© Éditions H&K
X Maths 1 MP 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jérôme Gärtner (ENS Cachan) ; il a été relu par Mehdi
Tibouchi (Professeur en CPGE) et Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE).
Ce sujet traite du problème de Sturm-Liouville : on étudie un problème
différentiel
avec conditions aux limites, d'inconnues y : [0, 1] R et R, de la forme
(uy ) + vy = y
y(0) = 0
y(1) = 0
où u et v sont des fonctions données, de classe C sur [0, 1]. Les réels pour
lesquels
il existe une fonction y non nulle telle que (y, ) est solution s'appellent les
valeurs
propres de l'équation. L'étude s'avère être très différente d'un problème de
Cauchy
classique.
Le sujet comporte quatre parties fortement liées.
· Le but de la première partie est d'établir un résultat d'entrelacement des
zéros
de deux solutions de problèmes de Sturm-Liouville comparables (question 4).
Sur beaucoup de points, elle reste proche du cours, en utilisant le théorème
de Cauchy pour les équations linéaires (question 1), le wronskien (question 2)
et des manipulations pour montrer une équivalence entre deux équations
différentielles (question 4).
· La deuxième partie, assez courte, est celle qui demande le moins de calculs.
On y démontre que les « sous-espaces propres » associés aux valeurs propres de
l'équation sont des droites vectorielles (question 5) orthogonales (question 6).
· La troisième partie étudie la répartition des zéros des fonctions associées à
des
valeurs propres. Elle commence (question 7) par un exemple explicite, familier
et facile l'équation à coefficients constants y = y avant de rentrer dans
le
vif du sujet avec l'une des questions les plus difficiles du problème (question
8).
· La dernière partie précise la répartition des valeurs propres (question 12)
et des
zéros des fonctions associées (question 13).
Dans son ensemble, ce sujet peut être considéré comme très difficile, en
particulier
les questions 8, 9, 12 et 13, y compris pour le concours de l'X, tout en ne
dépassant que
rarement (questions 1 et 8.b) le programme de première année. Il permet aux
élèves
ambitieux de s'exercer à de nombreux types de raisonnements délicats en analyse.
© Éditions H&K
Indications
1.a Penser à utiliser le théorème de Cauchy linéaire.
1.b Utiliser la propriété de compacité des segments de R.
2.a Raisonner par l'absurde, et utiliser la question 1.a en un point adhérent de
l'ensemble des valeurs d'annulation de y.
2.b Remarquer que le rôle des deux solutions est symétrique dans la question
2.a.
3.b La question se prête à un raisonnement par analyse et synthèse. L'idée
directrice
est d'utiliser la question 3.a, et de ne pas oublier que pour prouver une
égalité
de sous-espaces vectoriels, il suffit de montrer une inclusion et l'égalité des
dimensions.
4.a Suivre l'indication donnée par l'énoncé et intégrer par parties.
4.b Cette question présente beaucoup d'analogies avec la question 2.a. Raisonner
de la même manière par l'absurde en utilisant la question 4.a, qui fournit un
outil analogue au wronskien de la question 2.
5.a Pour bien aborder cette question, il faut connaître la dimension de
l'espace des
solutions d'une équation différentielle linéaire. Utiliser une fonction
introduite
dans l'énoncé, ou bien le théorème de Cauchy linéaire.
5.b On utilisera dans cette question le résultat de la question 5.a.
6.b Appliquer l'égalité obtenue à la question 4.a.
8.a Pour cette question technique, il est conseillé de faire un dessin, et de
chercher
à construire les points demandés autour des zéros de y0 . Attention au fait que
l'on a besoin d'inégalités strictes.
8.b La propriété demandée est très proche de l'uniforme continuité.
8.c. Les questions 8.a et 8.b permettent de contrôler le comportement de y. Il
ne faut
pas oublier qu'une fonction continue strictement monotone est une bijection sur
son image.
9. Suivre l'indication donnée par l'énoncé en prenant garde au fait que µ ne
satisfait
pas toujours les conditions des questions 4.b et 7.b, mais dans ce cas,
l'inégalité
est triviale.
10.a Utiliser la question 8.c et le fait qu'une fonction localement constante
sur un
espace connexe par arcs est constante.
10.b Raisonner par l'absurde, en utilisant les questions 9 et 10.a pour montrer
que
l'ensemble des valeurs propres n'est pas majoré.
11 Pour (iii), chercher une combinaison linéaire de (i) et (ii). Intégrer en x
et faire
deux intégrations par parties pour obtenir (iv).
12 Utiliser la question 4.b pour établir la croissance de 7 N(). Puis rendre
utilisable et utiliser la question 8 (prendre garde au fait qu'ici, y0 (1) = 0)
sur un segment de la forme [0, 1 - ], où > 0 est choisi arbitrairement petit.
Enfin, montrer que, pour > 0 petit et > 0 proche de 0 , y0 est monotone
sur [1 - , 1], donc s'annule au plus une fois. Conclure.
13 Regrouper les résultats des questions 6.a et 12, sans oublier la conséquence
de
l'équation (iv) de la question 11, déjà utilisée à la question 12.
© Éditions H&K
Première partie
1.a L'équation (Dp,q ) est une équation différentielle linéaire d'ordre 2,
homogène,
dont le coefficient devant y ne s'annule pas. Soit t0 [0, 1] quelconque. La
fonction
nulle est solution du problème de Cauchy suivant sur [0, 1] :
y + py + qy = 0
y(t0 ) = 0
y (t0 ) = 0
Or, le théorème de Cauchy linéaire affirme que ce problème admet une unique
solution. On en déduit que si y est solution une de l'équation (Dp,q ) telle
que y et y
s'annulent en t0 , alors y est la fonction nulle. Comme le choix de t0 est
quelconque,
il vient, par contraposition :
Si y est une solution non identiquement nulle de
(Dp,q ), alors y et y ne s'annulent pas simultanément.
Cette question, très proche du cours, permet de vérifier que l'on sait
appliquer le théorème de Cauchy linéaire, qui est un théorème très important du
programme sur les équations différentielles linéaires.
1.b Montrons par l'absurde que les zéros de y sont en nombre fini.
Supposons que y ait un nombre infini de zéros dans [0, 1]. Il existe alors une
suite
injective de réels (tn )n tous zéros de y. La suite (tn )nN est est à valeurs
dans le
compact [0, 1] donc admet une valeur d'adhérence. Il existe une fonction : N N
strictement croissante et a [0, 1] tels que t(n) ---- a ; la suite (tn )n
étant par
n
ailleurs injective, au plus un seul de ses termes vaut a et, quitte à le
retirer, on peut
supposer que t(n) 6= a pour tout n. Dans ce cas, y(t(n) ) ---- y(a) par
continuité,
n
et y(t(n) ) est la suite nulle par hypothèse. Donc a est un zéro de y. De même
on a
y (a) = lim
n
y(t(n) ) - y(a)
=0
t(n) - a
On déduit de la question 1.a que y est la solution nulle, ce qui est absurde.
Les zéros de y sont en nombre fini.
En général, on peut montrer que les zéros de solutions non nulles d'une
équation différentielle linéaire d'ordre 2 sont isolés (ce qui permet de
conclure
ici car il n'y a qu'un nombre fini de points isolés dans un compact). Rappelons
rapidement le raisonnement :
Soit t0 [0, 1] tel que y(t0 ) = 0. D'après la question 1.a, y (t0 ) 6= 0.
Supposons par exemple y (t0 ) > 0. La continuité de y donne l'existence d'un
intervalle V de [0, 1] contenant t0 tel que y > 0 sur V. On en déduit que y
est une fonction strictement croissante sur V, donc injective sur V. Comme y
s'annule en t0 , elle ne s'annule pas en un autre point de V. En traitant
de même le cas où y (t0 ) < 0, on en déduit que les zéros de y sont isolés et y est strictement monotone au voisinage de ses zéros, ce qui sera très utile pour la suite du sujet. © Éditions H&K 2.a Soit W = y1 y2 - y1 y2 le wronskien de y1 et y2 . On sait d'après le cours que la fonction W est continue et ne s'annule pas sur [0, 1], donc est de signe constant. Par hypothèse, y1 ne s'annule pas sur ]a, b[. Comme cette fonction est continue, elle garde un signe constant. Supposons par exemple que y1 > 0 sur ]a, b[.
Comme y1
s'annule en a et b, on a, pour 0 < h < b - a, y1 (a + h) - y1 (a) > 0 et
h
y1 (b) - y1 (b - h)
60
h
Ainsi, lorsque h tend vers 0 par valeurs supérieures on obtient y1 (a) > 0 et
d'affirmer, d'après le résultat de la question 1.a que y1 (a) > 0
y1 (b) 6 0. Ceci permet
et y1 (b) < 0. On a W(a) = -y1 (a)y2 (a) et W(b) = -y1 (b)y2 (b) Raisonnons par l'absurde et supposons que y2 ne s'annule pas sur ]a, b[. Comme c'est une fonction continue, on peut supposer par exemple que y2 > 0 sur ]a,
b[. Alors
W(a) < 0 et W(b) > 0
ce qui contredit les propriétés du wronskien rappelées ci-dessus. Finalement
y2 s'annule dans ]a, b[.
Le wronskien est un outil du programme très utile pour l'étude des équations
différentielles linéaires. Rappelons qu'en général, toute équation d'ordre p
peut être vu comme système à p équations d'ordre 1. Le wronskien est
alors défini comme le déterminant d'une famille de solutions pour le système
d'ordre 1 associé à l'équation considérée. Lorsque cette famille est une base,
il ne s'annule pas.
2.b Supposons que la fonction y2 ait deux zéros , dans ]a, b[. On peut inverser
les rôles de y1 et de y2 dans le raisonnement de la question 2.a pour conclure
que y1
s'annule sur ], []a, b[, ce qui est impossible par définition de a et b qui
sont deux
zéros consécutifs de y1 .
y2 a exactement un zéro sur ]a, b[.
3.a Remplaçons Bu,v (y1 ) et Bu,v (y2 ) par leurs expressions en fonction de y1
et y2 .
Il vient
y1 Bu,v (y2 ) - y2 Bu,v (y1 ) = y1 [(uy2 ) + vy2 ] - y2 [(uy1 ) + vy1 ]
= y1 uy2 + y1 u y2 - y2 uy1 - y2 u y1
Par hypothèse, y1 et y2 sont solutions de (Dp,q ), c'est-à-dire
y1 + py1 + qy1 = 0 et y2 + py2 + qy2 = 0
ce qui donne
y1 Bu,v (y2 ) - y2 Bu,v (y1 ) = y1 u [-py2 - qy2 ] + y1 u y2 - y2 u [-py1 - qy1
] - y2 u y1
= u (y1 y2 - y2 y1 ) - up(y1 y2 - y2 y1 ) - qy1 y2 u + qy1 y2 u
d'où
y1 Bu,v (y2 ) - y2 Bu,v (y1 ) = (u - up)W