X Maths 1 MP 2010

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

MP

CONCOURS D'ADMISSION 2010

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Sur quelques questions de calcul différentiel
Notations et conventions
Pour tout entier n > 0, on note h. , .i le produit scalaire euclidien usuel et 
|| . || la norme associée
sur Rn , Sn-1 la sphère de rayon 1 dans Rn , Mn (R) l'espace des matrices 
réelles à n lignes et n
colonnes, In la matrice identité dans Mn (R), GLn (R) le sous-ensemble de Mn 
(R) des matrices
inversibles, et SLn (R) celui des matrices de déterminant 1. On note Tr (M ) la 
trace d'une matrice
f la matrice de ses cofacteurs, et l'on rappelle la formule
M de Mn (R), t M sa transposée, M
f = det(M ) In .
M tM

Si M est une matrice de Mn (R), on désigne par exp M son exponentielle, définie 
par
+
X Mk
exp M =
. On rappelle que l'application t 7 exp(tM ) de R dans Mn (R) est de classe
k!
k=0
C 1 , et que sa dérivée en 0 est M . De même, si  est un endomorphisme d'un 
R-espace vectoriel
+
X k
de dimension finie, on note exp() son exponentielle donnée par la série
.
k!
k=0
Soit U un ouvert de Rn . Si f : U  Rp est une application de classe C 1 , on 
note dfx sa
différentielle au point x, soit :
1
h  Rn , dfx (h) = lim (f (x + th) - f (x)) .
t0 t
Préliminaires
1a. Soient  et  deux formes linéaires sur Rn telle que ker   ker . Montrer 
qu'il existe
un réel  tel que  = .
1b. Soient , 1 , . . . , r des formes linéaires sur Rn telles que

r
\

ker i  ker . Montrer que

i=1

 est combinaison linéaire de 1 , . . . , r . (Une méthode possible est de 
raisonner par récurrence
sur r, en considérant, pour r  2, la restriction de  et r à F =

r-1
\
i=1

1

ker i ).

Première partie
2. Soit  : ] - 1, 1[ Rn une application de classe C 1 telle que
t ] - 1, 1[,

||(t)|| = 1 .

Montrer que pour tout t dans ] - 1, 1[, h(t),   (t)i = 0.
3. Soit x  Rn tel que ||x|| = 1 et soit v  Rn , non nul, orthogonal à x. 
Montrer qu'il existe
une application  : ] - 1, 1[ Rn de classe C 1 telle que t ] - 1, 1[, ||(t)|| = 
1, (0) = x et
  (0) = v.
4. Soit f : Rn  R une fonction de classe C 1 , et soit g sa restriction à Sn-1 
. Montrer que g
admet des extremums. Si x est un extremum, en considérant une application  
comme ci-dessus,
montrer qu'il existe un réel  tel que
dfx (h) = hx, hi,

(h  Rn ) .

5. Soit A une matrice symétrique de Mn (R). On définit
f:

(

Rn  R
.
x 7 hx, Axi

5a. Montrer que f est de classe C 1 et calculer sa différentielle.
5b. Soit x un extremum de la restriction de f à Sn-1 . Montrer que x est 
vecteur propre
de A.
Deuxième partie
Dans cette partie, on considère les fonctions suivantes :

Mn (R)  R
X
q : M 7
m2ij

1i,jn

où mij est le coefficient de M sur la i-ème ligne et j-ième colonne,
f:

(

Mn (R)  R
M 7 det(M ) - 1

ainsi que la restriction de q à SLn (R), que l'on note g.
6a. Montrer que q(M ) = Tr (t M M ).
6b. Vérifier que (A, B) 7 Tr (t AB) définit un produit scalaire sur Mn (R).
6c. Montrer que q est de classe C 1 et calculer sa différentielle.
2

7. On note Eij la matrice de Mn (R) ayant pour coefficient 1 à la i-ième ligne 
et j-ième
colonne, et 0 partout ailleurs. Soient M  Mn (R) et t  R. Exprimer det(M + tEij 
) en fonction
f.
de det(M ), de t et des coefficients de la matrice M
fH).
En déduire que pour tout H  Mn (R), dfM (H) = Tr (t M

8. Montrer que SLn (R) est fermé dans Mn (R) et que la restriction g de q à SLn 
(R) possède
un minimum.
9. Soit M  Mn (R). Montrer que det(exp M ) = eTr (M ) .
10. Soit M  SLn (R) et soit H  Mn (R) tels que dfM (H) = 0. Montrer que 
l'application
:

(

] - 1, 1[ Mn (R)
t 7 M exp(tM -1 H)

est à valeurs dans SLn (R), de classe C 1 et vérifie (0) = M ,   (0) = H.
11. Soit M  SLn (R) un point où la fonction g atteint son minimum, et soit H 
dans Mn (R)
tels que dfM (H) = 0.
11a. Montrer que dqM (H) = 0.
11b. Déduire de ce qui précède que M est une matrice orthogonale. Que vaut 
alors g(M ) ?
Troisième partie
Dans cette partie, on se propose de calculer la différentielle en un point 
quelconque de l'application exp : Mn (R)  Mn (R). On rappelle que GLn (R) est 
un ouvert de Mn (R).
12a. Soient C1 , C2 : R  Mn (R) deux applications de classe C 1 . Posons B(t) = 
C1 (t)C2 (t).
Montrer que B est de classe C 1 et que pour tout t dans R,
B  (t) = C1 (t)C2 (t) + C1 (t)C2 (t) .
12b. Soit C : R  Mn (R) une application de classe C 1 . On suppose que pour 
tout t  R,
C(t) est inversible et on pose D(t) = C(t)-1 . Montrer que D est de classe C 1 
et que pour tout t
dans R,
D (t) = -C(t)-1 C  (t)C(t)-1 .
13. Soient C1 , C2 : R  Mn (R) des applications de classe C 2 telles que C1 (0) 
= C2 (0) = In .
13a. Soient ,   R. Trouver une application A : R  Mn (R) de classe C 1 telle que
A(0) = In et A (0) = C1 (0) + C2 (0).
13b. Montrer qu'il existe  > 0 tel que C1 (t) et C2 (t) soient inversibles pour 
tout t dans
l'intervalle ] - , [.
13c. Pour tous s, t dans ] - , [, posons L(s, t) = C1 (s)C2 (t)C1 (s)-1 C2 
(t)-1 . Calculer

2L

st

(0, 0) en fonction de C1 (0) et C2 (0).
3

14. Soit  : GLn (R)  GL(Mn (R)) défini, pour tout X dans GLn (R) par
(X) : Y 7 XY X -1 .
14a. Montrer que  est un morphisme de groupes. Montrer que les coefficients de 
XY X -1
sont des fractions rationnelles des coefficients de X et de Y . En déduire que  
est de classe C 1 .
14b. Montrer que dIn : Mn (R)  L(Mn (R)) est donné, pour tous X, Y  Mn (R) par
dIn (X)(Y ) = XY - Y X .
Dans la suite du problème, on pose (X) = dIn (X) :

(

Mn (R)  Mn (R)
Y 7 XY - Y X .

15. Soit V un R-espace vectoriel de dimension finie et soit f : GLn (R)  GL(V ) 
un
morphisme de groupes de classe C 1 .
15a. Montrer que pour tout X  GLn (R), pour tout H  Mn (R),
dfX (H) = f (X) dfIn (X -1 H) = dfIn (HX -1 ) f (X) .
15b. On fixe X  Mn (R). On considère les applications a, b : R  GL(V ) définies 
pour
tout t  R par
a(t) = f (exp tX),

b(t) = exp(t dfIn (X)) .

Montrer que a = b.
15c. Retrouver le résultat de la question 9 en utilisant le résultat de la 
question 7.
15d. Montrer qu'avec les notations de la question 14, (exp X) = exp((X)), pour 
tout
X  Mn (R).
16. On fixe X, Y  Mn (R). Pour tout s, t  R, on pose
u(s, t) = exp(s(X + tY )),

A(s, t) = exp(-sX)

u
(s, t) .
t

16a. Montrer que A(1, 0) = exp(-X) d expX (Y ).
16b. Déduire du calcul de

A
A
(s, t) que
(s, 0) = exp(-s(X))(Y ).
s
s

16c. Montrer que A(s, 0) =

X

(-1)n sn+1

n=0

(X)n
(Y ).
(n + 1)!

16d. En déduire une formule (sous forme de série) pour d expX (Y ).

4

X Maths 1 MP 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) ; il a été
relu par Emmanuel Cornet (ENS Lyon) et Guillaume Batog (ENS Cachan).

Cette épreuve se propose de répondre à quelques questions de calcul 
différentiel,
principalement dans Mn (R). Elle se compose de trois parties précédées de deux
questions préliminaires.
· Les questions préliminaires ont pour but de montrer un résultat concernant des
formes linéaires sur Rn , qui sera utilisé à de nombreuses reprises dans le 
reste
de l'épreuve.
· Dans la première partie, on considère une matrice symétrique réelle A et on
montre que la fonction x 7 hx | Axi définie sur la sphère unité de Rn atteint
son maximum en un vecteur qui est nécessairement un vecteur propre de A.
· On montre dans la deuxième partie que la norme usuelle, définie sur Mn (R) par

P
2
kMk =
mij
16i,j6n

est minorée sur SLn (R) etatteint son minimum exactement en les matrices
orthogonales, où elle vaut n.

· Enfin, dans la troisième partie, on démontre notamment la formule classique
(et hors-programme) donnant l'expression de la différentielle de la fonction
exponentielle en toute matrice X  Mn (R) :
P

+

d expX (Y) = exp(X)

n=0

(-1)n

(X)n
(Y)
(n + 1)!

où (X) est l'endomorphisme de Mn (R) défini par (X)(Y) = XY - YX.

Rédigé de manière attentive, ce sujet guidait les candidats dans la 
démonstration progressive de plusieurs résultats intéressants en eux-mêmes, à 
l'aide des seuls
outils du programme. Comme il parcourt une très large partie du programme de MP,
il permet à la fois de réviser et d'enrichir sa culture mathématique.

Indications
1.a Discuter en fonction du rang de .
1.b Montrer le résultat plus général suivant : pour tout r > 1 et toutes formes
linéaires , 1 , . . . , r définies sur un R-espace vectoriel de dimension 
finie, on a
r
T

i=1

Ker i  Ker 

=

  Vect (1 , . . . , r )

2 Différentier la relation k(t)k2 = 1.

3 Poser (t) = x + tv puis (t) = (t)/k(t)k.
4 Justifier que Ker hx | ·i  Ker dfx et utiliser la question 1.a.

5.a Écrire un développement limité à l'ordre 1 de f (x + h).
5.b Appliquer à f le résultat de la question 4.

2

6.c Développer l'expression q(M + H) pour (M, H)  Mn (R) .
7 Montrer que det(M + tEij ) = det(M) + t m
e ij .
8 Utiliser la relation SLn (R) = f -1 ({0}).

9 Montrer la formule pour M  Mn (C) triangulaire, puis M  Mn (C) quelconque.

10 Utiliser la question précédente et la question 7 pour montrer que
det((t)) = e t Tr (M

-1

H)

=1
t

11.b Montrer qu'il existe   R tel que dqM = dfM , puis que M M = (/2) In .
13.a Poser A(t) = C1 (t)C2 (t)

14.b Justifier que pour H suffisamment petit, In + H est inversible et
P

+

(In + H)-1 =

(-H)n = In - H + O(N(H)2 )

n=0

où N est la norme subordonnée à la norme euclidienne.
15.b Montrer que a et b sont de classe C 1 sur R et sont solutions du problème 
de
Cauchy
(
Y (t) = Y(t)dfIn (X)
Y(0) = 0
15.c Prendre pour f la fonction déterminant et utiliser le résultat de la 
question 7
et l'égalité a(1) = b(1).
15.d Utiliser la question 15.b en t = 1 pour de bonnes fonctions a et b.
16.b Admettre que la fonction exponentielle est de classe C 2 sur Mn (R) et 
utiliser
l'identité de Schwarz en (t, s) pour u.

Préliminaires
1.a Rappelons que la dimension de l'image d'une forme linéaire sur Rn est soit 0
soit 1 suivant que la forme linéaire est nulle ou non. Le théorème du rang 
certifie
alors que la dimension de son noyau est n si elle est nulle ou n - 1 sinon.
Considérons deux formes linéaires  et  sur Rn telles que Ker   Ker  et
construisons un réel  vérifiant  = . Si  = 0, alors  = 0 convient. Supposons
désormais que  6= 0. Dans ce cas, dim Ker  = n - 1. Puisque Ker   Ker  et
dim Ker  > n - 1, on a dim Ker  = n - 1. Par suite,
Ker  = Ker 

n

Soit x0  R un vecteur directeur d'un supplémentaire de Ker  de sorte que
Rn = Ker   Rx0
Puisque (x0 ) 6= 0, on a (x0 ) 6= 0 car  et  ont le même noyau. Posons  =
Soit x  Rn . Écrivons

(x0 )
.
(x0 )

x = xk + µ x0
avec xk  Ker  et µ  R. Calculons
(x) =
=
=
=
=
=
(x) =

En conclusion,

 (xk + µx0 )
(xk ) + µ(x0 )
µ(x0 )
µ(x0 )
(xk ) + µ(x0 )
(xk + µx0 )
(x)

car (xk ) = 0
par définition de 
car (xk ) = 0

 = 

1.b Montrons par récurrence sur r  N la propriété
P(r) :

« Pour tout R-espace vectoriel E de dimension finie, toute famille
de r + 1 formes linéaires , 1 , . . . , r définies sur E telle que
r
T
Ker i  Ker 
i=1

vérifie également

  Vect (1 , . . . , r )

»

· P(1) : Soit E un R-espace vectoriel et  et  deux formes linéaires sur E telles
que Ker   Ker . Si E est de dimension nulle, alors toutes les formes linéaires
sur E sont nulles et le résultat est trivial :  =   Vect (). Sinon, E est de
dimension n  N . Dans ce cas, à l'aide d'une base de E, on construit un
isomorphisme  de E dans Rn . Les applications

e =   -1
et
e =   -1
sont des formes linéaires sur Rn qui vérifient
Ker 
e =  (Ker )

et

Ker e =  (Ker )

Puisque Ker   Ker  par hypothèse, on a Ker e  Ker 
e. Le résultat de la
e Puisque
question précédente assure alors qu'il existe   R tel que 
e = .
e
=
e   et  =   , on en déduit que  = .

· P(r) = P(r + 1) : Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie. 
Considérons r + 2 formes linéaires définies sur E, notées , 1 , . . . , r+1 
telles que
r+1
T
i=1

Posons F =

r
T

i=1

Ker i  Ker 

Ker i et notons 
e et er+1 les restrictions respectives de  et

de r+1 à F. Constatons que

et

Ker 
e = Ker   F

L'inclusion précédente se réécrit

Ker er+1 = Ker r+1  F

F  Ker r+1  Ker 
Par conséquent,

F  Ker r+1  Ker   F
Ker er+1  Ker 
e

soit

En appliquant le résultat P(1) aux formes linéaires sur F que sont 
e et er+1 ,
e
on obtient l'existence de r+1  R tel que 
e = r+1 r+1 .
Définissons une nouvelle forme linéaire sur E en posant
 =  - r+1 r+1

Constatons que, pour x 

r
T

Ker i = F, on a

i=1

(x) = (x) - r+1 r+1 (x)
=
e(x) - r+1 er+1 (x)
(x) = 0
Ceci montre que

r
T

i=1

car x  F
par définition de r+1

Ker i  Ker 

On peut donc appliquer l'hypothèse de récurrence à la famille de r + 1 formes
linéaires , 1 , . . . , r sur E pour conclure qu'il existe 1 , . . . , r  R 
tels que
 = 1 1 + · · · + r r . Ceci s'écrit encore
 = 1 1 + · · · + r+1 r+1
On a ainsi démontré l'hérédité de la propriété P.
· Conclusion : On a donc montré que P(r) est vraie pour tout r, c'est-à-dire
Pour tout r > 1 et toutes formes linéaires , 1 , . . . , r définies
sur un R-espace vectoriel de dimension finie, on a
r
T

i=1

Ker i  Ker 

=

  Vect (1 , . . . , r )

Le résultat demandé par l'énoncé correspond au cas E = Rn pour un
certain n  N .