X Maths 1 MP 2014

Thème de l'épreuve Groupe orthogonal d'une forme quadratique et théorème de décomposition de Witt
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, formes quadratiques
Mots clefs forme quadratique, isométrie, groupe orthogonal, orthogonalité, somme orthogonale, isotrope, anisotrope

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE -- ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES CONCOURS D'ADMISSION 2014 FILIÈRE MP COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES -- A -- (XLCR) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** Ce sujet porte sur l'étude des formes quadratiques sur un corps de caractéristique nulle et des groupes d'isométries associés. Notations, Définitions Dans tout ce problème, K désignera un corps de caractéristique nulle, c'est--à--dire un corps tel que, pour tout entier n # 0, on a n - 1 # 0 dans K où 1 désigne l'unité de la loi multiplicative deK, etn-1=1+---+1. Soit V un K--espace vectoriel de dimension finie. On rappelle les trois points suivants. -- Une forme bilinéaire symétrique sur V est une application () : V >< V --> K telle que b(aî, y) = b(ya a?) et b(OE + Àya z) = b(âæ z) + Wii; Z) pour tous a:,y,z E V et À E K. -- Une forme quadratique sur V est une application q : V --> K telle que : i) q(Àu) : À2q(u) pour tout À E K et tout U E V; ii) l'application qN: V >< V --> K définie par (a:, y) l--> qN(aî, y) : â(q(oe + y) -- q(a:) -- q(y)) est bilinéaire symétrique. -- Une forme quadratique est dite nou dégénére'e si, pour tout U E V -- {0}, il existe il) E V tel que q(u, w) # 0. On notera Q(V) l'ensemble des formes quadratiques nou dégénére'es sur V. Soient V et V' deux K--espaces vectoriels de dimension finie. -- Une isométrie entre deux formes quadratiques q : V --> K et q' : V' --> K est un isomor-- phisme linéaire f : V --> V' tel que q' 0 f = q. On notera q % q' si q et q' sont isométriques, c'est--à--dire s'il existe une isométrie entre q et q' . On notera O(q) := { f E GL(V) \ q 0 f = q} le sous ensemble de GL(V) des isométries f : V --> V entre q et elle--mème. On appelle O(q) le groupe orthogonal de q. Les deuoeième et troisième parties du problème sont largement indépendantes. Préliminaires sur les formes quadratiques et les isométries Soit V un K--espace vectoriel de dimension finie n. Soient al, . . . ,on E K -- {0}. On note (al, . . . ,on) la forme quadratique q définie sur K" par la formule _ 2 2 q(oe1,...,oen) -- 611561 +---+anoen. 1. Démontrer que (al, . . . ,on) est bien une forme quadratique sur K". 2. Démontrer que l'application q |--> qust une bijection de l'ensemble des formes quadratiques sur V sur les formes bilinéaires symétriques sur V. 3. Soit 13 := (e1,. . . ,en) est une base de V. On associe a toute forme bilinéaire symétrique () sur V une matrice symétrique OE3(b) := (b(eiflej))tj=1...n appelée matrice de b dans la base 13 . On rappelle que () |--> g(b) est un isomorphisme entre l'espace vectoriel des formes bilinéaires symétriques sur V et celui des matrices symétriques carrées de taille n. (a) Démontrer qu'une forme quadratique q sur V est non dégénérée si et seulement si le déterminant det (g(â)) est non nul. (b) Quelle est la matrice de (al, . . . ,on) dans la base canonique de K" ? En déduire que (al, . . . ,on) EUR Q(K"). 4. Soit q EUR Q(V) une forme quadratique non dégénérée sur V. (a) Soit V' un K--espace vectoriel de dimension finie et q' une forme quadratique sur V' . Démontrer que si q et q' sont isométriques, alors q' est dans Q(V'), c'est--à--dire non dégénérée. (b) Pour a: # 0, on note {a:}L := {y E V \ â(oe,y) = 0}. Montrer que {a:}l est un sous--espace vectoriel de V de dimension n -- 1. (c) A quelle condition sur a: le sous--espace {a:}l est--il un supplémentaire de la droite Ka: dans V ? 5. Soient q EUR Q(V) et (J' E Q(V' ) où V' est un K--espace vectoriel de dimension finie. Démontrer que O(q) est un sous--groupe de GL(V) et que si q % q', alors O(q) et O(q') sont deux groupes isomorphes. Première partie : Existence des bases orthogonales Soit V un K--espace vectoriel de dimension finie non nulle et q EUR Q(V). 6. On dit que q est isotrope s'il existe a: E V -- {0} tel que q(:c) : 0. Dans le cas contraire, on dit que q est anisotropc. (a) Démontrer qu'il existe a: E V tel que q(a:) # 0. (b) On note h la forme quadratique sur K2 définie par Man, 552) = 561562 (on ne demande pas de vérifier que h est une forme quadratique). Montrer que si V est de dimension deux et q est isotrope alors q est isométrique a h. (c) Démontrer que si q EUR Q(V) est isotrope, alors q : V --> K est surjective. 7. Une base (el, . . . ,en) de V est dite orthogonalc pour q si qN(eZ-, ej) : 0 pour tout 75 # j. (a) Montrer qu'il existe une base orthogonale pour q. Indication : on pourra considérer {a:}L = {y E V \ çÎ(oe,y) : O} et utiliser les ques-- tions 4c et 6a. (b) En déduire qu'il existe 0.1, . . . ,an E K -- {0} tels que q % (al, . . . ,a"). Deuxième partie : Etude de O(q) quand K = K On suppose dans cette partie que K = K. 8. Soit q EUR Q(K") (n 2 1). Démontrer qu'il existe un couple d'entiers (T, 3) (r + 8 = n) tel que q soit isométrique a Q... définie sur la base canonique de K" par 7' 'ÏL 2 2 QT7S(ÇÜ17...7ÇÜn)=ZÇÜ,À _ z OEj. i=1 j=r+1 Soit j : £(K") --> MAK) l'isomorphisme linéaire qui a tout endomorphisme associe sa matrice dans la base canonique de K". On note 0... := j(O(Q...)) le sous--ensemble de matrices associé au groupe orthogonal O(Q...) de Q.... 9. Soit f : K" --> K" une application linéaire et M = j( f ) sa matrice dans la base canonique de K". Démontrer que M E 0... si et seulement si tMI...M : [... où [... est la matrice [... = I 0 , . . . . , . . . { 0 T '}8 } , Ip des1gne la matr1ce 1dent1te de ta1lle p >< p et Op,q la matr1ce nulle de ta1lle sm _'3 p >< q pour tous entiers p et q. Que peut--on dire du déterminant det(M ) de M si M E O... ? 10. Démontrer que 0... est un sous--groupe fermé de GLn(K) (on munit MAK), l'ensemble des matrices carrées de taille n a coefficients dans K, de sa topologie de K--espace vectoriel de dimension finie). 11. 12. 13. 14. 15. 16. On note O(n) le groupe orthogonal usuel de R" (qui s'identifie a 071,0). On note K... := O... D O(n). Démontrer que K... est compact et en bijection avec O(r) >< O(s). Démontrer que SO(2) = {M EUR O(2) \ det(M) = 1} est connexe par arcs. Soit H := {(a:, y, 75) E R3 \ z2 = 5132 + y2 + 1} un hyperboloïde a deux nappes. (a) Démontrer que si f E O(Q271), alors f(H) = H. (b) On note 50271 := {M EUR 0271 \ det(M) = 1}. Démontrer que 50271 est un sous--groupe fermé de 02,1. Pour f E O(Q2,1), on note (oef,yf,zf) le vecteur f(0,0,1). On note également SO?)1 := {M =j(f) EUR SOQ)1'Zf > 0}. (a) Démontrer que, pour tout t E R, l'application linéaire rt dont la matrice (dans la 1 0 0 base canonique de R3) vaut 0 ch(t) sh(t) est dans SO?)1 (on pourra appeler 0 sh(t) ch(t) par la suite une telle application linéaire une rotation hyperbolique). (b) Soit M = j(f). On suppose que M EUR 50%. Montrer qu'il existe une rotation (au sens usuel) p d'axe (O, O, 1) et t E R tels que rt 0 po f E SO?)1 et vérifie rt opo f(0, O, 1) = (0,0,1). (c) Démontrer que 3031 est connexe par arcs. Déduire de la question 14 que 0271 est la réunion de quatre sous-ensembles fermés disjoints deux a deux et connexes par arcs. Démontrer qu'il existe un morphisme surjectif de groupes w : 0271 --> Z/2Z >< Z/2Z dont le noyau est S U;: 1. Troisième partie On revient dans cette dernière partie au cas où K est un corps quelconque de caractéristique nulle. Si V et V' sont deux K--espaces vectoriels de dimension finie, q EUR Q(V) et (J' E Q(V' ) sont deux formes quadratiques non dégénérées, la somme orthogonch q J. q' de q et q' est la forme quadratique sur V >< V' définie par (1 L Q'(% OE') = Q(OE) + Q'(OE') pour tout a: E V et tout a:' E V'. 17. Soient V,V' et V" trois K--espaces vectoriels de dimension finie et (q,q' ,q" ) EUR Q(V) >< Q(V') >< Q(V"). (a) Montrer que q J. (J' E Q(V >< V') puis que (q J. q') J. q" % q J. (q' J. q"). (b) Montrer que si q' % q" alors q J. q' % q J. q". (c) Démontrer que si V = V' @ V" et â(a:, y) = 0 pour tout a: E V' et tout y E V", alors q % q' J. q" où q' est la restriction de q a V' et q" celle de q a V". 18. Soient V un K--espace vectoriel de dimension finie, q EUR Q(V) et o,w E V deux vecteurs distincts de V tels que q(o) : q(w) # 0. On veut montrer dans cette question qu'il existe alors une isométrie h EUR O(q) telle que h(o) : w. (a) Soit a:NE V tel que q(a:) # 0. On note soe l'endomorphisme de V défini par y |--> soe(y) = y -- 2%oe. Montrer que sa; et --soe appartiennent a O(q). (b) On suppose ici que q(w -- o) # 0. Montrer que l'application s..._v est une isométrie telle que sw_v(o) : w. (c) On suppose ici que q(w -- o) = 0. Montrer qu'il existe une isométrie g E O(q) telle que g(o) : w et conclure. 19. Soient (VZ-)1953 trois K--espaces vectoriels de dimension finie et qi EUR Q(VÙ pour 1 S i S 3 vérifiant en J. Q3 % (12 J. (13. Montrer que q1 % q2. Indication : on pourra raisonner par récurrence et utiliser les questions 17 et 18. 20. Soit V un K--espace vectoriel de dimension finie et q EUR Q(V). Montrer qu'il existe un unique entier m positif ou nul et une forme quadratique anisotrope q..., unique & isométric près, tels que q % q... J. m - h où m - h = h J. J. h est la somme orthogonale de m copies de h et h est la forme quadratique introduite par la question 6b. Indication : on pourra utiliser la question 6b et la question précédente.

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 X Maths A MP 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (ENS Cachan) ; il a été relu par Kévin Destagnol (ENS Cachan) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE). Ce sujet est consacré à l'étude de l'ensemble Q(V) des formes quadratiques non dégénérées définies sur un K-espace vectoriel V de dimension finie n (où K est un corps commutatif de caractéristique nulle) et de leurs groupes d'isométries, à savoir les ensembles O(q) = {f GL(V) | q f = q}. · Dans les préliminaires, on démontre des résultats classiques sur les formes quadratiques généralisant les résultats du cours sur les espaces préhilbertiens réels ou complexes. On y prouve en particulier que deux formes quadratiques équivalentes ont des groupes d'isométries isomorphes. · La première partie établit que toute forme quadratique non dégénérée est équin P valente à la forme quadratique (x1 , . . . , xn ) 7 ai xi 2 pour un certain ni=1 uplet (a1 , . . . , an ) (K r {0})n . · La deuxième partie étudie spécifiquement, pour r [[ 0 ; n ]], des propriétés algébriques et topologiques du groupe orthogonal Or,n-r de la forme quadratique Qr,n-r (x1 , . . . , xn ) = r P xi 2 - i=1 n P xi 2 i=r+1 appelé groupe pseudo-euclidien de signature (r, n - r) et qui englobe le cas du groupe orthogonal euclidien pour r = n. Ces groupes apparaissent en physique relativiste. Une attention particulière est portée au groupe O2,1 dont on dénombre les quatre composantes connexes par arcs et dont on exhibe des générateurs, avant d'en déduire un morphisme surjectif entre O2,1 et le groupe, dit de Klein, Z/2Z × Z/2Z. · Enfin, la troisième et dernière partie introduit la notion de somme orthogonale de formes quadratiques non dégénérées q Q(V) et q Q(V ) : (x, x ) V × V q q (x, x ) = q(x) + q(x ) On y établit des propriétés de la loi , puis la transitivité de l'action de O(q) sur toute ligne de niveau de q : si u, v sont deux vecteurs avec q(u) = q(v) 6= 0 alors il existe g O(q) telle que g(u) = v. Ces résultats sont mis à profit pour obtenir que, trois formes quadratiques non dégénérées q, q1 , q2 étant données, q1 q est équivalente à q2 q si et seulement si q1 est équivalente à q2 ; résultat utile en vue de prouver la décomposition de Witt : toute forme quadratique non dégénérée est équivalente à qan m·h où qan est anisotrope, c'est-à-dire qu'elle ne s'annule qu'en 0, et m · h est la somme orthogonale de m copies de la forme h : (x1 , x2 ) 7 x1 x2 . Après une première partie abordable car proche du cours, le sujet est de difficulté croissante à l'intérieur des deuxième et troisième parties, dont les dernières questions supposent d'avoir bien compris les résultats précédents, et exigent une certaine maturité mathématique. Signalons que le sujet est complètement hors programme à partir de la rentrée 2014. L'énoncé est toutefois suffisamment guidé pour être théoriquement « faisable » sans avoir suivi de cours sur les formes quadratiques... Indications Préliminaires 2 Penser à la formule de polarisation. t 3.a Utiliser l'expression matricielle qe(x, y) = X B (e q )Y où X et Y sont les matrices des vecteurs x et y dans la base canonique B de Kn . Penser ensuite à : det A 6= 0 4.a 4.b 4.c 5 A GLn (K) Pour f L(E) exprimer q] f. Utiliser le lien entre noyau d'une forme linéaire et hyperplan. Rappelons que F G = V (F G = {0} et F + G = V). Utiliser un isomorphisme f : V V tel que q f = q. Partie 1 6.b Écrire la matrice de h dans la base canonique de K2 . Fixer ensuite un vecteur isotrope et utiliser la non dégénérescence de q pour construire l'isométrie de q à h ; il suffit de la définir sur une base de V qui contient un vecteur isotrope. 6.c Comme en 6.b, fixer un vecteur isotrope et utiliser la non dégénérescence de q. 7.a Montrer que q|{x} est non dégénérée. Partie 2 8 Dans R on dispose du signe. 9 Écrire Q^ r,s f à l'aide de produits matriciels faisant intervenir M et Ir,s . 10 Utiliser la caractérisation séquentielle des fermés. 11 Commencer par montrer que O(n) est fermé, puis borné. Pour la bijection montrer que toute matrice de Kr,s s'écrit par blocs sous la forme Mr A avec (Mr , Ms ) O(r) × O(s), A = 0s,r et B = 0r,s B Ms 12 13.a 13.b 14.a 14.b C'est une question de cours de première année. Remarquer que Q2,1 (H) = {-1}. Pour la partie topologique, utiliser la continuité du déterminant. Si M = j(f ), alors zf = M3,3 . Calculer pour t, R le produit matriciel j(rt )j( )j(f ) où est la rotation d'angle et d'axe Vect ((0, 0, 1)) qui a pour matrice dans la base canonique cos - sin 0 R = sin cos 0 0 0 1 t Chercher alors t et tels que j(rt f ) fixe le vecteur ( 0, 0, 1). Si M SO+ 2,1 alors M3,3 = ch t pour un t 6 0. 14.c Montrer, par double inclusion, que 3 SO+ 2,1 = j( rt ) | (, t, ) R et utiliser ce fait pour trouver un chemin continu dans SO+ 2,1 entre deux matrices M et M fixées. 15 Prouver que M3,3 6= 0 pour toute matrice M O2,1 . 16 En utilisant la partition de O2,1 suivant ses quatre composantes connexes, trouver un ensemble de quatre matrices « simples » de O2,1 telles que chaque composante soit égale à M(SO+ 2,1 ) pour une certaine matrice M dans . Puis vérifier que est un groupe. Partie 3 17.b Si f : V V est un isomorphisme, considérer ( V × V - V × V F: (v, v ) 7- (v, f (v )) 17.c Si V = V V trouver un isomorphisme de V × V sur V. 18.c Montrer qu'alors q(w + v) 6= 0. Que dire de la conclusion si v = w ? 19 C'est la question la plus difficile du sujet. Raisonner par récurrence sur dim V3 . L'initialisation est le point délicat : commencer par utiliser la question 6.a ainsi que l'hypothèse d'isométrie pour trouver deux vecteurs ayant même image par q2 q3 et utiliser la question 18.c en remarquant que le résultat qui y est démontré s'applique aussi dans le cas où v = w. On pourra considérer l'orthogonal du sous-espace Z = ({0V2 } × Kv) , c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs qui sont orthogonaux à tout vecteur de Z et montrer que toute isométrie préserve l'orthogonalité des sous-espaces vectoriels. Le schéma global est de trouver une isométrie de V1 × V3 sur V2 × V3 qui « fixe » V3 , puis en montrant une stabilité des orthogonaux, d'établir qu'on a l'isomorphisme attendu. Pour l'hérédité, utiliser la diagonalisation. 20 Pour l'existence, raisonner par récurrence sur n = dim V et faire l'initialisation pour n = 1 et n = 2 avant de montrer que la propriété au rang n - 1 entraîne celle au rang n + 1. En dimension > 2 on pourra montrer, lorsque q est isotrope, l'existence d'un plan sur lequel q est isotrope, puis considérer son orthogonal. Pour l'unicité, montrer d'abord que m est uniquement déterminé en utilisant la simplification démontrée à la question 19 ainsi que l'isotropie de h. Préliminaires sur les formes quadratiques et les isométries 1 Soit (a1 , . . . , an ) (K r {0})n . En notant q = ha1 , . . . , an i on a alors pour tous x = (x1 , . . . , xn ) Kn , y = (y1 , . . . , yn ) Kn ainsi que K q(x) = n P ai (xi )2 = 2 i=1 n P ai xi 2 = 2 q(x) i=1 De plus, il est possible d'utiliser l'identité remarquable (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 grâce à la commutativité de K pour obtenir 2e q(x, y) = n P ai (xi + yi )2 - i=1 n P ai xi 2 - n P ai y i 2 = 2 i=1 i=1 n P ai xi yi i=1 Comme la caractéristique est nulle, 2 est inversible dans K, ce qui permet de simplifier l'égalité précédente par 2. C'est ce fait qu'utilise implicitement l'énoncé pour définir qe. En caractéristique 2, la théorie des formes quadratiques est totalement différente. De la commutativité de K on déduit la symétrie de qe. Puis les règles de priorité d'opérations sur K fournissent pour tout z = (z1 , . . . , zn ) Kn , qe(x + y, z) = n P ai xi zi + i=1 n P i=1 ai yi zi = qe(x, z) + e q (y, z) La linéarité à gauche est établie et entraîne la linéarité à droite par symétrie de qe. Ce fait général est désormais tenu pour acquis dans la suite du corrigé. Finalement, Pour tout (a1 , . . . , an ) (K r {0})n , l'application ha1 , . . . , an i est une forme quadratique sur Kn . 2 Notons FBS (respectivement FQ) l'ensemble des formes bilinéaires symétriques sur V (respectivement quadratiques). Posons pour FBS q : x 7- (x, x) Soient maintenant FBS, K et (x, y) V2 . Montrons que q FQ. Il vient, en utilisant la bilinéarité de , q (x) = (x, x) = 2 (x, x) = 2 q (x) puis 1 (q (x + y) - q (x) - q (y)) 2 1 = ((x + y, x + y) - (x, x) - (y, y)) 2 qf (x, y) = qf (x, y) = (x, y) (car FBS)