X/ENS Maths A MP 2017

Thème de l'épreuve Formes symplectiques et structures complexes
Principaux outils utilisés formes bilinéaires, polynômes annulateurs, réduction, topologie
Mots clefs forme symplectique, structure complexe, antisymétrique, réduction simultanée

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE POLYTECHNIQUE

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2017

FILIERE MP

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES ­ A ­ (XLCR)
(Dure: 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve.

Dans tout le probleme
· E est un R-espace vectoriel de dimension finie n  N ,
· Id est l'application identite sur E: Id(x) = x pour tout x  E,
· L(E) est l'algebre des endomorphismes de E,
· GL(E) est le groupe des automorphismes de E,
· E  = L(E, R) est l'espace vectoriel des formes lineaires sur E,
· A(E) est l'espace vectoriel des applications  : E × E  R qui sont bilineaires 
et antisymetriques, c'est-a-dire qui verifient, quel que soit (x, y, z)  E 3 et 
quel que soit   R,
(x + y, z) = (x, z) + (y, z) ,

(x, y + z) = (x, y) + (x, z) ,

(x, y) = -(y, x) .
Pour tout   A(E) et x  E, on note (x, ·) la forme lineaire definie par
(x, ·) : E  R
y 7 (x, y)
Pour tout   A(E), on note  l'application lineaire definie par
 : E  E 
x 7 (x, ·)
Un element  de A(E) est appele forme symplectique sur E si  est un isomorphisme 
de
E sur E  .
Un element J de L(E) est appele structure complexe sur E s'il verifie J 2 = -Id.
On dit qu'une forme symplectique  sur E dompte une structure complexe J si (x, 
J(x)) > 0
pour tout x  E \ {0}.

·
·
·
·

On note
Mn (R) l'algebre des matrices carrees de taille n a coefficients reels,
GLn (R) le groupe des matrices inversibles de taille n a coefficients reels,
In la matrice unite de taille n,
lorsque n est pair, Jn la matrice carree de taille n definie par blocs
!
0 -I n2
Jn =
I n2
0
1

· det l'application determinant sur Mn (R),
· t M la transposee de la matrice M .
On identifie tout element de M1 (R) a un nombre reel.
La partie I est utilisee dans les parties III et IV. Les parties II et III 
independantes entre
elles, sont utilisees dans la partie IV.

Partie I: Bases symplectiques
1. Montrer que la dimension de l'espace vectoriel E  vaut n.
2. Montrer que (x, x) = 0 pour tout   A(E) et pour tout x  E.
3. Soit   A(E) et B = (b1 , . . . , bn ) une base de E.
(a) Montrer qu'il existe une unique matrice M  Mn (R), dont on precisera les 
coefficients,
telle que pour tout (x, y)  E 2 , (x, y) = t XM Y ou X, Y  Rn sont les matrices
colonnes representant respectivement x et y dans la base B:

x1
y1
x = x 1 b1 + · · · + x n bn ,
 .. 
 .. 
X =  . , Y =  . ,
y = y 1 b1 + · · · + y n bn .
xn
yn
On notera alors M = MatB ().
(b) Montrer que M est antisymetrique, c'est-a-dire que t M = -M .
(c) Montrer que l'espace vectoriel A(E) est de dimension 1 lorsque E est de 
dimension 2.
(d) Montrer l'equivalence entre les trois enonces suivants.
(E1 ):  est une forme symplectique sur E.
(E2 ): Pour tout x  E \ {0}, il existe y  E tel que (x, y) 6= 0.
(E3 ): MatB () est inversible.
4. Montrer que, s'il existe une forme symplectique sur E, alors E est de 
dimension paire.
Dorenavant, jusqu'a la fin du probleme, n est un entier pair > 2.
5. Montrer que l'application 0 definie par
 0 : R n × Rn 
(X, Y ) 7

R
t XJ

nY

est une forme symplectique sur Rn .
Jusqu'a la fin de cette partie, on fixe une forme symplectique  sur E.
Le but des questions 6 a 9 est de montrer qu'il existe une base B de E telle que
MatB () = Jn .
6. Traiter le cas ou E est de dimension 2.
7. Soit F un sous-espace vectoriel de E .
2

(a) Montrer que, pour toute forme lineaire u : F  R, il existe une forme 
lineaire u
e:E 
R dont la restriction a F coincide avec u.
On note F  le sous-espace vectoriel de E defini par
F  = {x  E : y  F, (x, y) = 0}
et F l'application lineaire definie par
F : E  F 
x 7  (x)|F
ou  (x)|F est la restriction de  (x) a F .
(b) Montrer que la restriction de  a F × F est une forme symplectique sur F si 
et
seulement si F  F  = {0}.
(c) Quels sont le noyau et l'image de F ?
(d) Montrer que dim(F ) + dim(F  ) = dim(E).
(e) Montrer que, si la restriction de  a F × F est une forme symplectique sur F 
, alors
E = F  F  et la restriction de  a F  × F  est une forme symplectique sur F  .
8. Montrer par recurrence qu'il existe une base Be de E telle que

J2 0 · · · 0

.
 0 J2 . . . .. 

MatBe() =  . .

..
.
.
.
.
. 0
0 · · · 0 J2
9. Conclure. En deduire que  dompte au moins une structure complexe sur E.

Partie II: Deux outils sur les polynomes
On note Rd [X] l'espace vectoriel des polynomes de degre 6 d a coefficients 
reels,
pour tout d  N.
10. Soit P, Q  R[X] des polynomes non nuls de degres respectifs p et q 
strictement positifs.
Montrer que l'application lineaire LP,Q definie par
LP,Q : Rq-1 [X] × Rp-1 [X]  Rp+q-1 [X]
(V, W )
7 V P + W Q
est un isomorphisme si et seulement si P et Q sont premiers entre eux dans R[X].
11. Soit d  N . Construire une application
r : Rd [X]  R
P 7 r(P )
polynomiale en les coefficients de P , telle que, si r(P ) est non nul, alors 
les racines de P
dans C sont simples.
Indication: On pourra utiliser la question precedente.
3

12. Soit d  N et f une fonction polynomiale sur Rd . On suppose que la fonction 
f est non
nulle. Montrer que f -1 (R \ {0}) est dense dans Rd .
Indication: On pourra utiliser le fait qu'un polynome non nul a une variable 
n'a qu'un
nombre fini de racines.
Dans les parties III et IV, on fixe deux formes symplectiques  et 1 sur E.

Partie III: Reduction simultanee
13. Montrer qu'il existe un unique u  GL(E) tel que 1 (x, y) = (u(x), y) pour 
tout (x, y) 
E 2 . Montrer alors que u appartient a l'ensemble S defini par

S = u  GL(E) : (x, y)  E 2 ,  x, u(y) =  u(x), y .
Dans les questions 14 a 19, on suppose que E est de dimension 4.
14. Soit B une base de E telle que MatB () = J4 . Soit U  M4 (R) la matrice de 
u dans la
base B.
(a) Quelle relation y a-t-il entre les matrices J4 et U ?
(b) Montrer qu'il existe N  M2 (R) et  ,   R tels que
!
#
N J2
U=
.
J2 t N
(c) Determiner, en fonction de N ,  et  les coefficients du polynome T defini 
par T (X) =
det(N - XI2 ) + . Montrer que T est un polynome annulateur de U .
Dans les questions 15 a 19, on suppose que u n'admet aucune valeur propre
reelle.
Le but des questions 15 a 19 est de montrer qu'il existe une base Be de E, r > 0

et   R \  Z tels que

MatBe() = J4

ou R =

!

et

MatBe(1 ) = r

!

0 -R-
R
0

#

#
cos  - sin 
.
sin  cos 

15. Montrer que U est diagonalisable sur C. En deduire qu'il existe   C \ R et 
des vecteurs
Z et Y de C4 lineairement independants sur C tels que U Z = Z et U Y = Y .
16. Soient Z1 , Z2 , Y1 , Y2 des vecteurs de R4 tels que Z = Z1 + iZ2 et Y = Y1 
+ iY2 . Soient
(z1 , z2 , y1 , y2 )  E 4 de coordonnees respectives Z1 , Z2 , Y1 , Y2 dans la 
base B. Montrer que
Be := (z1 , z2 , y1 , -y2 ) est une base de E.
17. Montrer que

(z1 , z2 ) = (y1 , y2 ) = 0 ,
(z1 , y1 ) = -(z2 , y2 ) ,
(z1 , y2 ) = (z2 , y1 ) .
4

18. Montrer que, quitte a remplacer Y par Y avec   C \ {0} bien choisi, on a 
(z1 , y1 ) = -1
et (z1 , y2 ) = 0.
19. Montrer qu'il existe r > 0 et   R \  Z tels que
R
0
MatBe(u) = r
0 R-

!

et conclure.
Jusqu'a la fin de cette partie, on ne fait plus d'hypothese sur la dimension de 
E
ni sur l'endomorphisme u. On considere un polynome P  R[X] annulateur de
u et une decomposition P = P1 · · · Pr , ou r  N et P1 , . . . , Pr sont des 
polynomes
premiers entre eux deux a deux dans R[X]. On note Fj = ker[Pj (u)] pour j =
1, . . . , r.
20. Montrer que E = F1  · · ·  Fr et que Fj est stable par u pour j = 1, . . . 
, r.
21. Montrer que, pour tous j et k appartenant a {1, . . . , r} et distincts, on 
a Fk  Fj et
Fk  Fj1 (la notation F  est definie en question 7).
On dit alors que F1 , . . . , Fr sont deux a deux orthogonaux pour  et pour 1 .
22. En deduire que, pour tout j  {1, . . . , r}, les restrictions de  et 1 a Fj 
× Fj sont des
formes symplectiques sur Fj .
23. On suppose que le polynome caracteristique de u est a racines au plus 
doubles dans C.
Montrer que E est la somme directe de sous-espaces de dimension 2 ou 4, deux a 
deux
orthogonaux pour  et 1 , et sur lesquels les restrictions de  et 1 sont des 
formes
symplectiques.

Partie IV: Structures complexes domptees simultanement
Dans cette partie, nous allons etudier les liens entre les propositions
(F1 ) : Il existe une structure complexe domptee par  et par 1 .
(F2 ) : Le segment [, 1 ] = {(1 - ) + 1 ;   [0, 1]} est inclus dans
l'ensemble des formes symplectiques sur E.
24. Soit u l'automorphisme de E defini en question 13. On suppose que (F2 ) est 
satisfaite et
que le polynome caracteristique de u est a racines au plus doubles dans C. 
Montrer que
(F1 ) est satisfaite.
Indication: On pourra demontrer puis utiliser le fait que, pour tout   R \  Z, 
il existe
  R tel que, pour tout X  R2 \ {0}, t XR X > 0 et t XR+ X > 0.
25. Soit S l'ensemble defini en question 13. Montrer que l'ensemble des 
elements de S, dont le
polynome caracteristique P est a racines au plus doubles dans C, est dense dans 
S.
Indication: On pourra utiliser r(P  ) ou l'application r est definie en 
question 11.
26. Que peut-on conclure?

5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Maths A MP 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (docteur en mathématiques) ; il a été
relu par Rémi Pellerin (ENS Lyon) et Sophie Rainero (professeur en CPGE).

Ce sujet traite des formes symplectiques sur un espace vectoriel réel E de 
dimension finie n paire, c'est-à-dire des formes bilinéaires antisymétriques 
non dégénérées
sur E. Le but est d'en montrer plusieurs propriétés, d'étudier les 
endomorphismes
symétriques pour ces formes symplectiques ainsi que de montrer l'existence de 
structures complexes qui sont dites domptées par une certaine forme 
symplectique .
Une telle structure désigne un automorphisme J de E vérifiant J2 = - Id E tel 
que
(x, J(x)) > 0 pour tout vecteur x 6= 0. La partie II peut être résolue 
indépendamment des autres.
· Dans la première partie sont établis des résultats élémentaires sur les formes
symplectiques ayant pour but de montrer qu'étant donné une forme symplectique , 
il existe une base de E dans laquelle sa matrice écrite par blocs est

0n/2 -In/2
Jn =
In/2 0n/2

Il en résulte l'existence d'une structure complexe domptée par .
· La deuxième partie permet d'obtenir deux résultats sur les polynômes qui 
seront
utiles dans le reste du problème. Le premier est qu'il existe pour tout d > 1
une fonction sur Rd à valeurs réelles, polynomiale par morceaux, qui est non
nulle pour tout polynôme à racines complexes simples. Le second résultat est
que f -1 (R ) est dense dans Rd pour toute fonction polynomiale réelle non
nulle f : Rd  R.
· Dans la troisième partie, deux formes symplectiques  et 1 sont fixées et l'on
introduit les endomorphismes symétriques pour . On étudie leur réduction
sous certaines hypothèses portant sur leur polynôme caractéristique. On montre
en particulier que l'espace E peut être décomposé en somme directe de 
sousespaces stables par un endomorphisme u symétrique pour , sur lesquels  et
1 restent symplectiques. Si u est à racines complexes au plus doubles, on
peut alors trouver une base dans laquelle Mat () est diagonale avec des blocs
de J2 et J4 et Mat (1 ) est diagonale par blocs qui sont des multiples de J2 ou
des rQ avec r > 0,   R r Z et

0 -R-
cos  - sin 
Q =
où R =
R
0
sin 
cos 

· La dernière partie a pour but l'étude des liens d'implication entre 
l'existence
d'une structure complexe domptée à la fois par  et 1 , et le fait que le 
segment {(1 - t) + t1 | t  [ 0 ; 1 ]} est inclus dans l'ensemble des formes 
symplectiques sur E.
Un grand nombre de questions de ce sujet sont des résultats classiques sur les
formes bilinéaires, qui ne sont plus au programme depuis 2014. Quelques 
questions
sont abordables ; les autres sont d'un niveau assez soutenu, certaines étant 
même
ardues car elles nécessitent du recul sur le sujet, une très bonne maîtrise des 
outils
d'algèbre linéaire et de polynômes, mais aussi beaucoup d'initiative et de 
technicité.

Indications
Partie I
1 Introduire une base de E et considérer les formes linéaires qui sont nulles 
sur la
base sauf sur un de ses vecteurs en lequel elles prennent la valeur 1.
3.a Raisonner par analyse-synthèse en choisissant des X et Y adéquats pour 
trouver
les coefficients de la matrice M.
3.b Utiliser l'antisymétrie d'une forme  sur la base canonique et la question 
3.a.
3.c Avec la question 3.b, expliciter la forme des matrices de A(E) quand dim E 
= 2.
3.d On pourra montrer successivement (E1 ) = (E2 ) = (E3 ) = (E1 ) et utiliser
les questions 1, 3.a ainsi que le morphisme  .
5 Réécrire 0 à l'aide du produit scalaire canonique sur Rn pour la bilinéarité.
Les caractères antisymétrique et symplectique se prouvent à l'aide des 
conditions obtenues en 3.b et 3.d.
7.a En dimension finie, tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire.
7.d On pourra se servir du théorème du rang et de la question 7.a.
7.e Pour la somme directe, faire référence aux questions 7.b et 7.d. Regarder 
ensuite
ce que donne la matrice de  dans une base adaptée à la somme directe.
8 Prouver qu'il existe un plan de E sur lequel  est symplectique et appliquer 
les
résultats des questions 7.d et 7.e pour obtenir l'hérédité.
9 Réindexer les vecteurs d'une base Be donnée par la question 8.
Partie II

10 Remarquer que l'isomorphie de LP,Q est équivalente à son injectivité. 
Regarder ensuite son noyau quand pgcd (P, Q) = 1. Réciproquement, si LP,Q est un
isomorphisme, alors il est surjectif. Or 1  Rp+q-1 [X].
11 Les racines complexes d'un polynôme réel P sont simples si et seulement si
pgcd (P, P ) = 1. On pourra donc considérer l'application LP,Q pour P et Q bien
choisis. Attention cependant aux conditions de degrés pour pouvoir définir LP,Q 
:
on pourra donner une définition de r « par morceaux ». Quelle application
polynomiale en les coefficients peut être utilisée pour décréter si une 
application
linéaire est un isomorphisme ?
12 On pourra établir que f -1 ({0}) est d'intérieur vide. Pour cela on 
raisonnera
par l'absurde et on montrera qu'une fonction polynomiale s'annulant sur un
produit cartésien d'intervalles ouverts non vides est nécessairement nulle.
Partie III

13 Remarquer que pour tout x  E fixé, 1 (x, ·)  E et que  est symplectique.
Pour la bijectivité, on pourra s'intéresser au noyau de u.
14.a Utiliser la formulation matricielle de (x, y) donnée à la question 3.a. 
Que dire
t
t
si A et B sont deux matrices telles que X AY = X BY pour tout couple de
2
vecteurs colonnes (X, Y)  (Mn,1 (R)) ?
14.b En utilisant la question 14.a, chercher la matrice U par blocs sous la 
forme

N M
U=
R S
pour N, M, R, S matrices de taille (2, 2).
14.c Le théorème de Cayley-Hamilton pourra être appliqué en explicitant le 
polynôme caractéristique de matrices de taille 2.

16 Interpréter Z1 , Z2 comme parties réelle et imaginaire de Z, idem pour Y. 
Montrer que la famille (Z1 , Z2 , Y1 , -Y2 ) est libre dans R4 . Il pourra être 
utile de
considérer UZ.
t
17 Montrer que si V, W sont vecteurs propres de U pour  
/ R, alors V J2 W = 0
et l'appliquer pour Y, Z en identifiant les parties réelles et imaginaires.
18 Écrire les nouveaux vecteurs y1 , y2 obtenus pour Y si  = 1 + i2  C .
Remarquer que les conditions demandées par l'énoncé se réécrivent sous la forme
d'un système linéaire avec une matrice dont l'inversibilité peut être étudiée à
l'aide de la question 17.
19 Utiliser la question 18 pour trouver une base dans laquelle la matrice de 
est J4 . Que dire de celle de u dans la même base ?
20 Utiliser le lemme des noyaux ainsi que le fait que u commute avec tout 
endomorphisme qui est un polynôme en u.
21 Choisir une base de E dans laquelle la matrice de  est Jn . Chercher, comme
à la question 14.a, une relation vérifiée par U, la matrice de u dans cette 
base.
Il pourra également être judicieux d'utiliser une relation de Bézout entre Pj
et Pk pour écrire x  Fk et y  Fj faisant intervenir des polynômes 
d'endomorphismes en Pj (u) et Pk (u). Ce faisant, évaluer (x, y) en utilisant 
la forme
matricielle de la question 3.a.
22 Se servir du critère obtenu à la question 7.b ainsi que des résultats des 
questions 20 et 21.
23 C'est une question de synthèse de plusieurs questions précédentes. Considérer
une décomposition en facteurs premiers de u donnée par ses racines complexes.
Utiliser ensuite les sous-espaces Fj associés par la question 20. On pourra 
montrer que si u = (X - )m Q avec Q() 6= 0, alors dim Ker (u -  Id E )m = m.
Partie IV
24 Construire une structure complexe domptée par |Fj ×Fj et 1|Fj ×Fj sur chaque
sous-espace Fj d'une décomposition en somme directe comme à la question 23.
Remarquer que les restrictions à des sous-espaces de dimensions 2 et 4 ont été
étudiées aux questions 3.c et 19. L'hypothèse (F2 ) pourra être utilisée pour
montrer que les restrictions de  et 1 à des espaces Fj de dimension 2 sont
strictement positivement liées.
25 Commencer par raisonner en reformulant S à l'aide de relations matricielles.
On pourra ensuite remarquer que
n
o
t
D = U  Mn (R) | U Jn = Jn U
est un sous-espace vectoriel de Mn (R). Penser aux questions 11 et 12 pour
construire, à l'aide d'un d bien choisi, une application polynomiale de Rd dans 
R
dont l'image réciproque permet de décrire l'ensemble dont on souhaite montrer
la densité. On pourra enfin remarquer que les applications suivantes
(
(
D - R
D - R
X:
et
:

U 7- r(U )
U 7- det U

sont polynomiales et que deux ouverts denses ont une intersection dense.
26 L'énoncé semble indiquer une piste qui ne permet pas d'aboutir. On pourra
quand même expliciter la stratégie suggérée et quelles en sont les limites.

I. Bases symplectiques
1 Soit B = (e1 , . . . , en ) une base de E. Exhibons une famille libre et 
génératrice
de E à l'aide de B. Il suffit de définir les formes linéaires sur B. Soit donc, 
pour
tout i  [[ 1 ; n ]], la forme linéaire ei vérifiant
ei (ej ) = i,j

(i, j)  [[ 1 ; n ]]2

où l'on rappelle que i,j est le symbole de Kronecker défini par

1 si i = j
i,j =
0 sinon

Ainsi ei est l'application qui donne la ie coordonnée d'un vecteur dans la base 
B.
Établissons que B  = (e1 , . . . , en ) est une base de E .
Montrons que B  est génératrice de E . Soient   E et x  E. Écrivons
n
P

x=

i=1

Par linéarité de ,

ei (x)ei

P
 P
n
n
(x) = 
ei (x)ei =
ei (x)(ei )
i=1

ce qui fournit

i=1

=

n
P

i=1

(ei )ei

et donc B  est génératrice.
Montrons que la famille B  est libre dans E . Fixons 1 , . . . , n des réels 
tels que
n
P

i=1

i ei = 0

L'évaluation de la forme linéaire du membre de gauche de cette inégalité en 
tout ej
de la base B fournit pour tout j  [[ 1 ; n ]]
0=

n
P

i ei (ej ) =

i=1

n
P

i i,j = j

i=1

Cela prouve la liberté de B  .
Finalement, B  est une base de E et par suite
dim E = dim E = n
La base B  s'appelle base duale de la base B. Réciproquement, si une base B
de E est donnée, il existe une unique base B de E dont la duale est B .
La base B est appelée base antéduale de B .
2 Soient   A(E) et x  E. Comme  est antisymétrique, la définition de A(E)
assure que (x, y) = -(y, x) pour tout (x, y)  E2 donc en particulier, pour x = 
y,
(x, x) = -(x, x)
soit 2(x, x) = 0. Comme 2 est inversible dans R, l'égalité précédente assure que
(x, x) = 0
Le résultat que l'on vient de démontrer s'appelle caractère alterné de la forme
bilinéaire. On définit la caractéristique d'un corps k (notée car(k)) comme
l'unique entier p  N tel que Ker  = pZ où  est le morphisme n 7 n · 1k
de Z dans k. La caractéristique est donc le plus petit nombre de fois qu'il