X/ENS Maths A MP 2018

Thème de l'épreuve Décomposition en valeurs singulières
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction des endomorphismes, produit scalaire, topologie
Mots clefs valeurs singulières, matrices, norme, projection, espace tangent, vecteur tangent, approximation, valeurs propres, transposition

Corrigé

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 X/ENS Maths A MP 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (docteur en mathématiques) ; il a été relu par Sélim Cornet (ENS Paris-Saclay) et Benoit Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet traite de la décomposition d'une matrice en valeurs singulières, ce qui est une généralisation du théorème spectral à des matrices non carrées : toute matrice A Mn,p (R) de rang k s'écrit A = U diag( 1 , . . . , k ) t V, avec U Mn,k (R), V Mp,k (R) vérifiant t UU = Ik et t VV = Ik . Les réels i sont les valeurs propres strictement positives de A t A. Les démonstrations de ce résultat et de quelques applications qui en découlent font l'objet du sujet. · Les trois questions préliminaires permettent d'établir des inégalités, qui seront nécessaires ultérieurement, sur la norme F (pour Froebenius) associée au produit scalaire canonique sur Mn,p (R) défini par hA, Bi = Tr ( t AB). · La première partie est l'occasion de prouver l'existence d'une décomposition en valeurs singulières. Elle ne comporte pas de difficulté particulière si l'on est à l'aise avec l'algèbre linéaire. · La deuxième partie permet de montrer que la meilleure approximation (au sens de la norme F) d'une matrice A de rang k par une matrice de rang l s'obtient par une sorte de « troncature à l'ordre l » des matrices obtenues dans la décomposition en valeurs singulières. La dernière question de cette partie demande d'excellentes capacités d'initiative, de synthèse et de persévérance dans les calculs ! · La troisième partie montre des résultats sur des matrices de projection attachées aux matrices obtenues dans la décomposition en valeurs singulières, ainsi que des résultats topologiques utiles dans les espaces de matrices. k · Enfin, dans la dernière partie, on explicite l'espace tangent à Mn,p (R) en une matrice A de rang k en fonction des matrices U, , V intervenant dans sa décomposition en valeurs singulières, à savoir : si A = U t V, alors l'espace tangent est TA = U t V + U t V + U t V | (U, , V) E et t UU = t VV = 0 avec E = Mn,k (R) × Mk (R) × Mp,k (R) Si une inclusion est rapidement obtenue, il faut en revanche beaucoup plus travailler pour montrer que les vecteurs tangents sont de cette forme. Certaines questions demandent un engagement dans le sujet et une compréhension fine des résultats démontrés et des techniques employées. En conclusion, les questions préliminaires ainsi que les trois premières parties (à l'exception de la dernière question de la deuxième) sont abordables pour des candidats solidement préparés. Le sujet est très fourni pour le temps imparti et la dernière partie est ardue. Il établit cependant des résultats intéressants et permet de bien s'entraîner sur l'algèbre linéaire au programme de prépa. Indications Préliminaires 1 Écrire le produit scalaire hA, BiF avec la définition et développer les coefficients du produit matriciel AB. 2 Mettre à profit l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans Rp muni du produit scalaire canonique. 3 On pourra commencer par utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour h·, ·iF 2 puis montrer que k t MMkF 6 kMkF pour toute matrice M. Première partie 2 5.a Utiliser le fait que kAXk2 = t X t AAX pour X vecteur propre de A. Pour l'égalité des images raisonner par inclusion et dimension. 5.b Il est intéressant d'utiliser la relation kvk2 2 = t vv pour v vecteur colonne. 6.a La matrice S est symétrique réelle à valeurs propres positives. On pourra ordonner ses valeurs propres par ordre décroissant. Utiliser le théorème spectral pour construire U et vérifier que cette matrice convient en raisonnant sur des produits matriciels par blocs. 6.b L'inclusion Im S Im U fournit un début de réponse. Prouver ensuite que rg U = k. Utiliser la caractérisation d'une projecteur comme idempotent puis montrer que son image et son noyau sont orthogonaux. 6.c Effectuer les produits matriciels en utilisant les définitions des matrices ainsi que t UU = Ik . Montrer que U t UA = A. 7 Se servir de la relation U t UA = A dans le calcul du produit matriciel U t V. Deuxième partie e sont orthogonaux pour h·, ·iF . e et AV e tV e tV 8.a Montrer que A - AV e F 2 à l'aide d'une trace faisant intervenir V, V e et . Dévee t Vk 8.b Exprimer kAV lopper ensuite cette trace à l'aide d'une formule sommatoire. Il pourra être e m,h . judicieux d'expliciter les coefficients ( t VV) e et respectivement V sont des familles orthonor9.a Montrer que les colonnes de V p mées de vecteurs de R qui P P peuvent être complétées en bases orthonormées. Prouver que bj - ai > 0 en développant les sommes. 16j6l l+16i6k 9.b Utiliser la relation de la question 8.b ainsi que la majoration de la question 9.a avec l'inégalité l > l+1 . e 9.c Difficile question de synthèse ! Appliquer le résultat de la question 9.b à V, matrice constituée des vecteurs colonnes d'une base orthonormée de (Ker M) , eV e = M. e = Il et qu'alors MV e tV qui est de dimension l. Remarquer que t V t t e V e et AV e V e - M sont orthogonaux pour h·, ·iF et utiliser Justifier que A - AV le théorème de Pythagore ainsi que le résultat de la question 9.b pour obtenir la minoration et l'unicité du point d'atteinte de l'égalité. Il restera enfin à voir que la matrice proposée convient à l'aide d'un produit par blocs. Troisième partie 10.a Montrer que Ker MV,W est réduit au vecteur nul ou remarquer qu'un produit par blocs permet de déterminer explicitement l'inverse en fonction de V et W. 10.b Commencer par prouver l'indication fournie par l'énoncé et l'utiliser pour montrer que l'intersection des sous-espaces est réduite au vecteur nul. Montrer ensuite que la somme de leurs dimensions est égale à p. 10.c Montrer que PV,W X = X si X Im V et PV,W X = 0 si X (ImW). 0 Ip On pourra calculer MV,W k,1 pour X (Im W) ainsi que MV,W X 0k,p en notant ainsi les vecteurs colonne définis par blocs. 11 Utiliser une formule du déterminant qui montre son caractère polynomial en les coefficients de la matrice ainsi que la formule de l'inverse qui fait appel à la comatrice. 12 Remarquer que l'application f : W 7 t WV est continue et que f (V) = Ik . Quatrième partie 13.a Utiliser la caractérisation du rang par les déterminants extraits pour montrer que rg (U + tU) = k pour t au voisinage de 0, idem pour et V. 13.b Prouver l'inégalité rg (ABC) 6 min(rg A, rg B, rg C) avec la question 13.a. 13.c L'application t 7 (t) est polynomiale de degré 3 en t. 14.a Montrer que TA est l'image d'une application linéaire et déterminer Ker . 14.b Montrer que NA TA puis expliciter les matrices de NA et mettre cet espace en bijection avec un espace de matrices. Pour ce faire on pourra écrire que les matrices U, V de rang k sont équivalentes à la matrice diagonale par blocs avec un bloc Ik et des zéros partout ailleurs. 15.a Prouver et utiliser le fait que (Im M) = Ker t M pour toute matrice M. e t V) Im A e assure qu'il suffit de 15.b Noter que A vérifie (C). L'inclusion Im (AV t e e e t U. prouver que rg (AV V) > k si A est -proche de A et de même avec t AU S'inspirer alors de 13.b : le rang ne peut qu'augmenter localement. 16.a Établir par double inclusion que Ker = NA . 16.b Faire appel aux résultats des questions 14.b et 16.a. 16.c Attention : ici on ne suppose pas que t WV est inversible donc le cadre de la e Prouver troisième partie n'est pas applicable. Justifier que (Im W) = Ker A. e = {0} en utilisant le fait que c'est le noyau de A e | Im V . ensuite que Im V Ker A Enfin utiliser cette somme directe pour obtenir l'égalité des matrices. 17 Attention : ici la restriction n'est pas faite sur un sous-espace vectoriel, il faut donc comprendre l'injectivité au sens d'une application quelconque et montrer A (B) = A (B ) = B = B . Mettre à profit le construit à la question 15.b. 18.a Utiliser que Mn,p (R) est somme directe de NA et TA , lesquels sont orthogonaux, pour montrer que l'application donnée vérifie la définition du projecteur orthogonal attendu. 18.b Prouver que AB NA pour toute matrice B Mp (R). 18.c On pourra justifier que PV,V = V t V et remarquer que le membre de droite est de la forme A (A ) avec A à expliciter. 18.d Se servir des résultats des questions 3 et 18.c. Calculer les normes de In - U t U, V t V ainsi que Ip - V t V. 19 Remarquer qu'il suffit d'établir que T l'ensemble des vecteurs tangents est dans le noyau de A . Pour ce faire, fixer T T et un arc c dérivable en 0 vérifiant c(0) = A et c (0) = T. Montrer et exploiter ensuite que 1 A (T) = lim A (c(t)) t0 t à l'aide des questions 18.d et 15.b. Prouver que PV,W0 = PV,V où l'on définit Ws = t c(s)U t U et utiliser le résultat de la question 12 en établissant l'égalité PV,Ws = PV, t c(s)U-1 et remarquant que t c(s)U-1 V pour s suffisamment petit.