X Maths 1 MP 2003

Thème de l'épreuve Propriétés asymptotiques des solutions d'une équation différentielle
Principaux outils utilisés développement asymptotique, calcul intégral, équations différentielles
Mots clefs intégrales à paramètre, séries à valeurs dans un espace de Banach, séries entières, Équations intégrales

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2003

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Propriétés asymptotiques des solutions
d'une équation différentielle

On désigne par
-- E l'espace vectoriel des fonctions complexes continues bornées sur 
l'intervalle ] = [l, +oo[,

muni de la norme f *--> llf|| = SUP lf(Ü|ä
tEURJ

-- £(E) l'espace vectoriel des endomorphismes continus. de E, muni de la norme

A H llAll = sup llÆf)ll ;
llf|l=1

-- IE l'endomorphisme identité de E ;

-- A le sous--ensemble de R2 formé des couples (t, T) vérifiant 1 < t EUR T. Première partie . Dans cette partie on désigne par le une fonction complexe continue bornée sur A et on pose ||kll= SUP lk(taT)l° (t;r)EURA d7" 00 1. Vérifier que, pour toute fonction u de E , la fonction t H / k(t, T)u(T)----2-- est bien définie t T sur J et appartient a E. 2. Vérifier que, si l'on note A(u) la fonction ainsi définie, on définit un élément A de £(E) ; comparer "A" et "ki". 3. Déterminer une constante K > 0 telle que l'on ait, pour tout n > 0 et tout t 
E .]

I(A"(U))(t)l < 'Îj'Lîfi" . +00 4. Montrer que la série z A" est convergente dans £(E), et calculer le produit n=0 +oo (IE -- A) Z A". n=0 On fixe une fonction @... de E et on considère l'équation intégrale ...) = u0(t) + [:O k(t, T)u(7)ËÏ (1) Où u est une fOI1CthH lHCOHHU.EUR dans E. 5. Quel est le nombre de solutions de (1) ? Deuxième part ie On s'intéresse maintenant à l'équation (1) où l'on prend u0(t) = e8't , k(t, r) : Àsin(t -- r) (EUR EUR {+, --}, À E C). On note u£ sa solution. 6. Montrer que uEUR est de classe 000. 7. Vérifier que uEUR est solution sur ] de l'équation différentielle u"(t) + (1 + --À--) u(t) : 0 . (2) t2 8. Le couple (u+, u_) est--il une base de l'espace vectoriel des solutions de (2) dans E ? Troisième partie On se propose d'étudier le comportement asymptotique de la fonction 11. : u+ lorsque t --> +oo. On dit qu'une fonction f de E admet un développement asymptotique & 
l'ordre k: 2 0
s'il existe des constantes 040, . . . ,ak telles que l'on ait

_ '" 1 o 1
f(t) -- Z Ola}; + t_kîî
j=O
"" 1
(ce qui signifie que la fonction tk+1 f (t) -- 2 059EUR} est bornée).
j=0
On admettra qu'une telle famille (dg, . . . ,ozk), si elle existe, est unique. 
On dit qu'une fonc--

tion f de E admet un développement asymptotique & l'ordre oo si elle admet un 
développement
asymptotique à tout ordre k.

9. On se propose ici de construire un développement asymptotique à. l'ordre 00 
pour chacune
des fonctions

_ oo
90n(t) : e--zt/t sin(t -- r) r"+2 dr (n entier 2 0 , t E [1,+oo[) ,

développement asymptotique que l'on écrira

1 1
('On( =z anv--7 tn+j + O (tn+k+1> ' (3)

j= 1

oo ei7' 1
&) Vérifier que, pour tout entier m> 1, on a / --d7' : O (--)
t

b) Établir, pour tous entiers n > 0, [EUR > 1, la formule

k --27Zt 2i7'
(n + j -- 1). (n + k)!e °° e
fin(t)__11)!(n+ ê------_(22)j tn+j -- _Ê--A Tfl+k+1dT
c) Conclure.

10. On se propose maintenant de construire un développement asymptotique à 
l'ordre oo
pour la fonction e""u(t) ; on a donc, par définition

u(t) = eit + À sin(t -- 7)u(7)-- . ( (4)

J'=0
&) Vérifier que l'on a
1
e--ztu(t) : 1 + 0 (if--)
b) Supposant construits fm,... ,fy... écrire fyn+1 en fonction de 'y0,..., " et 
des

divers ozp,q.

c) Vérifier que l'on a

1 À
7n+1_ -- (n + )'7n -

% n+1
+00
(1) Quel est le rayon de convergence de la série entière 2 77,33" ?
n=0