X/ENS Maths A MP 2017

ECOLE POLYTECHNIQUE

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2017

FILIERE MP

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES ­ A ­ (XLCR)
(Dure: 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve.

Dans tout le probleme
· E est un R-espace vectoriel de dimension finie n  N ,
· Id est l'application identite sur E: Id(x) = x pour tout x  E,
· L(E) est l'algebre des endomorphismes de E,
· GL(E) est le groupe des automorphismes de E,
· E  = L(E, R) est l'espace vectoriel des formes lineaires sur E,
· A(E) est l'espace vectoriel des applications  : E × E  R qui sont bilineaires 
et antisymetriques, c'est-a-dire qui verifient, quel que soit (x, y, z)  E 3 et 
quel que soit   R,
(x + y, z) = (x, z) + (y, z) ,

(x, y + z) = (x, y) + (x, z) ,

(x, y) = -(y, x) .
Pour tout   A(E) et x  E, on note (x, ·) la forme lineaire definie par
(x, ·) : E  R
y 7 (x, y)
Pour tout   A(E), on note  l'application lineaire definie par
 : E  E 
x 7 (x, ·)
Un element  de A(E) est appele forme symplectique sur E si  est un isomorphisme 
de
E sur E  .
Un element J de L(E) est appele structure complexe sur E s'il verifie J 2 = -Id.
On dit qu'une forme symplectique  sur E dompte une structure complexe J si (x, 
J(x)) > 0
pour tout x  E \ {0}.

·
·
·
·

On note
Mn (R) l'algebre des matrices carrees de taille n a coefficients reels,
GLn (R) le groupe des matrices inversibles de taille n a coefficients reels,
In la matrice unite de taille n,
lorsque n est pair, Jn la matrice carree de taille n definie par blocs
!
0 -I n2
Jn =
I n2
0
1

· det l'application determinant sur Mn (R),
· t M la transposee de la matrice M .
On identifie tout element de M1 (R) a un nombre reel.
La partie I est utilisee dans les parties III et IV. Les parties II et III 
independantes entre
elles, sont utilisees dans la partie IV.

Partie I: Bases symplectiques
1. Montrer que la dimension de l'espace vectoriel E  vaut n.
2. Montrer que (x, x) = 0 pour tout   A(E) et pour tout x  E.
3. Soit   A(E) et B = (b1 , . . . , bn ) une base de E.
(a) Montrer qu'il existe une unique matrice M  Mn (R), dont on precisera les 
coefficients,
telle que pour tout (x, y)  E 2 , (x, y) = t XM Y ou X, Y  Rn sont les matrices
colonnes representant respectivement x et y dans la base B:

x1
y1
x = x 1 b1 + · · · + x n bn ,
 .. 
 .. 
X =  . , Y =  . ,
y = y 1 b1 + · · · + y n bn .
xn
yn
On notera alors M = MatB ().
(b) Montrer que M est antisymetrique, c'est-a-dire que t M = -M .
(c) Montrer que l'espace vectoriel A(E) est de dimension 1 lorsque E est de 
dimension 2.
(d) Montrer l'equivalence entre les trois enonces suivants.
(E1 ):  est une forme symplectique sur E.
(E2 ): Pour tout x  E \ {0}, il existe y  E tel que (x, y) 6= 0.
(E3 ): MatB () est inversible.
4. Montrer que, s'il existe une forme symplectique sur E, alors E est de 
dimension paire.
Dorenavant, jusqu'a la fin du probleme, n est un entier pair > 2.
5. Montrer que l'application 0 definie par
 0 : R n × Rn 
(X, Y ) 7

R
t XJ

nY

est une forme symplectique sur Rn .
Jusqu'a la fin de cette partie, on fixe une forme symplectique  sur E.
Le but des questions 6 a 9 est de montrer qu'il existe une base B de E telle que
MatB () = Jn .
6. Traiter le cas ou E est de dimension 2.
7. Soit F un sous-espace vectoriel de E .
2

(a) Montrer que, pour toute forme lineaire u : F  R, il existe une forme 
lineaire u
e:E 
R dont la restriction a F coincide avec u.
On note F  le sous-espace vectoriel de E defini par
F  = {x  E : y  F, (x, y) = 0}
et F l'application lineaire definie par
F : E  F 
x 7  (x)|F
ou  (x)|F est la restriction de  (x) a F .
(b) Montrer que la restriction de  a F × F est une forme symplectique sur F si 
et
seulement si F  F  = {0}.
(c) Quels sont le noyau et l'image de F ?
(d) Montrer que dim(F ) + dim(F  ) = dim(E).
(e) Montrer que, si la restriction de  a F × F est une forme symplectique sur F 
, alors
E = F  F  et la restriction de  a F  × F  est une forme symplectique sur F  .
8. Montrer par recurrence qu'il existe une base Be de E telle que

J2 0 · · · 0

.
 0 J2 . . . .. 

MatBe() =  . .

..
.
.
.
.
. 0
0 · · · 0 J2
9. Conclure. En deduire que  dompte au moins une structure complexe sur E.

Partie II: Deux outils sur les polynomes
On note Rd [X] l'espace vectoriel des polynomes de degre 6 d a coefficients 
reels,
pour tout d  N.
10. Soit P, Q  R[X] des polynomes non nuls de degres respectifs p et q 
strictement positifs.
Montrer que l'application lineaire LP,Q definie par
LP,Q : Rq-1 [X] × Rp-1 [X]  Rp+q-1 [X]
(V, W )
7 V P + W Q
est un isomorphisme si et seulement si P et Q sont premiers entre eux dans R[X].
11. Soit d  N . Construire une application
r : Rd [X]  R
P 7 r(P )
polynomiale en les coefficients de P , telle que, si r(P ) est non nul, alors 
les racines de P
dans C sont simples.
Indication: On pourra utiliser la question precedente.
3

12. Soit d  N et f une fonction polynomiale sur Rd . On suppose que la fonction 
f est non
nulle. Montrer que f -1 (R \ {0}) est dense dans Rd .
Indication: On pourra utiliser le fait qu'un polynome non nul a une variable 
n'a qu'un
nombre fini de racines.
Dans les parties III et IV, on fixe deux formes symplectiques  et 1 sur E.

Partie III: Reduction simultanee
13. Montrer qu'il existe un unique u  GL(E) tel que 1 (x, y) = (u(x), y) pour 
tout (x, y) 
E 2 . Montrer alors que u appartient a l'ensemble S defini par

S = u  GL(E) : (x, y)  E 2 ,  x, u(y) =  u(x), y .
Dans les questions 14 a 19, on suppose que E est de dimension 4.
14. Soit B une base de E telle que MatB () = J4 . Soit U  M4 (R) la matrice de 
u dans la
base B.
(a) Quelle relation y a-t-il entre les matrices J4 et U ?
(b) Montrer qu'il existe N  M2 (R) et  ,   R tels que
!
#
N J2
U=
.
J2 t N
(c) Determiner, en fonction de N ,  et  les coefficients du polynome T defini 
par T (X) =
det(N - XI2 ) + . Montrer que T est un polynome annulateur de U .
Dans les questions 15 a 19, on suppose que u n'admet aucune valeur propre
reelle.
Le but des questions 15 a 19 est de montrer qu'il existe une base Be de E, r > 0

et   R \  Z tels que

MatBe() = J4

ou R =

!

et

MatBe(1 ) = r

!

0 -R-
R
0

#

#
cos  - sin 
.
sin  cos 

15. Montrer que U est diagonalisable sur C. En deduire qu'il existe   C \ R et 
des vecteurs
Z et Y de C4 lineairement independants sur C tels que U Z = Z et U Y = Y .
16. Soient Z1 , Z2 , Y1 , Y2 des vecteurs de R4 tels que Z = Z1 + iZ2 et Y = Y1 
+ iY2 . Soient
(z1 , z2 , y1 , y2 )  E 4 de coordonnees respectives Z1 , Z2 , Y1 , Y2 dans la 
base B. Montrer que
Be := (z1 , z2 , y1 , -y2 ) est une base de E.
17. Montrer que

(z1 , z2 ) = (y1 , y2 ) = 0 ,
(z1 , y1 ) = -(z2 , y2 ) ,
(z1 , y2 ) = (z2 , y1 ) .
4

18. Montrer que, quitte a remplacer Y par Y avec   C \ {0} bien choisi, on a 
(z1 , y1 ) = -1
et (z1 , y2 ) = 0.
19. Montrer qu'il existe r > 0 et   R \  Z tels que
R
0
MatBe(u) = r
0 R-

!

et conclure.
Jusqu'a la fin de cette partie, on ne fait plus d'hypothese sur la dimension de 
E
ni sur l'endomorphisme u. On considere un polynome P  R[X] annulateur de
u et une decomposition P = P1 · · · Pr , ou r  N et P1 , . . . , Pr sont des 
polynomes
premiers entre eux deux a deux dans R[X]. On note Fj = ker[Pj (u)] pour j =
1, . . . , r.
20. Montrer que E = F1  · · ·  Fr et que Fj est stable par u pour j = 1, . . . 
, r.
21. Montrer que, pour tous j et k appartenant a {1, . . . , r} et distincts, on 
a Fk  Fj et
Fk  Fj1 (la notation F  est definie en question 7).
On dit alors que F1 , . . . , Fr sont deux a deux orthogonaux pour  et pour 1 .
22. En deduire que, pour tout j  {1, . . . , r}, les restrictions de  et 1 a Fj 
× Fj sont des
formes symplectiques sur Fj .
23. On suppose que le polynome caracteristique de u est a racines au plus 
doubles dans C.
Montrer que E est la somme directe de sous-espaces de dimension 2 ou 4, deux a 
deux
orthogonaux pour  et 1 , et sur lesquels les restrictions de  et 1 sont des 
formes
symplectiques.

Partie IV: Structures complexes domptees simultanement
Dans cette partie, nous allons etudier les liens entre les propositions
(F1 ) : Il existe une structure complexe domptee par  et par 1 .
(F2 ) : Le segment [, 1 ] = {(1 - ) + 1 ;   [0, 1]} est inclus dans
l'ensemble des formes symplectiques sur E.
24. Soit u l'automorphisme de E defini en question 13. On suppose que (F2 ) est 
satisfaite et
que le polynome caracteristique de u est a racines au plus doubles dans C. 
Montrer que
(F1 ) est satisfaite.
Indication: On pourra demontrer puis utiliser le fait que, pour tout   R \  Z, 
il existe
  R tel que, pour tout X  R2 \ {0}, t XR X > 0 et t XR+ X > 0.
25. Soit S l'ensemble defini en question 13. Montrer que l'ensemble des 
elements de S, dont le
polynome caracteristique P est a racines au plus doubles dans C, est dense dans 
S.
Indication: On pourra utiliser r(P  ) ou l'application r est definie en 
question 11.
26. Que peut-on conclure?

5