X Maths 1 MP 2005

Thème de l'épreuve Endomorphismes de certains espaces fonctionnels et de leurs duaux
Principaux outils utilisés théorèmes de régularité pour les intégrales à paramètres, théorème de Fubini, formule de Leibnitz

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2005 PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** Endomorphismes d'espaces fonctionnels Ce problème a pour but l'étude de certains endomorphismes des espaces de fonctions diffé-- rentiables et des espaces duaux. Pour tout entier n > 0 on désigne par En l'espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes, de classe C'", définies sur l'intervalle [--1, 1] ; pour toute f de E0 on pose llf|l = sup{lf(fB)l » fl? EUR l--1»1l}- Enfin, on munit En de la norme 7rn définie par ...f) = max{||fn , k = 0,1,... ,n} . (On ne demande pas de vérifier que 7rn est effectivement une norme). Première partie 1. Calculer 7rn(Xp) où 19 E N et Où X désigne la fonction a: +----> $. Pour tout f de E... n > 0 et tout 9 de E... n > 1, on pose 1 (Anf)(oe) = a:f(oe) , (Bng)(oe) =/0 g'(oet)dt pour tout :L' E [--1, 1] . 2.a) Vérifier que An f appartient à E... et que Bng appartient à En_1. b) Montrer que An est une application linéaire continue de En dans lui--même, de norme égale à n + 1, et que Bn est une application linéaire continue de En dans En_1, de norme égale à 1. 3. Calculer les produits BnAn et An_1Bn, applications de En dans En_1. 4. On se propose maintenant de démontrer que le sous--espace image de An est le sous-- 1 ensemble Fn de En formé des fonctions g telles que g(0) : 0 et que, en outre, -- (g...) (a:) -- g... (O)) :13 admette une limite finie lorsque a: tend vers 0. &) Traiter le cas où n = 0. b) Supposant maintenant n > O, vérifier que Im An est inclus dans F... c) Prenant 9 dans Fn et posant f = Bng, montrer que f est de classe C" sur [--1,1] privé 1 de 0, puis étudier le comportement de -- ( f ("_1)(oe) -- f (n--1)(O)) lorsque :c tend vers 0. a: d) Conclure. Deuxième partie On désigne par E l'espace vectoriel des fonctions a valeurs complexes, de classe 000, définies sur [--1,1]. Pour toute f E B on pose _+OO 1 7Tn(f) 6 O, fi(n) converge uniformément vers f(n). c) La fonction 5 définie ci--dessus est-elle la seule pour laquelle les assertions 5.a) et 5.b) sont vraies ? On désigne respectivement par A et B les endomorphismes de E définis par 1 (Af)(æ)=æf(æ) , (Bg)(oe)= /Û g'(æt)dt pour tout :cEUR[--1,1]. 6.a) Déterminer les produits AB et B A. b) Déterminer les noyaux et les images de A et B. 7.a) Déterminer des fonctions  = [: @.g<æt>dt. [On pourra procéder par récurrence sur n.] h) Calculer (B"g)(0). c) On fixe g dans E. Déterminer des polynômes P... n = O, 1, . . . tels que l'on ait Va: EUR [0,1] Vn ; 1 , (A" B"g)(oe) : g(:c) -- Pn_1(æ) . [On pourra procéder par récurrence sur n et écrire An+1 B"+1 : A" A B B".] (1) Déduire de ce qui précède une démonstration de la formule de Taylor avec reste intégral. 8. Déterminer l'image de A" et le noyau de B". Troisième partie On désigne par E' l'espace vectoriel "des formes linéaires @ sur E possédant la propriété suivante : si des éléments f et fi(i E N) de E sont tels que 5 ( f,; -- f) tend vers 0 lorsque t' tend vers --l--oo, alors 90(f,--) tend vers go(f). 9. Vérifier que, si 90 appartient a E' , il en est de même des formes linéaires go 0 A et 90 o B. On note A' et B' respectivement les endomorphismes de E' ainsi définis. Pour tout i E N et tout oz EUR [--1,1], on note go.... la forme linéaire sur E : f r--+ f(i)(oz). 10. Pour 77. entier positif, déterminer Im (A')" et Ker (B')"; montrer que les g00;,-, z'= O,. .. ,n -- 1, forment une base de Ker (A')". 11. Déterminer les éléments $ de E' solutions de l'équation (A')"ù : g00;0. Étant donné un nombre complexe oz, on désigne par T & l'endomorphisme de E défini par (Taf)(æ) : (oe ---- &) f(æ) pour tout oe EUR [--1,1] . On pourra admettre les résultats suivants : (i) si 

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 X Maths 1 MP 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Fabrice Mathurin (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE). Ce sujet propose l'étude d'applications linéaires sur l'espace des fonctions de classe C n ou C à valeurs complexes (donc de dimension infinie). Il s'articule en trois parties. · Dans la première partie, on étudie deux applications linéaires An et Bn très simples sur l'espace En des fonctions de classe C n et on identifie précisément l'image de An . Seule la dernière question est difficile. · Dans la deuxième partie, on étudie les endomorphismes A et B que An et Bn induisent sur l'espace E des fonctions de classe C ; on cherche notamment à exprimer de manière simple les puissances et les produits de ces endomorphismes. Les résultats sont ensuite utilisés pour la recherche du noyau et de l'image de ces applications. · Enfin, dans la dernière partie, on étudie les endomorphismes induits par A et B sur un sous-espace de l'ensemble E des formes linéaires sur E. Ce sujet peut paraître simple mais comporte en fait plusieurs difficultés. Dans les deux premières parties, moins difficiles, il faut faire bien attention à rédiger correctement les questions. Au cours de la troisième partie, il faut avoir une bonne habitude de l'espace des formes linéaires. De plus, les notations de l'énoncé, sans être particulièrement mal choisies, font qu'il est facile de perdre de vue le type d'objet manipulé. Pourtant, les réponses sont souvent plus simples que l'on pense et, parfois, nécessitent uniquement de se rappeler le résultat d'une question précédente. À ce propos, le sujet est loin d'être composé de parties indépendantes. On utilise très souvent des résultats prouvés un peu auparavant, sauf pour quelques questions (comme la 12). Par exemple, si l'on arrive à résoudre la question 7.a, assez difficile, le reste de la partie en découle immédiatement. Mais l'énoncé de la question n'est pas assez précis pour que l'on se permette d'admettre le résultat pour continuer. On peut ainsi difficilement s'autoriser à sauter des étapes. Le sujet est original et permet de manipuler des objets qui ne sont pas courants dans les sujets de concours : l'espace des formes linéaires et les applications linéaires en dimension infinie. Indications Première partie 2.a Utiliser le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres. 2.b Calculer (An f )(k) et (Bn f )(k) pour une fonction f donnée et tout entier k, puis majorer grossièrement. 3 Pour le produit Bn An , calculer la dérivée de An f pour une fonction f donnée puis intégrer par parties. Pour le produit An Bn , supposer dans un premier temps x non nul et calculer explicitement l'intégrale Bn f . 4.a Pour montrer que Fn est incluse dans l'image de An , considérer g dans Fn . Appeler la limite de g(x)/x en 0 et définir f continue telle que An f = g. 4.b Calculer (An f )(n) pour f donnée. 4.c Utiliser la représentation intégrale de Bn f et un changement de variable pour obtenir une expression de (f (n-1) (x) - f (n-1) (0))/x sous forme d'une intégrale de (g (n) (u) - g (n) (0))/u. Utiliser alors le fait que cette dernière quantité a une limite finie en 0. Deuxième partie 5.a Introduire h : x 7 x/(1 + x). Montrer que h est croissante et sous-additive c'est-à-dire que x, y h(x + y) 6 h(x) + h(y) 5.b Montrer que si (f - fi ) tend vers 0 alors pour tout entier n, n (f ) tend vers 0. Pour la réciproque, utiliser le faitPque la fonction h de l'indication précédente est majorée par 1 et que la série 2-n est convergente. 6.a Montrer que A est injective avec pour image les fonctions nulles en 0. Montrer que B est surjective avec pour noyau les fonctions constantes. 7.a Utiliser le théorème de Fubini. La fonction n solution est l'application t 7 (1 - t)n-1 /(n - 1) !. 8 Montrer que l'image de An est l'ensemble des fonctions dont les n - 1 premières dérivées en 0 sont nulles. Montrer que le noyau de Bn est l'ensemble des fonctions polynomiales de degré au plus n - 1. Troisième partie 9 Montrer que si (f - fi ) tend vers 0, alors de même (Af - Afi ) et (Bf - Bfi ) tendent vers 0. 10 Utiliser le résultat de la question 6.a pour montrer que A est surjective et B injective. Utiliser ensuite le résultat de la question 7.c. 11 Utiliser le résultat de la question 7.c. 12 Montrer que, pour tout élément xi de Ker Ui , on a U1 · · · Ur (xi ) = 0. Pour l'inclusion réciproque, remarquer que si x est un élément de Ker U1 · · · Ur , alors U2 · · · Ur (x) est un élément de Ker U1 et utiliser les hypothèses. 13.a Utiliser le fait que C est algébriquement clos. r 13.b Poser Q = (x - i )m k=1 i et utiliser le résultat de la question 12 appliqué à la famille d'endomorphismes T(x-i )mi . Première partie 1 Soient p et n deux entiers naturels. Notons fp la fonction x 7 xp . Si k est inférieur ou égal à p, alors fp (k) (x) = p(p - 1) · · · (p - k + 1) xp-k = p! xp-k (p - k) ! Par définition de la norme, on trouve alors fp (k) = p! (p - k) ! étant donné que pour tout élément x de l'intervalle [ -1 ; 1 ], on a xp-k avec égalité lorsque x est égal à 1. Si k est strictement supérieur à p, alors fp (k) (x) = 0 et donc fp (k) 6 1 =0 Par conséquent, on distingue deux cas pour la valeur de n (fp ) : Si n 6 p, alors n (fp ) = p! et sinon n (fp ) = p !. (p - n) ! 2.a Soit f une fonction de classe C n . Il est clair que (An f ) est de classe C n comme produit de deux fonctions de classe C n . Par ailleurs, si g est de classe C n avec n supérieur à 1, la fonction g est de classe C n-1 et la fonction de deux variables h : (x, t) 7 g (xt) est également de classe C n-1 sur le domaine [ -1 ; 1 ] × [ 0 ; 1 ]. Sur ce compact, h est bornée car continue ainsi que toutes ses n - 1 premières dérivées partielles par rapport à x. Pour tout entier k compris entre 0 et n - 1, il existe un réel Mk tel que (x, t) [ -1 ; 1 ] × [ 0 ; 1 ] k+1 kh g k = t (x, t) (x, t) 6 Mk xk xk En particulier, puisqu'une fonction constante est intégrable, en vertu du théorème de dérivation sous le signe somme, on en déduit que Bn g est de classe C 1 et que sa dérivée vaut Z 1 (Bn g) (x) = tg (xt) dt 0 De la même manière, on peut alors appliquer à nouveau le théorème pour montrer que cette fonction est elle aussi de classe C 1 et donc que Bn g est de classe C 2 , et ainsi de suite jusqu'à montrer qu'elle est en fait de classe C n-1 . Ainsi, pour toutes fonctions g de En avec n > 1 et f de En , (An f ) appartient à En et (Bn g) appartient à En-1 . 2.b Soient n un entier naturel et f un élément de En . Il est clair que An est linéaire et le résultat de la question précédente assure que c'est un endomorphisme de En . Par une récurrence immédiate (ou en appliquant la formule de Leibniz), pour tout entier k, (An f )(k) (x) = xf (k) (x) + kf (k-1) (x) D'autre part, la définition de n entraîne que pour tout entier k compris entre 0 et n, f (k) (x) 6 n (f ) x [ -1 ; 1 ] On a alors pour tout réel x compris entre -1 et 1, (An f )(k) (x) 6 (k + 1)n (f ) et donc (An (f ))(k) 6 (k + 1)n (f ) puis en passant au maximum sur k, n (An f ) 6 (n + 1)n (f ) Si f est un élément de la boule unité de (E, n ), alors n (f ) est inférieur à 1 ce qui entraîne que n (An f ) est inférieur à n + 1. Par définition, on en déduit que |||An ||| = sup ||n (An f )|| 6 n + 1 < n (f )61 ce qui assure que An est continu. On prouve que la norme est exactement n + 1 en remarquant que l'inégalité précédente est une égalité dans le cas de la fonction fn de la question 1. Finalement, An est un endomorphisme continu de En de norme n + 1. Considérons maintenant n un entier supérieur ou égal à 1 et g un élément de En . L'application Bn est également linéaire et le résultat de la question 2.a précise que son image est incluse dans En-1 . Pour tout entier k compris entre 0 et n - 1, le théorème de dérivation sous le signe somme assure de plus que Z 1 (Bn g)(k) (x) = tk g (k+1) (xt) dt 0 et une majoration grossière donne pour tout réel x élément de [ -1 ; 1 ] Z 1 Z 1 n (g) (Bn g)(k) (x) 6 tk g (k+1) (xt) dt 6 tk n (g) dt = 6 n (g) k+1 0 0 En passant à la borne supérieure sur x puis au maximum sur k, on obtient alors n (Bn g) 6 n (g) ce qui prouve comme précédemment la continuité de Bn . Maintenant, si l'on choisit pour g l'application x 7 x, on constate que Bn g est l'application constante égale à 1. Par suite, le résultat de la question 1 montre que l'inégalité précédente est une égalité pour cette fonction g particulière. Ainsi, Bn est une application linéaire continue de En dans En-1 de norme 1. 3 Soit f un élément de En . Alors An f (x) = xf (x) et donc (An f ) (x) = xf (x) + f (x) et par conséquent, (Bn An f )(x) = Z 1 xtf (xt) dt + 0 Z 1 f (xt) dt 0 On effectue alors une intégration par parties dans la première intégrale en dérivant la fonction t 7 t et en intégrant t 7 xf (xt) dont une primitive est t 7 f (xt). Il vient alors Z 1 Z 1 (Bn An f )(x) = [tf (xt)]10 - f (xt) dt + f (xt) dt = f (x) 0 0