X/ENS Maths A MP 2020

Thème de l'épreuve Réels qui sont valeurs propres de matrices symétriques à coefficients réels
Principaux outils utilisés algèbre matricielle, produit scalaire, réduction, polynômes, nombres complexes, arithmétique, séries entières
Mots clefs matrice symétrique, matrice orthogonale, base, congruence, équation diophantienne, racines de l'unité, polynôme rationnel, fraction rationnelle, valeur propre, somme de Newton, matrice compagnon, sous-corps, nombre totalement réel, polynôme réciproque, polynôme caractéristique, densité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2020

LUNDI 20 AVRIL 2020 - 8h00 --- 12h00
FILIERE MP - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES A
(XLCR)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Le but de ce problème est d'étudier certains aspects de la diagonalisabilité 
des matrices
symétriques à coefficients rationnels. Ces matrices sont diagonalisables dans 
R, mais il se
trouve que leurs valeurs propres ne peuvent pas prendre n'importe quelle valeur 
réelle. Le
principal objectif de ce problème est de caractériser les nombres réels qui 
apparaissent comme
valeurs propres de matrices symétriques à coefficients rationnels.

Notations

Dans tout le problème, si n et m sont des entiers naturels non nuls et ÆK est 
un corps,

-- on note My n(K) l'ensemble des matrices à m lignes et n colonnes à 
coefficients
dans X ainsi que M,(K) = Myn(K) l'ensemble des matrices carrées de taille n à
coefficients dans K ;

-- on identifie l'espace vectoriel X°" à l'espace vectoriel des vecteurs 
colonnes M, 1(K) :

-- on note S,(K) l'ensemble des matrices symétriques carrées de taille n à 
coefficients
dans K :

-- si À EUR Myn(K), on note AÏ la matrice transposée de À et, si m = n,

XA(X) = det(X 7, -- À)

son polynôme caractéristique, qui est donc un polynôme unitaire ;
-- si q1,...,Qn Sont des éléments de À, on note Diag(q1,...,qn) la matrice 
diagonale de
taille n de coefficients diagonaux q1,...,Qn.

Première partie

1. Exhiber une matrice M EUR S2(Q) dont V2 est valeur propre.

2. Le but de cette question est de montrer que V3 n'est pas valeur propre d'une 
matrice
de S2(Q). On suppose qu'il existe M EUR S2(Q) telle que V3 est valeur propre de 
M.

2a. En utilisant l'irrationnalité de V3, montrer que le polynôme 
caractéristique de M est
X? --3,.

2b. Montrer que si n EUR Z, alors n° est congru à 0 ou 1 modulo 3.

2c. Montrer qu'il n'existe pas de triplet d'entiers (x,y,2) premiers entre eux 
dans leur
ensemble tel que x? + y° = 32°.

2d. Conclure.

Sn(Q) telle que À° = g1,. Construire

3a. On se donne g EUR Q, n EUR N* et une matrice À EUR
(44) et telle que B° = (q+1)Zon.

une matrice B EUR S2n(Q) commutant à la matrice

3b. Montrer que pour tout d > 1, il existe n EUR N° et des matrices M:,..., Mg 
EUR S,(Q) qui
commutent deux à deux et telles que A7 Ê -- k1,, pour tout entier 1 < k < d. 3c. Soit d > 1 un entier. En déduire que si g1,...,q4 EUR Q, q > 0, alors il 
existe n EUR N° et
des matrices M1,..., Ma EUR S,(Q) qui commutent deux à deux et telles que M? = 
q;1, pour
tout 1 << d. 4. Le but de cette question est de montrer que Y2 n'est pas valeur propre d'une matrice symétrique à coefficients dans Q. On raisonne par l'absurde, supposant l'existence d'une matrice M EUR S,(Q) (pour un certain entier n) dont Y2 est valeur propre. 4a. Montrer que X° -- 2 divise le polynôme caractéristique de M. (On pourra commencer par prouver que Y2 g Q.) 4b. Conclure. 5. Pour n EUR N*, construire une matrice M EUR S,(Q@) dont cos({7) est valeur propre. (On pourra commencer par construire une matrice orthogonale à coefficients dans Q qui admet e2iT/ pour valeur propre.) Deuxième partie Soit P(X) un polynôme unitaire de degré d > 1 à coefficients complexes que l'on 
écrit sous
la forme :
P(X) = ao + ai X + aX? +... +agX TT + XXE

On suppose que ap £ 0. On note À1,..., 4 EUR C les racines de P(X) (avec 
multiplicité). Pour
tout entier n > 1, on définit :

Nu = ++... + 7,
6. Soit Q(X) le polynôme réciproque de P(X) défini par Q(X) = X4P(+). Montrer 
que :

Q(X) = 1+ ag 1X +. +aX TT + a X
{1 MX) Xe (1 -- XX)

7. On définit la fonction f : R\(RN {< ., x ) -- C par f(x) = PE Montrer qu'il existe r > 0 tel que f est développable en série entière sur 
|--r,r{, et que le
développement en série entière de f en 0 s'écrit :

Vx EUR I-rr(, f(x) -- D Naud.
n=0

8a. Montrer que si ao,...,a4_1 sont des éléments de ©, alors N,, EUR Q pour 
tout n > 1.

8b. Réciproquement montrer que si N, EUR © pour tout n > 1, alors ap,...,aq_1 
sont des
éléments de Q,.

8c. En déduire que si u1,...,u4 sont des nombres complexes et si P(X) -- IIS. 
(X -- li),
alors P(X) EUR Q[X1] si et seulement si

d
Vn>1, D WE Q.
i=1
9. Soient n > 1 et m > 1 deux entiers et a1,...,Qn,01,..., 06m des nombres 
complexes. On
définit :

Montrer que si A(X) et B(X) sont à coefficients rationnels, alors les polynômes

NN Om

III -- &b;) et III -- Qi -- b;)

1 j--1 i=1 j=1

sont aussi à coefficients rationnels.
Troisième partie

On dit qu'un nombre complexe z est totalement réel (resp. totalement positif) 
s'il existe un
polynôme P(X) non nul à coefficients rationnels tel que :

(i) z est une racine de P, et

(ii) toutes les racines de P sont dans R (resp. dans R}).

10. Soit M une matrice symétrique à coefficients dans Q. Montrer que les 
valeurs propres
de M sont totalement réelles.

11a. Montrer que l'ensemble des nombres totalement réels est un sous-corps de 
R. (On
pourra utiliser le résultat de la question 9.)

11b. Montrer que l'ensemble des nombres totalement positifs est inclus dans R:, 
est stable
par addition, multiplication et que l'inverse d'un nombre totalement positif 
non nul est
totalement positif.

12. Soit x un nombre complexe. Montrer que x est totalement réel si et 
seulement si x? est
totalement positif.

Quatrième partie

Le but de cette partie est de montrer que, réciproquement, tout nombre 
totalement réel est
valeur propre d'une matrice symétrique à coefficients dans Q.

On note Z l'ensemble des nombres totalement réels et on admet qu'il existe une 
fonction
t:.% -- Q vérifiant les deux propriétés suivantes :

(i) pour æ,y EE & et À, E Q, on a t(Ax + ay) = At(x) + ut(y)

(ii) pour x totalement positif, on a t(x) > 0 et l'égalité est stricte si x £ 0.

On considère un nombre z totalement réel non nul. Par définition, il existe un 
polynôme
unitaire Z(X) EUR Q[X] qui annule z. On écrit Z(X) sous la forme :

ZX) = XY-- (ag 1X +... + a1X + ao)
avec d E N° et a; EUR Q pour tout à EUR {0,...,d--1}. On suppose en outre que 
Z(X) est choisi
de façon à ce que d soit minimal parmi les degrés des polynômes unitaires P(X) 
EUR Q[X1 tels
que P(z) = 0.

On considère la matrice $ de taille d x d dont le coefficient (i,j), 1 < 4,7 < d, vaut t(2*7)). Pour X,Y EUR R, on pose B(X,Y) = X7SY. 13a. Montrer que B(X, X) > 0 pour X EUR Qf, X Z 0.
13b. En déduire que la matrice $ est inversible.
14. Montrer que B est un produit scalaire sur R®.

15a. Montrer qu'il existe une base (e1,... ,e4) de RY avec e; EUR Qf pour tout 
i et B(e;,e;) =
0 pour à £ j.

15b. En déduire qu'il existe P EUR GLa(Q) et q1,...,qa EUR Q, & > 0, tels que :

S -- PT. Diag(q1,...,qa) : P.

On pose :
[0 0 ... 0 ao \
I 0 7. 0 a]
m=|,
". . 0 ag
0. 0 1 ay)

16. Calculer le polynôme caractéristique de M.
17a. Vérifier que la matrice SM est symétrique.
17b. En déduire que la matrice RMRT est symétrique où R = Diag(,/q1,..., /qa) : 
P.

18. Construire une matrice symétrique à coefficients rationnels dont z est 
valeur propre.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Maths A MP 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Loïc Devilliers (professeur en CPGE) et Céline Chevalier 
(enseignant-chercheur
à l'université).

Ce sujet propose l'étude de valeurs propres de matrices symétriques à 
coefficients
rationnels. En particulier, on étudie quels nombres réels peuvent en être 
valeurs
propres. C'est le cas des racines carrées de nombres rationnels positifs, et 
plus généralement de tout nombre dit totalement réel, c'est-à-dire
racine d'un polynôme

rationnel scindé sur R. D'autres nombres, comme 3 2, ne peuvent pas être valeurs
propres de telles matrices.
· Dans la partie I, on montre que les nombres algébriques de degré 2 (racines
de polynômes à coefficients entiers de degré 2) sont valeurs propres de 
matrices symétriques à coefficients dans Q, de même que
 les réels cos(2/n)
avec n  N . On montre que ce n'est pas le cas de 3 2. Un résultat fondamental 
pour le problème y est établi : il existe, pour tous rationnels strictement
positifs q1 , . . . , qd , des matrices symétriques rationnelles M1 , . . . , 
Md commutant
deux à deux et telles que Mi 2 soit la matrice d'une homothétie de rapport qi
pour tout i  [[ 1 ; d ]].
· Dans la partie II, on montre principalement le critère suivant : un polynôme
unitaire de degré d est à coefficients rationnels si, et seulement si, les 
sommes
de Newton de ses racines complexes µ1 , . . . , µd
Nn =

d
X

µk n

k=1

sont dans Q pour tout n  N .
· Dans la partie III, on étudie les nombres totalement réels, ainsi que les 
nombres
totalement positifs qui sont eux les nombres racines d'un polynôme rationnel
scindé sur R dont toutes les racines sont dans R+ . En particulier, ces 
ensembles
sont stables par addition, produit, et inversion d'élément non nul. Le dernier
résultat prouvé est l'équivalence entre réalité totale d'un nombre et positivité
totale de son carré.
· La quatrième et dernière partie vise à montrer que tout nombre totalement réel
est valeur propre d'une matrice symétrique à coefficients rationnels. Elle 
introduit une forme linéaire sur les nombres totalement réels, strictement 
positive
sur les nombres totalement positifs. Cela permet de construire explicitement la
matrice cherchée en fonction du nombre totalement réel.
Le sujet est de difficulté progressive et les questions restent relativement 
abordables jusqu'à la partie III. La dernière partie demande plus de technique 
et de
subtilité, ainsi qu'une connaissance pointue du cours et du recul pour 
l'adapter à la
situation étudiée. Seule la dernière question est très difficile et demande une 
synthèse
de tout le problème ainsi que beaucoup d'initiative. De nombreux thèmes au 
programme sont abordés : algèbre matricielle, produit scalaire, réduction, 
polynômes,
nombres complexes, arithmétique, séries entières, ce qui en fait un joli et 
complet
problème de concours.

Indications
Partie I
1 Utiliser l'expression du polynôme caractéristique d'une matrice de taille 2.

2.a Remarquer que (X - 3) divise M et que la trace et le déterminant sont des
fonctions polynomiales en les coefficients d'une matrice.
2.b Raisonner par disjonction de cas suivant la classe de n modulo 3.
2.c Raisonner par l'absurde et examiner les congruences modulo 3.
2.d Utiliser encore l'expression de M en fonction de Tr M et det M.
3.a Chercher B par blocs de taille n dont un des blocs est A.
3.b Procéder par récurrence sur d en utilisant la question 3.a.
3.c Écrire qi = pi /p0 et utiliser des matrices Mi données par la question 3.b 
vérifiant Mi 2 = pi In pour tout i.

4.a Adapter la classique preuve par l'absurde de l'irrationalité de 2.
5 Trouver une matrice à coefficients entiers annulée par Xn - 1.
Partie II
6 Prouver d'abord que Q est bien un polynôme.
7 Noter que 0 n'est pas racine de P et utiliser le développement en série 
entière
de u 7 1/(1 - u).
8.a Penser au lien entre la somme d'une série et ses coefficients. La formule de
Leibniz pourra être utile.
8.b Remarquer que Q0 (x) = f (x)Q(x) pour tout x différent d'une racine de Q,
et raisonner par récurrence en utilisant l'expression des coefficients d'une 
série
entière en fonction des dérivées de sa somme.
8.c Attention au cas où P admet pour racine 0.
9 Appliquer le résultat de la question 8.c après avoir explicité les sommes 
associées
aux deux polynômes donnés, en se rappelant que
P
P
P
ai bj = ai × bj
i,j

i

j

Partie III
10 Utiliser le théorème spectral.
11.a Il s'agit de montrer que, si 1 , 1 sont racines de polynômes scindés sur R
à coefficients rationnels, alors 1, 1 + 1 , 1 1 , -1 et 1/1 (pour 1 6= 0)
le sont également.
11.b Le résultat de la question 11.a s'adapte très facilement.
12 Le sens réciproque est facile. Pour le sens direct, on pourra fixer un 
polynôme
scindé sur R à coefficients rationnels dont x est racine et en déduire un 
polynôme
dont les racines sont les carrées des précédentes.

Partie III
13.a Remarquer que B est une forme bilinéaire symétrique sur Qd et utiliser sa
forme développée. Noter également que x + µy  R pour tous x, y  R et
tous , µ  Q, de sorte que l'on peut appliquer les propriétés de définition de t.
Pour la non nullité, on pourra se souvenir que d est le plus petit degré d'un
polynôme unitaire à coefficients rationnels annulant z.
13.b Montrer que le noyau de S, vue comme matrice de Md (Q), est réduit au 
vecteur
colonne nul.
14 Par définition, B est une forme bilinéaire symétrique sur Rd . La question 
13.b
montre que B est un produit scalaire sur Qd . Prolonger les propriétés par 
densité
de Q dans R. On pourra montrer que sp S  R+ et utiliser le théorème spectral.
15.a Adapter le procédé de Gram-Schmidt pour orthogonaliser, pour B, la base 
canonique de Rd , sans normer les vecteurs afin de garder des composantes 
rationnelles.
15.b Utiliser la matrice de passage de la base canonique à celle construite à 
la question 15.a. On rappelle que pour toutes matrices A, B de Md (R) :
A=B

(X, Y)  Md,1 (R)2

XT A Y = XT B Y

16 Il s'agit du classique déterminant d'une matrice compagnon d'un polynôme.
Montrer que M = Z en développant par rapport à la première ligne pour
obtenir une formule de récurrence.
17.a Montrer que (SM)i,j = t(z i+j+1 ) pour tous i, j. On pourra utiliser la 
relation
zd =

d-1
P

ak z k

k=0
T

17.b Remarquer que S = R R.
18 Considérer des matrices Mi comme à la question 3.c. : elles joueront un peu 
le

rôle de Diag ( q 1 , . . . , qd ). Poser M0 = Diag (M1 , . . . , Md )  Mnd (Q). 
Adapter le raisonnement de la question 17.b en cherchant F inversible pour qu'en
définissant
R0 = M0 F Diag (P, . . . , P)
la matrice A = R0 Diag (M, . . . , M)(R0 )-1 réponde à la question. Remarquer
enfin que A s'exprime simplement en fonction de M .

Première partie
1 Si A  M2 (Q), alors A = X2 - (Tr A)X + det A. Il suffit donc d'exhiber une
matrice de S2 (Q) dont le polynôme caractéristique est X2 - 2, c'est-à-dire 
dont la
trace est 0 et le déterminant -2. Par exemple,

-1
La matrice M =
1

1
 S2 (Q) admet 2 comme valeur propre.
1

2.a Soit M  S2 (Q) admettant 3 pour valeur propre. D'après le cours, X - 3
divise (dans R[X]) son polynôme caractéristique
M = X2 - (Tr M)X + det M
qui est de degré 2 et unitaire. Fixons   R tel que M = (X -
résulte que

et
 + 3 = Tr M
 3 = det M

3)(X - ). Il en

Or, Tr M  Q et det M  Q car M  M2 (Q), d'après les formules polynomiales de
la trace et du déterminant en fonction des coefficients. Par suite,

3(Tr M) = 3( + 3) = det M + 3

Si Tr M 6= 0 :
3 = (det M + 3)/ Tr M  Q

On obtient une contradiction, donc Tr M = 0 et alors  = - 3. Finalement,
M = (X -

3)(X - ) = X2 - 3

2.b Soit n  Z. Distinguons suivant les congruences modulo 3 :
· si n  0 mod 3, alors n2  02  0 mod 3 ;
· si n  1 mod 3, alors n2  12  1 mod 3 ;
· si n  2 mod 3, alors n2  22  4  1 mod 3.
Ainsi,

n  Z

n2  0 mod 3

ou n2  1 mod 3

2.c Soient x, y et z des entiers avec pgcd (x, y, z) = 1 et tels que x2 + y 2 = 
3z 2 .
Il en découle alors que x2 +y 2  0 mod 3. Or d'après l'étude réalisée à la 
question 2.b,
le cas x2 + y 2  0 mod 3 ne se produit que pour x  0 mod 3 et y  0 mod 3. Fixons
alors x0  Z et y 0  Z tels que x = 3x0 et y = 3y 0 . Il vient
3z 2 = 9(x0 )2 + 9(y 0 )2

donc

z 2 = 3(x0 )2 + 3(y 0 )2  0 mod 3

Ainsi, z 2  0 mod 3, et donc z  0 mod 3 d'après la disjonction de cas faite à la
question 2.b, donc x, y et z sont tous multiples de 3, en contradiction avec 
l'hypothèse pgcd (x, y, z) = 1.
Pour tous entiers x, y, z tels que pgcd (x, y, z) = 1, on a x2 + y 2 6= 3z 2 .