X/ENS Maths A MP 2018

Thème de l'épreuve Décomposition en valeurs singulières
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction des endomorphismes, produit scalaire, topologie
Mots clefs valeurs singulières, matrices, norme, projection, espace tangent, vecteur tangent, approximation, valeurs propres, transposition

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                 

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
           

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 '+  . /. . //.
/. .. 

9/ ;

#      
#$   #)
-)- ) -#) )- ) -#)$ # -- $#

8# -) -#)
-

l

) -

 -

l × l

l, m  N 

m )

 -#
#)@

Ml,m (R)

l = m

) ) -#) < -) #$)

Ml (R) ) ) -#)

 -#

8# #) 

8# -- -#

·

 -#

Ol,m

l = m Ol

$)#  -#  - Il  -# --$ 

·

·

(ai )16i6l

A, B  Ml,m (R)

A

Ml,m (R) - -) ) -) )- )

 #$)  -# (a1 , . . . , al )  -#  

 -#

a 1 , a2 , . . . , a l 

hA, BiF = -#(AT B)
R

-

D -#(M ) $)  -# 

kAkF =

p

hA, AiF

h , iF

Ml,m (R)

)-  ) -# #$  )

   #

8# -- -#

8# --

k kF

A  Ml,m (R)

 -

A

$-  #- )# )#

Ml,m (R)

 -# #(A)  #   -#

 # @ #(AT )

k (R)
Ml,m

A

- @

lm

)-<#

= #(A)

) ) -#)

A  Ml,m (R)

-) @

= k

p  N 

 -#

k  N

#)@

Ml (R)

-)# )) $)-#- @

#(A)
8#

 -#))$ 

# -- -#

 )   

·

 -#

- ) -)  )-

8# -)

M

·

 -#  

8# -- 

Ml (R)

A  Ml,m (R)

AT

·

 -

kxk2

Rp

 ) )-#-#  @ - # -- -#

 #  

x

x  Rp 

!"!
% n, p, q  N %&' %&' '%&%% '%' % A, B  Mn,p (R) % C  Mp,q (R)
 & &''  hA, BiF  % ' %'  A % B 
 % u  Rp  %&& 6 kAuk2 6 kAkF kuk2 .
 %&& 6 kACkF 6 kAkF kCkF 

!)! !+
k (R) '%   %
 ':& %&' %&' n, p % k '%&%% '%' %' 6 Mn,p
k (R) 
A  %&  Mn,p
k (R)
 %&& 6 k 6 min(n, p) % 6 & %%   R  A  Mn,p

 % S = AAT % S = AT A
 C&& 6 S '%  %& 'C%&6 6 % 6 ' &' &&'
'%' ' %&& 6 (A) = (S)
 % u  Rn  %& &&  S &  & &&  > 0 % '% v =

AT u/   Rp  %&& 6 v '%  %& &&  S &  & && 
% kvk2 = kuk2 
  %&& 6 '% U  Mn,k (R) %  = (1 , . . . , k )  Mk (R) %' 6
S = U U T  1 > . . . > k > 0 % U T U = Ik 
 %&& 6 (S) = (U ) % 6 U U T '%  %&   &% &%
'& (U ) ' Rn 

  '% V = AT U D  Mp,k (R) M D = (1/ 1 , . . . , 1/ k )  Mk (R)
%&& 6 V T V = Ik % S = V V T 
  C& 6
A = U V T ,

  = ( 1 , . . . , k )

% )*
# && (&  #&-(
&(  ( k (  &(  ( - && (& #& -& # (&#
#&#
k (R)  &(  ( k : n, p & k #& # &(# #&(&& #&#
& A  Mn,p
k 6 min(n, p)  #=(  -#& A = U V T #&(& #  (=( (&
& l  N & Ve  Mp,l (R) &# > l < k & Ve T Ve = Il   & (v1 , . . . , vl )  (Rp )l 
 # #  Ve & (v1 , . . . , vk )  (Rp )k  # #  V 

  -(( > kA - AVe Ve T k2F = kAk2F - kAVe Ve T k2F 
 &(( >
: h ,

i2

l
X

hvh , vm i22

1 6 j 6 l

 #

k
X

kAVe Ve T k2F =

h=1

h

m=1

!

-#  (& #( # #( Rp
 F( &&

l+1 6 i 6 k
Pl
bj = 1 - m=1 hvj , vm i22 

& &&

ai =

Pl

2
m=1 hvi , vm i2

&

&(( > # (ai ) & (bj ) #& # (-# #&# & >   Pki=l+1 ai 6 Plj=1 bj 
 &(( > kAVe Ve T k2F 6 Plh=1 h & >   -&- # & #& #  
&({v1 , . . . , vl }) = (Ve ) : &(X) -#
Pk
l (R) &(( > kM - Ak2 >
 & M  Mn,p
h=l+1 h  -&- # & #
F

T
& # M = U  V :  = ( 1 , . . . , l ) U (# V  #&  &(
(- # l (=(# #  U (#  V 

!$% !*
% p, k  %)* *%)%% *%* % V  Mp,k (R) % 0 V T V = Ik  2) %%
W  Mp,k (R)  % MV,W  %)  Mp+k (R) 5 ) * )
MV,W =

V
Ip
Ok W T

.

  **  0 W T V *%  %) )*
-1
 %)) 0 MV,W *% )*  %) * )* MV,W

 %)) 0 )% (W )  (W ) % (V ) *%  ****
*5%)* * Rp  (W )  (V ) = Rp 
&   ,, , , 0,, 2 , z  Rp  4 z  (W )
,4 W T z = 0
  5%  %)
PV,W = (V

-1
Op )MV,W

Ip
Ok,p

.

%)) 0 PV,W *%  %)   )% *) (V ) )E% F (W ) 
 % q  N  %)) 0 * * %)* )**  Mq (R) *%  )% %
0 % M 7 M -1 *% % *) % )%
 %)) 0 *%  * V  V * Mp,k (R) % 0 W T V *% )* )
%% W  V % % W 7 PV,W *% %  V * Mp (R) 

*!% !*
% n, p % k %)* %)* *%)%% *%* %* 0 k 6 min(n, p)  5% ) %%
 *% * %)
E = Mn,k (R) × Mk (R) × Mp,k (R) .
k (R)  %)  ) k % (U, , V )  E %* 0
% A  Mn,p

A = U V T , U T U = V T V = Ik

%   F %*  *%)%% *%* *%  (U, , V )  5%5
%)5 *  )E) )%

 ( (U , , V )  E   +-.  .  : R  Mn,p (R) 3 . (t) =

(U + tU )( + t)(V + tV )T 
 (.. 9 + (+ t 7 .(U + tU ) t 7 .( + t) ( t 7 .(V + tV ) +(
+((+  +  t = 0
k (R)  +  t = 0
  3. 9 (t)  Mn,p

 (.. 9  +( 3( 3. +. R ( . .++   3.3

  (0)    0
  ( TA = {U V T + U V T + U V

T

T

T

| (U , , V )  E , U U = V V = Ok }

k (R)  A (
 3.. 9 (+ + 33(+  TA +( + (.+ ((+ D Mn,p

9 TA +(  +++ (.  Mn,p (R) (  .  +
T

 ( NA = {N  Mn,p (R) | N U = Op,k , N V = On,k } (.. 9 NA +( 
+++ .( D TA + Mn,p (R) .  .( +. h , iF 
 ( A  Mn,p (R)  ( 9 A 3.  (  +

(C) (AVVT ) = (A) ( (AT UUT ) = (AT ) .
 (.. 9 + A 3.  (  .+ .(A) 6 k (
(AT U U T ) = ker(A) .
k (R)  (. A 3. 
 (.. 9 +(  > 0 ( 9 . (( A  Mn,p

(  -+ 9 kA - AkF 6 
 (  : Mn,p (R)  Mn,p (R) × Mp,n (R) 3 . (A) = (AV V T , AT U U T ) . ((

A  Mn,p (R)
 (. ker()  (  NA (.( D  9+( 
  ( A : Mn,p (R)  Mn,p (R)  .( .( +. TA + Mn,p (R)
(.. 9  =   A 
k (R) 3.(  (   ( W = AT U U T  (.. 9
 ( A  Mn,p

+ PV,W +(  (.   .( +. (V ) .-( D (W ) .+

A = AV V T PV,W .
k (R)B(A, ) +( (
  3. 9 +(  > 0 ( 9  .+(.(  A D Mn,p

M B(A, ) = {A  Mn,p (R) | kA - AkF <  } +(   .(  Mn,p (R) (.3
 A (  . 

 & A  *& *& 1* NA 1 Mn,p (R)
 &** * && A  Mn,p (R)   A (A) = (In - U U T )A(Ip - V V T )
 &** 9 A (AB) = 0 * && B  Mp (R)
k (R) ;*&  & 
& A  Mn,p

 &** 9 1 W = AT U U T

A (A) = (In - U U T )(A - A)V V T (PV,W - PV,V )(Ip - V V T ) .
  ;* 9 kA (A)kF 6

p
(n - k)k(p - k) kA - AkF kPV,W - PV,V kF 

k (R)  A
 &** 9 TA 1& && 1 1 &*1 &&1 C Mn,p

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Maths A MP 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (docteur en mathématiques) ; il a été
relu par Sélim Cornet (ENS Paris-Saclay) et Benoit Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet traite de la décomposition d'une matrice en valeurs singulières, ce 
qui est
une généralisation du théorème spectral à des
 matrices
 non carrées : toute matrice
A  Mn,p (R) de rang k s'écrit A = U diag( 1 , . . . , k ) t V, avec U  Mn,k (R),
V  Mp,k (R) vérifiant t UU = Ik et t VV = Ik . Les réels i sont les valeurs 
propres
strictement positives de A t A. Les démonstrations de ce résultat et de 
quelques applications qui en découlent font l'objet du sujet.
· Les trois questions préliminaires permettent d'établir des inégalités, qui 
seront
nécessaires ultérieurement, sur la norme F (pour Froebenius) associée au produit
scalaire canonique sur Mn,p (R) défini par hA, Bi = Tr ( t AB).
· La première partie est l'occasion de prouver l'existence d'une décomposition
en valeurs singulières. Elle ne comporte pas de difficulté particulière si l'on 
est
à l'aise avec l'algèbre linéaire.
· La deuxième partie permet de montrer que la meilleure approximation (au sens
de la norme F) d'une matrice A de rang k par une matrice de rang l s'obtient 
par une sorte de « troncature à l'ordre l » des matrices obtenues dans la
décomposition en valeurs singulières. La dernière question de cette partie 
demande d'excellentes capacités d'initiative, de synthèse et de persévérance 
dans
les calculs !
· La troisième partie montre des résultats sur des matrices de projection 
attachées
aux matrices obtenues dans la décomposition en valeurs singulières, ainsi que
des résultats topologiques utiles dans les espaces de matrices.
k
· Enfin, dans la dernière partie, on explicite l'espace tangent à Mn,p
(R) en une
matrice A de rang k en fonction des matrices U, , V intervenant dans sa 
décomposition en valeurs singulières, à savoir : si A = U t V, alors l'espace 
tangent est

TA = U t V + U t V + U t V | (U, , V)  E et t UU = t VV = 0

avec

E = Mn,k (R) × Mk (R) × Mp,k (R)

Si une inclusion est rapidement obtenue, il faut en revanche beaucoup plus
travailler pour montrer que les vecteurs tangents sont de cette forme. Certaines
questions demandent un engagement dans le sujet et une compréhension fine
des résultats démontrés et des techniques employées.
En conclusion, les questions préliminaires ainsi que les trois premières parties
(à l'exception de la dernière question de la deuxième) sont abordables pour des 
candidats solidement préparés. Le sujet est très fourni pour le temps imparti 
et la dernière partie est ardue. Il établit cependant des résultats 
intéressants et permet de
bien s'entraîner sur l'algèbre linéaire au programme de prépa.

Indications
Préliminaires
1 Écrire le produit scalaire hA, BiF avec la définition et développer les 
coefficients
du produit matriciel AB.
2 Mettre à profit l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans Rp muni du produit scalaire
canonique.
3 On pourra commencer par utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour h·, ·iF
2
puis montrer que k t MMkF 6 kMkF pour toute matrice M.
Première partie
2

5.a Utiliser le fait que kAXk2 = t X t AAX pour X vecteur propre de A. Pour
l'égalité des images raisonner par inclusion et dimension.
5.b Il est intéressant d'utiliser la relation kvk2 2 = t vv pour v vecteur 
colonne.

6.a La matrice S est symétrique réelle à valeurs propres positives. On pourra 
ordonner ses valeurs propres par ordre décroissant. Utiliser le théorème 
spectral
pour construire U et vérifier que cette matrice convient en raisonnant sur des
produits matriciels par blocs.

6.b L'inclusion Im S  Im U fournit un début de réponse. Prouver ensuite que
rg U = k. Utiliser la caractérisation d'une projecteur comme idempotent puis
montrer que son image et son noyau sont orthogonaux.
6.c Effectuer les produits matriciels en utilisant les définitions des matrices 
ainsi
que t UU = Ik . Montrer que U t UA = A.
7 Se servir de la relation U t UA = A dans le calcul du produit matriciel U t V.
Deuxième partie
e sont orthogonaux pour h·, ·iF .
e et AV
e tV
e tV
8.a Montrer que A - AV

e F 2 à l'aide d'une trace faisant intervenir V, V
e et . Dévee t Vk
8.b Exprimer kAV
lopper ensuite cette trace à l'aide d'une formule sommatoire. Il pourra être
e m,h .
judicieux d'expliciter les coefficients ( t VV)
e et respectivement V sont des familles orthonor9.a Montrer que les colonnes de 
V
p
mées de vecteurs
de
R
qui
P
P peuvent être complétées en bases orthonormées.
Prouver que
bj -
ai > 0 en développant les sommes.
16j6l

l+16i6k

9.b Utiliser la relation de la question 8.b ainsi que la majoration de la 
question 9.a
avec l'inégalité l > l+1 .
e
9.c Difficile question de synthèse ! Appliquer le résultat de la question 9.b à 
V,

matrice constituée des vecteurs colonnes d'une base orthonormée de (Ker M) ,
eV
e = M.
e = Il et qu'alors MV
e tV
qui est de dimension l. Remarquer que t V
t
t
e V
e et AV
e V
e - M sont orthogonaux pour h·, ·iF et utiliser
Justifier que A - AV
le théorème de Pythagore ainsi que le résultat de la question 9.b pour obtenir
la minoration et l'unicité du point d'atteinte de l'égalité. Il restera enfin à 
voir
que la matrice proposée convient à l'aide d'un produit par blocs.

Troisième partie
10.a Montrer que Ker MV,W est réduit au vecteur nul ou remarquer qu'un produit
par blocs permet de déterminer explicitement l'inverse en fonction de V et W.
10.b Commencer par prouver l'indication fournie par l'énoncé et l'utiliser pour 
montrer que l'intersection des sous-espaces est réduite au vecteur nul. Montrer 
ensuite que la somme de leurs dimensions est égale à p.
10.c Montrer que PV,W X = X si X  Im V et PV,W X = 0 si X  (ImW).
0
Ip
On pourra calculer MV,W k,1 pour X  (Im W) ainsi que MV,W
X
0k,p
en notant ainsi les vecteurs colonne définis par blocs.
11 Utiliser une formule du déterminant qui montre son caractère polynomial en
les coefficients de la matrice ainsi que la formule de l'inverse qui fait appel 
à la
comatrice.
12 Remarquer que l'application f : W 7 t WV est continue et que f (V) = Ik .
Quatrième partie
13.a Utiliser la caractérisation du rang par les déterminants extraits pour 
montrer
que rg (U + tU) = k pour t au voisinage de 0, idem pour  et V.
13.b Prouver l'inégalité rg (ABC) 6 min(rg A, rg B, rg C) avec la question 13.a.
13.c L'application t 7 (t) est polynomiale de degré 3 en t.

14.a Montrer que TA est l'image d'une application linéaire  et déterminer Ker .
14.b Montrer que NA  TA puis expliciter les matrices de NA et mettre cet espace
en bijection avec un espace de matrices. Pour ce faire on pourra écrire que les
matrices U, V de rang k sont équivalentes à la matrice diagonale par blocs avec
un bloc Ik et des zéros partout ailleurs.
15.a Prouver et utiliser le fait que (Im M) = Ker t M pour toute matrice M.
e t V)  Im A
e assure qu'il suffit de
15.b Noter que A vérifie (C). L'inclusion Im (AV
t
e
e
e t U.
prouver que rg (AV V) > k si A est -proche de A et de même avec t AU
S'inspirer alors de 13.b : le rang ne peut qu'augmenter localement.
16.a Établir par double inclusion que Ker  = NA .

16.b Faire appel aux résultats des questions 14.b et 16.a.
16.c Attention : ici on ne suppose pas que t WV est inversible donc le cadre de 
la
e Prouver
troisième partie n'est pas applicable. Justifier que (Im W) = Ker A.
e = {0} en utilisant le fait que c'est le noyau de A
e | Im V .
ensuite que Im V Ker A
Enfin utiliser cette somme directe pour obtenir l'égalité des matrices.
17 Attention : ici la restriction n'est pas faite sur un sous-espace vectoriel, 
il faut
donc comprendre l'injectivité au sens d'une application quelconque et montrer
A (B) = A (B ) = B = B . Mettre à profit le  construit à la question 15.b.

18.a Utiliser que Mn,p (R) est somme directe de NA et TA , lesquels sont 
orthogonaux, pour montrer que l'application donnée vérifie la définition du 
projecteur
orthogonal attendu.
18.b Prouver que AB  NA  pour toute matrice B  Mp (R).

18.c On pourra justifier que PV,V = V t V et remarquer que le membre de droite 
est
de la forme A (A ) avec A à expliciter.

18.d Se servir des résultats des questions 3 et 18.c. Calculer les normes de In 
- U t U,
V t V ainsi que Ip - V t V.

19 Remarquer qu'il suffit d'établir que T l'ensemble des vecteurs tangents est 
dans
le noyau de A . Pour ce faire, fixer T  T et un arc c dérivable en 0 vérifiant
c(0) = A et c (0) = T. Montrer et exploiter ensuite que
1
A (T) = lim A (c(t))
t0 t
à l'aide des questions 18.d et 15.b. Prouver que PV,W0 = PV,V où l'on définit 
Ws = t c(s)U t U et utiliser le résultat de la question 12 en établissant
l'égalité PV,Ws = PV, t c(s)U-1 et remarquant que t c(s)U-1  V pour s 
suffisamment petit.