X Maths A MP 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Christophe Fiszka (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet porte sur l'algèbre hermitienne, plus précisément sur l'ensemble SU(2, C) des matrices unitaires de taille 2 dont le déterminant est égal à 1. Il se compose de trois parties. Les résultats de la première sont utilisés dans la deuxième, et la troisième est indépendante. · Dans la première partie, on définit d'abord un sous-espace vectoriel, noté L, de SU(2, C), stable par passage à l'opérateur (M, N) 7- [M, N] = M N - N M, que l'on appelle le crochet de Lie. On démontre ensuite des propriétés classiques de l'exponentielle matricielle et on établit la formule det(exp(A)) = exp(Tr A), valable pour toute matrice complexe A, qui sera utile dans la suite. · Dans la deuxième partie, on établit un théorème de réduction des matrices de SU(2, C), puis on démontre que l'exponentielle est une application surjective mais non injective de l'espace vectoriel L sur SU(2, C). Enfin, on prouve que les seuls sous-groupes G de SU(2, C) tels que, si g appartient à G, alors P-1 g P est dans G pour tout P dans SU(2, C), appelés sous-groupes distingués de SU(2, C), sont {I2 ; -I2 } et les sous-groupes triviaux {I2 } et SU(2, C). Le début de cette partie est assez simple et proche du cours, sans en être (les propriétés de l'exponentielle et la réduction des matrices unitaires sont plutôt des exercices classiques), mais sa fin est constituée des deux questions les plus délicates du problème. · Enfin, la troisième partie commence par des calculs aisés de crochets de Lie pour aborder ensuite des questions de réduction. Ce sujet n'est ni très long, ni très difficile ; il convenait donc d'être soigneux et rigoureux dans les raisonnements et les rédactions pour faire la différence avec les autres candidats. Présentant de nombreuses questions classiques, mais aussi d'autres demandant davantage de réflexion, il permet de réviser et d'approfondir l'ensemble du programme d'algèbre de deuxième année. Indications Première partie 2.d Trigonaliser A et utiliser les résultats des questions 2.b et 2.c. Deuxième partie 5.a Calculer kM Xk2 de deux façons. 6.a Pour M dans SU(2, C), commencer par diagonaliser M en base orthonormée à l'aide des éléments démontrés dans les questions 5.a et 5.b ; vérifier que la matrice de passage obtenue est dans U(2, C). i e 0 6.b Que vaut le produit F F-1 ? 0 e -i 7.a Transformer la différence et se servir de l'égalité exp(|||A||| + |||B|||) = exp(|||A|||) exp(|||B|||). 7.b Utiliser les résultats des questions 2.d et 7.a. 7.c Faire appel aux propriétés établies dans les questions 2.b, 2.c et 6.a. 8.a Partir d'un élément de G différent de I2 et -I2 et lui appliquer le résultat de la question 6.a. [ 8.c Construire des éléments de {Tr g} à l'aide des propriétés démontrées aux gG questions 8.a et 8.b. 9 Remarquer que pour tout M SU(2, C), il suffit de démontrer que Tr M est dans l'union définie dans l'indication précédente, que l'on notera Tr G, pour prouver que M est dans G. Troisième partie 12 Combien de valeurs propres distinctes un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie peut-il posséder ? 13 Montrer par récurrence que e(vk ) est colinéaire à vk pour tout k N et que z(vk ) est colinéaire à vk-1 , pour tout k N . 14.a Effectuer un raisonnement similaire à celui de la question 12. Première partie 1.a Notons 1 E11 = 0 0 0 E12 0 1 = 0 0 E21 0 = 1 0 0 et E22 0 = 0 0 1 les matrices de la base canonique du C-espace vectoriel M2 (C). Alors, la famille (E11 , E12 , E21 , E22 , i E11 , i E12 , i E21 , i E22 ) est une base du R-espace vectoriel M2 (C) et par conséquent dimR M2 (C) = 8 Démontrons que l'ensemble n t L = A M2 (C) | A +A = 0M2 (C) et Tr A = 0 o est un sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel M2 (C). Par définition, L est inclus a b dans M2 (C) et, pour toute matrice M = dans M2 (C), c d t M +M = 0M2 (C) et Tr M = 0 a c a b 0 0 + = et a + d = 0 b d 0 0 c d M L a + a = 0, c + b = 0, b + c = 0, d + d = 0 et a + d = 0 Re (a) = 0, d = -a, b = -c i - + i (, , ) R3 M = + i -i i 0 0 -1 0 3 M L (, , ) R M = + + 0 -i 1 0 i i 0 Avec les notations de l'énoncé, ceci prouve que L = Vect R (E, F, G) L'ensemble L est donc un sous-espace vectoriel de M2 (C) sur R, de dimension inférieure ou égale à 3. Vérifions que la famille (E, F, G) est libre sur R. Soit (, , ) R3 . Supposons que E + F + G = 0M2 (C) . Alors i - + i 0 0 = + i -i 0 0 Il vient = 0 et + i = 0. Comme et sont des réels, ils sont nuls. On conclut que la famille (E, F, G) est R-libre. Finalement (E, F, G) est une base du R-espace vectoriel L et dimR L = 3. Notons que la famille (E, F, G) est également C-libre, mais ce n'était pas la question posée ici. 1.b Calculons [E, F], [F, G] et [G, E]. Par définition, i 0 0 -1 0 -1 i 0 [E, F] = - 0 -i 1 0 1 0 0 -i 0 -i 0 i = - -i 0 i 0 0 -2 i [E, F] = -2 i 0 En outre, d'où [E, F] = -2 G 0 -1 0 i 0 i 0 -1 [F, G] = - 1 0 i 0 i 0 1 0 -i 0 i 0 = - 0 i 0 -i -2 i 0 [F, G] = 0 2i [F, G] = -2 E 0 i i 0 i 0 0 i [G, E] = - i 0 0 -i 0 -i i 0 0 1 0 -1 = - -1 0 1 0 0 2 [G, E] = -2 0 Enfin, c'est-à-dire [G, E] = -2 F On constate que [E, F], [F, G] et [G, E] sont dans L. Leurs opposés [F, E], [G, F] et [E, G] sont alors également des éléments de l'espace vectoriel L. Il en découle, par stabilité par combinaisons linéaires, que L est stable par l'opérateur [·, ·], ce qui n'était pas évident a priori. 2.a Soit A Mn (C). Pour tout entier naturel k, puisque d'après le cours ||| · ||| est une norme d'algèbre sur Mn (C), Ak k! 6 |||A|||k k! Rappelons qu'une norme N sur une algèbre A est dite une norme d'algèbre lorsque N(1A ) = 1 et (x, y) A2 N(x y) 6 N(x) N(y) P P La série |||A|||k /k! étant une série numérique convergente, la série Ak /k! converge absolument. Comme (M2 (C), ||| · |||) est un espace vectoriel normé de dimension finie donc un espace de Banach, on conclut P La série Ak /k! converge.