X Maths 1 MP 2002

Thème de l'épreuve Étude d'un opérateur intégral sur l'ensemble des fonctions continues de carré intégrable sur ]0,1[
Principaux outils utilisés intégrale sur un segment, analyse réelle, intégrales à paramètre, fonctions convexes, opérations sur les ensembles
Mots clefs opérateur intégral, fonction de carré intégrable

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2002 PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et a la concision de la rédaction. *** La première partie est indépendante des trois autres. *** Première partie _ 00 1. On considère une suite (wn)neN de réels strictement positifs vérifiant z wn : 1 et une n=0 00 suite (an)ngN de réels telle que 2 wnaâ < +oo. n=0 OO Vérifier que la fonction a: »--> Da (a:) = z wn (an -- a:)2 est bien définie sur R et atteint son n=0 minimum. On déterminera ce minimum ainsi que l'ensemble des points où il est atteint. 2. On considère une fonction continue réelle de carré intégrable f sur l'intervalle ]0, 1[. Vérifier 1 2 que la fonction a: l----> D f (a:) = / ( f (t) -- a:) dt est bien définie sur R et atteint son minimum. 0 On déterminera ce minimum ainsi que l'ensemble des points où il est atteint. Deuxième partie Dans cette partie, on se donne une fonction réelle f sur l'intervalle I =]0,1[, continue par morceaux et intégrable. 1 3. Vérifier que la fonction a: +--> A(oe) = / | f (t) -- æ|dt est bien définie sur R. 0 4.51) Montrer que la fonction A est continue et convexe. b) Déterminer les limites de A(oe) lorsque a: tend vers +00 ou --oo. 5. Montrer que A admet un minimum, que l'on notera V, et que l'ensemble M des points où A atteint ce minimum est un intervalle. 6. Eæemples. Déterminer A, V et M dans les deux cas suivants : 1sit1/2 b) W) = t. Troisième part ie On se donne à nouveau une fonction f ayant les propriétés indiquées dans la deuxième partie; on suppose en outre que f est monotone par morceaux, c'est--à--dire qu'il existe des nombres tg=Û = îä£. .... c) Etant donnée une suite décroissante d'intervalles (Jn)nEURN, on a /\( nQN J") =ÉÊ1£r MJ") ' 9. Soit 33 un réel et 5 un réel > 0; on pose J1 =]--oo,oe], J2 =]æ,oe+e[, J3= [oe+e,+oo{. &) Démontrer l'égalité suivante : 1 2 g(A(æ + e) -- A(æ)) -- À(J1) + À(J3) = À(J2) + E /01 X,, (t)(oe - f(t))dt, où A est la fonction définie à la question 3. b) Montrer que A admet en tout point 56 une dérivée a droite que l'on déterminera. c) Même question pour la dérivée à gauche. (1) Comparer ces deux dérivées et dire pour quelles valeurs de a: elles sont égales. 10. On pose @(OE) = /\(l -- oo,oe]) ... ...... =.ÆOEJ(OE+È) ......) =sææ(æ--;Ë) @) a) Exprimer çb(oe + O) et çb(oe -- 0) en fonction de çb(oe) et de À({oe}). b) Montrer que l'ensemble N des réels a: vérifiant qb(oe -- 0) < 1 / 2 < @(oe), s'il n'est pas vide, est un intervalle fermé borné. c) Comparer les ensembles M (défini a la question 5.) et N et préciser le comportement de (15 sur l'intérieur de N lorsque N n'est pas réduit à un point. Quatrième partie 11. On se donne une fonction f sur I, réelle, continue, intégrable et monotone par morceaux; on note M f et Vf ce qui était noté M et V. &) Démontrer l'inclusion M f C f (I ) b) Montrer que M f est réduit à un point, que l'on notera m f. 1 1 c) Comparer Vf et / lf(t)|dt, puis mf et 2/ |f(t)|dt. 0 0 12. On considère une suite ( g,,) de fonctions sur I , réelles, continues, intégrables et monotones par morceaux; on suppose que cette suite converge en moyenne vers une fonction 9 continue par morceaux, intégrable et monotone par morceaux. On pose mn = mg,". Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite (mn) est non vide et inclus dans l'ensemble Mg des points 1 où la fonction oe 1--> / lg(t) -- a:|dt atteint son minimum. 0

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 X Maths 1 MP 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) ; il a été relu par Walter Appel (professeur en CPGE) et Thomas Chomette (ENS Ulm). Ce problème d'analyse porte principalement sur l'étude de l'application R - R Z 1 : x 7- |f (t) - x| dt 0 où f est une application donnée sur ] 0 ; 1 [, continue par morceaux, monotone par morceaux et intégrable. · La première partie propose une introduction au thème par l'étude de l'applicaZ 1 tion x 7- (f (t) - x)2 dt, précédée de l'analogue discret. 0 · La deuxième partie établit quelques premières propriétés de l'application et propose ensuite l'étude de deux exemples concrets. Il s'agit essentiellement d'analyse réelle. · La troisième partie établit une correspondance entre et une application définie sur les intervalles de R, portant le nom de mesure de probabilité ; elle s'achève en proposant une caractérisation de l'ensemble des points où est minimale. Cette partie est originale et assez difficile. De plus, elle nécessite d'être parfaitement au point sur les fonctions convexes. · Enfin, la quatrième partie précise où se situe (en fonction de f ) le minimum de ; on y montre que si f est continue, ce minimum est atteint en un unique point, et on situe ce point vis-à-vis de la norme kf k1 . Cette partie est légèrement plus classique que la précédente, mais reste difficile. Comme d'habitude à ce concours, le problème est assez déroutant. Il faut notamment utiliser l'inégalité triangulaire sous toutes ses formes sans la moindre hésitation et savoir jongler avec les reformulations d'une même question pour arriver aux solutions. Hormis une utilisation non évidente du théorème de convergence monotone, les outils mathématiques utilisés sont assez simples (séries numériques, intégration sur un intervalle, manipulations ensemblistes). Indications Signalons d'abord quelques liens entre les questions : · Les questions 1 et 2 sont indépendantes du reste du problème. · Les questions de la deuxième partie sont liées les unes aux autres de façon naturelle. En revanche, les résultats nécessaires pour répondre aux dernières questions sont écrits dans l'énoncé. · Les questions 7 et 8 sont indépendantes de la deuxième partie ; ce n'est pas le cas des questions 9 et 10 ; de plus, dans ces deux questions, les résultats demandés ne sont pas donnés par l'énoncé et sont néanmoins indispensables pour répondre à la question 11. · La question 12 est relativement indépendante des autres : les résultats utiles sont énoncés dans le texte. Première partie 1 et 2 Montrer que Da (respectivement Df ) est une fonction polynomiale unitaire du second degré ; pour cela, commencer par montrer que la série de terme général -2wn an converge absolument. Deuxième partie 4.b Utiliser l'inégalité triangulaire : |x - f (t)| > |x| - |f (t)|. 5 Utiliser la question précédente pour prouver l'existence du minimum. Montrer que M est un convexe. 6 Faire des dessins dans la copie donne toujours au correcteur une bonne impression. Troisième partie -1 7 Montrer que f (J) est une union finie d'intervalles et remarquer que J est la fonction indicatrice de l'ensemble f -1 (J). 8.a Utiliser le fait que, si A1 , . . ., An sont des ensembles disjoints, alors 1[A1 ···An ] = 1A1 + · · · + 1An 8.b Appliquer le théorème de convergence monotone de manière adéquate. 10.b En utilisant la caractérisation séquentielle, montrer que est continue à gauche et que (· - 0) est continue à droite. Montrer que (x) ----- 0 et (x - x- 0) ---- 1 . x+ 10.c On a M = N ; pour le montrer, utiliser le fait (que l'on peut justifier à l'aide d'un dessin sur la copie) que l'ensemble des points où une fonction convexe atteint son minimum est exactement l'ensemble des points où la dérivée à gauche est négative, et la dérivée à droite positive. Quatrième partie 11.a Montrer que si x n'est pas dans f (I) et, si l'on choisit y « strictement » entre x et f (I), alors (y) < (x). Ce raisonnement est à peaufiner car f (I) n'est pas nécessairement un intervalle fermé. La remarque dans le corrigé donne une indication plus détaillée. 11.b Raisonner par l'absurde, avec Nf plutôt que Mf . 11.c Vf 6 (0). Prouver que Mf [ -2kf k1 ; 2kf k1 ] en montrant que si x est tel que |x| > 2kf k1 , alors (x) > kf k1 . 12 Montrer que gn converge uniformément vers g . Première partie 1 Soit x R. De l'inégalité bien connue |2ab| 6 (a2 +b2 ) (qui n'est qu'une réécriture de (|a| - |b|)2 > 0) appliquée avec a = an et b = -wn , il vient : N P N N | - 2wn an | 6 n=0 N P wn an 2 + n=0 N P wn n=0 Vu que les deux sommes partielles du membre de droite convergent et que pour tout n, | - 2wn an | est positif, la série de terme général -2wn an converge absolument. Donc chaque somme de l'expression + P + wn an 2 - 2x n=0 P wn an + x2 n=0 + X wn n=0 | {z } =1 existe. On peut de plus rassembler les sommes pour obtenir : + P + wn an 2 - 2x n=0 P + wn an + x2 = n=0 P wn (an - x)2 = Da (x) n=0 L'argument « on peut rassembler les sommes » utilisé ici découle de la proposition suivante appliquée aux sommes partielles : si (an )n et (bn )n sont deux suites convergentes, la suite (an + bn )n est également convergente, sa limite étant la somme des limites de (an )n et (bn )n . La réciproque n'est pas vraie : si l'on scinde en deux une série convergente, on n'obtient pas nécessairement deux séries convergentes. Ici, le meilleur moyen d'utiliser Da est de montrer qu'il s'agit d'une fonction polynomiale ; c'est pour cela qu'on a raisonné avec trois termes. Donc Da est bien définie sur R + et x R Da (x) = x2 - 2x P + wn an + n=0 P wn an 2 n=0 Da est donc une fonction polynomiale unitaire de degré 2. En particulier, Da atteint son mimimum en un point unique sur R. + De plus, on a : Da (x) = 2x - 2 P wn an n=0 Le point où Da atteint son minimum est naturellement le zéro de Da . + Da atteint son minimum en x0 = P wn an . n=0