X Maths 1 MP 2010

Thème de l'épreuve Sur quelques questions de calcul différentiel
Principaux outils utilisés fonction différentielle, exponentielle de matrice
Mots clefs calcul differentiel, topologie de Mn(R), exponentielles de matrices

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2010 PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Sur quelques questions de calcul différentiel Notations et conventions Pour tout entier n > 0, on note h. , .i le produit scalaire euclidien usuel et || . || la norme associée sur Rn , Sn-1 la sphère de rayon 1 dans Rn , Mn (R) l'espace des matrices réelles à n lignes et n colonnes, In la matrice identité dans Mn (R), GLn (R) le sous-ensemble de Mn (R) des matrices inversibles, et SLn (R) celui des matrices de déterminant 1. On note Tr (M ) la trace d'une matrice f la matrice de ses cofacteurs, et l'on rappelle la formule M de Mn (R), t M sa transposée, M f = det(M ) In . M tM Si M est une matrice de Mn (R), on désigne par exp M son exponentielle, définie par + X Mk exp M = . On rappelle que l'application t 7 exp(tM ) de R dans Mn (R) est de classe k! k=0 C 1 , et que sa dérivée en 0 est M . De même, si est un endomorphisme d'un R-espace vectoriel + X k de dimension finie, on note exp() son exponentielle donnée par la série . k! k=0 Soit U un ouvert de Rn . Si f : U Rp est une application de classe C 1 , on note dfx sa différentielle au point x, soit : 1 h Rn , dfx (h) = lim (f (x + th) - f (x)) . t0 t Préliminaires 1a. Soient et deux formes linéaires sur Rn telle que ker ker . Montrer qu'il existe un réel tel que = . 1b. Soient , 1 , . . . , r des formes linéaires sur Rn telles que r \ ker i ker . Montrer que i=1 est combinaison linéaire de 1 , . . . , r . (Une méthode possible est de raisonner par récurrence sur r, en considérant, pour r 2, la restriction de et r à F = r-1 \ i=1 1 ker i ). Première partie 2. Soit : ] - 1, 1[ Rn une application de classe C 1 telle que t ] - 1, 1[, ||(t)|| = 1 . Montrer que pour tout t dans ] - 1, 1[, h(t), (t)i = 0. 3. Soit x Rn tel que ||x|| = 1 et soit v Rn , non nul, orthogonal à x. Montrer qu'il existe une application : ] - 1, 1[ Rn de classe C 1 telle que t ] - 1, 1[, ||(t)|| = 1, (0) = x et (0) = v. 4. Soit f : Rn R une fonction de classe C 1 , et soit g sa restriction à Sn-1 . Montrer que g admet des extremums. Si x est un extremum, en considérant une application comme ci-dessus, montrer qu'il existe un réel tel que dfx (h) = hx, hi, (h Rn ) . 5. Soit A une matrice symétrique de Mn (R). On définit f: ( Rn R . x 7 hx, Axi 5a. Montrer que f est de classe C 1 et calculer sa différentielle. 5b. Soit x un extremum de la restriction de f à Sn-1 . Montrer que x est vecteur propre de A. Deuxième partie Dans cette partie, on considère les fonctions suivantes : Mn (R) R X q : M 7 m2ij 1i,jn où mij est le coefficient de M sur la i-ème ligne et j-ième colonne, f: ( Mn (R) R M 7 det(M ) - 1 ainsi que la restriction de q à SLn (R), que l'on note g. 6a. Montrer que q(M ) = Tr (t M M ). 6b. Vérifier que (A, B) 7 Tr (t AB) définit un produit scalaire sur Mn (R). 6c. Montrer que q est de classe C 1 et calculer sa différentielle. 2 7. On note Eij la matrice de Mn (R) ayant pour coefficient 1 à la i-ième ligne et j-ième colonne, et 0 partout ailleurs. Soient M Mn (R) et t R. Exprimer det(M + tEij ) en fonction f. de det(M ), de t et des coefficients de la matrice M fH). En déduire que pour tout H Mn (R), dfM (H) = Tr (t M 8. Montrer que SLn (R) est fermé dans Mn (R) et que la restriction g de q à SLn (R) possède un minimum. 9. Soit M Mn (R). Montrer que det(exp M ) = eTr (M ) . 10. Soit M SLn (R) et soit H Mn (R) tels que dfM (H) = 0. Montrer que l'application : ( ] - 1, 1[ Mn (R) t 7 M exp(tM -1 H) est à valeurs dans SLn (R), de classe C 1 et vérifie (0) = M , (0) = H. 11. Soit M SLn (R) un point où la fonction g atteint son minimum, et soit H dans Mn (R) tels que dfM (H) = 0. 11a. Montrer que dqM (H) = 0. 11b. Déduire de ce qui précède que M est une matrice orthogonale. Que vaut alors g(M ) ? Troisième partie Dans cette partie, on se propose de calculer la différentielle en un point quelconque de l'application exp : Mn (R) Mn (R). On rappelle que GLn (R) est un ouvert de Mn (R). 12a. Soient C1 , C2 : R Mn (R) deux applications de classe C 1 . Posons B(t) = C1 (t)C2 (t). Montrer que B est de classe C 1 et que pour tout t dans R, B (t) = C1 (t)C2 (t) + C1 (t)C2 (t) . 12b. Soit C : R Mn (R) une application de classe C 1 . On suppose que pour tout t R, C(t) est inversible et on pose D(t) = C(t)-1 . Montrer que D est de classe C 1 et que pour tout t dans R, D (t) = -C(t)-1 C (t)C(t)-1 . 13. Soient C1 , C2 : R Mn (R) des applications de classe C 2 telles que C1 (0) = C2 (0) = In . 13a. Soient , R. Trouver une application A : R Mn (R) de classe C 1 telle que A(0) = In et A (0) = C1 (0) + C2 (0). 13b. Montrer qu'il existe > 0 tel que C1 (t) et C2 (t) soient inversibles pour tout t dans l'intervalle ] - , [. 13c. Pour tous s, t dans ] - , [, posons L(s, t) = C1 (s)C2 (t)C1 (s)-1 C2 (t)-1 . Calculer 2L st (0, 0) en fonction de C1 (0) et C2 (0). 3 14. Soit : GLn (R) GL(Mn (R)) défini, pour tout X dans GLn (R) par (X) : Y 7 XY X -1 . 14a. Montrer que est un morphisme de groupes. Montrer que les coefficients de XY X -1 sont des fractions rationnelles des coefficients de X et de Y . En déduire que est de classe C 1 . 14b. Montrer que dIn : Mn (R) L(Mn (R)) est donné, pour tous X, Y Mn (R) par dIn (X)(Y ) = XY - Y X . Dans la suite du problème, on pose (X) = dIn (X) : ( Mn (R) Mn (R) Y 7 XY - Y X . 15. Soit V un R-espace vectoriel de dimension finie et soit f : GLn (R) GL(V ) un morphisme de groupes de classe C 1 . 15a. Montrer que pour tout X GLn (R), pour tout H Mn (R), dfX (H) = f (X) dfIn (X -1 H) = dfIn (HX -1 ) f (X) . 15b. On fixe X Mn (R). On considère les applications a, b : R GL(V ) définies pour tout t R par a(t) = f (exp tX), b(t) = exp(t dfIn (X)) . Montrer que a = b. 15c. Retrouver le résultat de la question 9 en utilisant le résultat de la question 7. 15d. Montrer qu'avec les notations de la question 14, (exp X) = exp((X)), pour tout X Mn (R). 16. On fixe X, Y Mn (R). Pour tout s, t R, on pose u(s, t) = exp(s(X + tY )), A(s, t) = exp(-sX) u (s, t) . t 16a. Montrer que A(1, 0) = exp(-X) d expX (Y ). 16b. Déduire du calcul de A A (s, t) que (s, 0) = exp(-s(X))(Y ). s s 16c. Montrer que A(s, 0) = X (-1)n sn+1 n=0 (X)n (Y ). (n + 1)! 16d. En déduire une formule (sous forme de série) pour d expX (Y ). 4

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 X Maths 1 MP 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) ; il a été relu par Emmanuel Cornet (ENS Lyon) et Guillaume Batog (ENS Cachan). Cette épreuve se propose de répondre à quelques questions de calcul différentiel, principalement dans Mn (R). Elle se compose de trois parties précédées de deux questions préliminaires. · Les questions préliminaires ont pour but de montrer un résultat concernant des formes linéaires sur Rn , qui sera utilisé à de nombreuses reprises dans le reste de l'épreuve. · Dans la première partie, on considère une matrice symétrique réelle A et on montre que la fonction x 7 hx | Axi définie sur la sphère unité de Rn atteint son maximum en un vecteur qui est nécessairement un vecteur propre de A. · On montre dans la deuxième partie que la norme usuelle, définie sur Mn (R) par P 2 kMk = mij 16i,j6n est minorée sur SLn (R) etatteint son minimum exactement en les matrices orthogonales, où elle vaut n. · Enfin, dans la troisième partie, on démontre notamment la formule classique (et hors-programme) donnant l'expression de la différentielle de la fonction exponentielle en toute matrice X Mn (R) : P + d expX (Y) = exp(X) n=0 (-1)n (X)n (Y) (n + 1)! où (X) est l'endomorphisme de Mn (R) défini par (X)(Y) = XY - YX. Rédigé de manière attentive, ce sujet guidait les candidats dans la démonstration progressive de plusieurs résultats intéressants en eux-mêmes, à l'aide des seuls outils du programme. Comme il parcourt une très large partie du programme de MP, il permet à la fois de réviser et d'enrichir sa culture mathématique. Indications 1.a Discuter en fonction du rang de . 1.b Montrer le résultat plus général suivant : pour tout r > 1 et toutes formes linéaires , 1 , . . . , r définies sur un R-espace vectoriel de dimension finie, on a r T i=1 Ker i Ker = Vect (1 , . . . , r ) 2 Différentier la relation k(t)k2 = 1. 3 Poser (t) = x + tv puis (t) = (t)/k(t)k. 4 Justifier que Ker hx | ·i Ker dfx et utiliser la question 1.a. 5.a Écrire un développement limité à l'ordre 1 de f (x + h). 5.b Appliquer à f le résultat de la question 4. 2 6.c Développer l'expression q(M + H) pour (M, H) Mn (R) . 7 Montrer que det(M + tEij ) = det(M) + t m e ij . 8 Utiliser la relation SLn (R) = f -1 ({0}). 9 Montrer la formule pour M Mn (C) triangulaire, puis M Mn (C) quelconque. 10 Utiliser la question précédente et la question 7 pour montrer que det((t)) = e t Tr (M -1 H) =1 t 11.b Montrer qu'il existe R tel que dqM = dfM , puis que M M = (/2) In . 13.a Poser A(t) = C1 (t)C2 (t) 14.b Justifier que pour H suffisamment petit, In + H est inversible et P + (In + H)-1 = (-H)n = In - H + O(N(H)2 ) n=0 où N est la norme subordonnée à la norme euclidienne. 15.b Montrer que a et b sont de classe C 1 sur R et sont solutions du problème de Cauchy ( Y (t) = Y(t)dfIn (X) Y(0) = 0 15.c Prendre pour f la fonction déterminant et utiliser le résultat de la question 7 et l'égalité a(1) = b(1). 15.d Utiliser la question 15.b en t = 1 pour de bonnes fonctions a et b. 16.b Admettre que la fonction exponentielle est de classe C 2 sur Mn (R) et utiliser l'identité de Schwarz en (t, s) pour u. Préliminaires 1.a Rappelons que la dimension de l'image d'une forme linéaire sur Rn est soit 0 soit 1 suivant que la forme linéaire est nulle ou non. Le théorème du rang certifie alors que la dimension de son noyau est n si elle est nulle ou n - 1 sinon. Considérons deux formes linéaires et sur Rn telles que Ker Ker et construisons un réel vérifiant = . Si = 0, alors = 0 convient. Supposons désormais que 6= 0. Dans ce cas, dim Ker = n - 1. Puisque Ker Ker et dim Ker > n - 1, on a dim Ker = n - 1. Par suite, Ker = Ker n Soit x0 R un vecteur directeur d'un supplémentaire de Ker de sorte que Rn = Ker Rx0 Puisque (x0 ) 6= 0, on a (x0 ) 6= 0 car et ont le même noyau. Posons = Soit x Rn . Écrivons (x0 ) . (x0 ) x = xk + µ x0 avec xk Ker et µ R. Calculons (x) = = = = = = (x) = En conclusion, (xk + µx0 ) (xk ) + µ(x0 ) µ(x0 ) µ(x0 ) (xk ) + µ(x0 ) (xk + µx0 ) (x) car (xk ) = 0 par définition de car (xk ) = 0 = 1.b Montrons par récurrence sur r N la propriété P(r) : « Pour tout R-espace vectoriel E de dimension finie, toute famille de r + 1 formes linéaires , 1 , . . . , r définies sur E telle que r T Ker i Ker i=1 vérifie également Vect (1 , . . . , r ) » · P(1) : Soit E un R-espace vectoriel et et deux formes linéaires sur E telles que Ker Ker . Si E est de dimension nulle, alors toutes les formes linéaires sur E sont nulles et le résultat est trivial : = Vect (). Sinon, E est de dimension n N . Dans ce cas, à l'aide d'une base de E, on construit un isomorphisme de E dans Rn . Les applications e = -1 et e = -1 sont des formes linéaires sur Rn qui vérifient Ker e = (Ker ) et Ker e = (Ker ) Puisque Ker Ker par hypothèse, on a Ker e Ker e. Le résultat de la e Puisque question précédente assure alors qu'il existe R tel que e = . e = e et = , on en déduit que = . · P(r) = P(r + 1) : Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie. Considérons r + 2 formes linéaires définies sur E, notées , 1 , . . . , r+1 telles que r+1 T i=1 Posons F = r T i=1 Ker i Ker Ker i et notons e et er+1 les restrictions respectives de et de r+1 à F. Constatons que et Ker e = Ker F L'inclusion précédente se réécrit Ker er+1 = Ker r+1 F F Ker r+1 Ker Par conséquent, F Ker r+1 Ker F Ker er+1 Ker e soit En appliquant le résultat P(1) aux formes linéaires sur F que sont e et er+1 , e on obtient l'existence de r+1 R tel que e = r+1 r+1 . Définissons une nouvelle forme linéaire sur E en posant = - r+1 r+1 Constatons que, pour x r T Ker i = F, on a i=1 (x) = (x) - r+1 r+1 (x) = e(x) - r+1 er+1 (x) (x) = 0 Ceci montre que r T i=1 car x F par définition de r+1 Ker i Ker On peut donc appliquer l'hypothèse de récurrence à la famille de r + 1 formes linéaires , 1 , . . . , r sur E pour conclure qu'il existe 1 , . . . , r R tels que = 1 1 + · · · + r r . Ceci s'écrit encore = 1 1 + · · · + r+1 r+1 On a ainsi démontré l'hérédité de la propriété P. · Conclusion : On a donc montré que P(r) est vraie pour tout r, c'est-à-dire Pour tout r > 1 et toutes formes linéaires , 1 , . . . , r définies sur un R-espace vectoriel de dimension finie, on a r T i=1 Ker i Ker = Vect (1 , . . . , r ) Le résultat demandé par l'énoncé correspond au cas E = Rn pour un certain n N .