X/ENS Maths A MP 2021

Thème de l'épreuve Sous-groupes finis de GLn(ℚ)
Principaux outils utilisés algèbre générale, algèbre linéaire, arithmétique, réduction, théorie des groupes, polynômes
Mots clefs groupe fini, p-groupe, trace, morphisme, lemme de Gauss, produit de Kronecker, racines de l'unité, cardinal, projecteur, nilpotent, polynôme caractéristique, coefficients-racines, noyau, congruence, idéal, Lagrange, groupe symétrique, déterminant, nombre premier, groupe linéaire, anneau, valuation

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ECOLE POLYTECHNIQUE
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMI SSION 2021

LUNDI 12 AVRIL 2021
08h00 - 12h00

FILIERE MP - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES A (XLCR)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Sous-groupes finis de GL, (2)

Ce sujet traite de l'étude des cardinaux possibles pour les sous-groupes finis 
de
GL,(Z). Le but est de démontrer que pour tout n EUR N*, il existe une borne (ne 
dé-
pendant que de n) sur le cardinal des sous-groupes finis de GL, (Z), d'en 
expliciter une,
et d'en donner une majoration raffinée dans le cas des sous-groupes dont le 
cardinal est
une puissance d'un nombre premier.

Les préliminaires contiennent des résultats pouvant être utiles dans toute la 
suite du
sujet.

Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes. La partie 4 est largement 
indépendante des
autres, mais utilise le résultat de la dernière question de la partie 3.

Notations

-- Les lettres N, Z, ©, R, C désignent respectivement l'ensemble des entiers 
natu-
rels, des entiers relatifs, des nombres rationnels, des nombres réels, des 
nombres
complexes. La notation N° désigne l'ensemble des entiers naturels non nuls.

-- Six ER, on note [x] la partie entière de x, c'est-à-dire le plus grand 
entier k tel
que k < x. -- Si E est un ensemble fini, on note card(Æ) son cardinal. -- Si a,b E Z, on note b | a si b divise a, et b f a dans le cas contraire. -- Sia,a,bE Z, on note a = a' (mod b) si b[(a' -- à). -- Sig > 2 est un nombre premier et a EUR Z, on note v,(a) le plus grand entier 
vw tel
que q° | a.

-- Pour n EUR N*, G, désigne le groupe des permutations de l'ensemble 
{1,...,n}, et
e : G, -- {+1} désigne le morphisme signature.

-- Pour k,n EUR N, on notera () -- le nombre de parties à Æ éléments dans un
ensemble à n éléments.

-- Tous les anneaux considérés dans ce sujet sont unitaires.

-- Si R est un anneau commutatif et n EUR N°, on définit M, (R) comme 
l'ensemble des
matrices carrées de taille n à coefficients dans À. On pourra utiliser 
librement le fait
que l'addition coefficient par coefficient et la multiplication matricielle 
munissent
M, (R) d'une structure d'anneau.

-- Si Rest un anneau commutatif et À EUR M, (R), en notant (a;;)1<;; 0 tel que g* = e. Dans ce cas, l'ordre 
de g est
le plus petit entier d > 0 tel que gY = e.

-- SizeCet dE N*, on dit que z est une racine d-ième de l'unité si 2% = 1. S'il
existe d EUR N* tel que z EUR EUR soit une racine d-ième de l'unité, on dira 
simplement
que z est une racine de l'unité.

Page 2
Préliminaires

1. Soit z EUR C une racine de l'unité. Justifier que |z| = 1.

2. Soit 9 EUR GL,(C), et soit d EUR N*. On suppose que g est d'ordre d. 
Démontrer que g est
diagonalisable, et que toutes ses valeurs propres sont des racines d-ièmes de 
l'unité.

3. joit m EUR N, et soit q EUR N*.
(a) Démontrer que card({1 < k < m tels que g | k}) = 1%]: (b) En déduire que si q est premier, v,(m!) = 57? Lol. 1 Éléments d'ordre fini de GL, (7) Le but de cette partie est de démontrer que l'ensemble des ordres possibles pour les éléments d'ordre fini de GL,(Z) est fini. On commence par détailler le cas n = 2. Soit 9 EUR GbL2(Z). On suppose que g est d'ordre fini d EUR N*. 1. Démontrer que |Tr(g)| < 2. 2. On suppose que les valeurs propres de g sont réelles, déterminer les valeurs possibles pour d. 3. On suppose maintenant que g n'a pas de valeurs propres réelles. Démontrer que le polynôme caractéristique de g est l'un des polynômes suivants : X? +1, X? + X + IX? X +1. 4. En déduire que d EUR {1,2,3,4,6}. On traite maintenant le cas de GL,(Z) où n > 1 est un entier quelconque.

5. Soit P = X" +5" a;X° e C[X] unitaire de degré n. On note z,...,2, les racines
de P (comptées avec multiplicité) et à = max1<;<» [2]. Démontrer que pour tout O 3 un entier. Soit g EUR GL,(Z). On suppose que g est d'ordre fini 
et que
g -- 1, à tous ses coefficients divisibles par m. Soit À = (g -- I, )/m.

(a) Montrer que À est diagonalisable sur C, et que pour toute valeur propre À de
À, on à [A] < 1. (b) En déduire qu'il existe & EUR N tel que A7 = 0. (c) Conclure que g = 1,. 2. Soit G est un sous-groupe fini de GL,(Z), et soit m > 3 un entier.

Page 3
(a) Démontrer que l'application M,(Z) -- M,(Z/mZ) de réduction modulo m des
coefficients induit une application injective G -- M,(Z/mZ).

(b) En déduire que card(G) < 3°. 3 Traces des éléments d'un p-sous-groupe de GL, (7) Soit p un nombre premier et r > 1 un entier. Dans cette partie, on suppose que G
est un sous-groupe de cardinal p" de GL,(Z). Le but de cette partie est de 
déterminer
l'ensemble des valeurs possibles pour les traces des éléments de G.

1. Soit { un nombre premier.
(a) Démontrer que pour tout 1 < k < { -- 1, l'entier (°) est multiple de &. (b) Soit À un anneau. On note {R -- {{x, x EUR R}. Démontrer que pour tous x,y EUR R tels que xy = yx, on a (x + y)" -- (x° + y) EUR LR. 2. Soit À un anneau commutatif, et soit { un idéal de À. Soient n EUR Net A BE M, (R). On suppose que tous les coefficients de B sont dans l'idéal 7. Démontrer que det(A+B)-det AE T. 3. Soit { EUR N un nombre premier. Démontrer que pour tout polynôme P EUR Z{[X\|, on a : P(X°) -- P(X)" EUR EZIX]. 4. Soit M EUR M, (Z), et soit £ EUR N un nombre premier. (a) Justifier qu'il existe À EUR M, (ZIX)) telle que (XI, -- M} -- (XI -- M') = LA. (b) Démontrer que Xwe(X°) -- xm(X}° EUR LZIX] (c) En déduire que Tr(M°) = Tr(M) (mod /). 5. Soit g EUR G. Démontrer que Tr(g) = n (mod p). 6. Soit g EUR G et soit { un nombre premier. On suppose que £ > 2n. Démontrer 
que

Lg) = Tr(g).
7. Soit & EUR N non divisible par p. On note

m=k+p I[ Û.

{ premier
1<2n { ne divise pas k (a) Justifier que tous les facteurs premiers de m sont strictement supérieurs à 2n. (b) En déduire que pour tout g EUR G, Tr(g*) = Tr(g). 8. On note J, = {1 < k < p° -- 1 tels que pk}. (a) Démontrer que J, = Üi.c,r-1 tps +t tels que 1  (di -- pl si C est d'ordre p .
JE Jr 0 sinon

9. Soit g EUR G. On note no la multiplicité de 1 comme racine de Y,, et n1 le 
nombre
de racines Ç de x, d'ordre p (comptées avec multiplicité). Démontrer que Tr(g) =
No -- p--1:

10. On note a = |]. Soit g EUR G, démontrer que Tr(g) EUR {n -- pv [0  ca Ir(g)° est un entier divisible par card(G). On en déduit une borne 
uniforme
sur le cardinal des sous-groupes finis de GL,, (Z) dont le cardinal est une 
puissance d'un
nombre premier.

1. Soit G C GL,(C) un sous-groupe fini. Soit f -- io duyea 9 EUR Ma(C).
(a) Démontrer que f est un projecteur sur {x EC" [VE G, g(x) = x}.
(b) En déduire que »,,4 Tr(g) est un entier divisible par card(G).

2. Soient k,n EUR N*. Pour g EUR GL,(C) et h EUR GL4(C), on note g @ h la 
matrice par
blocs, de taille nk x nk, définie par :

gui gi2h *-- Ginh

ob Qih *:. +. Gonh
9 --

Qi +++ ++ GQunh

Justifier les affirmations suivantes :
(i) si g EUR GL,(C) et h EUR GL4(C), Tr(g & À) = Tr(g)Tr(h).
(ii) si g,g EUR GL,(C) et À,h! EUR GL4(C), (9 @ h)(g @ h') = gg & hh'.
(ii) si g EUR GL,(C) et h EUR GL4(C), 9 © h EUR GL,4(C) et (g@hR) = gl ER.
3. Soient l', [" des groupes finis et © : [ -- I" un morphisme de groupes. Soit 
H = ker ç.

(a) Soit y EUR L". Démontrer que w$7!({+'}) est vide ou de la forme 7H = {yh|h 
EUR H}
pour un certain y EUR Ï.

(b) Démontrer que card(l) = card(w(T))card(H).
4. Pour g EUR GL,(C), on définit par récurrence sur s : g0) = get g5+1) = 45) @ 
g. Soit
s > 1, on définit l'application :
Ds : GLh(C) -- GL,:(C).
go go
Soit G un sous-groupe fini de GL, (C).
(a) Justifier que 4, est un morphisme de groupes et démontrer que :

d_ Tr(g)' -- card(G N ker 4.) > Tr(g

geG g'Eps(G)

(b) En déduire que ÿ_ - Tr(g)° est un entier divisible par card(G).

gEG

Soit p un nombre premier et soit r EUR N*. Soit G un sous-groupe de GL, (Z) de 
cardinal

Tr

p'.
5. On rappelle qu'on a noté a -- | Pour 1 < 7 < a, on note 7; = n -- pj, et P(X) -- [iéj