X Maths 1 MP 2007

Thème de l'épreuve Régularisation de fonctions
Principaux outils utilisés séries de Fourier, suites et séries de fonctions, fonctions de plusieurs variables
Mots clefs approximation, régularisation, convergence uniforme

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2007 PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** Régularisation de fonctions Ce problème présente un procédé d'approximation de fonctions par des fonctions plus régu-- lières. Pour tout entier 16 > 0 on désigne par CËer l'espace des fonctions d'une variable réelle a valeurs complexes, 27r--périodiques et de classe Ok ; on note de même C'Ëer l'espace des fonctions 27r--périodiques et continues par morceaux. Pour toute fonction f de Cpm on définit ses coefficients pOE de Fourier par rn f(n)=à/_îf(oe)e_moedoe , nEZ. Étant donné une suite (an)nez, on dit que la série 2 an est convergente si les séries 2 an nEURZ n>0 et z a_n le sont, et on pose alors n>1 Zan=2an+Za_n. nEURZ n20 n21 Première partie 1. Dire pour quelles valeurs du couple (15, a:) E R2 la série z e_|nltemoe est convergente. nEURZ On suppose maintenant 15 > 0 et on note P(t, a:) ou Pt(aî) le nombre 2 e_|nltemoe. nEURZ 2.Vérifier que P(t,a:) est réel. Calculer / P(t,oe)doe. 3.a) Montrer que la fonction P, définie sur l'ensemble Rï >< R, est indéfiniment différentiable, Ôp+q et écr1re ses dérivées part1elles WP(É, a:) sous forme de sommes de sér1es. a: 3219 3219 3.13) CâlClllEURf % + @ . 4. Déterminer les coefficients de Fourier de la fonction Pt. 5. Dire pour quelles valeurs du couple (15, a:) E R2 on a 1 -- Ze_' cosa: + e_2t : 0. On suppose maintenant 15 > O. 6. Démontrer l'égalité 1 -- e_2t 1 -- 2e_t cos a: + (3--21 P(t, a:) = et préciser le signe de cette expression. 7. Démontrer les assertions suivantes. On suppose a: E [--7r, W] et on fait tendre 15 vers 0 par valeurs supérieures; alors Pt(aî) tend vers 0 si a: # 0, vers +oo si a: = O, et la convergence est uniforme sur tout ensemble de la forme [--7r, --a] U [et, W] où & EUR]0, 7r[. Deuxième partie Dans cette seconde partie on se donne une fonction f de CËëÊ; on suppose toujours 15 > O. 8. Vérifier que la série 2 f (n) e_|n|' emoe est convergente. 716% Sa somme sera notée f(t, a:) ou f,t(oe). 9. Montrer que la fonction f, définie sur l'ensemble Rï >< R, est indéfiniment difiérentiable, et écrire ses dérivées partielles sous forme de sommes de séries. 1 7T 10. Calculer f,t(oe) -- Ë /_ Pt(a: -- y) f(y) dy. (19) 11. On suppose f E CS 16 > 0. Montrer que) lorsque t --> O, ft converge uniformément vers f(p) pour tout }) < k. EURI'7 Troisième partie 12. Étant donné un nombre réel & > 1, montrer qu'il existe un réel ,ua tel que l'on ait (1 + u)" < ,ua(1 + u") pour tout u > 0. Pour tout a > 0 on note Ea l'ensemble des fonctions f de C'Ëäf satisfaisant Z \f(n)\2 (1 +n2)0' < +oo . nEURZ On pourra admettre que cet ensemble est un sous--espace vectoriel de Câä'. 13.21) Montrer que, pour tout entier 16 > 0, on a C'": C E.,. per 13.b) A--t--on 056, = E,, ? 13.c) Montrer que E., C CÊer si [EUR > 0 et a > k + 1/2. [On pourra traiter d'abord le cas où 16 = 0]. Dans la suite du problème, on se donne un nombre réel 7" > O, pour tout (t, a:) E Rï >< R, on pose gat(aî) : a:" e_'oe. +00 14. Exprimer le nombre C : t"+1 / g0t(oe)doe a l'aide de la fonction F et vérifier qu'il est 0 indépendant de t. 15. Montrer que 2 n'° e_m tend vers +oo lorsque t --> O. n>1 16. Étant donné un réel 7' > O, déterminer un réel C' tel que l'on ait 2 n'° e_m < C't_'°_1 pour tout t EUR]O, T] . n>1 On se donne maintenant une fonction f E E.,, pour un certain & E]%,1] ; on désigne encore par 7' un réel > O. 17 .a) Déterminer un réel C" tel que l'on ait 8 -- < C"ta_3/2 pour (15,33) E]O,T] >< R. 17.b) Déterminer un réel C'" tel que l'on ait Hf,t -- fHoo < C"'ta_1/2 pour tout t EUR]0, T], où l'on a posé, pour toute fonction g bornée sur R, ll9lloe = sup \g(æ)\ - oeEURR

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 X Maths 1 MP 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Philippe Bouafia (ENS Ulm) ; il a été relu par Juliette Leloup (ENS Ulm) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). L'épreuve porte sur l'approximation de fonctions par des fonctions plus régulières. Elle se décompose en trois parties. · Dans la première partie, on examine les propriétés des fonctions Pt définies par P -|n|t inx Pt (x) = e e nZ qui sont reliées au noyau de Poisson. On montre en particulier que Pt (x) = 1 - e -2t 1 - 2e -t cos x + e -2t et on étudie la convergence des fonctions Pt lorsque t tend vers 0 par valeurs supérieures. · Dans la deuxième partie, on se donne une application f continue par morceaux 2-périodique. À partir des applications Pt , on définit des applications appelées f ou f,t par Z 1 f (x) = f (t, x) = Pt (x - y)f (y) dy 2 - On montre que ces fonctions sont indéfiniment dérivables, alors que f n'est que continue par morceaux. De plus, les fonctions f,t convergent simplement vers f lorsque t tend vers 0 et si f est de classe C k , alors pour tout p [[ 0 ; k ]] (p) les fonctions f,t convergent uniformément vers f (p) . · La dernière partie étudie plus en détail le mode de convergence de f,t vers f pour une certaine catégorie de fonctions. On introduit l'espace E des fonctions f continues par morceaux 2-périodiques pour lesquelles la série suivante converge : P (1 + n2 ) |fb(n)|2 nZ et on considère les applications f E où ] 1/2 ; 1 ]. Les fonctions qui appartiennent à E sont alors intuitivement « plus lisses » que les fonctions qui sont seulement continues, et « moins lisses » que les fonctions de classe C 1 . On contrôle la convergence uniforme des f,t vers f par la formule kf,t - f k = O(t-1/2 ) Indications Première partie 2 Calculer P(t, x). 5 Remarquer que 1 - 2e -t cos x + e -2t = |1 - e -t e ix |2 . 6 Simplifier le produit 1 - 2e -t cos x + e -2t P(t, x). Deuxième partie 8 Montrer que la suite (fb(n)) est bornée. Z 1 11 Montrer que f,t (x) = Pt (y)f (x-y)dy puis utiliser l'uniforme continuité 2 - de f et le résultat de la question 7. Troisième partie 13 Attention, il y a une erreur d'énoncé dans les trois sous-questions de la quesk pm tion 13. Il faut remplacer Cper par l'ensemble des fonctions f Cper telles qu'il k existe une fonction g 2-périodique de classe C coïncidant avec f sur [ - ; ] sauf sur un nombre fini de points. P d (k) (n) = (in)k fb(n) et que la série 13.a Remarquer que fd |f (k) (n)|2 est convergente. nZ k Cper . 13.b Montrer que pour tout k N, Ek 6= Pour cela, construire par récurrence k une suite de fonctions (fk ) telle que fk Ek pour tout k et fk 6 Cper . P b 13.c Étudier la somme de la série de Fourier f (n)e inx . nZ 16 Calculer les variations de la fonction t . 17.a Utiliser la question 9 pour avoir une expression de f (t, x) comme somme, t puis penser à utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz. 17.b Il y a de nouveau une erreur d'énoncé. Il faut supposer de plus que f est continue, puisque la proposition f E (pour > 1/2) n'implique plus forcément la continuité de f . Première partie 1 On se donne un couple (t, x) R2 . P · Si > 0, la série e -nt e inx converge absolument car la série des modules P t-nt une série géométrique de raison e -t ] 0 ; 1 [. De même, la série Pe -nt est P -inx e e converge absolument. On en déduit que les séries e -nt e inx et P -nt -inx P -|n|t inx e e convergent. Ceci montre que la série e e converge. nZ · Si t 6 0, le module de e -nt e inx P est égal à e -nt et ne tend pas vers 0 quand n tend vers l'infini, donc la série e -nt e inx diverge grossièrement. Par suite, P -nt inx la série e e ne converge pas. nZ Les deux points précédents montrent que La série P e -|n|t e inx converge si, et seulement si, t > 0. nZ Il est important de remarquer que l'on manipule les séries indexées par Z de la même manière que l'on manipule les séries traditionnelles indexées par N. P Par exemple, on dira qu'une série n est absolument convergente si la série nZ P |n | est convergente ; et une série absolument convergente est convergente. nZ Pour des raisons d'élégance, de clarté de la rédaction, il est préférable de ne pas se ramener systématiquement lors de l'étude d'une série indexée par Z au cas de deux séries indexées par N. C'est ce que l'on fait dans la suite. 2 Soient t > 0 et x R. Pour montrer que P(t, x) est réel, il faut prouver qu'il est égal à son conjugué. P -nt -inx P -nt inx P(t, x) = e e + e e n>0 = P n>1 e -nt -inx e n>1 = P e -nt -inx e P +1 + e -nt e inx + n>1 P(t, x) = P P n>1 e -nt inx e n>0 e -|n|t e -inx = P(t, x) nZ P(t, x) est réel pour tout (t, x) R+ × R. Z Fixons t > 0. Pour calculer l'intégrale Pt (x)dx, il faut intervertir les symboles donc - somme et intégrable, ce qui doit se justifier proprement. Considérons les fonctions (gn )nZ définies pour tout n Z par ( R - C gn : x 7- e -|n|t e inx P de sorte que Pt = gn . La norme infinie de gn sur R est e -|n|t , et par suite la série nZ P -|n|t P e est convergente. La convergence de la série de fonctions gn est normale nZ nZ donc uniforme sur le segment [ - ; ] et on peut intervertir les signes somme et intégrale. Alors, Z Z X P -|n|t -|n|t e e inx dx = e 20n Pt (x) dx = - Z ce qui donne donc nZ - nZ Pt (x) dx = 2 - 3.a On considère pour tout n Z la fonction hn : ( R+ × R - C (t, x) 7- e -|n|t e inx Les fonctions hn sont indéfiniment dérivables sur R+ × R et pour tout (p, q) N2 p+q (t, x) R+ × R hn (t, x) = (-1)p iq |n|p nq e -|n|t e inx tp xq P p+q h ne converge pas normalement p q n nZ t x P p+q p+q |n| sur R+ × R car la norme infinie de p q hn est |n|p+q , et la série t x nZ diverge grossièrement. Il va falloir se placer sur des ouverts plus petits que R+ × R. Attention, la série de fonctions Prenons a > 0. La fonction hn est bornée sur ] a ; + [ × R. Si : E C est une fonction définie sur un ensemble quelconque et F est un sous-ensemble de E, on note kk,F = Sup |(x)| . xF On peut même calculer la norme infinie de hn sur cet ouvert khn k,] a ;+ [×R = |n|p+q e -|n|a En outre, la série P p+q h converge normalement sur ] a ; + [ × R car p q n nZ t x P p+q -|n|a |n| e < + nZ Ceci étant valable pour tout (p, q) N2 , on a donc montré que P P est de classe C sur ] a ; + [ × R par le théorème de dérivation sous le signe . Comme la réunion des ouverts ] a ; + [ × R lorsque a parcourt R+ est R+ × R, f est de classe C sur son domaine de définition et (t, x) R+ × R P p+q P(t, x) = (-1)p iq |n|p nq e -|n|t e inx tp xq nZ Toutes les hypothèses du théorème de dérivation d'une limite de fonctions doivent être vérifiées et mises en valeur dans la copie rendue, les correcteurs étant très exigeants sur l'utilisation correcte et rigoureuse de ce théorème.