X/ENS Maths A MP 2015

Thème de l'épreuve Enlacements de spectres de matrices symétriques
Principaux outils utilisés réduction des matrices symétriques, compacité, groupe orthogonal, racines des polynômes, théorème des valeurs intermédiaires
Mots clefs n-uplets enlacés, théorème spectral, polynômes, symétries orthogonales, matrices symétriques

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES CONCOURS D'ADMISSION 2015 FILIÈRE MP COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ A ­ (XLCR) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Pour n 1, l'espace des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n est noté Rn [X]. Étant donnés deux polynômes non nuls P et Q à coefficients réels, leur plus grand commun diviseur (pgcd) unitaire est noté P Q. Si r > 1 est un second entier, Mr,n (R) désigne l'espace vectoriel des matrices à r lignes et n colonnes à coefficients complexes. La notation M = (mij ) signifie que le coefficient à la ligne i et colonne j de la matrice M est mij . On note plus simplement Mn (R) = Mn,n (R), dont la matrice identité est In Mn (R). Le polynôme caractéristique M de M Mn (R) est défini par M (X) = det(XIn - M ). Le polynôme caractéristique est donc unitaire. Pour M Mr,n (R), tM Mn,r (R) désigne la matrice transposée. On rappelle qu'une matrice carrée M Mn (R) est symétrique si tM = M , orthogonale si tM M = In . On notera Sn (R) (respectivement On (R)) l'ensemble des matrices symétriques (resp. orthogonales) de taille n. Étant donné un n-uplet (a1 , . . . , an ) de nombres réels, a1 .. (a1 , . . . , an ) = . an désigne la matrice diagonale associée. Si M Sn (R), son spectre est réel. On convient de ranger ses valeurs propres (comptées avec leurs ordres de multiplicité) dans l'ordre décroissant 1 > · · · > n . On note alors Sp(M ) = (1 , . . . , n ), qui est donc un n-uplet ordonné. b = (1 > · · · > n+1 ) Rn+1 et un n-uplet µ Un n + 1-uplet b = (µ1 > · · · > µn ) Rn , ordonnés, sont dit enlacés si j > µj > j+1 pour tout j {1, . . . , n}. Ils sont strictement enlacés si j > µj > j+1 pour tout j. Par exemple, (4, 3, 2, 1) et (, e, 2) sont strictement enlacés. Questions préliminaires 1. (a) Montrer que On (R) est un sous-groupe du groupe GLn (R) des matrices inversibles. (b) Montrer que On (R) est une partie compacte de Mn (R). 2. Soit M et N dans Sn (R). Montrer qu'il existe U On (R) tel que N = U M U -1 , si et seulement si M = N . b = (1 > · · · > n+1 ) Rn+1 et µ 3. Soit b = (µ1 > · · · > µn ) Rn . Soit x R. Formons b = (1 > · · · > i > x > i+1 > · · · > n+1 ) en choisissant l'entier i {0, . . . , n + 1} convenablement. Si x > 1 , on a donc i = 0, tandis que si x 6 n+1 , on a i = n + 1. On forme de même µ b = (µ1 > · · · > µj > x > µj+1 > · · · > µn ). b et µ On suppose que b sont enlacés. Montrer que j 6 i 6 j + 1. En examinant chacun des b et µ deux cas j = i ou i - 1, montrer que b sont enlacés. 1 Première Partie Soit µ b = (µ1 > · · · > µn ) Rn . 4. On définit les polynômes Q0 = n Y (X - µk ) et j {1, . . . , n}, Pj = k=1 Q0 . (X - µj ) (a) Montrer que la famille (Q0 , P1 , P2 , . . . , Pn ) est une base de Rn [X]. (b) Soit j {1, . . . , n}. Vérifier que (-1)j-1 Pj (µj ) > 0. 5. Soit P R[X] un polynôme unitaire de degré n + 1. (a) Montrer qu'il existe un unique vecteur (a, 1 , 2 , . . . , n ) Rn+1 tel que P = (X - a)Q0 - n X (1) j Pj . j=1 (b) On suppose que les nombres réels 1 , . . . , n sont tous strictement positifs. Montrer b = (1 > · · · > n+1 ) que P a n + 1 racines réelles distinctes 1 > · · · > n+1 , et que et µ b sont strictement enlacés. (c) Réciproquement, on suppose que P a n + 1 racines réelles distinctes 1 > · · · > n+1 , b = (1 > · · · > n+1 ) et µ et que b sont strictement enlacés. Montrer que, pour tout j {1, . . . , n}, j > 0. 6. On se donne des entiers mk > 1 pour k = 1, . . . , n. On pose Q1 = n Y (X - µk )mk et, cette fois-ci, Pj = k=1 Montrer que Q1 Q1 = n Y (X - µk )mk -1 . k=1 Page 2 Q1 . X - µj 7. Soit (a, 1 , 2 , . . . , n ) Rn+1 et soit P R[X] défini par la formule P = (X - a)Q1 - n X j Pj . j=1 (a) Donner une expression de P Q1 en fonction des µj , des mj et de l'ensemble J des indices pour lesquels j = 0. (b) On suppose que les nombres 1 , . . . , n sont positifs ou nuls. Montrer que les racines de P sont toutes réelles. On admettra par la suite que, dans ce cas le plus général, le (N + 1)-uplet des racines de P et le N -uplet des racines de Q1 sont enlacés. 2 Deuxième Partie 8. Soit r et s deux entiers naturels non nuls. Soit A Mr (R), B Mr,s (R), C Ms,r (R) et D Ms (R). On suppose de plus que A est inversible. On considère la matrice M Mr+s (R) ayant la forme par blocs suivante A B M= . C D Trouver deux matrices U Mr,s (R) et V Ms (R) telles que A 0 Ir U M= · . C Is 0 V et en déduire que det(M ) = det(A) · det(D - CA-1 B). On pourra admettre par la suite que cette formule reste vraie lorsque M et ses blocs A, . . . , D sont à coefficients dans le corps R(X) des fractions rationnelles. 9. Soit M Sn+1 (R) une matrice symétrique. On écrit M sous la forme par blocs A y M= t . y a avec a R, y Mn,1 (R) et A Sn (R). (a) Si le spectre de A est Sp(A) = (µ1 > · · · > µn ), montrer qu'il existe U On+1 (R) et z Mn,1 (R) tels que (µ1 , . . . , µn ) z t UM U = . tz a (b) En déduire qu'il existe des nombres réels positifs ou nuls j (pour j = 1, . . . , n) tels que n n Y X Q0 , où Q0 = (X - µk ). j M = (X - a)Q0 - (X - µj ) j=1 k=1 (c) Montrer que Sp(M ) et Sp(A) sont enlacés. Page 3 10. Pour T = (tij ) Mn+1 (R), on note T6n la matrice extraite de taille n dont les coefficients sont les tij pour 1 6 i, j 6 n. Soit M Sn+1 (R). Montrer que l'ensemble {Sp((U M U -1 )6n ) Rn , pour U parcourant On+1 (R)}, noté CM , est une partie compacte de Rn . 11. On suppose de plus que les valeurs propres de M sont distinctes. On a donc Sp(M ) = (1 > · · · > n+1 ). (a) Soit µ b = (µ1 > · · · > µn ) tel que Sp(M ) et µ b soient strictement enlacés. Montrer que µ b appartient à CM . (b) Montrer que CM = {b µ = (µ1 > · · · > µn ), tels que Sp(M ) et µ b soient enlacés}. 3 (2) Troisième Partie On considère l'application Diagn : Sn (R) - Rn M = (mij ) 7- (m11 , m22 , . . . , mnn ). Soit M Sn (R). Dans cette partie, on se propose d'étudier l'ensemble suivant DM = {Diag n (U M U -1 ), pour U parcourant On (R)}. 12. On étudie d'abord le cas n = 2. On note alors Sp(M ) = (1 > 2 ). Montrer que DM est le segment de R2 dont les extrémités sont (1 , 2 ) et (2 , 1 ). 13. Soit M = (mij ) Sn (R). On note Sp(M ) = (1 > · · · > n ) Rn . On se propose de démontrer que, pour tout s {1, . . . , n}, on a : s X i=1 mii 6 s X i . (3) i=1 (a) Que pensez-vous du cas s = n ? Pn-1 (b) Exprimer i=1 mii au moyen des valeurs propres de la matrice M6n-1 obtenue en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne de M . En déduire l'inégalité (3) lorsque s = n - 1. (c) En procédant par récurrence sur n, montrer l'inégalité (3), pour tout s {1, . . . , n}. 4 Quatrième Partie 14. On note E l'espace vectoriel R2 muni du produit scalaire standard et de la base canonique 1 B = {e1 , e2 }. On définit une base C = {1 , 2 } de E par 1 = e1 et 2 = 2 (e1 + 3 e2 ). (a) Soit s1 : E-E la symétrie orthogonale par rapport à la droite R1 . Montrer que la 1 1 . matrice de s1 dans la base C est 0 -1 Page 4 (b) Soit s2 : E-E la symétrie orthogonale par rapport à la droite R2 . Montrer que la -1 0 matrice de s2 dans la base C est . 1 1 15. Soit H l'ensemble des vecteurs (m1 , m2 , m3 ) R3 tels que m1 + m2 + m3 = 0. On note H + le sous-ensemble des (m1 , m2 , m3 ) H tels que m1 > m2 > m3 . On considère l'application : H - E (m1 , m2 , m3 ) 7- (m1 - m2 )1 + (m2 - m3 )2 . (a) Montrer que est un isomorphisme linéaire. Décrire (H + ). (b) Montrer que, pour tout (m1 , m2 , m3 ) H, on a s1 (m1 , m2 , m3 ) = (m1 , m3 , m2 ) et s2 (m1 , m2 , m3 ) = (m2 , m1 , m3 ). b = (1 , 2 , 3 ) H tel que 1 > 2 > 3 . On note Qb l'ensemble des (c) Soit (m1 , m2 , m3 ) H + tels que m1 6 1 et m1 + m2 6 1 + 2 . Montrer que (Qb ) est un quadrilatère dont on décrira les sommets. 16. Soit M S3 (R) une matrice de trace nulle. On note Sp(M ) = (1 > 2 > 3 ). On se propose de décrire (DM ). (a) Soit (m1 , m2 , m3 ) H. Soit une permutation de {1, 2, 3}. Montrer que (m1 , m2 , m3 ) DM si et seulement si (m(1) , m(2) , m(3) ) DM . (b) En utilisant la question 13, montrer que l'intersection H + DM est incluse dans Qb . (c) Soit (m1 , m2 , m3 ) DM . Montrer que le segment de H dont les sommets sont (m1 , m2 , m3 ) et (m2 , m1 , m3 ) est inclus dans DM . On pourra utiliser la question 12. De même, montrer que le segment de H dont les sommets sont (m1 , m2 , m3 ) et (m1 , m3 , m2 ) est inclus dans DM . (d) Montrer que DM contient Qb . (e) Montrer que si 1 > 2 > 3 alors (DM ) est un hexagone, dont on déterminera les sommets. Page 5

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 X/ENS Maths A MP 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Alexandre Le Meur (ENS Cachan) et Nicolas Martin (Professeur agrégé). Ce sujet porte principalement sur les valeurs propres des matrices symétriques réelles. Il se compose de questions préliminaires et de quatre parties, chacune utilisant les résultats précédents. · Dans les questions préliminaires, on commence par démontrer des résultats très classiques : l'ensemble On (R) des matrices orthogonales de taille n est un sous-groupe du groupe GLn (R) des matrices inversibles et constitue une partie compacte de l'espace vectoriel normé Mn (R) des matrices réelles de taille n. On manipule ensuite des spectres ordonnés et « enlacés » : un (n + 1)-uplet (1 > · · · > n+1 ) et un n-uplet (µ1 > · · · > µn ) sont dits enlacés lorsque 1 > µ1 > 2 > µ2 > · · · > n > µn > n+1 · Dans la première partie, on établit des résultats sur les racines de polynômes ; ils seront utilisés plus loin pour étudier les valeurs propres de matrices symétriques réelles. Cette partie ne fait appel qu'à des connaissances de première année, notamment l'arithmétique des polynômes et le théorème des valeurs intermédiaires. · Dans la deuxième partie, on commence par prouver un résultat sur les déterminants de matrices par blocs ; puis on s'en sert pour relier le polynôme caractéristique d'une matrice symétrique réelle M de taille n + 1 et celui de sa sous-matrice A, notée aussi M6n , obtenue en enlevant la dernière ligne et la dernière colonne. On démontre ensuite que les spectres de M et de A sont enlacés. On prouve enfin, et c'est sans doute le passage le plus difficile du sujet, que l'ensemble des spectres des matrices extraites (UMU-1 )6n quand U parcourt On+1 (R) est exactement l'ensemble des n-uplets µ b tels que Sp(M) et µ b sont enlacés. · La troisième partie, assez courte, établit des résultats sur les diagonales de matrices semblables à une matrice symétrique donnée, avec une matrice de passage orthogonale. · Enfin, dans la quatrième partie, qui commence par des questions très simples, on donne des illustrations géométriques des résultats obtenus précédemment. Ce sujet est assez long ; il comporte de nombreuses questions abordables mais aussi quelques-unes qui sont délicates ou longues. À l'exception de la première partie, qui peut être traitée dès la MPSI, il nécessite d'avoir étudié les chapitres d'algèbre euclidienne et de réduction de deuxième année. Indications 1.b Penser à utiliser la dimension finie de Mn (R). Pour montrer que On (R) est t fermé, on pourra introduire la fonction Mn (R) Mn (R), A 7 A A. b et µ 3 Examiner attentivement tous les cas possibles pour la position de x dans b. 5.a Quel est le degré de X Q0 - P ? 5.b Appliquer plusieurs fois le théorème des valeurs intermédiaires à P en utilisant le résultat de la question 4.b. 5.c Pour tout j [[ 1 ; n ]], calculer P(µj ) de deux manières. 7.a Commencer par écrire que P Q1 est un diviseur de Q1 , puis caractériser l'ordre des racines à l'aide de l'expression de P, en introduisant l'ensemble J défini dans l'énoncé. 7.b En notant N + 1 le degré de P, il suffit de trouver N + 1 racines réelles de P (comptées avec leurs multiplicités). Utiliser le résultat de la question 5.b après avoir factorisé le polynôme P à l'aide de la question 7.a. 8 On peut procéder par analyse-synthèse. 9.a Appliquer le théorème de réduction des matrices symétriques réelles à la matrice A. 9.b Utiliser le résultat admis dans la question 8. 9.c Introduire les racines distinctes de Q0 pour ensuite appliquer la question 7.b. 10 Cette question est difficile. Commencer par montrer que CM est borné à l'aide de la question 9. Pour prouver que CM est fermé, procéder par étapes : prouver que EM = (U M U-1 )6n | U On+1 (R) est compact, puis que l'ensemble des polynômes caractéristiques des matrices de EM est compact et enfin utiliser la caractérisation séquentielle des fermés. 11.a Faire appel aux questions 5.c, 9.b et 2. 11.b On peut montrer que si Sp(M) et µ b sont enlacés, alors µ b est la limite d'une suite (b µp )pN telle que, pour tout p N, Sp(M) et µ bp sont strictement enlacés. 12 Justifier que DM = D(µ1 ,µ2 ) puis décrire les éléments de O2 (R) pour calculer les diagonales de toutes les matrices de la forme U (µ1 , µ2 ) U-1 lorsque U parcourt O2 (R). 13.c Dans l'hérédité, utiliser les questions 9.c et 13.a. 15.a Justifier que (H+ ) est l'ensemble des points à coordonnées positives dans le repère (O; 1 , 2 ). 15.c Montrer que (Qb ) est définie par quatre inégalités portant sur les coordonnées dans le repère (O; 1 , 2 ). Faire un dessin. 16.a Pour la réciproque, appliquer la première implication avec -1 . 16.c Suivre l'indication de l'énoncé pour la première partie de la question. Pour la seconde partie, utiliser la question 16.a et la première partie de la question. 16.d Faire appel à la question 16.c pour montrer que tout élément de Qb est dans DM . 16.e Décomposer H comme la réunion de H+ et d'ensembles obtenus à partir de H+ par permutations des éléments. En déduire que (DM ) est la réunion de 6 quadrilatères, (Qb ) et ses images par s1 , s2 et leurs composées. Notons une toute petite erreur dans l'introduction de l'énoncé : la notation Mr,n (R) désigne bien sûr l'espace vectoriel des matrices à r lignes et n colonnes à coefficients réels et non pas à coefficients complexes. Questions préliminaires 1.a Démontrons à l'aide de la caractérisation des sous-groupes que On (R) est un sous-groupe du groupe GLn (R) des matrices inversibles. t · Pour toute matrice M de On (R), M M = In donc M est inversible (d'inverse sa transposée) et ainsi On (R) est inclus dans GLn (R). t · La matrice identité In vérifie In In = In 2 = In donc c'est un élément de On (R). L'ensemble On (R) est non vide. · Soit (A, B) On (R)2 . Posons C = A B. Alors t t t t t t C C = (A B) A B = B A A B = B In B = B B = In puisque A et B sont dans On (R). Donc C On (R). t · Soit A On (R). Alors A GLn (R) et A-1 = A donc t (A-1 ) A-1 = A A-1 = In Ceci prouve que A-1 appartient à On (R). On en conclut grâce au théorème de caractérisation des sous-groupes que On (R) est un sous-groupe du groupe GLn (R). 1.b On (R) est une partie de Mn (R), qui est un espace vectoriel de dimension finie, donc on peut munir Mn (R) de n'importe quelle norme (elles sont toutes équivalentes) et démontrer que On (R) est une partie compacte revient à démontrer qu'il s'agit d'une partie fermée et bornée de Mn (R). Soit N la norme euclidienne sur Mn (R), associée au produit scalaire Mn (R)2 - R : (A, B) 7- Tr t A B Mn (R) - R+ r Autrement dit, N: t A 7- Tr A A t Pour toute matrice M On (R), M M = In donc r p t N(M) = Tr M M = Tr (In ) = n Il en découle que On (R) est une partie bornée de l'espace vectoriel normé (Mn (R), N). t Introduisons la fonction f : M 7- M M. Remarquons que On (R) est l'image réciproque du singleton {In } par f , c'est-à-dire On (R) = f -1 ({In }). La fonction M 7- t M est linéaire en dimension finie, et par conséquent continue. De plus, la fonction (M, N) 7- MN est également continue puisque bilinéaire en dimension finie. Par composition, la fonction f est continue. Le singleton {In } étant un fermé de Mn (R), son image réciproque On (R) par la fonction continue f est un fermé de Mn (R). Comme On (R) est une partie fermée et bornée de l'espace vectoriel normé de dimension finie Mn (R), on peut conclure que On (R) est une partie compacte de Mn (R). Cette question est très classique, il faut savoir la traiter rapidement. 2 Soient M et N dans l'ensemble Sn (R) des matrices symétriques réelles. Démontrons par double implication qu'elles ont le même polynôme caractéristique si, et seulement si, il existe U On (R) tel que N = U M U-1 . · On suppose qu'il existe U On (R) tel que N = U M U-1 . Alors N et M sont semblables et, d'après le cours, elles ont alors le même polynôme caractéristique. · Réciproquement, supposons que M et N ont le même polynôme caractéristique. Les matrices M et N sont symétriques réelles donc, en notant (1 , 2 , . . . , n ) et (µ1 , µ2 , . . . , µn ) leurs spectres ordonnés, il existe (P, Q) On (R)2 tel que M = P (1 , 2 , . . . , n ) P-1 où et N = Q (µ1 , µ2 , . . . , µn ) Q-1 1 0 (1 , 2 , . . . , n ) = . .. 0 et µ1 0 (µ1 , µ2 , . . . , µn ) = . .. 0 ... 0 . .. . .. .. .. . . 0 . . . 0 n 0 .. . ... 0 . .. . .. .. .. . . 0 . . . 0 µn 0 .. . Par hypothèse, M = N . De plus, M et (1 , 2 , . . . , n ) sont semblables donc M = (1 ,2 ,...,n ) . De même, les matrices N et (µ1 , µ2 , . . . , µn ) ont le même polynôme caractéristique. Ainsi, les deux matrices diagonales (1 , 2 , . . . , n ) et (µ1 , µ2 , . . . , µn ) ont le même polynôme caractéristique. Comme on a ordonné les valeurs propres, elles sont donc égales. Posons alors U = Q P-1 . N= = = N= Q (µ1 , µ2 , . . . , µn ) Q-1 Q P-1 M P Q-1 (QP-1 ) M (QP-1 )-1 U M U-1 Les matrices P et Q sont orthogonales et on a démontré que On (R) est un groupe, donc U est également un élément de On (R). Finalement, pour toutes matrices symétriques réelles M et N, M = N U On (R) N = U M U-1