X Maths 1 MP 2004

Thème de l'épreuve Équations différentielles
Principaux outils utilisés équations différentielles linéaires, intégration par parties, relation de Chasles, complétude, convergence uniforme, théorème du point fixe, lemme de Gronwal

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2004 PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** Solutions périodiques d'équations différentielles On se propose, dans ce probléme, d'étudier les solutions de certaines équations différentielles, et, en particulier, leurs solutions périodiques. On désigne par T un nombre réel > 0, par P l'espace vectoriel des fonctions définies sur R, réelles, continues et T--périodiques, et enfin par a un élément de P. On pose T t A=/O a(t)dt, g(t) =exp(/0 a(U)dU)ä on munit P de la norme définie par llflïll = sup lOE(t)l - tER Première part ie 1. Dire pour quelle(s) valeur(s) de A l'équation différentielle OE'(t) = a(t)OE(t) (El) admet des solutions T --périodiques non identiquement nulles. On désigne maintenant par b un élément de P, et on s'intéresse à l'équation différentielle oe'(t) = a(t)oe(t) + b(t) . (EZ) 2.a) Décrire l'ensemble des solutions maximales de (E2) et préciser leurs intervalles de défi-- nition. 2.b) Décrire l'ensemble des solutions maximales de (E2) qui sont T--périodiques, en supposant d'abord A non nul, puis A nul. 3. On suppose que T : 27r et que la fonction a est une constante R. 3.3) Supposant le non nul, exprimer les coefficients de Fourier :î:(n), n EUR Z, d'une solution a: de (E2) appartenant à P, en fonction de k et des coefficients de Fourier de b. Préciser le mode de convergence de la série de Fourier de w. 3.b) Que se passe--t--il lorsque k = O ? Deuxième part ie Dans cette partie on désigne par H une fonction réelle, de classe C1, définie sur R2, et on s'intéresse à l'équation différentielle oe'(t) = a(t)oe(t) + H (oe(t), t) . (E3) 4. Vérifier qu' une fonction a; est solution de( (E3) si et seulement si elle satisfait la condition oe(t)= )+ O/Og(s) an(s), s)ds) . 5. On suppose que H est T--périodique par rapport a la seconde variable, et que A est non nul. Montrer que, pour toute fonction (L' E P, la formule t+T <>= 1 _ ÎAg /g H<æds définit effectivement une fonction U Ha: de P, et que a: est solution de (E3) si et seulement si l'on a U Ha: : a:. Dans la suite du problème, on désigne par F une fonction réelle, de classe C 1, définie sur R2, T --périodique par rapport à la seconde variable; pour tout 8 > 0 on pose HEUR : SF et UEUR : U HE de sorte que l'équation différentielle s'écrit oe'(t) : a(t)oe(t) + 5F(oe(t), t) . (E4) On suppose A # 0. Pour tout 7' > 0 on note BT la boule fermée de centre O, de rayon 7" dans l'espace normé P. On se propose de démontrer l'assertion suivante : pour tout 7° > 0 il existe 51 > 0 tel que, pour tout 5 < 81, l'équation différentielle (E4) admette une unique solution cc appartenant à B,... ; on la notera oe5. On note ar (reSp. 57.) la borne supérieure de l'ensemble des nombres |F(v, s)] (resp. |%--Î(v, 3)|) où ?) EUR [--r,r] et 3 EUR [O,T]. 6.a) Déterminer un réel 80 > 0 tel que, pour tout 5 < 80, on ait UEUR(Br) C B,... 6.b) Déterminer un réel 51 < 80 tel que, pour tout 8 < 51, la restriction de UEUR à B,... soit une contraction de BT. 6.0) Oonclure. 7. Étudier le comportement de la fonction 5135 lorsque &: tend vers 0, le nombre 7" étant fixé. 8. On suppose maintenant que la fonction a est une constante k # 0 et que la fonction F est de la forme F (1), s) = f (0) Déterminer la solution 3135 de (E4). [On pourra mettre en oeuvre la méthode des itérations successives en partant d'une fonction constante oe0(t) : CO]. 9. On prend maintenant T = 1, k = --1 et f (o) : v2; l'équation différentielle (E4) s'écrit donc oe'(t) : --æ(t) + EURoe(t)2 . (E5) 9.3) Indiquer des valeurs possibles pour 50 et 61. 9.b) Déterminer la solution 5125 de (E5). 9.c) Soit & un nombre réel. Démontrer qu'il existe une unique solution maximale (pa de (E5) telle que g0a (O) = 04. Déterminer précisément cette solution. Représenter quelques--unes de ces solutions sur un même graphique. Troisième part ie Dans cette partie, on s'intéresse à l'équation différentielle oe'(t) = k--"E(t) + 5f(æ(t)) (1536) en supposant [EUR < 0, f de classe C1 et nulle en 0; on pose /\= sup lf'(U)l uEUR[--1,1] et on suppose 8/\ < --k. On se propose de démontrer le résultat suivant : si a: est une solution maximale de (E6) telle que |oe(0)| < 1, alors elle est définie sur [D, +00[ et on a, pour tout t > 0 RW)! < IOE(0)|EUR('"+ÊÀ" - On pourra admettre ce qui suit : soit 90 une fonction positive continue sur un intervalle [O, 9] satisfaisant une inégalité de la forme sO(t) < 77 + EUR];  0; alors @@ < 776" -- 10. Dans cette question, on suppose que l'ensemble des t pour lesquels |oe(t)| > 1 est non vide et on note 9 sa borne inférieure. Montrer que, pour tout t E [O, 6], on a le(t)l < lOE(0)le> et la << stabilité asymptotique >> de la solution nulle de l'équation différentielle (EG).

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 X Maths 1 MP 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (ENS Ulm) ; il a été relu par Vincent Perrier (ENS Lyon) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan). Ce problème propose en trois parties d'étudier certaines propriétés des solutions des équations différentielles du type x (t) = a(t)x(t) + H(x(t), t) (1) où a et H sont continues. · Dans la première partie, on étudie le cas où la fonction H ne dépend pas de x, ce qui conduit à étudier les solutions de l'équation différentielle linéaire x (t) = a(t)x(t) + b(t) On s'intéresse en particulier à l'existence de solutions périodiques de cette équation différentielle. Cette partie donne essentiellement lieu à quelques questions de cours et permet de s'échauffer sur des calculs sans difficulté majeure. · La deuxième partie traite des équations différentielles du type de l'équation (1), que l'on étudie par une méthode classique de point fixe afin de déterminer des conditions d'existence de solutions périodiques. · La troisième et dernière partie fait étudier la stabilité et la stabilité asymptotique de la solution nulle des équations différentielles du type x (t) = a(t)x(t) + f (x(t)) où f est une fonction qui s'annule en zéro. Dans la lignée des épreuves de l'École polytechnique, cette épreuve d'analyse propose quelques questions calculatoires et, sans requérir abusivement l'utilisation de théorèmes complexes, demande beaucoup de réflexion et une bonne finesse de raisonnement, ainsi que calme et sang-froid pour trouver les bonnes majorations et les bons arguments dans les dernières questions. Il s'agit d'une épreuve assez difficile, où la plupart des questions peuvent se résoudre de diverses manières. Cependant, la connaissance de méthodes classiques d'analyse, d'intégration et de résolution d'équations différentielles permet de s'en sortir. Indications Première partie 1 Que vérifie l'intégrale sur une période d'une fonction périodique ? 2.a Penser à la méthode de variation de la constante. 2.b Que donne le changement de variable v = u - T quand on intègre bg -1 ? 3.a Multiplier l'équation différentielle par un facteur e-int , puis intégrer par parties. Deuxième partie 4 Utiliser la question 2.a. 5 Pour montrer que UH x est dans P, utiliser les questions 1 et 2.b. Pour l'équivalence, dériver UH x pour l'une des implications ; montrer que x-UH x est solution de (E1) et utiliser la question 1 pour la réciproque. 6.b Utiliser le théorème des accroissements finis. 6.c Penser au théorème du point fixe. 7 Utiliser la question 5. 8 Se ramener à un problème de point fixe. 9.a Utiliser les formules trouvées aux questions 6.a et 6.b. 9.b Utiliser la question 8. 9.c Penser au changement de fonction inconnue y = 1 . x Troisième partie 10 Utiliser la question 4 pour pouvoir appliquer le résultat admis. 11 Utiliser la question 10 pour montrer que x et x sont bornées sur leur domaine de définition. Montrer ensuite que la fonction x admet une limite finie en tout point et en conclure qu'elle est définie sur [ 0 ; + [. Terminer en utilisant à nouveau la question 10 pour obtenir la majoration souhaitée. Première partie 1 Puisque la fonction a est continue sur R, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle x (t) = a(t)x(t) (E1) est le sous-espace vectoriel engendré par la fonction R - R Z t g: x 7- exp a(u) du 0 c'est-à-dire, l'ensemble {g | R}. Ainsi, pour que l'équation différentielle (E1) admette des solutions T-périodiques non identiquement nulles, il faut et il suffit que la fonction g soit T-périodique. Z t Or g est T-périodique si et seulement si la fonction t 7- a(u) du l'est. Soit t R. 0 On a Z t+T a(u) du = 0 Z t a(u) du + Z t+T a(u) du t 0 La fonction a étant périodique, son intégrale sur une période ne dépend pas de l'intervalle d'intégration, c'est-à-dire que Z t+T Z T a(u) du = a(u) du = A t Z soit 0 t+T a(u) du = 0 t a(u) du + A 0 On en déduit que les fonctions t 7- si A = 0. Conclusion : Z Z t a(u)du et g sont T-périodiques si et seulement 0 L'équation différentielle (E1) admet des solutions périodiques non identiquement nulles si et seulement si A = 0. Comme c'est souvent le cas dans les épreuves de l'École polytechnique, cette première question est relativement facile. Il convient donc de la rédiger le mieux possible. 2.a Les fonctions a et b étant continues, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E2) est un espace affine de dimension 1, de direction l'espace vectoriel des solutions de l'équation homogène associée (E1). Ainsi, les solutions de (E2) sont de la forme y = g + yP où yP est une solution particulière de (E2). Il reste donc à trouver une telle solution particulière. Utilisons pour cela la méthode de la variation de la constante en cherchant des solutions sous la forme y(x) = (x)g(x). On a y = g + g = g + ay donc y = g est solution de (E2) si et seulement si g = b, ie si et seulement si y est de la forme Z x x R y(x) = g(x) C + b(t)g(t)-1 dt 0 Z x En particulier, la fonction y : x 7- g(x) b(t)g(t)-1 dt est une solution particulière 0 de (E2). On en déduit que les solutions maximales de l'équation différentielle (E2) sont les fonctions définies sur R par Z x x 7- C g(x) + g(x) b(t)g(t)-1 dt CR 0 Il est aussi possible de trouver directement les solutions de (E2) à partir d'une solution de (E1). Soit x une fonction vérifiant x = ax + b Alors, en divisant par g (qui ne s'annule pas), on trouve ax b x = + g g g x ax b - = g g g soit Comme g est solution de (E1), on reconnaît x x -g x ax = +x 2 = - g g g g g x b = g g Il vient alors Il n'y a plus qu'à intégrer pour constater que la fonction x est de la forme Z t b(u) x : t 7- g du + c 0 g(u) où c est une constante d'intégration. En remontant les calculs, on vérifie que toute fonction de cette forme est solution de (E2), et qu'on a donc déterminé l'ensemble des solutions de (E2). 2.b Considérons une solution maximale de (E2) et fixons pourZ cela un réel quelx conque. Pour que la fonction f : x R 7- g(x) + g(x) b(t)g(t)-1 dt soit 0 T-périodique, il faut et il suffit que la différence (t) = f (t + T) - f (t) soit nulle pour tout réel t. Or, pour tout réel t, on calcule Z t+T Z t (t) = g(t + T) + g(t + T) b(u)g(u)-1 du - g(t) - g(t) b(u)g(u)-1 du 0 0