ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
CONCOURS D'ADMISSION 2012
FILIÈRE
MP
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES A (XLC)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Représentations de dimension finie de l'algèbre de Lie de SU(2, C)
Notations
Lorsque n est un entier positif non nul, on note Mn (C) l'algèbre des matrices
à n lignes et n
colonnes dont les coefficients sont des éléments de C. On note In la matrice
identité de Mn (C).
On munit cet espace de la norme subordonnée
|||A||| =
sup
XCn \{0}
||AX||2
,
||X||2
où ||X||2 est la norme hermitienne de X dans Cn , identifié à l'espace des
vecteurs colonnes : si
Ö è
x1
.. , alors ||X|| = »|x |2 + · · · + |x |2 .
X=
2
1
n
.
xn
t la matrice transposée de A, et A la matrice dont les coefficients
Pour A Mn (C), on note A
sont les conjugués dans C des coefficients de A. On note Tr(A) la trace de A et
det(A) le
déterminant de A. On rappelle que les matrices M Mn (C) de déterminant non nul
forment un
groupe multiplicatif, que l'on note GLn (C). Pour A, B Mn (C), on note [A, B]
= AB - BA.
t + A = 0 et Tr(A) = 0.
On note L l'ensemble des matrices A de M2 (C) vérifiant A
t A = I , et SU(2, C) le
On note U(2, C) l'ensemble des matrices A de M2 (C) vérifiant A
2
sous-ensemble de U(2, C) formé des matrices dont le déterminant est égal à 1.
1
Première partie
1a. Dans cette question, M2 (C) est vu comme espace vectoriel sur R. Quelle est
sa dimension ?
Montrer que L est un sous-espace vectoriel de dimension 3 dont une base est
formée par (E, F, G)
avec
Ç
å
Ç
å
Ç
å
i 0
0 -1
0 i
E=
, F =
, G=
.
0 -i
1 0
i 0
1b. Calculer [E, F ], [F, G] et [G, E] en fonction de E, F et G.
2. Pour A Mn (C), on rappelle que l'exponentielle de A est la matrice à
coefficients complexes donnée par la formule
X
Ak
.
exp(A) =
k!
k=0
2a. Justifier la convergence de cette série.
2b. Montrer que pour A Mn (C) et P matrice inversible de Mn (C),
exp(P -1 AP ) = P -1 exp(A)P.
2c. Montrer que si A est une matrice triangulaire supérieure de Mn (C), de
coefficients diagonaux 1 , · · · , n , alors exp(A) est une matrice
triangulaire supérieure de Mn (C) de coefficients
diagonaux e1 , · · · , en .
2d. Montrer que si A Mn (C), alors det(exp(A)) = exp(Tr(A)).
Deuxième partie
3. Montrer que U(2, C) est un sous-groupe de GL2 (C), et que SU(2, C) est un
sous-groupe de
U(2, C).
4. Montrer que les éléments de SU(2, C) sont les matrices de la forme
et |a|2 + |b|2 = 1.
5. Soient M SU(2, C), X C2 \ {0} et C tels que M X = X.
5a. Montrer que || = 1.
t
t
= 0, alors XM
Y = 0.
5b. Soit Y C2 . Montrer que si XY
6a. Montrer que toute matrice de SU(2, C) s'écrit sous la forme
P
-1
Ç
ei
0
P,
-i
0 e
å
avec P SU(2, C) et R.
2
Ç
å
a b
, avec a, b C
-b a
6b. Montrer que si R, S SU(2, C), il y a équivalence entre les deux propriétés
suivantes :
i) Tr(R) = Tr(S) ;
ii) il existe P SU(2, C) tel que R = P -1 SP .
7a. Soit A, B M2 (C) ; on suppose que [A, B] = 0. Montrer que
|||
n
X
1
!
=0
(A + B) - (
n
X
1
j!
j=0
j
A )(
n
X
1
k!
k=0
B k )|||
tend vers zéro quand n +. En déduire que exp(A + B) = exp(A) exp(B).
7b. Montrer que l'image de L, par l'application exp : A 7 exp(A), est contenue
dans
SU(2, C).
7c. Montrer que l'application exp : L SU(2, C) est surjective.
7d. L'application exp : L SU(2, C) est-elle injective ?
8. Soit G un sous-groupe de SU(2, C) tel que pour tout P SU(2, C) et tout g
G, on ait
P -1 gP G. On suppose de plus que G contient au moins un élément différent de
I2 et de -I2 .
8a. Montrer que G contient au moins un élément de la forme
Ç
ei
0
0 e-i
å
avec R \ {k |
k Z}.
8b. Lorsque A SU(2, Ç
C) est donnée
å sous
Ç la formeåindiquée à la question 4., calculer les
ei
0
e-i 0
coefficients diagonaux de A
A-1
en fonction de et de |a|.
-i
0 e
0
ei
8c. Montrer que
S
gG {Tr(g)}
contient un intervalle de la forme [2 - , 2] avec > 0.
9. Montrer que G = SU(2, C). On dit que le groupe SU(2, C)/{±I2 } est simple.
Troisième partie
On se donne un espace vectoriel E sur C de dimension finie, et des
endomorphismes non nuls
e, f, g de E tels que
e f - f e = -2g
;
f g - g f = -2e ;
g e - e g = -2f.
On note w = f - ig et z = f + ig.
10. Calculer
e z - z e,
e w - w e,
z w - w z.
11. Soit v un vecteur propre de e, associé à une valeur propre C. Si k N,
montrer qu'il
existe µk C tel que
Ä
ä
e z k (v) = µk z k (v).
3
12. Montrer qu'il existe un vecteur propre v0 de e, associé à une valeur propre
0 C, et tel
que z(v0 ) = 0.
13. Pour k N , on note vk = wk (v0 ). Calculer e(vk ) en fonction de k, 0 et
vk . Calculer
z(vk ) en fonction de k, 0 et vk-1 .
14a. Montrer qu'il existe n N tel que vn+1 soit nul et v0 , . . . , vn soient
linéairement indépendants.
14b. On suppose que n 1. Montrer que pour k = 1, . . . , n - 1, on a
e(vk ) = i(n - 2k)vk
,
z(vk ) = -4k(n - k + 1)vk-1
,
w(vk ) = vk+1 ,
et d'autre part
e(v0 ) = in v0
e(vn ) = -in vn
,
,
z(v0 ) = 0 ,
z(vn ) = -4n vn-1
4
w(v0 ) = v1 ,
,
w(vn ) = 0.
