X Maths 1 MP 2012

Thème de l'épreuve Représentations de dimension finie de l'algèbre de Lie de SU(2,ℂ)
Principaux outils utilisés algèbre hermitienne, réduction, exponentielle de matrice, groupes
Mots clefs algèbre de Lie, sous-groupe distingué, groupe simple, matrice unitaire

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2012

FILIÈRE

MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ A ­ (XLC)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Représentations de dimension finie de l'algèbre de Lie de SU(2, C)

Notations

Lorsque n est un entier positif non nul, on note Mn (C) l'algèbre des matrices 
à n lignes et n
colonnes dont les coefficients sont des éléments de C. On note In la matrice 
identité de Mn (C).
On munit cet espace de la norme subordonnée
|||A||| =

sup
XCn \{0}

||AX||2
,
||X||2

où ||X||2 est la norme hermitienne de X dans Cn , identifié à l'espace des 
vecteurs colonnes : si
Ö è
x1
.. , alors ||X|| = »|x |2 + · · · + |x |2 .
X=
2
1
n
.
xn
t la matrice transposée de A, et A la matrice dont les coefficients
Pour A  Mn (C), on note A
sont les conjugués dans C des coefficients de A. On note Tr(A) la trace de A et 
det(A) le
déterminant de A. On rappelle que les matrices M  Mn (C) de déterminant non nul 
forment un
groupe multiplicatif, que l'on note GLn (C). Pour A, B  Mn (C), on note [A, B] 
= AB - BA.
t + A = 0 et Tr(A) = 0.
On note L l'ensemble des matrices A de M2 (C) vérifiant A
t A = I , et SU(2, C) le
On note U(2, C) l'ensemble des matrices A de M2 (C) vérifiant A
2
sous-ensemble de U(2, C) formé des matrices dont le déterminant est égal à 1.

1

Première partie
1a. Dans cette question, M2 (C) est vu comme espace vectoriel sur R. Quelle est 
sa dimension ?
Montrer que L est un sous-espace vectoriel de dimension 3 dont une base est 
formée par (E, F, G)
avec
Ç
å
Ç
å
Ç
å
i 0
0 -1
0 i
E=
, F =
, G=
.
0 -i
1 0
i 0
1b. Calculer [E, F ], [F, G] et [G, E] en fonction de E, F et G.
2. Pour A  Mn (C), on rappelle que l'exponentielle de A est la matrice à 
coefficients complexes donnée par la formule

X
Ak
.
exp(A) =
k!
k=0
2a. Justifier la convergence de cette série.
2b. Montrer que pour A  Mn (C) et P matrice inversible de Mn (C),
exp(P -1 AP ) = P -1 exp(A)P.
2c. Montrer que si A est une matrice triangulaire supérieure de Mn (C), de 
coefficients diagonaux 1 , · · · , n , alors exp(A) est une matrice 
triangulaire supérieure de Mn (C) de coefficients
diagonaux e1 , · · · , en .
2d. Montrer que si A  Mn (C), alors det(exp(A)) = exp(Tr(A)).

Deuxième partie
3. Montrer que U(2, C) est un sous-groupe de GL2 (C), et que SU(2, C) est un 
sous-groupe de
U(2, C).
4. Montrer que les éléments de SU(2, C) sont les matrices de la forme
et |a|2 + |b|2 = 1.
5. Soient M  SU(2, C), X  C2 \ {0} et   C tels que M X = X.
5a. Montrer que || = 1.
t
t
= 0, alors XM
Y = 0.
5b. Soit Y  C2 . Montrer que si XY

6a. Montrer que toute matrice de SU(2, C) s'écrit sous la forme
P

-1

Ç

ei
0
P,
-i
0 e
å

avec P  SU(2, C) et   R.
2

Ç

å

a b
, avec a, b  C
-b a

6b. Montrer que si R, S  SU(2, C), il y a équivalence entre les deux propriétés 
suivantes :
i) Tr(R) = Tr(S) ;
ii) il existe P  SU(2, C) tel que R = P -1 SP .
7a. Soit A, B  M2 (C) ; on suppose que [A, B] = 0. Montrer que
|||

n
X
1

!
=0

(A + B) - (

n
X
1

j!
j=0

j

A )(

n
X
1

k!
k=0

B k )|||

tend vers zéro quand n  +. En déduire que exp(A + B) = exp(A) exp(B).
7b. Montrer que l'image de L, par l'application exp : A 7 exp(A), est contenue 
dans
SU(2, C).
7c. Montrer que l'application exp : L  SU(2, C) est surjective.
7d. L'application exp : L  SU(2, C) est-elle injective ?
8. Soit G un sous-groupe de SU(2, C) tel que pour tout P  SU(2, C) et tout g  
G, on ait
P -1 gP  G. On suppose de plus que G contient au moins un élément différent de 
I2 et de -I2 .
8a. Montrer que G contient au moins un élément de la forme

Ç

ei
0
0 e-i

å

avec   R \ {k |

k  Z}.
8b. Lorsque A  SU(2, Ç
C) est donnée
å sous
Ç la formeåindiquée à la question 4., calculer les
ei
0
e-i 0
coefficients diagonaux de A
A-1
en fonction de  et de |a|.
-i
0 e
0
ei
8c. Montrer que

S

gG {Tr(g)}

contient un intervalle de la forme [2 - , 2] avec  > 0.

9. Montrer que G = SU(2, C). On dit que le groupe SU(2, C)/{±I2 } est simple.

Troisième partie
On se donne un espace vectoriel E sur C de dimension finie, et des 
endomorphismes non nuls
e, f, g de E tels que
e  f - f  e = -2g

;

f  g - g  f = -2e ;

g  e - e  g = -2f.

On note w = f - ig et z = f + ig.
10. Calculer
e  z - z  e,

e  w - w  e,

z  w - w  z.

11. Soit v un vecteur propre de e, associé à une valeur propre   C. Si k  N, 
montrer qu'il
existe µk  C tel que
Ä
ä
e z k (v) = µk z k (v).
3

12. Montrer qu'il existe un vecteur propre v0 de e, associé à une valeur propre 
0  C, et tel
que z(v0 ) = 0.
13. Pour k  N , on note vk = wk (v0 ). Calculer e(vk ) en fonction de k, 0 et 
vk . Calculer
z(vk ) en fonction de k, 0 et vk-1 .
14a. Montrer qu'il existe n  N tel que vn+1 soit nul et v0 , . . . , vn soient 
linéairement indépendants.
14b. On suppose que n  1. Montrer que pour k = 1, . . . , n - 1, on a
e(vk ) = i(n - 2k)vk

,

z(vk ) = -4k(n - k + 1)vk-1

,

w(vk ) = vk+1 ,

et d'autre part
e(v0 ) = in v0
e(vn ) = -in vn

,

,

z(v0 ) = 0 ,

z(vn ) = -4n vn-1

4

w(v0 ) = v1 ,
,

w(vn ) = 0.