X/ENS Maths A MP 2017

Thème de l'épreuve Formes symplectiques et structures complexes
Principaux outils utilisés formes bilinéaires, polynômes annulateurs, réduction, topologie
Mots clefs forme symplectique, structure complexe, antisymétrique, réduction simultanée

Corrigé

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ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLES NORMALES SUPERIEURES CONCOURS D'ADMISSION 2017 FILIERE MP COMPOSITION DE MATHEMATIQUES ­ A ­ (XLCR) (Dure: 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve. Dans tout le probleme · E est un R-espace vectoriel de dimension finie n N , · Id est l'application identite sur E: Id(x) = x pour tout x E, · L(E) est l'algebre des endomorphismes de E, · GL(E) est le groupe des automorphismes de E, · E = L(E, R) est l'espace vectoriel des formes lineaires sur E, · A(E) est l'espace vectoriel des applications : E × E R qui sont bilineaires et antisymetriques, c'est-a-dire qui verifient, quel que soit (x, y, z) E 3 et quel que soit R, (x + y, z) = (x, z) + (y, z) , (x, y + z) = (x, y) + (x, z) , (x, y) = -(y, x) . Pour tout A(E) et x E, on note (x, ·) la forme lineaire definie par (x, ·) : E R y 7 (x, y) Pour tout A(E), on note l'application lineaire definie par : E E x 7 (x, ·) Un element de A(E) est appele forme symplectique sur E si est un isomorphisme de E sur E . Un element J de L(E) est appele structure complexe sur E s'il verifie J 2 = -Id. On dit qu'une forme symplectique sur E dompte une structure complexe J si (x, J(x)) > 0 pour tout x E \ {0}. · · · · On note Mn (R) l'algebre des matrices carrees de taille n a coefficients reels, GLn (R) le groupe des matrices inversibles de taille n a coefficients reels, In la matrice unite de taille n, lorsque n est pair, Jn la matrice carree de taille n definie par blocs ! 0 -I n2 Jn = I n2 0 1 · det l'application determinant sur Mn (R), · t M la transposee de la matrice M . On identifie tout element de M1 (R) a un nombre reel. La partie I est utilisee dans les parties III et IV. Les parties II et III independantes entre elles, sont utilisees dans la partie IV. Partie I: Bases symplectiques 1. Montrer que la dimension de l'espace vectoriel E vaut n. 2. Montrer que (x, x) = 0 pour tout A(E) et pour tout x E. 3. Soit A(E) et B = (b1 , . . . , bn ) une base de E. (a) Montrer qu'il existe une unique matrice M Mn (R), dont on precisera les coefficients, telle que pour tout (x, y) E 2 , (x, y) = t XM Y ou X, Y Rn sont les matrices colonnes representant respectivement x et y dans la base B: x1 y1 x = x 1 b1 + · · · + x n bn , .. .. X = . , Y = . , y = y 1 b1 + · · · + y n bn . xn yn On notera alors M = MatB (). (b) Montrer que M est antisymetrique, c'est-a-dire que t M = -M . (c) Montrer que l'espace vectoriel A(E) est de dimension 1 lorsque E est de dimension 2. (d) Montrer l'equivalence entre les trois enonces suivants. (E1 ): est une forme symplectique sur E. (E2 ): Pour tout x E \ {0}, il existe y E tel que (x, y) 6= 0. (E3 ): MatB () est inversible. 4. Montrer que, s'il existe une forme symplectique sur E, alors E est de dimension paire. Dorenavant, jusqu'a la fin du probleme, n est un entier pair > 2. 5. Montrer que l'application 0 definie par 0 : R n × Rn (X, Y ) 7 R t XJ nY est une forme symplectique sur Rn . Jusqu'a la fin de cette partie, on fixe une forme symplectique sur E. Le but des questions 6 a 9 est de montrer qu'il existe une base B de E telle que MatB () = Jn . 6. Traiter le cas ou E est de dimension 2. 7. Soit F un sous-espace vectoriel de E . 2 (a) Montrer que, pour toute forme lineaire u : F R, il existe une forme lineaire u e:E R dont la restriction a F coincide avec u. On note F le sous-espace vectoriel de E defini par F = {x E : y F, (x, y) = 0} et F l'application lineaire definie par F : E F x 7 (x)|F ou (x)|F est la restriction de (x) a F . (b) Montrer que la restriction de a F × F est une forme symplectique sur F si et seulement si F F = {0}. (c) Quels sont le noyau et l'image de F ? (d) Montrer que dim(F ) + dim(F ) = dim(E). (e) Montrer que, si la restriction de a F × F est une forme symplectique sur F , alors E = F F et la restriction de a F × F est une forme symplectique sur F . 8. Montrer par recurrence qu'il existe une base Be de E telle que J2 0 · · · 0 . 0 J2 . . . .. MatBe() = . . .. . . . . . 0 0 · · · 0 J2 9. Conclure. En deduire que dompte au moins une structure complexe sur E. Partie II: Deux outils sur les polynomes On note Rd [X] l'espace vectoriel des polynomes de degre 6 d a coefficients reels, pour tout d N. 10. Soit P, Q R[X] des polynomes non nuls de degres respectifs p et q strictement positifs. Montrer que l'application lineaire LP,Q definie par LP,Q : Rq-1 [X] × Rp-1 [X] Rp+q-1 [X] (V, W ) 7 V P + W Q est un isomorphisme si et seulement si P et Q sont premiers entre eux dans R[X]. 11. Soit d N . Construire une application r : Rd [X] R P 7 r(P ) polynomiale en les coefficients de P , telle que, si r(P ) est non nul, alors les racines de P dans C sont simples. Indication: On pourra utiliser la question precedente. 3 12. Soit d N et f une fonction polynomiale sur Rd . On suppose que la fonction f est non nulle. Montrer que f -1 (R \ {0}) est dense dans Rd . Indication: On pourra utiliser le fait qu'un polynome non nul a une variable n'a qu'un nombre fini de racines. Dans les parties III et IV, on fixe deux formes symplectiques et 1 sur E. Partie III: Reduction simultanee 13. Montrer qu'il existe un unique u GL(E) tel que 1 (x, y) = (u(x), y) pour tout (x, y) E 2 . Montrer alors que u appartient a l'ensemble S defini par S = u GL(E) : (x, y) E 2 , x, u(y) = u(x), y . Dans les questions 14 a 19, on suppose que E est de dimension 4. 14. Soit B une base de E telle que MatB () = J4 . Soit U M4 (R) la matrice de u dans la base B. (a) Quelle relation y a-t-il entre les matrices J4 et U ? (b) Montrer qu'il existe N M2 (R) et , R tels que ! # N J2 U= . J2 t N (c) Determiner, en fonction de N , et les coefficients du polynome T defini par T (X) = det(N - XI2 ) + . Montrer que T est un polynome annulateur de U . Dans les questions 15 a 19, on suppose que u n'admet aucune valeur propre reelle. Le but des questions 15 a 19 est de montrer qu'il existe une base Be de E, r > 0 et R \ Z tels que MatBe() = J4 ou R = ! et MatBe(1 ) = r ! 0 -R- R 0 # # cos - sin . sin cos 15. Montrer que U est diagonalisable sur C. En deduire qu'il existe C \ R et des vecteurs Z et Y de C4 lineairement independants sur C tels que U Z = Z et U Y = Y . 16. Soient Z1 , Z2 , Y1 , Y2 des vecteurs de R4 tels que Z = Z1 + iZ2 et Y = Y1 + iY2 . Soient (z1 , z2 , y1 , y2 ) E 4 de coordonnees respectives Z1 , Z2 , Y1 , Y2 dans la base B. Montrer que Be := (z1 , z2 , y1 , -y2 ) est une base de E. 17. Montrer que (z1 , z2 ) = (y1 , y2 ) = 0 , (z1 , y1 ) = -(z2 , y2 ) , (z1 , y2 ) = (z2 , y1 ) . 4 18. Montrer que, quitte a remplacer Y par Y avec C \ {0} bien choisi, on a (z1 , y1 ) = -1 et (z1 , y2 ) = 0. 19. Montrer qu'il existe r > 0 et R \ Z tels que R 0 MatBe(u) = r 0 R- ! et conclure. Jusqu'a la fin de cette partie, on ne fait plus d'hypothese sur la dimension de E ni sur l'endomorphisme u. On considere un polynome P R[X] annulateur de u et une decomposition P = P1 · · · Pr , ou r N et P1 , . . . , Pr sont des polynomes premiers entre eux deux a deux dans R[X]. On note Fj = ker[Pj (u)] pour j = 1, . . . , r. 20. Montrer que E = F1 · · · Fr et que Fj est stable par u pour j = 1, . . . , r. 21. Montrer que, pour tous j et k appartenant a {1, . . . , r} et distincts, on a Fk Fj et Fk Fj1 (la notation F est definie en question 7). On dit alors que F1 , . . . , Fr sont deux a deux orthogonaux pour et pour 1 . 22. En deduire que, pour tout j {1, . . . , r}, les restrictions de et 1 a Fj × Fj sont des formes symplectiques sur Fj . 23. On suppose que le polynome caracteristique de u est a racines au plus doubles dans C. Montrer que E est la somme directe de sous-espaces de dimension 2 ou 4, deux a deux orthogonaux pour et 1 , et sur lesquels les restrictions de et 1 sont des formes symplectiques. Partie IV: Structures complexes domptees simultanement Dans cette partie, nous allons etudier les liens entre les propositions (F1 ) : Il existe une structure complexe domptee par et par 1 . (F2 ) : Le segment [, 1 ] = {(1 - ) + 1 ; [0, 1]} est inclus dans l'ensemble des formes symplectiques sur E. 24. Soit u l'automorphisme de E defini en question 13. On suppose que (F2 ) est satisfaite et que le polynome caracteristique de u est a racines au plus doubles dans C. Montrer que (F1 ) est satisfaite. Indication: On pourra demontrer puis utiliser le fait que, pour tout R \ Z, il existe R tel que, pour tout X R2 \ {0}, t XR X > 0 et t XR+ X > 0. 25. Soit S l'ensemble defini en question 13. Montrer que l'ensemble des elements de S, dont le polynome caracteristique P est a racines au plus doubles dans C, est dense dans S. Indication: On pourra utiliser r(P ) ou l'application r est definie en question 11. 26. Que peut-on conclure? 5

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 X/ENS Maths A MP 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (docteur en mathématiques) ; il a été relu par Rémi Pellerin (ENS Lyon) et Sophie Rainero (professeur en CPGE). Ce sujet traite des formes symplectiques sur un espace vectoriel réel E de dimension finie n paire, c'est-à-dire des formes bilinéaires antisymétriques non dégénérées sur E. Le but est d'en montrer plusieurs propriétés, d'étudier les endomorphismes symétriques pour ces formes symplectiques ainsi que de montrer l'existence de structures complexes qui sont dites domptées par une certaine forme symplectique . Une telle structure désigne un automorphisme J de E vérifiant J2 = - Id E tel que (x, J(x)) > 0 pour tout vecteur x 6= 0. La partie II peut être résolue indépendamment des autres. · Dans la première partie sont établis des résultats élémentaires sur les formes symplectiques ayant pour but de montrer qu'étant donné une forme symplectique , il existe une base de E dans laquelle sa matrice écrite par blocs est 0n/2 -In/2 Jn = In/2 0n/2 Il en résulte l'existence d'une structure complexe domptée par . · La deuxième partie permet d'obtenir deux résultats sur les polynômes qui seront utiles dans le reste du problème. Le premier est qu'il existe pour tout d > 1 une fonction sur Rd à valeurs réelles, polynomiale par morceaux, qui est non nulle pour tout polynôme à racines complexes simples. Le second résultat est que f -1 (R ) est dense dans Rd pour toute fonction polynomiale réelle non nulle f : Rd R. · Dans la troisième partie, deux formes symplectiques et 1 sont fixées et l'on introduit les endomorphismes symétriques pour . On étudie leur réduction sous certaines hypothèses portant sur leur polynôme caractéristique. On montre en particulier que l'espace E peut être décomposé en somme directe de sousespaces stables par un endomorphisme u symétrique pour , sur lesquels et 1 restent symplectiques. Si u est à racines complexes au plus doubles, on peut alors trouver une base dans laquelle Mat () est diagonale avec des blocs de J2 et J4 et Mat (1 ) est diagonale par blocs qui sont des multiples de J2 ou des rQ avec r > 0, R r Z et 0 -R- cos - sin Q = où R = R 0 sin cos · La dernière partie a pour but l'étude des liens d'implication entre l'existence d'une structure complexe domptée à la fois par et 1 , et le fait que le segment {(1 - t) + t1 | t [ 0 ; 1 ]} est inclus dans l'ensemble des formes symplectiques sur E. Un grand nombre de questions de ce sujet sont des résultats classiques sur les formes bilinéaires, qui ne sont plus au programme depuis 2014. Quelques questions sont abordables ; les autres sont d'un niveau assez soutenu, certaines étant même ardues car elles nécessitent du recul sur le sujet, une très bonne maîtrise des outils d'algèbre linéaire et de polynômes, mais aussi beaucoup d'initiative et de technicité. Indications Partie I 1 Introduire une base de E et considérer les formes linéaires qui sont nulles sur la base sauf sur un de ses vecteurs en lequel elles prennent la valeur 1. 3.a Raisonner par analyse-synthèse en choisissant des X et Y adéquats pour trouver les coefficients de la matrice M. 3.b Utiliser l'antisymétrie d'une forme sur la base canonique et la question 3.a. 3.c Avec la question 3.b, expliciter la forme des matrices de A(E) quand dim E = 2. 3.d On pourra montrer successivement (E1 ) = (E2 ) = (E3 ) = (E1 ) et utiliser les questions 1, 3.a ainsi que le morphisme . 5 Réécrire 0 à l'aide du produit scalaire canonique sur Rn pour la bilinéarité. Les caractères antisymétrique et symplectique se prouvent à l'aide des conditions obtenues en 3.b et 3.d. 7.a En dimension finie, tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire. 7.d On pourra se servir du théorème du rang et de la question 7.a. 7.e Pour la somme directe, faire référence aux questions 7.b et 7.d. Regarder ensuite ce que donne la matrice de dans une base adaptée à la somme directe. 8 Prouver qu'il existe un plan de E sur lequel est symplectique et appliquer les résultats des questions 7.d et 7.e pour obtenir l'hérédité. 9 Réindexer les vecteurs d'une base Be donnée par la question 8. Partie II 10 Remarquer que l'isomorphie de LP,Q est équivalente à son injectivité. Regarder ensuite son noyau quand pgcd (P, Q) = 1. Réciproquement, si LP,Q est un isomorphisme, alors il est surjectif. Or 1 Rp+q-1 [X]. 11 Les racines complexes d'un polynôme réel P sont simples si et seulement si pgcd (P, P ) = 1. On pourra donc considérer l'application LP,Q pour P et Q bien choisis. Attention cependant aux conditions de degrés pour pouvoir définir LP,Q : on pourra donner une définition de r « par morceaux ». Quelle application polynomiale en les coefficients peut être utilisée pour décréter si une application linéaire est un isomorphisme ? 12 On pourra établir que f -1 ({0}) est d'intérieur vide. Pour cela on raisonnera par l'absurde et on montrera qu'une fonction polynomiale s'annulant sur un produit cartésien d'intervalles ouverts non vides est nécessairement nulle. Partie III 13 Remarquer que pour tout x E fixé, 1 (x, ·) E et que est symplectique. Pour la bijectivité, on pourra s'intéresser au noyau de u. 14.a Utiliser la formulation matricielle de (x, y) donnée à la question 3.a. Que dire t t si A et B sont deux matrices telles que X AY = X BY pour tout couple de 2 vecteurs colonnes (X, Y) (Mn,1 (R)) ? 14.b En utilisant la question 14.a, chercher la matrice U par blocs sous la forme N M U= R S pour N, M, R, S matrices de taille (2, 2). 14.c Le théorème de Cayley-Hamilton pourra être appliqué en explicitant le polynôme caractéristique de matrices de taille 2. 16 Interpréter Z1 , Z2 comme parties réelle et imaginaire de Z, idem pour Y. Montrer que la famille (Z1 , Z2 , Y1 , -Y2 ) est libre dans R4 . Il pourra être utile de considérer UZ. t 17 Montrer que si V, W sont vecteurs propres de U pour / R, alors V J2 W = 0 et l'appliquer pour Y, Z en identifiant les parties réelles et imaginaires. 18 Écrire les nouveaux vecteurs y1 , y2 obtenus pour Y si = 1 + i2 C . Remarquer que les conditions demandées par l'énoncé se réécrivent sous la forme d'un système linéaire avec une matrice dont l'inversibilité peut être étudiée à l'aide de la question 17. 19 Utiliser la question 18 pour trouver une base dans laquelle la matrice de est J4 . Que dire de celle de u dans la même base ? 20 Utiliser le lemme des noyaux ainsi que le fait que u commute avec tout endomorphisme qui est un polynôme en u. 21 Choisir une base de E dans laquelle la matrice de est Jn . Chercher, comme à la question 14.a, une relation vérifiée par U, la matrice de u dans cette base. Il pourra également être judicieux d'utiliser une relation de Bézout entre Pj et Pk pour écrire x Fk et y Fj faisant intervenir des polynômes d'endomorphismes en Pj (u) et Pk (u). Ce faisant, évaluer (x, y) en utilisant la forme matricielle de la question 3.a. 22 Se servir du critère obtenu à la question 7.b ainsi que des résultats des questions 20 et 21. 23 C'est une question de synthèse de plusieurs questions précédentes. Considérer une décomposition en facteurs premiers de u donnée par ses racines complexes. Utiliser ensuite les sous-espaces Fj associés par la question 20. On pourra montrer que si u = (X - )m Q avec Q() 6= 0, alors dim Ker (u - Id E )m = m. Partie IV 24 Construire une structure complexe domptée par |Fj ×Fj et 1|Fj ×Fj sur chaque sous-espace Fj d'une décomposition en somme directe comme à la question 23. Remarquer que les restrictions à des sous-espaces de dimensions 2 et 4 ont été étudiées aux questions 3.c et 19. L'hypothèse (F2 ) pourra être utilisée pour montrer que les restrictions de et 1 à des espaces Fj de dimension 2 sont strictement positivement liées. 25 Commencer par raisonner en reformulant S à l'aide de relations matricielles. On pourra ensuite remarquer que n o t D = U Mn (R) | U Jn = Jn U est un sous-espace vectoriel de Mn (R). Penser aux questions 11 et 12 pour construire, à l'aide d'un d bien choisi, une application polynomiale de Rd dans R dont l'image réciproque permet de décrire l'ensemble dont on souhaite montrer la densité. On pourra enfin remarquer que les applications suivantes ( ( D - R D - R X: et : U 7- r(U ) U 7- det U sont polynomiales et que deux ouverts denses ont une intersection dense. 26 L'énoncé semble indiquer une piste qui ne permet pas d'aboutir. On pourra quand même expliciter la stratégie suggérée et quelles en sont les limites. I. Bases symplectiques 1 Soit B = (e1 , . . . , en ) une base de E. Exhibons une famille libre et génératrice de E à l'aide de B. Il suffit de définir les formes linéaires sur B. Soit donc, pour tout i [[ 1 ; n ]], la forme linéaire ei vérifiant ei (ej ) = i,j (i, j) [[ 1 ; n ]]2 où l'on rappelle que i,j est le symbole de Kronecker défini par 1 si i = j i,j = 0 sinon Ainsi ei est l'application qui donne la ie coordonnée d'un vecteur dans la base B. Établissons que B = (e1 , . . . , en ) est une base de E . Montrons que B est génératrice de E . Soient E et x E. Écrivons n P x= i=1 Par linéarité de , ei (x)ei P P n n (x) = ei (x)ei = ei (x)(ei ) i=1 ce qui fournit i=1 = n P i=1 (ei )ei et donc B est génératrice. Montrons que la famille B est libre dans E . Fixons 1 , . . . , n des réels tels que n P i=1 i ei = 0 L'évaluation de la forme linéaire du membre de gauche de cette inégalité en tout ej de la base B fournit pour tout j [[ 1 ; n ]] 0= n P i ei (ej ) = i=1 n P i i,j = j i=1 Cela prouve la liberté de B . Finalement, B est une base de E et par suite dim E = dim E = n La base B s'appelle base duale de la base B. Réciproquement, si une base B de E est donnée, il existe une unique base B de E dont la duale est B . La base B est appelée base antéduale de B . 2 Soient A(E) et x E. Comme est antisymétrique, la définition de A(E) assure que (x, y) = -(y, x) pour tout (x, y) E2 donc en particulier, pour x = y, (x, x) = -(x, x) soit 2(x, x) = 0. Comme 2 est inversible dans R, l'égalité précédente assure que (x, x) = 0 Le résultat que l'on vient de démontrer s'appelle caractère alterné de la forme bilinéaire. On définit la caractéristique d'un corps k (notée car(k)) comme l'unique entier p N tel que Ker = pZ où est le morphisme n 7 n · 1k de Z dans k. La caractéristique est donc le plus petit nombre de fois qu'il