X Maths 1 MP 2011

Thème de l'épreuve Valeurs singulières d'une matrice et inégalites de trace
Principaux outils utilisés réduction, espaces hermitiens
Mots clefs matrices, endomorphismes normaux, réduction, trace, valeurs singulières, adjoint, polynôme interpolateur de Lagrange, sous-espace stable, orthogonal, matrice stochastique, bistochastique, extremums, Frobenius, compacité, minimum, maximum, Heine, Bolzano-Weierstrass, projecteur

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES CONCOURS D'ADMISSION 2011 FILIÈRE MP COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ A ­ (XLC) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Valeurs singulières d'une matrice et inégalités de traces Notations et conventions Dans ce problème l'espace vectoriel Cn est muni du produit scalaire hermitien usuel noté (.|.) ; on rappelle qu'il est linéaire à droite, semi-linéaire à gauche et que la base canonique (e1 , . . . , en ) de Cn est orthonormale. On note Mn (C) l'espace vectoriel sur C des matrices à n lignes et n colonnes à coefficients complexes qu'on identifie à l'espace vectoriel des endormorphismes de Cn et In la matrice identité de Mn (C) . Le coefficient de la i-ième ligne et j-ième colonne d'une matrice A est noté Aij . On note A , appelée adjointe de la matrice A de Mn (C), la matrice définie pour tous 1 6 i, j 6 n par Aij = Aji . On définit les sous-ensembles de Mn (C) suivants : Hn = {A Mn (C)| A = A} Hn+ = {A Hn | (x Cn ), (x|Ax) > 0} Un = {A Mn (C)| (x, y Cn ), (Ax|Ay) = (x|y)} Nn = {A Mn (C)| AA = A A} Dn désigne l'ensemble des matrices diagonales dans Mn (C) Enfin, pour tout sous-espace vectoriel F de Cn , F désigne le sous-espace orthogonal pour le produit hermitien usuel. Ce problème a pour but l'étude de quelques inégalités de traces sur les matrices carrées à coefficients complexes via l'introduction de la décomposition en valeurs singulières et le calcul de la distance minimale pour la norme de Frobenius entre deux matrices de Hn définies à équivalence près par des changements de bases dans Un . 1 Première partie : étude de Nn 1. Soit A une matrice de Mn (C). Montrer pour tout couple (x, y) de vecteurs de Cn × Cn : (A x|y) = (x|Ay). 2a. Montrer que A Un si et seulement si A A = AA = In . 2b. Montrer que A Un si et seulement si les colonnes de A forment une base orthonormale de Cn . 3a. Montrer que si A Nn , A((ker A) ) (ker A) . En déduire que si est une valeur propre de A et si E est le sous-espace propre associé, alors A(E ) E . 3b. En déduire que Nn = {U DU , U Un , D Dn }. 4. Soit A une matrice de Mn (C). On note 1 , 2 , · · · , n les racines du polynôme caracP téristique (non nécessairement distinctes) de A. Montrer que si A Nn , alors ni=1 |i |2 = Pn 2 i,j=1 |Ai,j | . (On pourra calculer la trace de AA .) 5a. Soit A une matrice de Mn (C). Montrer que si A Nn , alors A et A ont même noyau. 5b. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes : (i) A Nn . (ii) Tout vecteur propre de A est vecteur propre de son adjointe A . Pour (ii) (i), on pourra procéder par récurrence sur la dimension n et pour un vecteur propre x de A considérer l'orthogonal de l'espace vectoriel engendré par x. 6a. Prouver que si la matrice A Nn , son adjointe A peut s'exprimer comme un polynôme en A à coefficients complexes. (On pourra utiliser les polynômes d'interpolation de Lagrange.) 6b. Prouver que si A et B sont dans Nn et commutent alors AB Nn . 7. Prouver que si A est une matrice de Mn (C) les deux propositions suivantes sont équivalentes : (i) A Nn (ii) Il existe une matrice U Un commutant avec A telle que A = AU . On pourra construire U à partir des valeurs propres de A et raisonner dans une base orthonormale bien choisie. Deuxième partie : valeurs singulières d'une matrice 8. Montrer que A Hn (resp. Hn+ ) si et seulement si A est diagonalisable dans une base orthonormale et ses valeurs propres sont réelles (resp. réelles positives). 2 9. Montrer que si A Hn+ il existe une unique matrice S Hn+ telle que S 2 = A. (Pour l'unicité, on pourra se ramener au cas où A est un multiple de l'identité en considérant les sous-espaces propres de A.) Si A est une matrice de Mn (C) on dit que A = U S est une décomposition polaire de A si S Hn+ et U Un . Dans la suite du problème, on admettra l'existence d'une décomposition polaire pour toute matrice A de Mn (C). Si A est une matrice de Mn (C) on dit que A = U DW est une décomposition en valeurs singulières de A si U, W Un et D Dn est à coefficients réels positifs ou nuls. 10. Prouver que toute matrice A de Mn (C) admet une décomposition en valeurs singulières. (On pourra commencer par écrire une décomposition polaire de A.) 11. Soit A Mn (C). Montrer qu'il existe une décomposition en valeurs singulières de A pour laquelle les coefficients diagonaux i = Dii de D vérifient 1 > · · · > n et que ces coefficients sont alors déterminés de façon unique. On les appelera les valeurs singulières de A. Troisième partie : inégalités de traces 12. Soit P Mn (C) une matrice vérifiant (Pk ) P 2 = P = P , rang(P ) = k. 12a. Montrer que les coefficients de P vérifient : (i) 0 6 Pii 6 1 pour tout entier i entre 1 et n, (ii) Pn i=1 Pii = k. 12b. Soit 1 > 2 > · · · > n des réels et D la matrice diagonale telle que Dii = i pour P tout entier i entre 1 et n. Montrer que Tr (P D) 6 ki=1 i . Trouver une matrice P vérifiant les Pk conditions (Pk ) telle que Tr (P D) = i=1 i . 12c. Montrer que si P1 , P2 sont deux matrices vérifiant les conditions (Pk ), il existe U Un P telle que P2 = U P1 U . En déduire que ki=1 i = max Tr (U P U D) où P est une matrice U Un vérifiant (Pk ). On dit qu'une matrice A de Mn (C) est doublement stochastique si A est à coefficients réels P P positifs et vérifie ni=1 Aik = 1 et nj=1 Akj = 1, pour tout entier k compris entre 1 et n. On note DSn l'ensemble des matrices doublement stochastiques dans Mn (C). 13. Montrer que si U Un , la matrice dont les coefficients sont les |Ui,j |2 est doublement stochastique. 14. Soit A une matrice doublement stochastique de Mn (C) et soient 1 > 2 > · · · > n , 1 > 2 > · · · > n 3 des réels. On suppose que A n'est pas la matrice identité In et on note k le plus petit entier tel que Akk 6= 1. 14a. Montrer qu'il existe deux entiers m et vérifiant k < m 6 n, k < 6 n et tels que Amk 6= 0, Ak 6= 0, Am 6= 1. 14b. Construire une matrice doublement stochastique A de Mn (C) vérifiant : (i) Aij = Aij si (i, j) / {(k, k), (m, k), (k, ), (m, )}, (ii) Amk ou Ak est nul, (iii) Pn i,j=1 Ai,j i j > En déduire que max ADSn Pn i,j=1 Ai,j i j . Pn i=1,j=1 Ai,j i j Pn i=1 i i . = 15. Soient A et B deux matrices dans Mn (C). 15a. Soit D la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux i = Dii sont les valeurs singulières de A et soit T la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux i = Tii sont les valeurs singulières de B telles que 1 > 2 > · · · > n , 1 > 2 > · · · > n . Montrer qu'il existe U et V dans Un telles que Tr (AB) = Tr (U DV T ). 15b. Montrer que Tr (AB) = Pn i,j=1 Uij Vji j i |Tr (AB)| 6 et en déduire que n X i i . i=1 15c. Soient A et B dans Hn+ . Montrer que |Tr (AB)| 6 Tr (A)Tr (B). 16. Soient A et B dans Hn et soient 1 > 2 > · · · > n , 1 > 2 > · · · > n . leurs valeurs propres. Montrer que min kA - U BU k = U Un à n X (i - i )2 , i=1 où la norme sur Mn (C) est donnée par kAk2 = Tr (A A). On pourra commencer par déterminer max Tr (AU BU ). U Un 4

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 X Maths A MP 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (ENS Cachan) ; il a été relu par Romain Cosset (Professeur agrégé) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet traite de l'ensemble des matrices dites normales de Mn (C), c'est-à-dire commutant avec leur adjointe (ou transconjuguée). On y montre en particulier un résultat fondamental : ce sont exactement les matrices de Mn (C) qui sont diagonalisables en base orthonormée. Des résultats plus fins sont obtenus pour les matrices hermitiennes, analogues dans le cadre hermitien des matrices symétriques réelles du cadre euclidien, dont le cours assure la diagonalisabilité en base orthonormée. Cela permet d'introduire la notion de valeurs singulières d'une matrice et d'obtenir par la suite des inégalités de traces dans Mn (C). · La première partie a pour objectif d'étudier certaines propriétés des matrices unitaires, normales, hermitiennes (positives). En particulier, on y établit l'équivalence entre la diagonalisabilité d'une matrice avec matrice de passage unitaire et la commutation avec sa transconjuguée. · Dans la deuxième partie, on s'intéresse au cas des matrices hermitiennes, dont on montre qu'elles sont les matrices unitairement semblables aux matrices diagonales à coefficients réels. Une application en est l'existence et l'unicité d'une racine carrée d'une matrice hermitienne positive. Une seconde est l'existence, pour toute matrice de Mn (C), d'une décomposition en valeurs singulières. · Enfin, la troisième et dernière partie vise à démontrer diverses inégalités de trace en faisant intervenir des matrices bistochastiques, c'est-à-dire des matrices à coefficients réels positifs dont la somme sur chaque ligne et chaque colonne vaut 1. Le dernier résultat obtenu permet en particulier d'expliciter, pour deux matrices A et B hermitiennes, la distance entre A et l'ensemble des matrices unitairement semblables à B, pour la norme « deux » choisie, dite « de Frobenius », définie par kAk2 = Tr A A. Les parties ne sont pas du tout indépendantes : il faut bien avoir à l'esprit ce qui a été établi pour avancer dans le sujet. La plupart des questions sont de difficulté raisonnable, mais il faut remarquer deux points importants : · D'abord le piège est ici que beaucoup de résultats semblent être du cours sans en être, car celui-ci ne comporte aucune mention des endomorphismes adjoints (ou matrices adjointes) dans le cadre hermitien. Il convient ainsi de s'inspirer des démonstrations déjà rencontrées dans le cas euclidien. · Ensuite, le parti pris du sujet ­ traiter cette thématique de façon matricielle et avec cette définition de la matrice adjointe ­ complique la rédaction des questions de réductibilité à traiter par récurrence sur la dimension. Cela demande parfois de se ramener à l'endomorphisme associé à la matrice. Une meilleure définition de l'adjoint aurait été la même que dans le cadre euclidien, c'est-à-dire la propriété que l'on demande de démontrer à la première question. Il n'en reste pas moins que ce sujet, classique pour bien des questions, permet de démontrer des résultats intéressants en testant nombre de points importants et de raisonnements clés (récurrence sur la dimension et passage à l'orthogonal, sousespaces stables, etc.) du programme d'algèbre linéaire. Indications Partie I 1 Réécrire le produit scalaire en termes de produit matriciel. 2.a Utiliser à bon escient le résultat de la question 1 ainsi que l'égalité E = {0}. 2.b La i-ième colonne de A s'exprime comme Aei . 3.a Montrer que pour toute A Nn et tout C, A - In Nn . 3.b Pour l'inclusion Nn {UDU | U Un , D Dn }, raisonner par récurrence forte sur la dimension en interprétant les matrices comme celles d'endomorphismes dans la base canonique, puis examiner le résultat fourni par la question 3.a en terme de stabilité d'espace propre. 4 Diagonaliser A. La trace est un invariant de similitude. 5.a Diagonaliser unitairement A et remarquer que (z, ) C2 z = 0 z = 0 5.b Pour l'implication (ii) = (i), encore une fois il est plus aisé de travailler avec les endomorphismes associés aux matrices. Pour l'hérédité, utiliser le critère de réduction établi à la question 3.b afin de retrouver une propriété matricielle dans l'orthogonal. 6.a Si z1 , . . . , zp sont p complexes distincts alors le i-ième polynôme élémentaire de Lagrange associé aux zi est Li = p Y X - zj z - zj j=1 i j6=i Évaluer Li (zj ) et en déduire, si u1 , . . . , up sont p autres complexes, un polynôme satisfaisant P(zi ) = ui pour tout i [[ 1 ; n ]]. En diagonalisant unitairement A, en déduire le résultat en remarquant que P(XAX-1 ) = XP(A)X-1 pour X GLn (C). 6.b Utiliser le résultat de la question 6.a. Que dire de AP(A) - P(A)A pour une matrice A Mn (C) ? 7 Pour montrer (ii) = (i), réduire A et considérer un polynôme vérifiant P(0) = 1 et P(i ) = i /i pour i 6= 0. Partie II 8 Noter que Hn Nn et réduire les matrices. Exprimer les valeurs propres en termes de produit scalaire. 9 Réduire A pour l'existence. Pour l'unicité, considérer l'endomorphisme s associé à une matrice S vérifiant S2 = A et étudier la restriction de s aux espaces propres de l'endomorphisme de matrice A. Penser au lemme des noyaux. Enfin, si le noyau de A est non trivial, utiliser, après l'avoir montré, que pour toute matrice M Mn (C), Ker M = Ker (M M). 11 Raisonner par condition nécessaire pour montrer que les valeurs singulières de A peuvent être définies à partir de AA . Partie III 12.a Exprimer Pi,i comme un produit scalaire et utiliser le résultat de la question 1. L'inégalité de Cauchy-Schwarz fournit un majorant de kPk. Interpréter ensuite la relation P2 = P. k k P P i - Tr PD en exploitant Tr P = k = 1, ainsi 12.b Travailler avec la quantité i=1 i=1 que le fait que pour tout j [[ k + 1 ; n ]], k+1 > j . Utiliser la réduction d'un projecteur pour trouver une matrice réalisant l'égalité. 12.c Démontrer qu'il est suffisant de se ramener au cas où l'une des matrices P1 , P2 est la matrice de projecteur de rang k donnée par blocs Jk = Diag (Ik , 0n-k ). 13 Utiliser le fait que les familles des vecteurs colonnes et des vecteurs lignes d'une matrice unitaire sont orthonormées. 14.a Commencer par montrer l'existence de l'entier k donné par l'énoncé pour comprendre ce qu'il se passe. Utiliser ensuite deux fois la propriété de bistochasticité pour l'existence des entiers demandés. 14.b Débuter en raisonnant par conditions nécessaires et remarquer que la matrice demandée ne diffère de A que par quatre coefficients au plus. Puis, écrire la condition de bistochasticité. Distinguer les cas de nullité des coefficients de A selon le signe de Ak, - Am,k . Exprimer ensuite la différence n P i,j=1 A i,j i j - n P Ai,j i j i,j=1 sous forme d'un produit de trois termes. En déduire comment la rendre positive. Pour la seconde partie, construire par récurrence, en partant d'une matrice A DS n r {In }, une matrice augmentant la quantité à maximiser et ayant un nombre strictement plus grand de 1 sur la diagonale. Pour cela, les résultats établis au début de la question montrent qu'il est possible d'annuler des coefficients dans A. 15.a Décomposer A et B en valeurs singulières. Exprimer ensuite les coefficients diagonaux de UDVT et utiliser l'inégalité 2 (z1 , z2 ) C2 |z1 z2 | 6 |z1 | + |z2 | 2 2 ainsi que le résultat de la question 13. 15.c Montrer que les valeurs singulières d'une matrice de Hn+ sont ses valeurs propres rangées par ordre décroissant. 16 Expliquer l'existence du minimum. Puis développer kA - U BUk2 . Exprimer le minimum Min (-f ) pour une fonction f continue sur un compact K et K réduire les matrices A, B pour exprimer plus simplement la trace à maximiser. Développer enfin la formule de la trace et se ramener au raisonnement effectué à la question 13. I. Étude de Nn 1 Avec la définition de l'énoncé, remarquons que t A = A = t A En particulier, C (A) = A De plus, on constate que si l'on identifie un vecteur x = n P xi ei de Cn au vecteur i=1 t colonne (x1 , . . . , xn ) Mn,1 (C) (ce que l'on fera dans toute la suite), et de même pour y, alors le produit scalaire hermitien s'écrit matriciellement (x | y) = t x y Il découle de la commutativité des opérateurs de transposition et de conjugaison que pour tous x, y Cn t t t t t t A y = t x Ay = (x | Ay) (A x | y) = A x y = t x A y = t x A y = t x Ainsi, (A x | y) = (x | Ay) (x, y) C2 Comme dans le cadre euclidien, on définit la notion d'endomorphisme adjoint dans un espace hermitien H. Toute forme linéaire sur H s'écrit de façon unique sous la forme (a | ·) pour un (unique) vecteur a H. Si a L(H), à x fixé, y 7 (x | ay) est une forme linéaire, on peut donc définir pour tout x un unique a (x) comme ci-dessus. Par unicité du vecteur, l'application x 7 a (x) est bien définie et linéaire, c'est elle qu'on appelle l'adjoint de a. La relation d'égalité des produits scalaires montre que, dans une base orthonormée, la matrice de l'adjoint d'un endomorphisme est la transconjuguée de la matrice de l'endomorphisme d'origine dans la même base. En effet, en spécifiant x = i et y = j , pour = (i ) une base orthonormée de H, qui existe d'après le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, et en posant A = Mat a, il vient A i,j = Aj,i pour tous i, j [[ 1 ; n ]]. Cette propriété peut être reformulée en terme de commutation d'opérateurs : dans une base orthonormée, la matrice de l'adjoint est l'adjointe de la matrice. Il faut prendre garde au fait que l'hypothèse d'orthonormalisation de la base est cruciale. Remarquons enfin que la relation demandée par l'énoncé est donc la propriété servant à définir l'adjoint si l'on confond une matrice A et l'endomorphisme de Cn : x 7 Ax. 2.a Soit A Mn (C). Si A Un , alors par définition et d'après la question 1, soit encore, c'est-à-dire (x, y) (Cn )2 (A Ax | y) = (Ax | Ay) = (x | y) (x, y) (Cn )2 x Cn (A Ax - x | y) = 0 A Ax - x (Cn ) = {0} Il en résulte que pour tout x Cn , A Ax = x et par conséquent A A = In . La matrice A est alors inversible d'inverse A . On a donc également l'égalité AA = In d'où A A = AA = In .