X/ENS Maths A MP 2020

Thème de l'épreuve Réels qui sont valeurs propres de matrices symétriques à coefficients réels
Principaux outils utilisés algèbre matricielle, produit scalaire, réduction, polynômes, nombres complexes, arithmétique, séries entières
Mots clefs matrice symétrique, matrice orthogonale, base, congruence, équation diophantienne, racines de l'unité, polynôme rationnel, fraction rationnelle, valeur propre, somme de Newton, matrice compagnon, sous-corps, nombre totalement réel, polynôme réciproque, polynôme caractéristique, densité

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ECOLE POLYTECHNIQUE
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2020

LUNDI 20 AVRIL 2020 - 8h00 --- 12h00
FILIERE MP - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES A
(XLCR)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Le but de ce problème est d'étudier certains aspects de la diagonalisabilité 
des matrices
symétriques à coefficients rationnels. Ces matrices sont diagonalisables dans 
R, mais il se
trouve que leurs valeurs propres ne peuvent pas prendre n'importe quelle valeur 
réelle. Le
principal objectif de ce problème est de caractériser les nombres réels qui 
apparaissent comme
valeurs propres de matrices symétriques à coefficients rationnels.

Notations

Dans tout le problème, si n et m sont des entiers naturels non nuls et ÆK est 
un corps,

-- on note My n(K) l'ensemble des matrices à m lignes et n colonnes à 
coefficients
dans X ainsi que M,(K) = Myn(K) l'ensemble des matrices carrées de taille n à
coefficients dans K ;

-- on identifie l'espace vectoriel X°" à l'espace vectoriel des vecteurs 
colonnes M, 1(K) :

-- on note S,(K) l'ensemble des matrices symétriques carrées de taille n à 
coefficients
dans K :

-- si À EUR Myn(K), on note AÏ la matrice transposée de À et, si m = n,

XA(X) = det(X 7, -- À)

son polynôme caractéristique, qui est donc un polynôme unitaire ;
-- si q1,...,Qn Sont des éléments de À, on note Diag(q1,...,qn) la matrice 
diagonale de
taille n de coefficients diagonaux q1,...,Qn.

Première partie

1. Exhiber une matrice M EUR S2(Q) dont V2 est valeur propre.

2. Le but de cette question est de montrer que V3 n'est pas valeur propre d'une 
matrice
de S2(Q). On suppose qu'il existe M EUR S2(Q) telle que V3 est valeur propre de 
M.

2a. En utilisant l'irrationnalité de V3, montrer que le polynôme 
caractéristique de M est
X? --3,.

2b. Montrer que si n EUR Z, alors n° est congru à 0 ou 1 modulo 3.

2c. Montrer qu'il n'existe pas de triplet d'entiers (x,y,2) premiers entre eux 
dans leur
ensemble tel que x? + y° = 32°.

2d. Conclure.

Sn(Q) telle que À° = g1,. Construire

3a. On se donne g EUR Q, n EUR N* et une matrice À EUR
(44) et telle que B° = (q+1)Zon.

une matrice B EUR S2n(Q) commutant à la matrice

3b. Montrer que pour tout d > 1, il existe n EUR N° et des matrices M:,..., Mg 
EUR S,(Q) qui
commutent deux à deux et telles que A7 Ê -- k1,, pour tout entier 1 < k < d. 3c. Soit d > 1 un entier. En déduire que si g1,...,q4 EUR Q, q > 0, alors il 
existe n EUR N° et
des matrices M1,..., Ma EUR S,(Q) qui commutent deux à deux et telles que M? = 
q;1, pour
tout 1 << d. 4. Le but de cette question est de montrer que Y2 n'est pas valeur propre d'une matrice symétrique à coefficients dans Q. On raisonne par l'absurde, supposant l'existence d'une matrice M EUR S,(Q) (pour un certain entier n) dont Y2 est valeur propre. 4a. Montrer que X° -- 2 divise le polynôme caractéristique de M. (On pourra commencer par prouver que Y2 g Q.) 4b. Conclure. 5. Pour n EUR N*, construire une matrice M EUR S,(Q@) dont cos({7) est valeur propre. (On pourra commencer par construire une matrice orthogonale à coefficients dans Q qui admet e2iT/ pour valeur propre.) Deuxième partie Soit P(X) un polynôme unitaire de degré d > 1 à coefficients complexes que l'on 
écrit sous
la forme :
P(X) = ao + ai X + aX? +... +agX TT + XXE

On suppose que ap £ 0. On note À1,..., 4 EUR C les racines de P(X) (avec 
multiplicité). Pour
tout entier n > 1, on définit :

Nu = ++... + 7,
6. Soit Q(X) le polynôme réciproque de P(X) défini par Q(X) = X4P(+). Montrer 
que :

Q(X) = 1+ ag 1X +. +aX TT + a X
{1 MX) Xe (1 -- XX)

7. On définit la fonction f : R\(RN {< ., x ) -- C par f(x) = PE Montrer qu'il existe r > 0 tel que f est développable en série entière sur 
|--r,r{, et que le
développement en série entière de f en 0 s'écrit :

Vx EUR I-rr(, f(x) -- D Naud.
n=0

8a. Montrer que si ao,...,a4_1 sont des éléments de ©, alors N,, EUR Q pour 
tout n > 1.

8b. Réciproquement montrer que si N, EUR © pour tout n > 1, alors ap,...,aq_1 
sont des
éléments de Q,.

8c. En déduire que si u1,...,u4 sont des nombres complexes et si P(X) -- IIS. 
(X -- li),
alors P(X) EUR Q[X1] si et seulement si

d
Vn>1, D WE Q.
i=1
9. Soient n > 1 et m > 1 deux entiers et a1,...,Qn,01,..., 06m des nombres 
complexes. On
définit :

Montrer que si A(X) et B(X) sont à coefficients rationnels, alors les polynômes

NN Om

III -- &b;) et III -- Qi -- b;)

1 j--1 i=1 j=1

sont aussi à coefficients rationnels.
Troisième partie

On dit qu'un nombre complexe z est totalement réel (resp. totalement positif) 
s'il existe un
polynôme P(X) non nul à coefficients rationnels tel que :

(i) z est une racine de P, et

(ii) toutes les racines de P sont dans R (resp. dans R}).

10. Soit M une matrice symétrique à coefficients dans Q. Montrer que les 
valeurs propres
de M sont totalement réelles.

11a. Montrer que l'ensemble des nombres totalement réels est un sous-corps de 
R. (On
pourra utiliser le résultat de la question 9.)

11b. Montrer que l'ensemble des nombres totalement positifs est inclus dans R:, 
est stable
par addition, multiplication et que l'inverse d'un nombre totalement positif 
non nul est
totalement positif.

12. Soit x un nombre complexe. Montrer que x est totalement réel si et 
seulement si x? est
totalement positif.

Quatrième partie

Le but de cette partie est de montrer que, réciproquement, tout nombre 
totalement réel est
valeur propre d'une matrice symétrique à coefficients dans Q.

On note Z l'ensemble des nombres totalement réels et on admet qu'il existe une 
fonction
t:.% -- Q vérifiant les deux propriétés suivantes :

(i) pour æ,y EE & et À, E Q, on a t(Ax + ay) = At(x) + ut(y)

(ii) pour x totalement positif, on a t(x) > 0 et l'égalité est stricte si x £ 0.

On considère un nombre z totalement réel non nul. Par définition, il existe un 
polynôme
unitaire Z(X) EUR Q[X] qui annule z. On écrit Z(X) sous la forme :

ZX) = XY-- (ag 1X +... + a1X + ao)
avec d E N° et a; EUR Q pour tout à EUR {0,...,d--1}. On suppose en outre que 
Z(X) est choisi
de façon à ce que d soit minimal parmi les degrés des polynômes unitaires P(X) 
EUR Q[X1 tels
que P(z) = 0.

On considère la matrice $ de taille d x d dont le coefficient (i,j), 1 < 4,7 < d, vaut t(2*7)). Pour X,Y EUR R, on pose B(X,Y) = X7SY. 13a. Montrer que B(X, X) > 0 pour X EUR Qf, X Z 0.
13b. En déduire que la matrice $ est inversible.
14. Montrer que B est un produit scalaire sur R®.

15a. Montrer qu'il existe une base (e1,... ,e4) de RY avec e; EUR Qf pour tout 
i et B(e;,e;) =
0 pour à £ j.

15b. En déduire qu'il existe P EUR GLa(Q) et q1,...,qa EUR Q, & > 0, tels que :

S -- PT. Diag(q1,...,qa) : P.

On pose :
[0 0 ... 0 ao \
I 0 7. 0 a]
m=|,
". . 0 ag
0. 0 1 ay)

16. Calculer le polynôme caractéristique de M.
17a. Vérifier que la matrice SM est symétrique.
17b. En déduire que la matrice RMRT est symétrique où R = Diag(,/q1,..., /qa) : 
P.

18. Construire une matrice symétrique à coefficients rationnels dont z est 
valeur propre.