X Maths 1 MP 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Juliette Leloup (ENS Ulm) ; il a été relu par
Frédéric
Mazoit (Enseignant-chercheur) et David Lecomte (Professeur en CPGE).
L'épreuve se compose de trois parties indépendantes visant à résoudre l'équation
fonctionnelle proposée par l'énoncé :
f (x) = f (x)
(C )
· Dans la première partie, il s'agit de résoudre cette équation avec données
initiales (C, ) dans le cas où | | 6 1, sur R tout entier. On étudie d'abord
les cas
particuliers = 1 et = -1, puis on cherche une solution à (C, ) sous forme
de série entière. On montre ensuite qu'elle est unique et on en étudie quelques
propriétés.
· La deuxième partie propose de résoudre (C, ) dans le cas où > 1, sur ] - ; 0
]
ou sur [ 0 ; + [, en cherchant des solutions sous forme de séries de fonctions.
· La troisième partie s'intéresse à certaines propriétés de l'espace vectoriel G
des solutions de (C ) définies sur ] 0 ; + [. On y démontre notamment qu'il
suffit de se donner une fonction de classe C sur [ 1 ; ], dont les dérivées
aux
points 1 et vérifient certaines conditions, pour obtenir une solution de (C )
définie sur ] 0 ; + [. On montre également qu'un élément f de G qui s'annule
aux points ( -p )p>0 est en fait nul sur ] 0 ; + [.
Les trois parties peuvent se traiter de façon totalement indépendante. La
première
partie est la plus classique et mérite d'être travaillée en détail pour les
méthodes de
base qu'elle utilise. Le rapport du jury souligne d'ailleurs que les meilleurs
candidats
à cette épreuve sont ceux qui ont su résoudre rapidement et de manière concise
les
premières questions. La troisième partie est assez calculatoire et ne nécessite
pas un
lourd bagage mathématique avant la dernière question ; l'élève qui ne
souhaiterait pas
travailler les séries peut l'aborder directement, sans avoir traité les deux
premières
parties.
Sans être extrêmement difficile (le rapport du jury va même jusqu'à qualifier
l'épreuve de facile), ce problème est donc intéressant car il requiert avant
tout une
vraie rigueur de rédaction.
Indications
Première partie
1 Il s'agit de résoudre une équation différentielle du premier ordre.
2 Transformer l'équation fonctionnelle en équation différentielle.
3.a Utiliser la règle de d'Alembert pour les séries entières afin de déterminer
le rayon
de convergence.
4.a Monter que TA est lipschitzienne.
4.c Raisonner par récurrence et remarquer que TA n+1 (g) = TA (TA n (g)).
4.d Utiliser l'inégalité prouvée à la question 4.c.
5.a Utiliser les théorèmes de limite pour une série de fonctions qui converge
normalement.
5.c Pour le signe de f sur [ -1 ; 0 ], penser à une série alternée.
Deuxième partie
6 Raisonner par analyse-synthèse pour trouver les conditions à imposer sur la
suite de nombres (cn )nZ .
Troisième partie
9 Raisonner par récurrence en utilisant plusieurs fois la relation vérifiée par
f
comme solution sur ] 0 ; + [ du système (C ).
10 Remarquer que est linéaire ; il est alors plus simple de montrer que le
noyau
de est réduit à {0}.
11 Commencer par appliquer l'égalité démontrée à la question 9 à tous les
entiers
n > 1 et à k = 1. Pour la réciproque, construire la fonction f , antécédent de
g,
pas à pas sur les I(p) en séparant le cas p > 0 du cas p < 0. 12.a Utiliser la relation démontrée à la question 9. 12.b Suivre l'indication de l'énoncé en utilisant les égalités démontrées au cours de la question 12.a. 12.c Utiliser l'égalité établie à la question 12.b afin de calculer f ( -p+1 ). Utiliser ensuite l'hypothèse de la question 12 pour aboutir au résultat. 12.d Appliquer le théorème de Weierstrass : toute fonction continue est limite uniforme d'une suite de polynômes sur un segment de R. Première Partie 1 Le système (C1, ) est le suivant : f (x) = f (x) . f (0) = Il s'agit d'une équation différentielle du premier ordre très classique, dont on attend que vous donniez directement le résultat. La solution de (C1, ) est la fonction x R 7 e x . 2 Le système (C-1, ) est le suivant : f (x) = f (-x) . f (0) = Il s'agit ici d'une équation fonctionnelle que l'on va transformer en une équation différentielle connue par analyse-synthèse. Si f est une fonction réelle dérivable, solution de (C-1, ), la fonction x 7 f (-x) est aussi dérivable sur R et, par suite, f également. En dérivant l'expression vérifiée par f , on obtient : f (x) = -f (-x) = -f (-(-x)) = -f (x) x R La fonction f est donc solution de l'équation différentielle du second ordre : y + y = 0 Alors, (A, B) R2 d'où x R f (x) = A cos x + B sin x f (x) = -A sin x + B cos x Comme f (x) = f (-x), on en déduit : x R (B - A)(sin x + cos x) = 0 Par conséquent, A = B. On peut aussi dire que la famille (cos, sin) est libre dans l'espace vectoriel des fonctions réelles et identifier directement les constantes. De plus f (0) = , donc A = . On vient de montrer que si f est solution de (C-1, ), alors pour tout réel x, f (x) = (cos x + sin x) Réciproquement, une telle fonction est solution de (C-1, ). La solution de (C-1, ) est la fonction x R 7 (cos x + sin x). P 3.a La série entière n(n-1)/2 xn /n! converge absolument sur l'intervalle ] -R ; R [, où R est son rayon de convergence. Puisque n'est pas nul, la suite ( n(n-1)/2 /n!)nN ne prend jamais la valeur 0. Déterminons alors R en appliquant la règle de d'Alembert : étudions la valeur absolue du rapport de deux termes consécutifs de cette suite. n(n+1) n! ||n 2 = n(n-1) (n + 1)! 2 n+1 n N Comme < 1, la limite de ce rapport existe et est nulle. On en déduit que R = +. Par conséquent, P n(n-1) xn Si || 6 1, la série 2 est absolument convergente pour tout réel x. n! Notons g sa somme. La somme d'une série entière est dérivable sur son intervalle ouvert de convergence et sa dérivée s'obtient en dérivant la somme terme à terme. Par suite, g est dérivable sur R et pour tout réel x, + g (x) = P n(n-1) 2 n=1 + = P k(k+1) 2 P n(n-1) 2 k=0 + donc g (x) = n=0 xn-1 (n - 1)! xk k! (k = n - 1) (x)n = g(x) n! De plus, g(0) = . On en déduit que : La fonction g est solution du système (C, ). 3.b Supposons maintenant || > 1. Étudions comme précédemment la convergence
de la série entière en utilisant la règle de d'Alembert. La valeur absolue du
rapport
de deux termes consécutifs de la suite étudiée est encore, pour n N, ||n /(n +
1).
Par croissance comparée, comme || > 1, cette suite diverge vers + et on en
déduit que R = 0. Le rayon de convergence de la série entière est maintenant
nul.
Par conséquent,
P n(n-1) xn
Si > 1, la série 2
n'est pas solution du système (C, ).
n!
4.a Avant de commencer à répondre à la question, on peut remarquer que TA est
bien définie de EA dans EA . En effet, comme || 6 1, si |x| 6 A, |x| 6 A. Donc
si
g EA , la fonction x [ -A ; A ] 7 g(x) appartient à EA et TA g est continue
sur
[ -A ; A ] comme intégrale d'une fonction continue sur [ -A ; A ].
Cette vérification n'est pas obligatoire mais elle fait toujours bon effet dans
une copie.
Soient (g, h) EA et x [ -A ; A ].
(TA g - TA h)(x) =
Z
x
(g(t) - h(t)) dt
0
