X/ENS Maths A MP 2021

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMI SSION 2021

LUNDI 12 AVRIL 2021
08h00 - 12h00

FILIERE MP - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES A (XLCR)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Sous-groupes finis de GL, (2)

Ce sujet traite de l'étude des cardinaux possibles pour les sous-groupes finis 
de
GL,(Z). Le but est de démontrer que pour tout n EUR N*, il existe une borne (ne 
dé-
pendant que de n) sur le cardinal des sous-groupes finis de GL, (Z), d'en 
expliciter une,
et d'en donner une majoration raffinée dans le cas des sous-groupes dont le 
cardinal est
une puissance d'un nombre premier.

Les préliminaires contiennent des résultats pouvant être utiles dans toute la 
suite du
sujet.

Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes. La partie 4 est largement 
indépendante des
autres, mais utilise le résultat de la dernière question de la partie 3.

Notations

-- Les lettres N, Z, ©, R, C désignent respectivement l'ensemble des entiers 
natu-
rels, des entiers relatifs, des nombres rationnels, des nombres réels, des 
nombres
complexes. La notation N° désigne l'ensemble des entiers naturels non nuls.

-- Six ER, on note [x] la partie entière de x, c'est-à-dire le plus grand 
entier k tel
que k < x. -- Si E est un ensemble fini, on note card(Æ) son cardinal. -- Si a,b E Z, on note b | a si b divise a, et b f a dans le cas contraire. -- Sia,a,bE Z, on note a = a' (mod b) si b[(a' -- à). -- Sig > 2 est un nombre premier et a EUR Z, on note v,(a) le plus grand entier 
vw tel
que q° | a.

-- Pour n EUR N*, G, désigne le groupe des permutations de l'ensemble 
{1,...,n}, et
e : G, -- {+1} désigne le morphisme signature.

-- Pour k,n EUR N, on notera () -- le nombre de parties à Æ éléments dans un
ensemble à n éléments.

-- Tous les anneaux considérés dans ce sujet sont unitaires.

-- Si R est un anneau commutatif et n EUR N°, on définit M, (R) comme 
l'ensemble des
matrices carrées de taille n à coefficients dans À. On pourra utiliser 
librement le fait
que l'addition coefficient par coefficient et la multiplication matricielle 
munissent
M, (R) d'une structure d'anneau.

-- Si Rest un anneau commutatif et À EUR M, (R), en notant (a;;)1<;; 0 tel que g* = e. Dans ce cas, l'ordre 
de g est
le plus petit entier d > 0 tel que gY = e.

-- SizeCet dE N*, on dit que z est une racine d-ième de l'unité si 2% = 1. S'il
existe d EUR N* tel que z EUR EUR soit une racine d-ième de l'unité, on dira 
simplement
que z est une racine de l'unité.

Page 2
Préliminaires

1. Soit z EUR C une racine de l'unité. Justifier que |z| = 1.

2. Soit 9 EUR GL,(C), et soit d EUR N*. On suppose que g est d'ordre d. 
Démontrer que g est
diagonalisable, et que toutes ses valeurs propres sont des racines d-ièmes de 
l'unité.

3. joit m EUR N, et soit q EUR N*.
(a) Démontrer que card({1 < k < m tels que g | k}) = 1%]: (b) En déduire que si q est premier, v,(m!) = 57? Lol. 1 Éléments d'ordre fini de GL, (7) Le but de cette partie est de démontrer que l'ensemble des ordres possibles pour les éléments d'ordre fini de GL,(Z) est fini. On commence par détailler le cas n = 2. Soit 9 EUR GbL2(Z). On suppose que g est d'ordre fini d EUR N*. 1. Démontrer que |Tr(g)| < 2. 2. On suppose que les valeurs propres de g sont réelles, déterminer les valeurs possibles pour d. 3. On suppose maintenant que g n'a pas de valeurs propres réelles. Démontrer que le polynôme caractéristique de g est l'un des polynômes suivants : X? +1, X? + X + IX? X +1. 4. En déduire que d EUR {1,2,3,4,6}. On traite maintenant le cas de GL,(Z) où n > 1 est un entier quelconque.

5. Soit P = X" +5" a;X° e C[X] unitaire de degré n. On note z,...,2, les racines
de P (comptées avec multiplicité) et à = max1<;<» [2]. Démontrer que pour tout O 3 un entier. Soit g EUR GL,(Z). On suppose que g est d'ordre fini 
et que
g -- 1, à tous ses coefficients divisibles par m. Soit À = (g -- I, )/m.

(a) Montrer que À est diagonalisable sur C, et que pour toute valeur propre À de
À, on à [A] < 1. (b) En déduire qu'il existe & EUR N tel que A7 = 0. (c) Conclure que g = 1,. 2. Soit G est un sous-groupe fini de GL,(Z), et soit m > 3 un entier.

Page 3
(a) Démontrer que l'application M,(Z) -- M,(Z/mZ) de réduction modulo m des
coefficients induit une application injective G -- M,(Z/mZ).

(b) En déduire que card(G) < 3°. 3 Traces des éléments d'un p-sous-groupe de GL, (7) Soit p un nombre premier et r > 1 un entier. Dans cette partie, on suppose que G
est un sous-groupe de cardinal p" de GL,(Z). Le but de cette partie est de 
déterminer
l'ensemble des valeurs possibles pour les traces des éléments de G.

1. Soit { un nombre premier.
(a) Démontrer que pour tout 1 < k < { -- 1, l'entier (°) est multiple de &. (b) Soit À un anneau. On note {R -- {{x, x EUR R}. Démontrer que pour tous x,y EUR R tels que xy = yx, on a (x + y)" -- (x° + y) EUR LR. 2. Soit À un anneau commutatif, et soit { un idéal de À. Soient n EUR Net A BE M, (R). On suppose que tous les coefficients de B sont dans l'idéal 7. Démontrer que det(A+B)-det AE T. 3. Soit { EUR N un nombre premier. Démontrer que pour tout polynôme P EUR Z{[X\|, on a : P(X°) -- P(X)" EUR EZIX]. 4. Soit M EUR M, (Z), et soit £ EUR N un nombre premier. (a) Justifier qu'il existe À EUR M, (ZIX)) telle que (XI, -- M} -- (XI -- M') = LA. (b) Démontrer que Xwe(X°) -- xm(X}° EUR LZIX] (c) En déduire que Tr(M°) = Tr(M) (mod /). 5. Soit g EUR G. Démontrer que Tr(g) = n (mod p). 6. Soit g EUR G et soit { un nombre premier. On suppose que £ > 2n. Démontrer 
que

Lg) = Tr(g).
7. Soit & EUR N non divisible par p. On note

m=k+p I[ Û.

{ premier
1<2n { ne divise pas k (a) Justifier que tous les facteurs premiers de m sont strictement supérieurs à 2n. (b) En déduire que pour tout g EUR G, Tr(g*) = Tr(g). 8. On note J, = {1 < k < p° -- 1 tels que pk}. (a) Démontrer que J, = Üi.c,r-1 tps +t tels que 1  (di -- pl si C est d'ordre p .
JE Jr 0 sinon

9. Soit g EUR G. On note no la multiplicité de 1 comme racine de Y,, et n1 le 
nombre
de racines Ç de x, d'ordre p (comptées avec multiplicité). Démontrer que Tr(g) =
No -- p--1:

10. On note a = |]. Soit g EUR G, démontrer que Tr(g) EUR {n -- pv [0  ca Ir(g)° est un entier divisible par card(G). On en déduit une borne 
uniforme
sur le cardinal des sous-groupes finis de GL,, (Z) dont le cardinal est une 
puissance d'un
nombre premier.

1. Soit G C GL,(C) un sous-groupe fini. Soit f -- io duyea 9 EUR Ma(C).
(a) Démontrer que f est un projecteur sur {x EC" [VE G, g(x) = x}.
(b) En déduire que »,,4 Tr(g) est un entier divisible par card(G).

2. Soient k,n EUR N*. Pour g EUR GL,(C) et h EUR GL4(C), on note g @ h la 
matrice par
blocs, de taille nk x nk, définie par :

gui gi2h *-- Ginh

ob Qih *:. +. Gonh
9 --

Qi +++ ++ GQunh

Justifier les affirmations suivantes :
(i) si g EUR GL,(C) et h EUR GL4(C), Tr(g & À) = Tr(g)Tr(h).
(ii) si g,g EUR GL,(C) et À,h! EUR GL4(C), (9 @ h)(g @ h') = gg & hh'.
(ii) si g EUR GL,(C) et h EUR GL4(C), 9 © h EUR GL,4(C) et (g@hR) = gl ER.
3. Soient l', [" des groupes finis et © : [ -- I" un morphisme de groupes. Soit 
H = ker ç.

(a) Soit y EUR L". Démontrer que w$7!({+'}) est vide ou de la forme 7H = {yh|h 
EUR H}
pour un certain y EUR Ï.

(b) Démontrer que card(l) = card(w(T))card(H).
4. Pour g EUR GL,(C), on définit par récurrence sur s : g0) = get g5+1) = 45) @ 
g. Soit
s > 1, on définit l'application :
Ds : GLh(C) -- GL,:(C).
go go
Soit G un sous-groupe fini de GL, (C).
(a) Justifier que 4, est un morphisme de groupes et démontrer que :

d_ Tr(g)' -- card(G N ker 4.) > Tr(g

geG g'Eps(G)

(b) En déduire que ÿ_ - Tr(g)° est un entier divisible par card(G).

gEG

Soit p un nombre premier et soit r EUR N*. Soit G un sous-groupe de GL, (Z) de 
cardinal

Tr

p'.
5. On rappelle qu'on a noté a -- | Pour 1 < 7 < a, on note 7; = n -- pj, et P(X) -- [iéj 

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Maths A MP 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Pierre Bosch (professeur en CPGE) et Céline Chevalier (enseignant-chercheur 
à
l'université).

L'objet de ce sujet est l'étude des sous-groupes finis de GLn (Z), l'ensemble 
des
matrices inversibles à coefficients entiers dont l'inverse est encore à 
coefficients entiers.
Il traite plus particulièrement de l'étude des cardinaux possibles pour les 
sous-groupes
finis de GLn (Z).
Comme le présente l'énoncé lui-même, le but est de démontrer, pour tout entier 
n  N , l'existence d'une borne (ne dépendant que de n) pour le cardinal des
sous-groupes finis de GLn (Z), d'en expliciter une, et d'en donner une 
majoration
raffinée dans le cas d'un p-sous-groupe, c'est-à-dire d'un sous-groupe dont le 
cardinal
est une puissance d'un nombre premier p.
Les trois premières parties sont indépendantes. La quatrième est largement 
indépendante des autres, mais utilise le résultat de la dernière question de la 
troisième
partie.
· Quelques questions préliminaires de réduction et d'arithmétique utiles tout au
long du sujet permettent un début d'épreuve facile.
· Dans la partie I, on s'intéresse aux éléments d'ordre fini de GLn (Z). Si n = 
2,
on montre qu'il n'y a que 5 ordres possibles, les entiers 1, 2, 3, 4 et 6. On 
établit
plus généralement que l'ensemble des ordres possibles dans GLn (Z) est fini.
· Dans la partie II, on prouve que tout sous-groupe fini de GLn (Z) est de 
cardinal
2
inférieur à 3n .
· La troisième partie s'attache à démontrer que la trace de toute matrice d'un
p-sous-groupe quelconque de GLn (Z) ne peut prendre qu'un nombre fini de
valeurs parmi un ensemble décrit en fonction de n et p uniquement :
{n - pj | 0 6 j 6 bn/(p - 1)c}
· Dans la quatrième et dernière partie, on se sert d'une loi appelée produit de
Kronecker sur les matrices pour raffiner la majoration de la partie II. On 
établit
notamment, pour tout sous-groupe G de GLn (Z) de cardinal pr avec p premier,
et pour tout entier s  N ,
X
(Tr g)s est un entier divisible par pr
gG

On en déduit que le cardinal de tout p-sous-groupe de GLn (Z) est majoré
par 4n .
Ce sujet aborde principalement les thématiques d'algèbre linéaire générale, 
polynômes, groupes, réduction, et arithmétique. Nombre de questions sont très 
classiques
et aucune ne comporte de difficulté insurmontable pour tout candidat solidement
préparé sur les thèmes évoqués. Il fallait cependant une grande aisance et du 
recul
sur ces notions d'algèbre pour traiter tout le problème dans le temps imparti.

Indications
Préliminaires
P.3.a Expliciter l'ensemble en question pour le mettre en bijection avec un 
sousensemble de N.
P.3.b Commencer par dénombrer les entiers de [[ 1 ; m ]] qui sont multiples de 
q i , mais
non multiples de q i+1 .
Partie 1
1.1 La trace d'une matrice est la somme de ses valeurs propres complexes.
1.2 Quels nombres complexes de module 1 sont réels ?
1.3 Considérer l'expression du polynôme caractéristique pour une matrice carrée
de taille 2. On pourra d'abord justifier que det g = 1.
1.4 Quelles sont les valeurs propres possibles pour une matrice ayant un 
polynôme
caractéristique parmi ceux de la question 1.3 ?
1.5 Utiliser les relations coefficients-racines pour les polynômes scindés.
1.6 Se servir du résultat de la question 1.5 en remarquant que toutes les 
valeurs
propres d'une matrice d'ordre fini sont de module 1.
1.7 Montrer que l'ordre de tout élément g de GLn (Z) d'ordre fini est un 
diviseur
d'un entier  indépendant de g, construit en utilisant les racines des polynômes
de la question 1.6.
Partie 2
2.1.a Pour l'inégalité, exprimer les valeurs propres de A en fonction de celles 
de g,
puis appliquer l'inégalité triangulaire gauche.
2.1.b Montrer d'abord que Ak ---- 0 pour la norme infinie.
k+

2.1.c La matrice g est diagonalisable ; quel est son spectre ?
2.2.a Si a et b dans G ont la même réduction modulo m, montrer que ab-1 = In en
utilisant la question 2.1.
Partie 3
3.1.a Remarquer en premier lieu que ` divise k!

`
k

.

3.1.b Comment développer une somme de termes qui commutent mise à une puissance 
entière ?
3.2 Utiliser la formule sommatoire du déterminant, et développer un produit du
n
Q
type
(ai + bi ).
i=1

3.3 Commencer par appliquer le résultat de 3.2 avec R = Z[X] et P =

n
P

ai Xi ,

i=0

puis utiliser le petit théorème de Fermat pour conclure.
3.4.a Pour ` > 3 premier, alors ` est impair : considérer le résultat de la 
question 3.1.b.
3.4.b Se servir du résultat de la question 3.2.
3.4.c Relier la trace au polynôme caractéristique et décomposer M` (X` ) - M 
(X` )
en accord avec les résultats des questions 3.3 et 3.4.b.

3.5 Utiliser le résultat de la question 3.4.c avec ` = p.
3.6 Prouver que Tr g  [[ -n ; n ]] pour tout g  G.
3.7.a Raisonner par l'absurde et distinguer les cas suivant qu'un diviseur ` de 
m
vérifiant ` 6 2n divise k ou non.
3.7.b Noter que g m = g k pour tout g  G, puis considérer un diviseur premier 
de m
avec le résultat de la question 3.7.a.
3.8.a Remarquer que Jr est un simple intervalle d'entiers privé des multiples 
de p.
3.8.b Écrire la somme à calculer en utilisant le résultat de la question 3.8.a.
3.9 Les valeurs propres de g sont des racines pr -ièmes de l'unité. Utiliser le 
résultat
de la question 3.7.b pour tout j  Jr , et sommer les traces de g j en se 
souvenant
de la question 3.8.b.
3.10 Utiliser le résultat de la question 3.5, puis celui de la question 3.9, en 
notant
que n0 et n1 sont inférieurs à n.
Partie 4
4.1.a Commencer par calculer f pour tout   G.
4.1.b Que vaut la trace d'un projecteur ?
4.2.i Expliciter la diagonale de g  h.
4.2.ii Faire le produit par blocs de taille (k, k) pour (g  h)(g 0  h0 ).
4.2.iii Utiliser le résultat donné par la question 2.ii.
4.3.a Distinguer les cas suivant que  0  Im  ou non.
4.3.b Utiliser la question 3.a en considérant des éléments deux à deux distincts
composant Im . Quel est le cardinal de H pour tout   G ?
4.4.a Raisonner par récurrence en utilisant
Pla question 2.ii. Regrouper ensuite les
images égales par s , pour calculer
s (g).
gG

4.4.b Se servir du résultat démontré à la question 4.3.b.
4.5.a Utiliser la question 3.10 et déterminer l'ensemble des g  G dont la trace 
est n
pour exprimer la somme en fonction de P(n). Ensuite, appliquer le résultat de
la question 4.4.b, en examinant à part le cas s = 0.
4.5.b Calculer P(n) en fonction de a.
4.6.a Faire appel à la question préliminaire P.3.b.
4.6.b Optimiser la majoration en p > 2 donnée par la question 4.6.a en étudiant 
la
fonction argument du cardinal pr mis sous forme exponentielle.

Préliminaires
P.1 Soient z  C une racine de l'unité et d  N tel que z d = 1. Alors d'après la
description des racines d-ièmes de l'unité, il existe k  [[ 0 ; d - 1 ]] tel 
que z = e i 2k/d
et donc immédiatement
z  C d  N

(z d = 1 = |z| = 1)

P.2 Soit g  GLn (C) d'ordre d  N . L'élément neutre du groupe GLn (C) étant In ,
il vient donc g d = In , de sorte que P = Xd - 1 est un polynôme scindé à 
racines
simples qui annule g. D'après le cours, on en déduit que
Si g  GLn (C) est d'ordre fini d  N , alors g
est diagonalisable et sp (g)  P-1 ({0}) = Ud .
P.3.a Soient m  N et q  N . Alors
{k  [[ 1 ; m ]] | q divise k} = {pq | p  N et 1 6 pq 6 m}
= {pq | p  N  [ 1 ; m/q ]}
{k  [[ 1 ; m ]] | q divise k} = {pq | p  [[ 1 ; bm/qc ]]}
L'application p 7 pq induit donc une surjection de [[ 1 ; bm/qc ]] sur 
l'ensemble
{k  [[ 1 ; m ]] | q divise k}
Étant trivialement injective, il vient
m  N q  N

Card {k  [[ 1 ; m ]] | q divise k} = bm/qc

P 
P.3.b Soit q un nombre premier. Remarquons déjà que i m/q i converge : en effet
c'est une somme finie puisque le terme général de cette série est nul pour q i 
> m,
c'est-à-dire i > ln m/ ln q. Soit i  N . D'après le résultat de la question 
P.3.a,
le nombre de multiples de q i mais non multiples de q i+1 dans [[ 1 ; m ]] est

ni = fi - fi+1
En effet, en notant

avec

Ei = {k  [[ 1 ; m ]] | vq (k) = i}
Fi = {k  [[ 1 ; m ]] | vq (k) > i}
+

alors

m
fi = i
q

[[ 1 ; m ]] =

F
i=0

pour tout i  N

+

Ei =

F

(Fi r Fi+1 )

(union disjointe)

i=0

Comme pour tout i on a Fi+1  Fi , cela prouve le cardinal annoncé.
Ces entiers multiples de q i mais pas de q i+1 contribuent chacun pour i dans 
la valuation q-adique de m!. Il reste à sommer pour obtenir toutes les 
contributions q-adiques
des entiers entre 1 et m dans la valuation de m! : par linéarité pour les 
sommes suivantes qui sont toutes finies, et changement d'indice, on trouve