X Maths 1 MP 2013

Thème de l'épreuve Algèbres d'endomorphismes remarquables en dimension infinie
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, projecteurs, réduction
Mots clefs opérateurs quantiques, dimension infinie, endomorphisme

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE -- ECOLES NORMALES SUPÉRIEURES CONCOURS D'ADMISSION 2013 FILIÈRE MP COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES -- A -- (XLC) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** On se propose d'étudier des algèbres d'endomorphismes remarquables d'espaces vectoriels de di- mension infinie. Préambule Une racine n--ième de l'unité est dite primitive si elle engendre le groupe des racines n--ième de l'unité. Dans le problème, tous les espaces vectoriels ont pour corps de base le corps des nombres complexes C. Si 8 est un espace vectoriel, l'algèbre des endomorphismes de 8 est notée £(8 ) et le groupe des automorphismes de 8 est noté GL(8 ) On note ldg l'application identité de 8 . Si u EUR £(5), on note C[u] la sous--algèbre {P(u) \ P E C[X]} de £(5) des polynômes en u. On note CZ l'espace vectoriel des fonctions de Z dans C. Si f est une fonction de Z dans C, on note Supp( f ) l'ensemble des le E Z tels que f (lc) # 0. On appelle cet ensemble le support de f. Dans tout le problème, V désigne l'ensemble des fonctions de Z dans C dont le support est un ensemble fini. I - Opérateurs sur les fonctions à support fini la. Montrer que V est un sous--espace vectoriel de CZ. Étant donné f E CZ, on définit E(f) @ 62 par E = f(k+ 1). k 6 z. lb. Montrer que E E £(CZ) et que V est stable par E. Dans la suite) E désignera uniquement l'endomorphisme de V induit. 2. Montrer que E E GL(V). 3. Pour i E Z7 on définit ui dans CZ par 1°k=' wUEUR)= 8? '." Os1k;£7... 3a. Montrer que la famille {v,-}OEZ est une base de V. 3b. Calculer E(o,). Soient À, M EUR CZ. On définit les applications linéaires F, H E £(V) respectivement par H(v,) : À(7Ç) v,- et F(v,) : u(7Ç) ?),-+1, 756 Z . 4. Montrer que H 0 E = E 0 H + 2E si et seulement si pour tout 75 EUR Z, À(7L) : À(O) -- 275. Dans la suite de cette partie I (mais pas dans les parties suivantes), on suppose que les conditions de la question 4 sont vérifiées. 5. Montrer que E 0 F = F 0 E + H si et seulement si pour tout 75 EUR Z, u(75) = u(0) + 75(À(0) -- 1) -- i2 - 6a. Montrer que pour f E V, l'espace vectoriel engendré par les H "( f), n E N, est de dimension finie. 6b. En déduire qu'un sous--espace non réduit a {0} de V, stable par H, contient au moins un des c,. Dans la suite de cette partie I (mais pas dans les parties suivantes), on suppose que les conditions de la question 5 sont vérifiées et que À(O) : O, ,u(O) : 1. 7a. Montrer que F E GL(V). 7 b. Montrer que E et F ne sont pas d'ordre fini dans le groupe GL(V). 7 c. Calculer le noyau de H et montrer que H "' # Idv pour r 2 1. 8. On note C]X ] l'algèbre des polynômes a coefficients complexes en une indéterminée X. 8a. Montrer que C]E] est isomorphe (en tant qu'algèbre) a C]X ] 8b. Montrer que C]F ] est isomorphe (en tant qu'algèbre) a C]X ] 8c. Montrer que C]H ] est isomorphe (en tant qu'algèbre) a C]X ] II - Intermède Dans toute la suite du problème, on fixe un entier impair EUR 2 3 et q une racine primitive Æ-ième de l'unité. 9. Montrer que (12 est une racine primitive Æ--ième de l'unité. Soient Wg : ®05i V par Pa(vi) : apr}. où pour 75 EUR Z, on définit ?" et p respectivement comme le reste et le quotient de la division euclidienne 75 par E ; autrement dit,i=p£+roù0îr<ÆetpEURZ 11. Montrer que Pa est un projecteur d'image Wg. III - Opérateurs quantiques 12. Montrer que H 0 E : q2E @ H si et seulement si pour tout 75 EUR Z, À(7L) : À(O)q_2i. Dans la suite du problème, on suppose que les conditions de la question 12 sont vérifiées et que À(O) # O. 13. Montrer que H E GL(V). 14. Montrer que E 0 F = F 0 E + H -- H_1 si et seulement si pour tout 75 EUR Z, W) = u(i -- 1) + À(0)q_2l -- À(0)_1q2i -- Dans la suite du problème, on suppose que les conditions de la question 14 sont vérifiées. 153. Montrer que À et ,a sont périodiques sur Z, de périodes divisant EUR. 15h. Montrer que la période de À est égale a E. 15c. Montrer que la période de ,u est aussi égale a E. 16. Soit G = (q -- q_1)E @ F + q_1H + qH_1 avec H_1 l'inverse de H. 163. Montrer que C = (q -- q_1)F 0 E + qH + q_1H_l. 16h. Pour 75 EUR Z, montrer que 1),- est un vecteur propre de C . 16c. En déduire que C est une homothétie de V dont on calculera le rapport R(À(O), ,u(0), q) en fonction de À(O), ,u(0) et q. 16d. On fixe q et À(O). Montrer que l'application u(0) l--> R(À(O), ,u(0), q) est une bijection de C sur C. 16e. On fixe q et ,u(0). Montrer que l'application À(O) l--> R(À(O), ,u(0), q) est une surjection de C* sur C mais pas une bijection. IV - Opérateurs quantiques modulaires Soient EUR, Wg, &, Pa comme dans la partie II. On dit qu'un élément çb de £(V) est compatible avec Pa si PaoçboPa =Paoçb. 17 a. Montrer que si çb EUR £(V) commute avec P... alors çb est compatible avec Pa. 17 b. Montrer que H et H _1 sont compatibles avec Pa. Soit Z/{q l'ensemble des endomorphismes çb EUR £(V) qui sont compatibles avec Pa. 18. Montrer que Z/{q est une sous--algèbre de £(V). 19. Montrer que E E Mq et F E Uq. 20a. Montrer qu'il existe un unique morphisme d'algèbre \Ifa : Z/{q --> £(Wg) tel que VçbEURMq, OEa(çb)oPa=Paoçb. 20h. Montrer que çb EUR Z/{q est contenue dans le noyau de \11a si et seulement si l'image de çb est dans le sous--espace de V engendré par les vecteurs @@ -- GPU... 75 EUR Z7 où 75 : p£ + r est la division euclidienne de 75 par E. 21. On étudie dans cette question \Ifa(E). 21a. Déterminer \Ifa(E)(v0). 21h. En déduire \Ifa(EE). 21e. Calculer la dimension du sous--espace vectoriel C[\Ifa(E)]. 21d. Calculer les vecteurs propres de \Ifa(E). 22. Soit W un sous--espace non nul de WE stable par \Ifa(H ) 22a. Montrer que W contient au moins un des vecteurs m. 22h. Que dire si W est de plus stable par \IJOE(E) ? 23. Donner une condition nécessaire et suffisante sur R(À(O), ,u(0), q) pour que l'opérateur \Ifa(F ) soit nilpotent.

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 X Maths A MP 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jules Svartz (ENS Cachan) ; il a été relu par PierreElliott Bécue (ENS Cachan) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE). Ce sujet d'algèbre porte sur l'étude de 3 opérateurs « quantiques » E, F et H et leurs relations : ce sont des endomorphismes de l'espace vectoriel V de dimension infinie des fonctions de Z vers C telles que l'ensemble {k Z | f (k) 6= 0} soit fini. C'est un sujet long, composé de quatre parties qui totalisent 43 questions. · La première partie a d'abord pour objet de définir une base de V et de construire les opérateurs E, F et H par leurs valeurs sur les éléments de cette base. La suite est consacrée à la détermination de conditions sur F et H pour que les relations H E = E H + 2E puis E F = F E + H soient vérifiées. En fin de partie, il est demandé de démontrer que la sous-algèbre d'endomorphismes engendrée par l'un des opérateurs E, F ou H est isomorphe à une algèbre de polynômes. · La deuxième partie introduit des objets qui seront utiles dans la quatrième partie : d'une part, un endomorphisme sur un sous-espace vectoriel de V de dimension finie, d'autre part un projecteur de V sur ce sous-espace. · La troisième partie propose de déterminer des conditions sur F et H pour que les relations H E = q 2 E H puis E F = F E + H + H-1 soient vérifiées. Elle est, comme la première partie, assez calculatoire. · Enfin, dans la quatrième partie, on s'aperçoit que sous les conditions trouvées dans la troisième partie, les opérateurs E, F et H vérifient une condition de compatibilité avec le projecteur défini dans la deuxième partie. On se place essentiellement dans le cadre rassurant de la dimension finie ; encore fallait-il parvenir jusque-là. Ce long sujet d'algèbre linéaire porte sur une large part du programme d'algèbre de première et deuxième années, avec en plus quelques questions d'arithmétique. L'ensemble est abordable, mais le cadre inhabituel de la dimension infinie a certainement dérouté nombre de candidats. Indications Partie I 2 Déterminer explicitement l'inverse. 3.a Montrer que {vi }iZ est une famille libre et génératrice de V. 3.b Calculer E(vi )(k) pour tous i, k Z. 6.a Se restreindre à l'espace Vect {vi | i Supp(f )}. 6.b Pour W un sous-espace comme dans l'énoncé, montrer tout d'abord que H possède une valeur propre dans W en utilisant la question précédente, puis montrer qu'un vecteur propre associé est colinéaire à l'un des {vi }iZ . 7.b Calculer Ei (v0 ) et Fi (v0 ) pour tout i Z. 8.a Il existe un morphisme d'algèbre surjectif C[X] C[E]. Il ne reste qu'à montrer l'injectivité ! 8.c Utiliser le fait que les valeurs propres de H annulent tout polynôme annulateur de H. Partie II 9 Utiliser le théorème de Gauss. 10.b Résoudre le système induit par l'équation Ga w = w, pour w un vecteur colonne de taille et = bq i avec 0 6 i < . 11 Vérifier que l'image de Pa est contenue dans W et que Pa induit l'identité sur ce sous-espace. Partie III 15.b L'énoncé parle ici de la plus petite période strictement positive de . 15.c Calculer µ(i + t) - µ(i). Montrer que si cette quantité est nulle pour tout i Z, un certain polynôme admet tous les complexes q 2i comme racines. 16.c Montrer que toutes les valeurs propres obtenues en question 16.b sont égales. 16.e L'équation R((0), µ(0), q) = z se ramène à une équation de degré 2 en (0). Partie IV 17.b Utiliser le fait que est -périodique. 19 Montrer que Pa E Pa et Pa E coïncident sur les vecteurs de la base {vi }iZ . 20.a Pour que la question ait un sens, on pourra supposer que Pa est dorénavant une application dont l'espace d'arrivée est W . 20.b Montrer que le sous-espace considéré est le noyau de Pa . I. Opérateurs sur les fonctions à support fini 1.a La fonction nulle ayant un support vide, celui-ci est en particulier fini donc V 6= . De plus, pour tout (, f, g) C × V2 , Supp(f + g) Supp(f ) Supp(g) Supp(f ) Supp(g) Ainsi Supp(f + g) est un ensemble fini et f + g appartient à V. Par conséquent, V est un sous-espace vectoriel de CZ . 1.b Soit (, f, g) C × CZ × CZ . Alors pour tout k Z E(f + g)(k) = (f + g)(k + 1) = f (k + 1) + g(k + 1) E(f + g)(k) = E(f )(k) + E(g)(k) de sorte que E(f + g) = E(f ) + E(g). Par conséquent, E L(CZ ) De plus, pour tout f CZ et tout k Z, E(f )(k) 6= 0 f (k + 1) 6= 0 k + 1 Supp(f ) Ainsi, Supp(E(f )) = {k - 1 | k Supp(f )}. En particulier si f V, Supp(f ) et Supp(E(f )) sont tous deux finis. Par suite, V est stable par E. 2 Considérons E: ( CZ - CZ f 7- (k 7 f (k - 1)) En raisonnant de manière similaire à la question précédente, on montre que E est un élément de L(CZ ) et que, de plus, V est stable par E . Notons toujours E l'endomorphisme induit sur V, alors pour toute fonction f V, E E(f ) = E E (f ) = f . Par conséquent E est inversible d'inverse E et en particulier E GL(V) Notons que comme V est de dimension infinie (ce qui est un corollaire du résultat de la question suivante), il ne suffit pas de montrer que E est injectif ou surjectif pour conclure que c'est un endomorphisme inversible. 3.a Pour montrer que la famille {vi }iZ est une base de V, il suffit de montrer qu'elle est libre et génératrice. P Soit I un ensemble fini de Z, et (i )iI CI . Supposons que i vi = 0. Alors iI P k I 0= i vi (k) = k iI Par suite, la famille {vi }iZ est libre. P Soit f V. Puisque Supp(f ) est fini, on peut écrire f = f (i)vi . Ainsi, iSupp(f ) la famille {vi }iZ est une famille génératrice de V. La famille {vi }iZ est une base de V. 3.b Pour k Z, E(vi )(k) = vi (k + 1) = Par conséquent, 1 0 si k = i - 1 sinon E(vi ) = vi-1 4 Soit i Z. On a et ( H E(vi ) = H(vi-1 ) = (i - 1)vi-1 (E H + 2E)(vi ) = E((i)vi ) + 2vi-1 = (i)E(vi ) + 2vi-1 = ((i) + 2)vi-1 Deux applications linéaires sont égales si et seulement si elles coïncident sur une base de l'espace de définition. Par suite, H E = E H + 2E i Z (i - 1) = (i) + 2 i > 0 (i) = (i - 1) - 2 et (-i) = (-i + 1) + 2 i > 0 (i) = (0) - 2i et (-i) = (0) + 2i H E = E H + 2E i Z (i) = (0) - 2i 5 Soit i Z. On a E F(vi ) = E(µ(i)vi+1 ) = µ(i)E(vi+1 ) = µ(i)vi et (F E + H)(vi ) = F(vi-1 ) + (i)vi = (µ(i - 1) + (0) - 2i)vi (question 4) d'où EF= FE+H i Z µ(i) = µ(i - 1) + (0) - 2i Montrons l'équivalence entre cette dernière proposition et celle de l'énoncé. Supposons µ(i) - µ(i - 1) = (0) - 2i pour tout i Z. Alors pour tout i > 0 µ(i) = µ(0) + i P ((0) - 2k) k=1 = µ(0) + i(0) - i(i + 1) µ(i) = µ(0) + i((0) - 1) - i2 de plus µ(-i) = µ(0) + i P (µ(-k) - µ(-k + 1)) k=1 = µ(0) + i P (-2(k - 1) - (0)) k=1 = µ(0) - i(i - 1) - (0)i µ(-i) = µ(0) - i((0) - 1) - i2 Par suite, pour tout i Z, µ(i) = µ(0) + i((0) - 1) - i2 . En conclusion, EF=FE+H i Z µ(i) = µ(0) + i((0) - 1) - i2