X/ENS Maths A MP 2019

Thème de l'épreuve Nombres et entiers algébriques, nombres de Salem
Principaux outils utilisés arithmétique, algèbre générale, analyse réelle, séries entières, polynômes, suites, algèbre linéaire
Mots clefs nombre algébrique, Salem, irréductibilité, polynôme minimal, entier algébrique, polynôme cyclotomique, racine primitive, racine de l'unité, nombre premier, relations coeffcients-racines, polynôme réciproque, racines conjuguées, degré d'un entier algébrique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYIECHNIQUE - ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2019

JEUDI 18 AVRIL 2019 - 8h00 - 12h00
FILIERE MP - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES A
(XLCR)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Notations

On notera respectivement C, R et © les corps des nombres complexes, réels et
rationnels, et Z l'anneau des entiers relatifs.

Pour un entier n > 1 on dit qu'un nombre complexe z est une racine n-ième
de l'unité si 2° = 1, et que z est une racine de l'unité s'il existe k > 1 tel 
que z
soit une racine k-ième de l'unité.

Pour R EUR {Z,Q,R,C} on notera R|X] l'anneau des polynômes à coefficients
dans À. Un polynôme non nul est unitaire si son coefficient dominant est égal à
1. Un polynôme P EUR Q[X] est irréductible dans Q[X1] si P n'est pas constant 
et si
l'égalité P = QR avec Q, R EUR Q[X] implique que Q ou R est constant.

Un nombre complexe x est appelé nombre algébrique s'il existe P EUR QIX] non
nul tel que P(x) = 0. On dit que x EUR C est un entier algébrique s'il existe P 
EUR ZX]
unitaire tel que P(x) = 0.

On admet le résultat suivant.

Théorème: L'ensemble des entiers algébriques est un sous-anneau de C.

Le problème est consacré à l'étude des polynômes unitaires P EUR ZÏX|, irré-
ductibles dans Q[XT et qui possèdent beaucoup de racines de module 1.

La partie 1 est préliminaire et utilisée en fin de parties 2 et 3. La partie 3 
est in-
dépendante de la partie 2. La partie 4 utilise les notions introduites 
précédemment
mais est, à l'exception des questions 19 et 20, indépendante du reste.
Partie 1

Le but de cette partie est d'introduire les notions de polynôme minimal et de
degré d'un nombre algébrique, et de montrer que le polynôme minimal d'un entier
algébrique est à coefficients entiers.

Dans les questions 1 à 4, on fire un nombre algébrique a. Soit

I(a) = {P EUR QIX] | P(a) = 0.

1. Montrer que /(a) est un idéal de Q[X |, différent de {0}.

Il existe donc un unique polynôme unitaire Il, EUR QIX], appelé polynôme min-
imal de «, tel que

T(a) = {IQ | Q EUR QIX}.

On appelle degré de a le degré du polynôme IT...

2

3.

. Montrer que a est de degré 1 si et seulement si & EUR Q,.

Montrer que IT, est irréductible dans Q[X|.

Soit P EUR QIX] un polynôme unitaire, irréductible dans Q[X]. Montrer
que si z est une racine complexe de P, alors P est le polynôme minimal
de z.

Soient À, B EUR Q[X] deux polynômes qui possèdent une racine commune
dans C. Montrer que À et B ne sont pas premiers entre eux dans Q[X.

Montrer que les racines de IT, dans EUR sont simples.

Montrer que si & EUR Q est un entier algébrique, alors « EUR Z.

Montrer que si à EUR C est un entier algébrique alors IL, EUR ZIX|.

Indication: utiliser le théorème admis en introduction ainsi que la ques-
tion 9a.

Soit à EUR C un entier algébrique de degré 2 et de module 1. Montrer
que « est une racine de l'unité.

Montrer que Se est un nombre algébrique de degré 2 et de module 1
mais n'est pas une racine de l'unité.
Partie 2

Le but de cette partie est de caractériser les polynômes unitaires P EUR ZIX|,
irréductibles dans QIX |, dont toutes les racines sont de module 1.

Pour n un entier supérieur ou égal à 1 on dit qu'une racine n-ième de l'unité
z est primitive si 2% 1 pour tout entier d tel que 1 < d < n. On note P, l'ensemble des racines primitives n-ièmes de l'unité. On a donc P, = {1}. On définit b, EUR C[X] par D, = [[(X -- 2). zEUReP, Si a et b sont des entiers, on écrit a | b si a divise b. 7. Montrer que pour tout n > lona

X7--1=1[[D,
dl

le produit étant pris sur l'ensemble des entiers d > 0 divisant n.
8. (a) Montrer que si p est un nombre premier et 4 > 1 est un entier, alors
D, -- XE-DP LE XP LE XP 7
(b) Calculer &, pour n = 1,2,3,4,5,6.
On fixe un entier n > 2 pour toute la suite de cette partie.

9. (a) Calculer P,(0).

(b) Calculer &,(1) en fonction de la décomposition en facteurs premiers de
n.

Indication: raisonner par récurrence sur ñn, en utilisant la question 7.
10. Montrer que ®, EUR ZX].

Soit P E ZX] un polynôme unitaire de degré n > 1, irréductible dans QIX]
et dont toutes les racines complexes sont de module 1. L'objectif des questions
11 et 12 est de montrer que toutes les racines de P sont des racines de l'unité.
Soient z1, ..., 2% les racines complexes de P comptées avec leurs 
multiplicités, de

sorte que
nm

P=TI(X - 2).

i=1
Pour tout entier k > O0 on note

k k k
= +2 tT' +2.
11. (a) Montrer que la série 53-0 42° converge pour tout z EUR C tel que [2] < 1. (b) Soit z EUR EUR non nul tel que |z| < 1 et soit f(z) la somme de la série > &>0 a,2*. Montrer que

l l
zf(z)P () -- P (-)
z z
(c) En déduire que ax EUR Z pour tout k > 0.

12. (a) Montrer qu'il existe deux entiers 0 < k < { tels que ax:; = @+; pour tout à EUR {0,1,...,n}. On fixe deux tels entiers k,{ dans les questions 12b et 12c. (b) Montrer que 5%, F(z;)(2% -- 2*) = 0 pour tout polynôme F EUR C[X] de degré inférieur ou égal à n. (c) Montrer que 21,22,...,2, sont deux à deux distincts. En déduire que JS -- 1 pour tout 4 EUR {1,2,...,n} et conclure. Soit z EUR P,. Le but des questions 13 et 14 est de montrer que ®,, est le polynôme minimal de z, 1.e. D, = IT,. Soit p un nombre premier ne divisant pas n. 13. (a) Soient F,G EUR ZÏX]. Montrer qu'il existe À EUR Z]X] tel que (F+G) = EP + CG +pH. (b) Montrer que Il, EUR Z|X\ et en déduire l'existence d'un polynôme F EUR ZX] tel que IL, (XP) = IL (XX) + pF(X). (z?) (c) Montrer que 2 est un entier algébrique. 2 \ , OU 21, 22,...,2n 14. (a) Exprimer en fonction de n le nombre [[4,:;<,(2i--2;) sont les racines du polynôme P = X7 -- TI. Indication: On pourra considérer les nombres P'(2;). (b) Montrer que IL, (2?) = 0. Indication: montrer que si Il,(2?) 0, alors il existe un entier al- gébrique u tel que n° = u - IT,(2?). (c) Conclure que ®, = IL. Partie 3 Le but de cette partie est d'introduire et d'étudier une certaine classe d'entiers algébriques, qui ne sont pas des racines de l'unité et dont le polynôme minimal possède beaucoup de racines de module I. Un polynôme unitaire de degré d > 1

d
P=S aX' EeC[X)

i=0
est dit réciproque si a; = ag-; pour 0 << d. 15. (a) Montrer qu'un polynôme P EUR C[X] unitaire de degré d est réciproque si et seulement si XYP(<) = P. (b) Soit P EUR C[X] un polynôme unitaire réciproque. Montrer que si x EUR C est une racine de P, alors x Æ 0 et 1 est aussi une racine de P, avec la même multiplicité. Si a est un nombre algébrique de polynôme minimal IT,,, les racines complexes de IT, différentes de a sont appelées les conjugués de a. On notera C(a) l'ensemble des conjugués de à. L'ensemble C(a) est donc vide si a est de degré 1. 16. Soit x un nombre algébrique de module 1 et tel que x EUR {--1,1}. Montrer que À est un conjugué de x. En déduire que IL, est réciproque. TX On note S l'ensemble des nombres réels à EUR |1,+oo[ qui sont aussi des entiers algébriques de degré au moins 2 et qui vérifient max -- ], max 7 17. Soit à un élément de S et soit y EUR C'(a) de module 1. (a) Montrer que le polynôme minimal de « est réciproque et que L est un conjugué de @. (b) Montrer que 7 n'est pas une racine de l'unité. (c) Montrer que tous les conjugués de à autres que L sont de module 1. 18. Montrer que le degré de tout élément de $S est un entier pair, supérieur ou égal à 4. Partie 4 Dans cette partie on étudie une famille infinie d'éléments de l'ensemble S introduit dans la partie 3, avant la question 17. Pour tout entier n > 1, on définit P, EUR Z\X\] par

P, = X°--(6+n)X*+(10+n)X° --(6+n)X +1.

19. Vérifier que PF, n'a pas de racine dans Q et que P, a au moins une racine
réelle strictement plus grande que 1. On fixe une telle racine a, dans la
suite.

20. Montrer que si x EUR EUR est une racine de P,, alors est aussi une racine de
P,,. avec la même multiplicité.

On note a», a Yn: _ les racines de P, dans EUR et on pose

l l
bn = Ant --, Sn = In + --.

nm VYn

21. Montrer que t,, +5, = 6+netthsn = 8 +n.

22. Montrer que 5, est réel et que 0 < 5, < 2. En déduire que 7, n'est pas réel et que 7, est de module I. 23. (a) Montrer que t, et 5, sont irrationnels. (b) En déduire que P, est irréductible dans Q[X1] et que a, EUR S. (c) Montrer que lim, 14 An = +00. 24. Soit 7 l'ensemble des & EUR $S de degré 4. Montrer que 7 possède un plus petit élément et calculer ce nombre. On ne sait pas si l'ensemble S possède un plus petit élément. Le plus petit élément de S connu est la plus grande racine réelle du polynôme X1 + X° -- XT -- X6---XS- X- X8+EX +1.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Maths A MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (docteur en mathématiques) ; il a
été relu par Loïc Devilliers (professeur en CPGE) et Céline Chevalier 
(enseignantchercheur à l'université).
Ce sujet traite de plusieurs résultats de théorie algébrique des nombres, et 
plus
spécifiquement des nombres complexes algébriques (annulant un polynôme non nul
de Q[X]) et des entiers algébriques (annulant un polynôme unitaire de Z[X]). La
classe des nombres de Salem est en particulier abordée dans les deux dernières 
parties.
L'étude des propriétés algébriques des nombres de Salem permet en particulier de
comprendre des dynamiques (itérées de certaines fonctions).
· La première partie est l'occasion d'obtenir plusieurs résultats généraux sur 
les
nombres et les entiers algébriques ; en particulier, on y établit que le 
polynôme
minimal d'un nombre algébrique est irréductible sur Q et que celui d'un entier
algébrique est dans Z[X]. Une étude spécifique est menée sur des nombres de
degré 2, le degré étant défini comme celui du polynôme minimal.
· Dans la deuxième partie, l'étude est centrée sur le n-ième polynôme 
cyclotomique n , dont les racines complexes sont les racines n-ième de l'unité 
primitives, c'est-à-dire d'ordre n dans Un . Des formules de récurrence ainsi 
que
l'explicitation de n pour certaines valeurs de n y sont établies, n (0) et n (1)
sont calculés, avant de prouver que n  Z[X]. Après avoir établi que si les
racines complexes d'un polynôme unitaire de Z[X] irréductible sur Q sont de
module 1, ce sont en fait des racines de l'unité, on montre à la fin de cette
partie l'irréductibilité de n qui se trouve être le polynôme minimal de toute
racine n-ième primitive.
· Dans la troisième partie sont abordés les polynômes réciproques, dont les 
coefficients sont symétriques par rapport à la moitié du degré, afin d'étudier 
les
conjugués d'un nombre algébrique , c'est-à-dire les racines complexes de son
polynôme minimal distinctes de . On étudie finalement la classe S des entiers 
algébriques dits de Salem qui sont les entiers algébriques  > 1 dont
tous les conjugués autres que 1/ sont de module 1 : ils sont nécessairement de
degré pair supérieur à 4.
· La quatrième et dernière partie est dédiée à l'étude de la sous-famille T des
entiers algébriques   S de degré minimal, à savoir 4. On montre que T
est de cardinal infini en exhibant une suite à termes construits comme racines
d'une certaine famille de polynômes de Z[X] indexés par n. Enfin, la difficile
dernière question permet d'établir que T admet un minimum et de le calculer.
Ce résultat a un intérêt particulier car le résultat établi pour le degré 4 n'a 
pas
encore été généralisé pour la classe S toute entière.
Si la première partie comporte beaucoup de questions classiques, les choses se
corsent dans la deuxième partie où certaines questions demandent technique et 
réflexion poussées avec des raisonnements arithmétiques parfois fins et non 
standards.
Les thématiques du cours abordées sont principalement les séries entières, les 
racines
de l'unité et l'arithmétique dans Z ou Q[X]. La dernière partie requiert 
plusieurs manipulations analytiques assez élémentaires, avant une dernière 
question de synthèse
très pointue.

Indications
Partie 1
1 Écrire I comme le noyau d'un morphisme d'anneaux.
2 Utiliser un polynôme annulant .
3.a Supposons que  = UV avec U, V non constants.
3.b Remarquer que l'hypothèse donne P  I(z).
4.a Mettre à profit une relation de Bézout.
4.b Si  a une racine double, alors celle-ci annule sa dérivée.
5.a Écrire  = p/q sous forme de fraction irréductible avec p  Z et q  N puis
montrer que q | pn en utilisant P  Z[X] annulant .
5.b Montrer que les racines complexes de  sont des entiers algébriques. Utiliser
les relations coefficients-racines pour une factorisation de  dans C[X] en lien
avec le théorème admis.
6.a Justifier que  = X2 +pX+q avec p, q entiers et en déduire les valeurs 
possibles
de p et q en écrivant  = e i .
6.b Déterminer le polynôme minimal de  = (3+4i)/5 puis remarquer qu'une racine
de l'unité est nécessairement un entier algébrique.
Partie 2
7 Considérer une partition des racines n-ième de l'unité donnée par le théorème
de Lagrange sur l'ordre d'un élément dans un groupe.
8.a Caractériser la racines primitives n-ième de la forme e i
pour tout polynôme Y

2k
n

et se rappeler que

Ym - 1 = (Y - 1)(Ym-1 + · · · + Y + 1)
8.b Utiliser les questions 7 et 8.
9.a Faire une récurrence forte sur n en utilisant les questions 7 et 8.
9.b Examiner les cas donnés par des résultats de la question 11.b pour n de 1 à 
6,
puis n = pk avec p premier. Enfin, faire une récurrence forte sur n en notant 
que
n = (Xn - 1)/

d|n,d