X Maths 1 MP 2008

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

MP

CONCOURS D'ADMISSION 2008

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Équations différentielles de Sturm-Liouville
Ce problème est consacré à l'étude d'une équation différentielle avec 
paramètre. On désigne
par C  ([0, 1]) l'espace des fonctions réelles de classe C  sur [0, 1].
Première partie
Dans cette première partie, étant donné deux fonctions p et q de C  ([0, 1]), 
on désigne par
Ap,q l'endomorphisme de C  ([0, 1]) défini par
Ap,q (y) = y  + py  + qy
et par (Dp,q ) l'équation différentielle sur [0, 1] : Ap,q (y) = 0.
1. Soit y une solution non identiquement nulle de (Dp,q ).
1.a) Montrer que les fonctions y et y  ne s'annulent pas simultanément.
1.b) Montrer que les zéros de y sont en nombre fini.
2. Soit y1 et y2 deux solutions linéairement indépendantes de (Dp,q ) ; on 
suppose que y1
admet au moins deux zéros et on note a et b deux zéros consécutifs.
2.a) Montrer que y2 admet au moins un zéro dans l'intervalle ouvert ]a, b[. [On 
pourra
procéder par l'absurde et considérer le wronskien W de y1 et y2 .]
2.b) La fonction y2 peut-elle avoir plusieurs zéros dans ]a, b[ ?
Étant donné deux fonctions u et v de C  ([0, 1]), u ne s'annulant en aucun 
point, on désigne
par Bu,v l'endomorphisme de C  ([0, 1]) défini par
Bu,v (y) = (uy  ) + vy
et par (Eu,v ) l'équation différentielle sur [0, 1] : Bu,v (y) = 0.
1

3.a) Soit y1 et y2 deux solutions linéairement indépendantes de (Dp,q ) et soit 
W leur
wronskien. Vérifier la relation
y1 Bu,v (y2 ) - y2 Bu,v (y1 ) = (u - up)W .
3.b) Montrer que, pour tout couple (p, q), il existe des couples (u, v) tels que
Ker Ap,q = Ker Bu,v et déterminer tous ces couples (u, v).
4. On se donne trois fonctions u, v1 , v2 de C  ([0, 1]) et on suppose
u(x) > 0 ,

v2 (x) < v1 (x) pour tout x  [0, 1] . Pour i = 1, 2, on note yi une solution non identiquement nulle de l'équation (Eu,vi ) ; on suppose que y2 admet au moins deux zéros et on note a et b deux zéros consécutifs. 4.a) Vérifier la relation [uy1 y2 ]ba [On pourra considérer Z b a = Z b a v1 (x) - v2 (x) y1 (x)y2 (x) dx . y1 Bu,v2 (y2 ) - y2 Bu,v1 (y1 ) dx.] 4.b) Montrer que y1 admet au moins un zéro dans l'intervalle ]a, b[. [On pourra procéder par l'absurde.] Dans toute la suite du problème on note r une fonction de C  ([0, 1]) ; pour tout nombre réel on considère l'équation différentielle sur [0, 1] : (D ) y  + ( - r)y = 0 . On note y l'unique solution de (D ) satisfaisant y (0) = 0, y (0) = 1, et E l'espace vectoriel (éventuellement réduit à zéro) des solutions de (D ) satisfaisant y(0) = y(1) = 0 ; si cet espace n'est pas réduit à zéro, on dit que  est valeur propre. Deuxième partie 5.a) Quelles sont les valeurs possibles de dim E ? 5.b) Démontrer l'équivalence des conditions E 6= {0} et y (1) = 0. 6. Démontrer les assertions suivantes : 6.a) Toute valeur propre est supérieure ou égale à inf x[0,1] r(x). 6.b) Si y1  E1 , y2  E2 avec 1 6= 2 , alors 2 Z 1 0 y1 (x)y2 (x) dx = 0. Troisième partie Dans les troisième et quatrième parties, on désigne par N () le nombre des zéros de la fonction y dans [0, 1] et on se propose d'étudier N () en lien avec les valeurs de y (1), ainsi que la répartition des valeurs propres. 7. Dans cette question on examine le cas où r = 0 et  > 0. On désigne par E(a) 
la partie
entière d'un nombre réel a.
7.a) Calculer y (x) pour x  [0, 1].
7.b) Calculer N ().
7.c) Préciser le comportement de N () au voisinage d'un point 0 .
On ne suppose plus r = 0 ni  > 0. On admettra que la fonction de deux variables
(, x) 7 y (x) est de classe C  .
8. Dans cette question, on se propose de démontrer que, si y0 (1) est non nul, 
N () est
constant dans un voisinage de 0 .
On désigne par c1 , . . . , cn , n > 1, les zéros de y0 dans [0, 1] avec
0 = c1 < c2 < . . . < cn < 1 . 8.a) Montrer qu'il existe une suite strictement croissante (j )06j62n de nombres réels, possédant les propriétés suivantes : (i) 0 = 0, 2n = 1, 0 < 1 < 2 , 2j-2 < cj < 2j-1 pour j = 2, . . . , n ; (ii) (-1)j+1 y0 > 0 sur [2j-1 , 2j ], j = 1, . . . , n ;
(iii) (-1)j y 0 > 0 sur [2j , 2j+1 ], j = 0, . . . , n - 1.
8.b) Dans cette question, on considère une fonction F de classe C  définie sur 
un ouvert
contenant un rectangle compact I × J de R2 . Démontrer l'assertion suivante : 
pour tout  > 0
il existe  > 0 tel que les conditions s1 , s2  I et |s1 - s2 | <  impliquent |F (s1 , t) - F (s2 , t)| <  pour tout t  J . 8.c) Montrer que, pour tout  suffisamment voisin de 0 , y a exactement un zéro dans chacun des intervalles [2j , 2j+1 ], mais n'en a aucun dans les intervalles [2j-1 , 2j ]. Conclure. 9. Montrer que, pour tout  >  = supx[0,1] r(x), on a

N () > E ( - )1/2  -1 .
[On pourra utiliser la question 4 et la question 7 en y remplaçant  par un réel 
quelconque
µ <  - .] 3 10.a) Montrer que, si y (1) est non nul pour tout  appartenant à un intervalle I, N () est constant dans I. 10.b) L'ensemble des valeurs propres est-il vide ou non vide ? fini ou infini ? Quatrième partie Dans cette quatrième partie, on étudie le comportement de N () au voisinage d'un point 0 tel que y0 (1) = 0. On écrira y(, x) au lieu de y (x), et on rappelle que cette fonction de deux variables est de classe C  ; l'équation (D ) s'écrit donc : (i) 2y + ( - r)y = 0 . x2 11. Démontrer que la relation (i) entraîne les relations suivantes : (ii) y 3y + ( - r) +y =0 2 x (iii) 3y 2 y y - y - y2 = 0 x2  x2 (iv) y y (0 , 1) (0 , 1) = x Z 1 y(0 , x)2 dx > 0 .

0

12. Montrer qu'il existe un réel  > 0 ayant les propriétés suivantes :
(i) si   [0 - , 0 [, on a N () = N (0 ) - 1 ;
(ii) si   [0 , 0 + ], on a N () = N (0 ).
13. Montrer qu'on peut écrire les valeurs propres comme une suite croissante 
infinie
1 < 2 < . . . , et exprimer N (n ) en fonction de n. 4

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X Maths 1 MP 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jérôme Gärtner (ENS Cachan) ; il a été relu par Mehdi
Tibouchi (Professeur en CPGE) et Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE).

Ce sujet traite du problème de Sturm-Liouville : on étudie un problème 
différentiel
avec conditions aux limites, d'inconnues y : [0, 1]  R et   R, de la forme
  
(uy ) + vy = y
y(0) = 0

y(1) = 0

où u et v sont des fonctions données, de classe C  sur [0, 1]. Les réels  pour 
lesquels
il existe une fonction y non nulle telle que (y, ) est solution s'appellent les 
valeurs
propres de l'équation. L'étude s'avère être très différente d'un problème de 
Cauchy
classique.
Le sujet comporte quatre parties fortement liées.
· Le but de la première partie est d'établir un résultat d'entrelacement des 
zéros
de deux solutions de problèmes de Sturm-Liouville comparables (question 4).
Sur beaucoup de points, elle reste proche du cours, en utilisant le théorème
de Cauchy pour les équations linéaires (question 1), le wronskien (question 2)
et des manipulations pour montrer une équivalence entre deux équations 
différentielles (question 4).
· La deuxième partie, assez courte, est celle qui demande le moins de calculs.
On y démontre que les « sous-espaces propres » associés aux valeurs propres de
l'équation sont des droites vectorielles (question 5) orthogonales (question 6).
· La troisième partie étudie la répartition des zéros des fonctions associées à 
des
valeurs propres. Elle commence (question 7) par un exemple explicite, familier
et facile ­ l'équation à coefficients constants y  = y ­ avant de rentrer dans 
le
vif du sujet avec l'une des questions les plus difficiles du problème (question 
8).
· La dernière partie précise la répartition des valeurs propres (question 12) 
et des
zéros des fonctions associées (question 13).
Dans son ensemble, ce sujet peut être considéré comme très difficile, en 
particulier
les questions 8, 9, 12 et 13, y compris pour le concours de l'X, tout en ne 
dépassant que
rarement (questions 1 et 8.b) le programme de première année. Il permet aux 
élèves
ambitieux de s'exercer à de nombreux types de raisonnements délicats en analyse.

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Indications
1.a Penser à utiliser le théorème de Cauchy linéaire.
1.b Utiliser la propriété de compacité des segments de R.
2.a Raisonner par l'absurde, et utiliser la question 1.a en un point adhérent de
l'ensemble des valeurs d'annulation de y.
2.b Remarquer que le rôle des deux solutions est symétrique dans la question 
2.a.
3.b La question se prête à un raisonnement par analyse et synthèse. L'idée 
directrice
est d'utiliser la question 3.a, et de ne pas oublier que pour prouver une 
égalité
de sous-espaces vectoriels, il suffit de montrer une inclusion et l'égalité des
dimensions.
4.a Suivre l'indication donnée par l'énoncé et intégrer par parties.
4.b Cette question présente beaucoup d'analogies avec la question 2.a. Raisonner
de la même manière par l'absurde en utilisant la question 4.a, qui fournit un
outil analogue au wronskien de la question 2.
5.a Pour bien aborder cette question, il faut connaître la dimension de 
l'espace des
solutions d'une équation différentielle linéaire. Utiliser une fonction 
introduite
dans l'énoncé, ou bien le théorème de Cauchy linéaire.
5.b On utilisera dans cette question le résultat de la question 5.a.
6.b Appliquer l'égalité obtenue à la question 4.a.
8.a Pour cette question technique, il est conseillé de faire un dessin, et de 
chercher
à construire les points demandés autour des zéros de y0 . Attention au fait que
l'on a besoin d'inégalités strictes.
8.b La propriété demandée est très proche de l'uniforme continuité.
8.c. Les questions 8.a et 8.b permettent de contrôler le comportement de y. Il 
ne faut
pas oublier qu'une fonction continue strictement monotone est une bijection sur
son image.
9. Suivre l'indication donnée par l'énoncé en prenant garde au fait que µ ne 
satisfait
pas toujours les conditions des questions 4.b et 7.b, mais dans ce cas, 
l'inégalité
est triviale.
10.a Utiliser la question 8.c et le fait qu'une fonction localement constante 
sur un
espace connexe par arcs est constante.
10.b Raisonner par l'absurde, en utilisant les questions 9 et 10.a pour montrer 
que
l'ensemble des valeurs propres n'est pas majoré.
11 Pour (iii), chercher une combinaison linéaire de (i) et (ii). Intégrer en x 
et faire
deux intégrations par parties pour obtenir (iv).
12 Utiliser la question 4.b pour établir la croissance de  7 N(). Puis rendre
utilisable et utiliser la question 8 (prendre garde au fait qu'ici, y0 (1) = 0)
sur un segment de la forme [0, 1 - ], où  > 0 est choisi arbitrairement petit.
Enfin, montrer que, pour  > 0 petit et  > 0 proche de 0 , y0 est monotone
sur [1 - , 1], donc s'annule au plus une fois. Conclure.
13 Regrouper les résultats des questions 6.a et 12, sans oublier la conséquence 
de
l'équation (iv) de la question 11, déjà utilisée à la question 12.

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Première partie
1.a L'équation (Dp,q ) est une équation différentielle linéaire d'ordre 2, 
homogène,
dont le coefficient devant y  ne s'annule pas. Soit t0  [0, 1] quelconque. La 
fonction
nulle est solution du problème de Cauchy suivant sur [0, 1] :

y  + py  + qy = 0

y(t0 ) = 0

y  (t0 ) = 0

Or, le théorème de Cauchy linéaire affirme que ce problème admet une unique
solution. On en déduit que si y est solution une de l'équation (Dp,q ) telle 
que y et y 
s'annulent en t0 , alors y est la fonction nulle. Comme le choix de t0 est 
quelconque,
il vient, par contraposition :
Si y est une solution non identiquement nulle de
(Dp,q ), alors y et y  ne s'annulent pas simultanément.
Cette question, très proche du cours, permet de vérifier que l'on sait 
appliquer le théorème de Cauchy linéaire, qui est un théorème très important du
programme sur les équations différentielles linéaires.
1.b Montrons par l'absurde que les zéros de y sont en nombre fini.
Supposons que y ait un nombre infini de zéros dans [0, 1]. Il existe alors une 
suite
injective de réels (tn )n tous zéros de y. La suite (tn )nN est est à valeurs 
dans le
compact [0, 1] donc admet une valeur d'adhérence. Il existe une fonction  : N  N
strictement croissante et a  [0, 1] tels que t(n) ---- a ; la suite (tn )n 
étant par
n
ailleurs injective, au plus un seul de ses termes vaut a et, quitte à le 
retirer, on peut
supposer que t(n) 6= a pour tout n. Dans ce cas, y(t(n) ) ---- y(a) par 
continuité,
n

et y(t(n) ) est la suite nulle par hypothèse. Donc a est un zéro de y. De même 
on a
y  (a) = lim

n

y(t(n) ) - y(a)
=0
t(n) - a

On déduit de la question 1.a que y est la solution nulle, ce qui est absurde.
Les zéros de y sont en nombre fini.
En général, on peut montrer que les zéros de solutions non nulles d'une
équation différentielle linéaire d'ordre 2 sont isolés (ce qui permet de 
conclure
ici car il n'y a qu'un nombre fini de points isolés dans un compact). Rappelons
rapidement le raisonnement :
Soit t0  [0, 1] tel que y(t0 ) = 0. D'après la question 1.a, y  (t0 ) 6= 0.
Supposons par exemple y  (t0 ) > 0. La continuité de y  donne l'existence d'un
intervalle V de [0, 1] contenant t0 tel que y  > 0 sur V. On en déduit que y
est une fonction strictement croissante sur V, donc injective sur V. Comme y
s'annule en t0 , elle ne s'annule pas en un autre point de V. En traitant
de même le cas où y  (t0 ) < 0, on en déduit que les zéros de y sont isolés et y est strictement monotone au voisinage de ses zéros, ce qui sera très utile pour la suite du sujet. © Éditions H&K 2.a Soit W = y1 y2 - y1 y2 le wronskien de y1 et y2 . On sait d'après le cours que la fonction W est continue et ne s'annule pas sur [0, 1], donc est de signe constant. Par hypothèse, y1 ne s'annule pas sur ]a, b[. Comme cette fonction est continue, elle garde un signe constant. Supposons par exemple que y1 > 0 sur ]a, b[. 
Comme y1
s'annule en a et b, on a, pour 0 < h < b - a, y1 (a + h) - y1 (a) > 0 et
h

y1 (b) - y1 (b - h)
60
h

Ainsi, lorsque h tend vers 0 par valeurs supérieures on obtient y1 (a) > 0 et
d'affirmer, d'après le résultat de la question 1.a que y1 (a) > 0

y1 (b) 6 0. Ceci permet
et y1 (b) < 0. On a W(a) = -y1 (a)y2 (a) et W(b) = -y1 (b)y2 (b) Raisonnons par l'absurde et supposons que y2 ne s'annule pas sur ]a, b[. Comme c'est une fonction continue, on peut supposer par exemple que y2 > 0 sur ]a, 
b[. Alors
W(a) < 0 et W(b) > 0
ce qui contredit les propriétés du wronskien rappelées ci-dessus. Finalement
y2 s'annule dans ]a, b[.

Le wronskien est un outil du programme très utile pour l'étude des équations
différentielles linéaires. Rappelons qu'en général, toute équation d'ordre p
peut être vu comme système à p équations d'ordre 1. Le wronskien est
alors défini comme le déterminant d'une famille de solutions pour le système
d'ordre 1 associé à l'équation considérée. Lorsque cette famille est une base,
il ne s'annule pas.
2.b Supposons que la fonction y2 ait deux zéros ,  dans ]a, b[. On peut inverser
les rôles de y1 et de y2 dans le raisonnement de la question 2.a pour conclure 
que y1
s'annule sur ], []a, b[, ce qui est impossible par définition de a et b qui 
sont deux
zéros consécutifs de y1 .
y2 a exactement un zéro sur ]a, b[.
3.a Remplaçons Bu,v (y1 ) et Bu,v (y2 ) par leurs expressions en fonction de y1 
et y2 .
Il vient

y1 Bu,v (y2 ) - y2 Bu,v (y1 ) = y1 [(uy2 ) + vy2 ] - y2 [(uy1 ) + vy1 ]
= y1 uy2 + y1 u y2 - y2 uy1 - y2 u y1

Par hypothèse, y1 et y2 sont solutions de (Dp,q ), c'est-à-dire
y1 + py1 + qy1 = 0 et y2 + py2 + qy2 = 0
ce qui donne
y1 Bu,v (y2 ) - y2 Bu,v (y1 ) = y1 u [-py2 - qy2 ] + y1 u y2 - y2 u [-py1 - qy1 
] - y2 u y1
= u (y1 y2 - y2 y1 ) - up(y1 y2 - y2 y1 ) - qy1 y2 u + qy1 y2 u
d'où

y1 Bu,v (y2 ) - y2 Bu,v (y1 ) = (u - up)W