ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP
CONCOURS D'ADMISSION 2006
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
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Étude des solutions d'une équation fonctionnelle
Ce problème a pour but l'étude des solutions de l'équation
f'(æ) = f WL") (Cv)
Où l'inconnue ]" est une fonction réelle dérivable d'une variable réelle et Où
fy est un nombre réel
fixé non nul. On considérera aussi le système
fI(OE) : f(7oe) 7 f(0) : Oz (C7,a)
où 05 est un nombre réel fixé.
Première partie
Dans cette première partie, la variable a: varie dans R et on suppose ... < 1. 1. Résoudre le système (CWX) dans le cas Où v = 1. 2. Même question dans le cas Où fy : --1. n(n--l)/2 OE_n ' est absolument convergente pour tout n. +oo 3.a) Vérifier que la série entière OZ cy n=0 réel au et que sa somme est solution du système (07,04)- 3.b) En serait-il de même si l'on supposait |7l > 1 ?
4. Étant donné un nombre réel A > 07 on désigne par E A l'espace vectoriel des
fonctions réelles
continues sur l'intervalle [--A,A] et on le munit de la norme || || définie par
HgH : sup |g(oe)|.
' læ|<æ> = a + ]: g(vt)dt .
4.3) Vérifier que l'application TA est continue.
4.b)Vérifier qu'une fonction dérivable f sur R est solution de (07,05) si et
seulement si, pour
tout A > 0, la restriction de f a [--A, A] est un point fixe de T A--
4.c) Vérifier que, pour tout entier n > 0, tout réel A > 0, tout a: E [--A, A]
et tous g, h EUR EA,
n n n-- oe n
|OElg)(w) -- (TA h><æ)| < ... < 1WU--Hg -- hu . 4.d) Déterminer un entier n(A) > 0 tel que l'on ait, pour tous g, h EUR EA,
n:4 A
HTA( & -- TX' 'hH < ng -- hll avec une constante k < 1. 4.e) Démontrer l'unicité de la solution du système (Uma). 5. On pose, pour tout 32 réel, n! +00 1 233n n<æ> = z »yn/ ---- .
n=0
5.a) Déterminer la limite de f7(cc) lorsque 7 tend vers 0.
5.b) Montrer que la fonction (msn) +--> F (7,33) = f7(oe), définie maintenant
sur l'ensemble
[--1, 1] >< R, est de classe C°°. 5.0) On suppose ici 7 > 0 et on s'intéresse à la fonction f7 restreinte à
l'intervalle [--1,+oo[.
Déterminer son signe, son sens de variation et sa limite lorsque :E --+ +oo.
Deuxième partie
Notations. Etant donné une suite de nombres réels u où n arcourt l'ensemble Z
on dira ue
TL) 7
la série E un est absolument convergente si les deux séries Ë un et E u_n le
sont; dans ce
nEZ n20 n>0
cas on posera
Zw=Zw+Zwm
nEZ n20 n>0
Dans cette partie, on suppose 'y > 1 et on s'intéresse au système (Uma) où a:
parcourt l'intervalle
] ---- oo, O].
6. Étant donné un nombre réel co, trouver des nombres réels e... n EUR Z,
possédant les pro--
priétés suivantes :
(i) }: lcnlv" < +00 , Z lc...lv" < +oo, n>0 _ n>O
(ii) la série 2 en e'7nOE est absolument convergente pour tout a: E]---- oo,
O], et sa somme g0(oe)
nez
est solution de (C7).
N .B. On ne demande pas de prouver l'unicité des en.
7. Déduire de la question 6 une solution de (C...) sur l'intervalle ]-- 00, O].
8. Que se passe--t--il si l'on suppose ac E [O, +oo[ au lieu de :c EUR]-- oo,
O], et si l'on remplace la
série z cn 87% par la série 2 (:n e"'7noe, mais en conservant les conditions
(i) ?
nEZ nEURZ
Troisième partie
Dans cette partie, on suppose fy > 1 et on note G7 l'espace vectoriel des
solutions de (C.,)
définies sur l'intervalle ]O, +oo[. Pour tout p EUR Z, on pose [@ = [vp , 7p+1].
9. Vérifier que, si f E G,, on a
f(n) (:D) : 7kn--k(k+l)/2Jc(n--k) (7%)
pour tous entiers k et n tels que 0 { k < 77. et tout a: EUR]O, +oo[. Pour toute fonction f définie sur ]0, +oo[, on note f(p) la restriction de f a I (p). 10. Vérifier que l'application 'Il : G, --> 600 (I (O)) définie par \11( f ) :
f(0) est injective.
11. Étant donné un élément g de C°°(I(O)), donner une condition nécessaire et
suffisante,
portant sur les dérivées de g aux points 1 et fy, pour que g appartienne au
sous--espace image
de \I!.
12. On se donne un élément f de G7 et on fait l'hypothèse que f (qi--P) est nul
pour tout
entier p > 0. On se propose de démontrer que f est nulle.
12.a) Vérifier que, pour tout p > 0, on a
fÊÎ',,)(OE) = 7p(p_1'/2f(0)(vpoe) » 96 EUR Ï(--p)
et
f((ï)(fy_p) = 0 , pour tout [EUR < p . 12.b) Déterminer pour tout p > 0 un nombre réel qp tel que l'on ait, pour tout
oe EUR I (_p) :
33
f(--p)(OE) = %] (îE -- t)p_1f(0)(Wpt) dt--
f7_P
[On pourra utiliser la formule de Taylor.]
' 1
12.c) Montrer que l'on a / (7 -- t)p_ f(0) (t) dt : 0 pour tout 19 > O.
1 ,
12.d) Oonclure.
