ÉCOLE POLYTECHNIQUE
FILIÈRE
MP
CONCOURS D'ADMISSION 2010
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Sur quelques questions de calcul différentiel
Notations et conventions
Pour tout entier n > 0, on note h. , .i le produit scalaire euclidien usuel et
|| . || la norme associée
sur Rn , Sn-1 la sphère de rayon 1 dans Rn , Mn (R) l'espace des matrices
réelles à n lignes et n
colonnes, In la matrice identité dans Mn (R), GLn (R) le sous-ensemble de Mn
(R) des matrices
inversibles, et SLn (R) celui des matrices de déterminant 1. On note Tr (M ) la
trace d'une matrice
f la matrice de ses cofacteurs, et l'on rappelle la formule
M de Mn (R), t M sa transposée, M
f = det(M ) In .
M tM
Si M est une matrice de Mn (R), on désigne par exp M son exponentielle, définie
par
+
X Mk
exp M =
. On rappelle que l'application t 7 exp(tM ) de R dans Mn (R) est de classe
k!
k=0
C 1 , et que sa dérivée en 0 est M . De même, si est un endomorphisme d'un
R-espace vectoriel
+
X k
de dimension finie, on note exp() son exponentielle donnée par la série
.
k!
k=0
Soit U un ouvert de Rn . Si f : U Rp est une application de classe C 1 , on
note dfx sa
différentielle au point x, soit :
1
h Rn , dfx (h) = lim (f (x + th) - f (x)) .
t0 t
Préliminaires
1a. Soient et deux formes linéaires sur Rn telle que ker ker . Montrer
qu'il existe
un réel tel que = .
1b. Soient , 1 , . . . , r des formes linéaires sur Rn telles que
r
\
ker i ker . Montrer que
i=1
est combinaison linéaire de 1 , . . . , r . (Une méthode possible est de
raisonner par récurrence
sur r, en considérant, pour r 2, la restriction de et r à F =
r-1
\
i=1
1
ker i ).
Première partie
2. Soit : ] - 1, 1[ Rn une application de classe C 1 telle que
t ] - 1, 1[,
||(t)|| = 1 .
Montrer que pour tout t dans ] - 1, 1[, h(t), (t)i = 0.
3. Soit x Rn tel que ||x|| = 1 et soit v Rn , non nul, orthogonal à x.
Montrer qu'il existe
une application : ] - 1, 1[ Rn de classe C 1 telle que t ] - 1, 1[, ||(t)|| =
1, (0) = x et
(0) = v.
4. Soit f : Rn R une fonction de classe C 1 , et soit g sa restriction à Sn-1
. Montrer que g
admet des extremums. Si x est un extremum, en considérant une application
comme ci-dessus,
montrer qu'il existe un réel tel que
dfx (h) = hx, hi,
(h Rn ) .
5. Soit A une matrice symétrique de Mn (R). On définit
f:
(
Rn R
.
x 7 hx, Axi
5a. Montrer que f est de classe C 1 et calculer sa différentielle.
5b. Soit x un extremum de la restriction de f à Sn-1 . Montrer que x est
vecteur propre
de A.
Deuxième partie
Dans cette partie, on considère les fonctions suivantes :
Mn (R) R
X
q : M 7
m2ij
1i,jn
où mij est le coefficient de M sur la i-ème ligne et j-ième colonne,
f:
(
Mn (R) R
M 7 det(M ) - 1
ainsi que la restriction de q à SLn (R), que l'on note g.
6a. Montrer que q(M ) = Tr (t M M ).
6b. Vérifier que (A, B) 7 Tr (t AB) définit un produit scalaire sur Mn (R).
6c. Montrer que q est de classe C 1 et calculer sa différentielle.
2
7. On note Eij la matrice de Mn (R) ayant pour coefficient 1 à la i-ième ligne
et j-ième
colonne, et 0 partout ailleurs. Soient M Mn (R) et t R. Exprimer det(M + tEij
) en fonction
f.
de det(M ), de t et des coefficients de la matrice M
fH).
En déduire que pour tout H Mn (R), dfM (H) = Tr (t M
8. Montrer que SLn (R) est fermé dans Mn (R) et que la restriction g de q à SLn
(R) possède
un minimum.
9. Soit M Mn (R). Montrer que det(exp M ) = eTr (M ) .
10. Soit M SLn (R) et soit H Mn (R) tels que dfM (H) = 0. Montrer que
l'application
:
(
] - 1, 1[ Mn (R)
t 7 M exp(tM -1 H)
est à valeurs dans SLn (R), de classe C 1 et vérifie (0) = M , (0) = H.
11. Soit M SLn (R) un point où la fonction g atteint son minimum, et soit H
dans Mn (R)
tels que dfM (H) = 0.
11a. Montrer que dqM (H) = 0.
11b. Déduire de ce qui précède que M est une matrice orthogonale. Que vaut
alors g(M ) ?
Troisième partie
Dans cette partie, on se propose de calculer la différentielle en un point
quelconque de l'application exp : Mn (R) Mn (R). On rappelle que GLn (R) est
un ouvert de Mn (R).
12a. Soient C1 , C2 : R Mn (R) deux applications de classe C 1 . Posons B(t) =
C1 (t)C2 (t).
Montrer que B est de classe C 1 et que pour tout t dans R,
B (t) = C1 (t)C2 (t) + C1 (t)C2 (t) .
12b. Soit C : R Mn (R) une application de classe C 1 . On suppose que pour
tout t R,
C(t) est inversible et on pose D(t) = C(t)-1 . Montrer que D est de classe C 1
et que pour tout t
dans R,
D (t) = -C(t)-1 C (t)C(t)-1 .
13. Soient C1 , C2 : R Mn (R) des applications de classe C 2 telles que C1 (0)
= C2 (0) = In .
13a. Soient , R. Trouver une application A : R Mn (R) de classe C 1 telle que
A(0) = In et A (0) = C1 (0) + C2 (0).
13b. Montrer qu'il existe > 0 tel que C1 (t) et C2 (t) soient inversibles pour
tout t dans
l'intervalle ] - , [.
13c. Pour tous s, t dans ] - , [, posons L(s, t) = C1 (s)C2 (t)C1 (s)-1 C2
(t)-1 . Calculer
2L
st
(0, 0) en fonction de C1 (0) et C2 (0).
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14. Soit : GLn (R) GL(Mn (R)) défini, pour tout X dans GLn (R) par
(X) : Y 7 XY X -1 .
14a. Montrer que est un morphisme de groupes. Montrer que les coefficients de
XY X -1
sont des fractions rationnelles des coefficients de X et de Y . En déduire que
est de classe C 1 .
14b. Montrer que dIn : Mn (R) L(Mn (R)) est donné, pour tous X, Y Mn (R) par
dIn (X)(Y ) = XY - Y X .
Dans la suite du problème, on pose (X) = dIn (X) :
(
Mn (R) Mn (R)
Y 7 XY - Y X .
15. Soit V un R-espace vectoriel de dimension finie et soit f : GLn (R) GL(V )
un
morphisme de groupes de classe C 1 .
15a. Montrer que pour tout X GLn (R), pour tout H Mn (R),
dfX (H) = f (X) dfIn (X -1 H) = dfIn (HX -1 ) f (X) .
15b. On fixe X Mn (R). On considère les applications a, b : R GL(V ) définies
pour
tout t R par
a(t) = f (exp tX),
b(t) = exp(t dfIn (X)) .
Montrer que a = b.
15c. Retrouver le résultat de la question 9 en utilisant le résultat de la
question 7.
15d. Montrer qu'avec les notations de la question 14, (exp X) = exp((X)), pour
tout
X Mn (R).
16. On fixe X, Y Mn (R). Pour tout s, t R, on pose
u(s, t) = exp(s(X + tY )),
A(s, t) = exp(-sX)
u
(s, t) .
t
16a. Montrer que A(1, 0) = exp(-X) d expX (Y ).
16b. Déduire du calcul de
A
A
(s, t) que
(s, 0) = exp(-s(X))(Y ).
s
s
16c. Montrer que A(s, 0) =
X
(-1)n sn+1
n=0
(X)n
(Y ).
(n + 1)!
16d. En déduire une formule (sous forme de série) pour d expX (Y ).
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