné un espace vectoriel V et un endomorphisme u de V , un sous-espace 
W de V
est dit stable par u si u(W )  W . On note alors uW l'endomorphisme de W induit 
par u,
c'est-à-dire uW : W  W , v 7 u(v).

Objectifs et structure du problème
. Le premier objectif du problème est de donner une démonstration du fait 
qu'une matrice
nilpotente est semblable à une matrice diagonale par blocs dont les blocs 
diagonaux sont des
blocs de Jordan. Après la partie I, qui regroupe quelques résultats utiles pour 
la suite, la
démonstration occupe les parties II à IV.
. Une fois ce théorème établi, on en démontre dans la partie V une version dite 
« graduée », c'està-dire en présence d'une matrice diagonalisable satisfaisant 
à certaines relations particulières. Ce
résultat est utilisé pour donner une forme normale pour les matrices des 
couples d'applications
linéaires (u1 : V1  V2 , u2 : V2  V3 ).
. Enfin, dans la partie VI, on utilise la version « graduée » de la partie 
précédente pour classer
les couples de matrices rectangulaires à équivalence simultanée près.
1

I

Questions préliminaires

1

Restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable
Soit V un espace vectoriel de dimension finie, soit h un endomorphisme de V et 
soit W un sousespace stable par h. On note hW l'endomorphisme de W induit par 
h, c'est-à-dire hW : W  W ,
v 7 h(v). Démontrer que si h est diagonalisable, alors hW est aussi 
diagonalisable.

2

Un invariant matriciel
Pour une matrice carrée M et un entier naturel k non nul, on note
k (M ) = - dim ker M k-1 + 2 dim ker M k - dim ker M k+1 .
a) Démontrer que si deux matrices carrées M et M 0 sont semblables, alors k (M 
) = k (M 0 )
pour tout k.
b) Soit r un entier naturel non nul. Vérifier que pour tout entier k non nul, k 
(Jr ) vaut 1 si
k = r et 0 sinon.
c) Soient M1 et M2 deux matrices carrées et soit M = diag(M1 , M2 ). Démontrer 
la relation
dim ker M = dim ker M1 + dim ker M2 puis que pour tout entier k non nul,
k (M ) = k (M1 ) + k (M2 ).
On pourra utiliser sans le démontrer le fait que toutes ces relations 
s'étendent à une matrice
diagonale par blocs diag(M1 , . . . , Ms ).

II

Algèbre linéaire sur les polynômes de Laurent
L'espace des polynômes de Laurent est le sous-espace vectoriel noté C[X ±1 ] de 
C(X) engendré
par la famille (X k )kZ . C'est une sous-algèbre de C(X). On note D = X -1 C[X 
-1 ] le sous-espace
vectoriel de C[X ±1 ] engendré par la famille libre (X -j )jN : c'est un 
supplémentaire de C[X]
dans C[X ±1 ] :
C[X ±1 ] = D  C[X].
On note  : C[X ±1 ]  D la projection sur D parallèlement à C[X]. Ainsi, pour F  
C[X ±1 ],
si F =

q
X

k

fk X  C[X

±1

] avec p et q entiers naturels, alors (F ) =

k=-p

3

-1
X

fk X k .

k=-p

L'application linéaire b et l'endomorphisme 
On note b : C[X ±1 ]  D l'application linéaire qui à un polynôme de Laurent F 
associe
b ) = (XF ) et  = bD ,
(F
c'est-à-dire l'endomorphisme de D induit par b (la lettre  (« xi ») évoque le 
produit par X).

b ).
a) Soit F un élément de C[X ±1 ]. Démontrer que b (F ) = (F
b) Soit P un polynôme et soit F un élément de D. Démontrer que P ()(F ) =  P F 
).

4

Image et noyau des puissances de 
Soit n un entier naturel. Démontrer que  n est surjectif et donner une base du 
noyau de  n .

5

Sous-espaces cycliques
Soit r un entier naturel non nul. Démontrer que le plus petit sous-espace 
vectoriel Dr de D
contenant X -r et stable par  admet pour base (X k-r )0kr-1 . Écrire la matrice 
de l'endomorphisme Dr induit par  sur Dr dans cette base.

2

III

6

Prolongements compatibles
Soit V un espace vectoriel de dimension finie muni d'un endomorphisme u 
nilpotent. On suppose
qu'il existe un sous-espace vectoriel W de V stable par u et une application 
linéaire  : W  D
tels que
   =   uW .
Étant donné un sous-espace W 0 de V qui contient W et qui est stable par u, on 
dit que  admet
un prolongement à W 0 compatible avec u s'il existe une application linéaire 0 
: W 0  D telle
que
(i) la restriction de 0 à W est  ;
(ii)   0 = 0  uW 0 .
Le but de cette partie est de démontrer que  admet un prolongement à V 
compatible avec u.
Prolongement compatible avec u donné par un vecteur
Dans cette question, on suppose que W est strictement inclus dans V et on fixe 
un vecteur v
de V qui n'appartient pas à W .
a) Vérifier que l'ensemble

I = P  C[X], P (u)(v)  W
est un idéal de C[X].
b) Démontrer qu'il existe un entier naturel n tel que X n  I. En déduire que I 
est engendré
par le monôme X r pour un entier naturel r convenable que l'on ne demande pas 
de préciser.
c) Soit W 0 le sous-espace de V défini par

W 0 = P (u)(v) + w, P  C[X] et w  W .
Vérifier que W 0 contient W et v et qu'il est stable par u.
On note

Gv =  ur (v) .
d)

Démontrer qu'il existe un élément Fv de D tel que
Gv =  r (Fv ).

e) Soit P un polynôme et soit w un élément de W . Démontrer que si P (u)(v) = 
w, alors
P ()(Fv ) = (w).
f ) Soit x un élément de W 0 . Soit P un polynôme et soit w un élément de W 
tels que x =
P (u)(v) + w. Démontrer que l'élément 0 (x) = P ()(Fv ) + (w) ne dépend que de 
x et pas du
choix de P et w. Vérifier alors que l'application 0 ainsi définie est un 
prolongement de  à W 0
compatible avec u (il n'est pas demandé de vérifier que 0 est linéaire, ce que 
l'on admettra).

7

Prolongement à V compatible avec u
Démontrer que  admet un prolongement  à V compatible avec u.

IV

Théorème de décomposition pour les endomorphismes nilpotents

8

Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur C et soit u un endomorphisme 
de V . On
suppose que u est nilpotent d'indice n, c'est-à-dire que un = 0 et un-1 6= 0.
Scindage d'un sous-espace cyclique maximal
On choisit un vecteur v0 tel que un-1 (v0 ) n'est pas nul.

3

a) Vérifier que la famille v0 , u(v0 ), . . . , un-1 (v0 ) est libre et que le 
sous-espace W qu'elle
engendre contient v0 et est stable par u. Écrire la matrice de l'endomorphisme 
induit uW dans
cette base.
b) Démontrer qu'il existe une application linéaire  : W  D injective telle que  
= uW .
D'après la partie III, cette application linéaire  admet un prolongement  : V  
D compatible
avec u.
c) Vérifier que l'image de  est contenue dans le noyau de  n .
d) Démontrer que le noyau de  est un supplémentaire de W stable par u.
9

Théorème de décomposition : existence
Soit u un endomorphisme nilpotent d'un espace vectoriel V de dimension finie.
Démontrer qu'il existe une base de V , un entier naturel s et des entiers 
naturels non nuls
r1  · · ·  rs dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs et dont les 
blocs diagonaux
sont des blocs de Jordan Jr1 , . . . , Jrs de tailles respectives r1 , . . . , 
rs .
(Les expressions « diagonale par bloc » et « bloc de Jordan » sont définies 
dans les préliminaires.)

10

Théorème de décomposition : unicité de la taille des blocs
Démontrer que le nombre s et les tailles des blocs r1 , . . . , rs qui 
apparaissent dans la question 9
ne dépendent que de u et pas du choix de la base. On pourra utiliser la 
question 2 .

V

Version « graduée » du théorème de décomposition
Dans cette partie, on se donne :
-- un espace vectoriel V de dimension finie ;
-- un endomorphisme nilpotent u de V ;
-- un entier naturel N non nul et le nombre complexe (« zêta »)
 = exp

2i
;
N

-- un endomorphisme inversible h de V tel que
hN = idV

et h  u  h-1 = u.

11

Propriétés de h
a) Démontrer que h est diagonalisable.
b) Soit j un entier naturel strictement plus petit que N . En notant Vj = ker(h 
-  j idV ) et
VN = V0 , vérifier que u(Vj )  Vj+1 .
c) Calculer, pour k entier relatif, hk  u  h-k et, pour l entier naturel, h  ul 
 h-1 .

12

Recherche d'un supplémentaire stable
Soit W un sous-espace vectoriel de V stable par u et h. On suppose que W admet 
un supplémentaire W 0 stable par u et on cherche un supplémentaire de W stable 
par u et h.
Soit p le projecteur sur W parallèlement à W 0 .
a) Vérifier que u et p commutent.
On note

N -1

1 X k
p=
h  p  h-k .
N k=0
b) Démontrer que l'image de p est incluse dans W et que pour w dans W , on a 
p(w) = w.
c) En déduire que p est un projecteur et que son image est W .
d) Démontrer soigneusement que p commute avec u et h.
e) En déduire que le noyau de p est un supplémentaire de W et qu'il est stable 
par u et h.
4

13

Version « graduée » du théorème de décomposition
a) Soit n l'indice de u, c'est-à-dire l'entier tel que un-1 6= 0 et un = 0. 
Démontrer qu'il existe
un vecteur v tel que v est un vecteur propre de h et un-1 (v) 6= 0.
b) Démontrer qu'il existe une base de V dans laquelle les matrices de u et h 
sont diagonales
par blocs et les blocs diagonaux sont respectivement de la forme
Jr

et Dr,a = diag( a ,  a+1 , . . . ,  a+r-1 )

pour r  N et a  {0, . . . , N - 1} convenables.
On appellera (r, a) le type d'un tel couple de matrices (Jr , Dr,a ).
14

Un exemple
Dans cette question, on suppose de plus que
N = 4 et

ker(h - idV ) = {0}.

Pour j  {0, . . . , 3}, on note Vj = ker(h -  j idV ). D'après 11 b), la donnée 
de u équivaut à la
donnée des deux applications linéaires u1 : V1  V2 et u2 : V2  V3 induites par 
u.
a) Vérifier que u3 = 0.
b) Construire des couples (u, h) qui donnent lieu à six types différents de 
couples de blocs
diagonaux (Jr , Dr,a ) dans la version « graduée » du théorème de décomposition.
c) Démontrer que le nombre de blocs de chaque type est déterminé par la donnée 
des trois
dimensions dj = dim Vj (1  j  3) et des trois rangs r1 = rg u1 , r2 = rg u2 et 
r21 = rg(u2  u1 ).

VI

Classification des couples de matrices rectangulaires
Dans toute la suite, on fixe deux entiers naturels m et n non nuls. On souhaite 
étudier les
classes d'équivalence de couples de matrices (A, B)  Mn,m (C) × Mm,n (C) pour 
la relation
suivante : on dit que deux couples (A, B) et (A0 , B 0 ) sont simultanément 
équivalents s'il existe
deux applications linéaires  : Cm  Cn et  : Cn  Cm et des bases e et e0 de Cm 
et f et f 0
de Cn telles que A et A0 soient les matrices de  dans (e, f ) et (e0 , f 0 ) et 
B et B 0 celles de 
dans (f , e) et (f 0 , e0 ) respectivement.
Pour (A, B) dans Mn,m (C) × Mm,n (C) on définit les matrices (m + n) × (m + n) 
suivantes :

0m B
Im 0m,n
MA,B =
et H =
.
A 0n
0n,m -In

15

Une réduction
Soient (A, B) et (A0 , B 0 ) deux couples de matrices dans Mn,m (C) × Mm,n (C). 
Démontrer que
les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) (A, B) et (A0 , B 0 ) sont simultanément équivalents ;
(ii) il existe P  GLm (C) et Q  GLn (C) telles que A0 = QAP -1 et B 0 = P BQ-1 ;
(iii) il existe R  GLm+n (C) telle que MA0 ,B 0 = RMA,B R-1 et H = RHR-1 .
Désormais, on fixe les matrices A et B et on note simplement M à la place de 
MA,B .

16

Deux applications linéaires : décomposition
a) Calculer H 2 , HM H -1 et, pour un polynôme P de C[X], calculer HP (M )H -1 .
b) Démontrer que si un nombre complexe  est une valeur propre de M , alors - 
est aussi
une valeur propre de M avec la même multiplicité.

5

17

18

c) Soit M le polynôme caractéristique de M . On l'écrit M = X r Q où r est un 
entier et Q
est un polynôme dont le coefficient constant n'est pas nul. Justifier 
brièvement que
Cm+n = ker M r  ker Q(M )
et vérifier que ces sous-espaces sont stables par H.
On dit que deux couples de matrices (M, H) et (M 0 , H 0 ), toutes de même 
taille p × p, sont
simultanément semblables s'il existe R  GLp (C) tel que M 0 = RM R-1 et H 0 = 
RHR-1 .
Deux applications linéaires : cas nilpotent
Dans cette question, on suppose que M est nilpotente.
Démontrer que (M, H) est simultanément semblable à un couple de matrices 
diagonales par
blocs dont les blocs diagonaux sont respectivement de la forme

0r B0
Ir 0
et
,
A0 0s
0 -Is
où r et s sont des entiers naturels avec |r -s|  1 et A0 et B0 forment l'un des 
couples suivants :

0 ··· ··· 0

1 0 ··· 0 0
.. 
 ..
.
1
.
 . . . . . . .. .. 

 .
. .
0
0 . . . . . ... 
A0 =  . .
;
et
B
=

0

 .. . . . . . 0 ... 

. .
.
. . 0
 .. . .
0 · · · 0 1 0 s×(s+1)
0 · · · 0 1 (s+1)×s

0 ··· ··· 0
1 0 ··· 0
.. 
 ...
 . . . . . . .. 
.
.
1
0
= Ir
et
B0 =  .
= Jr ;
A0 =  . .

.
.
. . ... 
. . 0
0 . .
 .. . .
0 · · · 0 1 r×r
0 0
1 0 r×r

0 ··· ··· 0
1 0 ··· 0
.. 
 ...
 . . . . . . .. 
.
.
1
0
= Ir ;
A0 =  .
= Jr
et
B0 =  . .

.
.
.
. . .. 
. . 0
0 . .
 .. . .
0 · · · 0 1 r×r
0 0
1 0 r×r

0 ··· ··· 0

1 0 ··· 0 0
.. 
 ..
.
1
.
 . . . . . . .. .. 
 .

. .
0
.
.

.
.
.
A0 = 0
.
et
B0 =  . .

.
. .
.
. . 0 ... 
 .. . .
. .

.
. . 0
 .. . .
0 · · · 0 1 0 r×(r+1)
0 · · · 0 1 (r+1)×r
Deux applications linéaires : cas inversible
Dans cette question, on suppose que M est inversible.
a) Démontrer que m = n et que A et B sont inversibles.
b) Démontrer que (M, H) est simultanément semblable à un couple de matrices 
diagonales
par blocs dont les blocs diagonaux sont de taille paire et sont respectivement 
de la forme

0r B1
Ir 0r
et
,
A1 0r
0r -Ir
où
A1 = Ir

et B1 = Ir + Jr

pour r entier non nul et  complexe non nul convenables.
6