X/ENS Maths A MP 2022

ECOLE POLYTECHNIQUE
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2022

LUNDI 25 AVRIL 2022
08h00 - 12h00

FILIERE MP - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES A (XLSR)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

- NOTATIONS ET RAPPELS

e Dans tout le problème, p désigne un entier strictement positif.

e On note N l'ensemble des entiers naturels. Pour tous entiers a et b dans N 
tels que
a < b, on note [a,b] = {neNl|a e(a) [| To(i)i
oEGp i=1
où pour tout j EUR [1,p], on a noté x; -- (x;;)isien EUR IR. En particulier, si 
on note
(x1l---1[%,) la matrice de taille p x p élément de M,(R) dont les colonnes sont 
données

par les vecteurs æ1,...,%,, on a donc l'égalité [21,...,x%,] = det((x1}---[x,)) 
où det est

le déterminant usuel.

e Si F et G sont deux R-espaces vectoriels, on dit que f : FP -- G est 
p-linéaire alternée

si pour tout u = (u1,...,u,) EUR FP et tout i EUR ]1,p], l'application

y > f (us, ... ,Uj-1, y, Ui+1, + , Up)

de F dans G est linéaire et pour tout oe G, on a
flu-o)=e(o)f{u)

oùuu:o-- (Uo(i )1gi 1 
muni

de son produit scalaire (x,y) > {x,y). On note pour x EUR E, [x] = {x,x)!/? la 
norme

associée.
e Pour tout entier g non nul, et toute famille (u1,...,u,) d'éléments de Æ, 
Vect(u:1,...,wy)

désigne le sous-espace vectoriel de Æ engendré par u1,...,U4.

e Pour tous u = (u1,...,u,) et vu = (v1,...,v,) dans EP, on note Gram(u, v), la 
matrice

carrée de M,(R) définie pour tous à, j EUR [1,p] par

Gram(u,v);,; = Qui, v;).

2/6
- PARTIE Î

Soient V et V' deux sous-espaces de Æ de dimension p (on rappelle que p > 1).
1) (a) Montrer qu'il existe u, EUR V et u! EUR V" de norme 1 tels que
1
Qu,u1) = sup{ (a, a)|(a,a)eV x V', ja] = al =1}.
(b) Étendre ce résultat en montrant qu'il existe une famille u = (u1,...,u,) de

vecteurs de V et une famille u" = (u,...,u,) de vecteurs de V" telles que u

et u' soient orthonormées et vérifient les deux conditions suivantes :
(i) Pour k=1,ona
Qu) =sup{ (aa) |(aa)eV x V', al = al =1}.
(ii) Pour k EUR [2,p], on a
ur, ux) = sup{ (a,a)|(aa)evV x V', al = la = 1
(a, uw) =  1, on a uy = u,, pour tout 1 < k < dim(V n V"). (3) (a) Montrer que u est une base orthonormée de V. (b) Montrer que pour k EUR [1,p -- 1], on a u, EUR Vect(uz:1,..., up)". (Indication : On pourra considérer l'application t -- ut) -- EST pour tousteR etle [k+1,p] ainsi que sa dérivée.) (ce) Montrer que uy,1 EUR (Vect(u1,...,ux)+Vect(u,...,u,))} pour tout 4 élément de [1,p --1]. (d) En déduire que les sous-espaces Wx = Vect(ux,u,) pour k EUR [1,p] sont or- thogonaux deux à deux. (4) (a) Montrer qu'il existe 0 < 4 < --: < 0, < n/2 tel que cos(@x) = ; Mie; pour tout à EUR [1,p]. Montrer que Q,(e') = det(W)0, (e).

(b) Soit e EUR EP. Montrer que (,(e) Z 0 si et seulement si e est une famille 
libre.
(c) Vérifier que Q,(e)(e) > 0 pour toute famille e EUR EP.
Dans la suite pour tout e EUR EP, on appelle p-volume de e la quantité
vol,(e) = 4/Q,(e)(e) = (det(Gram(e, e))!/?.
(8) (a) Calculer vol,(b) lorsque b = (b1,...,b,) est une famille orthonormée de 
vec-
teurs de À.

(b) On suppose ici que p > 2. Soit e -- (e1,...,e,) EUR EP. On note pr la
projection orthogonale sur l'orthogonal de l'espace engendré par la famille

es = (e2,...,e,). Montrer que vol,(e) = |pr(e:)|vol,_1(e5).

(c) Pour toute famille libre e = (e1,...,e,) EUR EP, montrer que vol, (e) < ] [°_, le; avec égalité si et seulement si e est une famille de vecteurs orthogonaux 2 à 2. (9) (a) Montrer que si e EUR EP est une famille libre et si b EUR EP est une base ortho- normée de Vect(e), alors vol,(e) = | det(P*)| où Pf est la matrice de passage debàäei.e.e; = D 5, (Pf);;b; pour tout j EUR [1,p]. (b) Montrer que pour tous e,e' EUR EP, on à [Q,(e)(e')| < vol,(e)vol,(e'). 4/6 - PARTIE III Soient EUR = (e1,...,EUR4) une base orthonormée de Æ, p un entier tel que 1 < p < d et T, = {a = (i1,..., 9) EUR NP | 1  w(ea)w" (ex).

AE»

(10) (a) Montrer que pour tout w EUR &,(E,R), on à w = » er, W(ea)(p(Ea) -

(b) En déduire que (w,w') - (w,w') est un produit scalaire sur ,(E,R) pour
lequel (Q,(ea))aez, est une base orthonormée de ,(E,R) et donner la di-

mension de %,(F,R).
(c) Construire dans le cas p = d -- 1 une isométrie entre ,(E,R) et Æ.

(11) On considère u,v EUR E?. Montrer que
Q(u)(v) = Hu), Q(v)).

(12) Montrer que le produit scalaire (w,w') --- {w,w') défini par (1) ne dépend 
que du

produit scalaire sur Æ et non du choix de la base orthonormée e.

- PARTIE IV

Soit p EUR [1,4]. On définit une relation sur l'ensemble des bases d'un 
sous-espace V de
dimension p de E par : e et e" sont en relation si det.(e') > 0 où det.(e') est 
le déterminant
de e' dans la base e. On admet que cette relation est une relation 
d'équivalence sur
l'ensemble des bases de V pour laquelle il existe exactement deux classes 
d'équivalence
appelées orientations de V. Un sous-espace orienté est un couple (V,C') où C' 
est une
orientation de V.

On note Gr(p. E) l'ensemble des sous-espaces orientés de dimension p de E.

(13) (a) Montrer que si e et e" sont deux familles libres de cardinal p de E 
alors Q,(e)

et (Q,(e') sont colinéaires si et seulement si Vect(e) = Vect(e').

(b) Montrer que pour tout sous-espace vectoriel orienté (V,C') de dimension p
de E, il existe une unique Y(V, C) EUR ,(E, R) tel que pour toutee Con a
Q,(e) = vol,(e)Y(V,C).

5/6
(14) On munit Z,(E,R) du produit scalaire introduit dans la partie II.

(a) Vérifier que Y : (V,C) > Y(V.C) est une injection de Gr(p, E) dans la sphère
de rayon 1 de (FE, R).

(b) Montrer que Y(Gr(p, E)) est une partie compacte de (FE, R).

(15) Montrer que Y(Gr(p. E)) est une partie connexe par ares de À, (EF, R) si 
et seule-

ment si p