X/ENS Maths A MP 2019

Thème de l'épreuve Nombres et entiers algébriques, nombres de Salem
Principaux outils utilisés arithmétique, algèbre générale, analyse réelle, séries entières, polynômes, suites, algèbre linéaire
Mots clefs nombre algébrique, Salem, irréductibilité, polynôme minimal, entier algébrique, polynôme cyclotomique, racine primitive, racine de l'unité, nombre premier, relations coeffcients-racines, polynôme réciproque, racines conjuguées, degré d'un entier algébrique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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X/ENS Maths A MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (docteur en mathématiques) ; il a
été relu par Loïc Devilliers (professeur en CPGE) et Céline Chevalier 
(enseignantchercheur à l'université).
Ce sujet traite de plusieurs résultats de théorie algébrique des nombres, et 
plus
spécifiquement des nombres complexes algébriques (annulant un polynôme non nul
de Q[X]) et des entiers algébriques (annulant un polynôme unitaire de Z[X]). La
classe des nombres de Salem est en particulier abordée dans les deux dernières 
parties.
L'étude des propriétés algébriques des nombres de Salem permet en particulier de
comprendre des dynamiques (itérées de certaines fonctions).
· La première partie est l'occasion d'obtenir plusieurs résultats généraux sur 
les
nombres et les entiers algébriques ; en particulier, on y établit que le 
polynôme
minimal d'un nombre algébrique est irréductible sur Q et que celui d'un entier
algébrique est dans Z[X]. Une étude spécifique est menée sur des nombres de
degré 2, le degré étant défini comme celui du polynôme minimal.
· Dans la deuxième partie, l'étude est centrée sur le n-ième polynôme 
cyclotomique n , dont les racines complexes sont les racines n-ième de l'unité 
primitives, c'est-à-dire d'ordre n dans Un . Des formules de récurrence ainsi 
que
l'explicitation de n pour certaines valeurs de n y sont établies, n (0) et n (1)
sont calculés, avant de prouver que n  Z[X]. Après avoir établi que si les
racines complexes d'un polynôme unitaire de Z[X] irréductible sur Q sont de
module 1, ce sont en fait des racines de l'unité, on montre à la fin de cette
partie l'irréductibilité de n qui se trouve être le polynôme minimal de toute
racine n-ième primitive.
· Dans la troisième partie sont abordés les polynômes réciproques, dont les 
coefficients sont symétriques par rapport à la moitié du degré, afin d'étudier 
les
conjugués d'un nombre algébrique , c'est-à-dire les racines complexes de son
polynôme minimal distinctes de . On étudie finalement la classe S des entiers 
algébriques dits de Salem qui sont les entiers algébriques  > 1 dont
tous les conjugués autres que 1/ sont de module 1 : ils sont nécessairement de
degré pair supérieur à 4.
· La quatrième et dernière partie est dédiée à l'étude de la sous-famille T des
entiers algébriques   S de degré minimal, à savoir 4. On montre que T
est de cardinal infini en exhibant une suite à termes construits comme racines
d'une certaine famille de polynômes de Z[X] indexés par n. Enfin, la difficile
dernière question permet d'établir que T admet un minimum et de le calculer.
Ce résultat a un intérêt particulier car le résultat établi pour le degré 4 n'a 
pas
encore été généralisé pour la classe S toute entière.
Si la première partie comporte beaucoup de questions classiques, les choses se
corsent dans la deuxième partie où certaines questions demandent technique et 
réflexion poussées avec des raisonnements arithmétiques parfois fins et non 
standards.
Les thématiques du cours abordées sont principalement les séries entières, les 
racines
de l'unité et l'arithmétique dans Z ou Q[X]. La dernière partie requiert 
plusieurs manipulations analytiques assez élémentaires, avant une dernière 
question de synthèse
très pointue.

Indications
Partie 1
1 Écrire I comme le noyau d'un morphisme d'anneaux.
2 Utiliser un polynôme annulant .
3.a Supposons que  = UV avec U, V non constants.
3.b Remarquer que l'hypothèse donne P  I(z).
4.a Mettre à profit une relation de Bézout.
4.b Si  a une racine double, alors celle-ci annule sa dérivée.
5.a Écrire  = p/q sous forme de fraction irréductible avec p  Z et q  N puis
montrer que q | pn en utilisant P  Z[X] annulant .
5.b Montrer que les racines complexes de  sont des entiers algébriques. Utiliser
les relations coefficients-racines pour une factorisation de  dans C[X] en lien
avec le théorème admis.
6.a Justifier que  = X2 +pX+q avec p, q entiers et en déduire les valeurs 
possibles
de p et q en écrivant  = e i .
6.b Déterminer le polynôme minimal de  = (3+4i)/5 puis remarquer qu'une racine
de l'unité est nécessairement un entier algébrique.
Partie 2
7 Considérer une partition des racines n-ième de l'unité donnée par le théorème
de Lagrange sur l'ordre d'un élément dans un groupe.
8.a Caractériser la racines primitives n-ième de la forme e i
pour tout polynôme Y

2k
n

et se rappeler que

Ym - 1 = (Y - 1)(Ym-1 + · · · + Y + 1)
8.b Utiliser les questions 7 et 8.
9.a Faire une récurrence forte sur n en utilisant les questions 7 et 8.
9.b Examiner les cas donnés par des résultats de la question 11.b pour n de 1 à 
6,
puis n = pk avec p premier. Enfin, faire une récurrence forte sur n en notant 
que
n = (Xn - 1)/

d|n,d