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X Maths A MP 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Christophe Fiszka (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).
Ce sujet porte sur l'algèbre hermitienne, plus précisément sur l'ensemble SU(2,
C)
des matrices unitaires de taille 2 dont le déterminant est égal à 1. Il se
compose de
trois parties. Les résultats de la première sont utilisés dans la deuxième, et
la troisième
est indépendante.
· Dans la première partie, on définit d'abord un sous-espace vectoriel, noté L,
de SU(2, C), stable par passage à l'opérateur (M, N) 7- [M, N] = M N - N M,
que l'on appelle le crochet de Lie. On démontre ensuite des propriétés
classiques
de l'exponentielle matricielle et on établit la formule det(exp(A)) = exp(Tr A),
valable pour toute matrice complexe A, qui sera utile dans la suite.
· Dans la deuxième partie, on établit un théorème de réduction des matrices
de SU(2, C), puis on démontre que l'exponentielle est une application
surjective mais non injective de l'espace vectoriel L sur SU(2, C). Enfin, on
prouve
que les seuls sous-groupes G de SU(2, C) tels que, si g appartient à G, alors
P-1 g P est dans G pour tout P dans SU(2, C), appelés sous-groupes distingués
de SU(2, C), sont {I2 ; -I2 } et les sous-groupes triviaux {I2 } et SU(2, C).
Le début de cette partie est assez simple et proche du cours, sans en être
(les propriétés de l'exponentielle et la réduction des matrices unitaires sont
plutôt des exercices classiques), mais sa fin est constituée des deux questions
les plus délicates du problème.
· Enfin, la troisième partie commence par des calculs aisés de crochets de Lie
pour aborder ensuite des questions de réduction.
Ce sujet n'est ni très long, ni très difficile ; il convenait donc d'être
soigneux et
rigoureux dans les raisonnements et les rédactions pour faire la différence
avec les
autres candidats. Présentant de nombreuses questions classiques, mais aussi
d'autres
demandant davantage de réflexion, il permet de réviser et d'approfondir
l'ensemble
du programme d'algèbre de deuxième année.
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Indications
Première partie
2.d Trigonaliser A et utiliser les résultats des questions 2.b et 2.c.
Deuxième partie
5.a Calculer kM Xk2 de deux façons.
6.a Pour M dans SU(2, C), commencer par diagonaliser M en base orthonormée
à l'aide des éléments démontrés dans les questions 5.a et 5.b ; vérifier que la
matrice de passage obtenue est dans U(2, C).
i
e
0
6.b Que vaut le produit F
F-1 ?
0 e -i
7.a Transformer la différence et se servir de l'égalité
exp(|||A||| + |||B|||) = exp(|||A|||) exp(|||B|||).
7.b Utiliser les résultats des questions 2.d et 7.a.
7.c Faire appel aux propriétés établies dans les questions 2.b, 2.c et 6.a.
8.a Partir d'un élément de G différent de I2 et -I2 et lui appliquer le
résultat de la
question 6.a.
[
8.c Construire des éléments de
{Tr g} à l'aide des propriétés démontrées aux
gG
questions 8.a et 8.b.
9 Remarquer que pour tout M SU(2, C), il suffit de démontrer que Tr M est
dans l'union définie dans l'indication précédente, que l'on notera Tr G, pour
prouver que M est dans G.
Troisième partie
12 Combien de valeurs propres distinctes un endomorphisme d'un espace vectoriel
de dimension finie peut-il posséder ?
13 Montrer par récurrence que e(vk ) est colinéaire à vk pour tout k N et que
z(vk )
est colinéaire à vk-1 , pour tout k N .
14.a Effectuer un raisonnement similaire à celui de la question 12.
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Première partie
1.a Notons
1
E11 =
0
0
0
E12
0 1
=
0 0
E21
0
=
1
0
0
et
E22
0
=
0
0
1
les matrices de la base canonique du C-espace vectoriel M2 (C). Alors, la
famille
(E11 , E12 , E21 , E22 , i E11 , i E12 , i E21 , i E22 ) est une base du
R-espace vectoriel M2 (C)
et par conséquent
dimR M2 (C) = 8
Démontrons que l'ensemble
n
t
L = A M2 (C) | A +A = 0M2 (C)
et
Tr A = 0
o
est un sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel
M2 (C). Par définition, L est inclus
a b
dans M2 (C) et, pour toute matrice M =
dans M2 (C),
c d
t
M +M = 0M2 (C) et Tr M = 0
a c
a b
0 0
+
=
et a + d = 0
b d
0 0
c d
M L
a + a = 0, c + b = 0, b + c = 0, d + d = 0
et a + d = 0
Re (a) = 0, d = -a, b = -c
i
- + i
(, , ) R3 M =
+ i
-i
i 0
0 -1
0
3
M L (, , ) R M =
+
+
0 -i
1 0
i
i
0
Avec les notations de l'énoncé, ceci prouve que
L = Vect R (E, F, G)
L'ensemble L est donc un sous-espace vectoriel de M2 (C) sur R, de dimension
inférieure ou égale à 3. Vérifions que la famille (E, F, G) est libre sur R.
Soit (, , ) R3 .
Supposons que E + F + G = 0M2 (C) . Alors
i
- + i
0 0
=
+ i
-i
0 0
Il vient = 0 et + i = 0. Comme et sont des réels, ils sont nuls. On conclut
que la famille (E, F, G) est R-libre. Finalement
(E, F, G) est une base du R-espace vectoriel L et dimR L = 3.
Notons que la famille (E, F, G) est également C-libre, mais ce n'était pas la
question posée ici.
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1.b Calculons [E, F], [F, G] et [G, E]. Par définition,
i 0
0 -1
0 -1
i 0
[E, F] =
-
0 -i
1 0
1 0
0 -i
0 -i
0 i
=
-
-i 0
i 0
0
-2 i
[E, F] =
-2 i
0
En outre,
d'où
[E, F] = -2 G
0 -1
0 i
0 i
0 -1
[F, G] =
-
1 0
i 0
i 0
1 0
-i 0
i 0
=
-
0 i
0 -i
-2 i 0
[F, G] =
0
2i
[F, G] = -2 E
0 i
i 0
i 0
0 i
[G, E] =
-
i 0
0 -i
0 -i
i 0
0 1
0 -1
=
-
-1 0
1 0
0 2
[G, E] =
-2 0
Enfin,
c'est-à-dire
[G, E] = -2 F
On constate que [E, F], [F, G] et [G, E] sont dans L. Leurs opposés [F, E],
[G, F] et [E, G] sont alors également des éléments de l'espace vectoriel L.
Il en découle, par stabilité par combinaisons linéaires, que L est stable par
l'opérateur [·, ·], ce qui n'était pas évident a priori.
2.a Soit A Mn (C). Pour tout entier naturel k, puisque d'après le cours ||| ·
||| est
une norme d'algèbre sur Mn (C),
Ak
k!
6
|||A|||k
k!
Rappelons qu'une norme N sur une algèbre A est dite une norme d'algèbre
lorsque N(1A ) = 1 et
(x, y) A2
N(x y) 6 N(x) N(y)
P
P
La série |||A|||k /k! étant une série numérique convergente, la série Ak /k!
converge
absolument. Comme (M2 (C), ||| · |||) est un espace vectoriel normé de
dimension finie
donc un espace de Banach, on conclut
P
La série Ak /k! converge.