X Maths 1 MP 2002

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2002

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

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On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et a la 
concision de la rédaction.

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La première partie est indépendante des trois autres.

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Première partie

_ 00
1. On considère une suite (wn)neN de réels strictement positifs vérifiant z wn 
: 1 et une

n=0

00
suite (an)ngN de réels telle que 2 wnaâ < +oo. n=0 OO Vérifier que la fonction a: »--> Da (a:) = z wn (an -- a:)2 est bien définie 
sur R et atteint son
n=0

minimum. On déterminera ce minimum ainsi que l'ensemble des points où il est 
atteint.

2. On considère une fonction continue réelle de carré intégrable f sur 
l'intervalle ]0, 1[. Vérifier

1
2
que la fonction a: l----> D f (a:) = / ( f (t) -- a:) dt est bien définie sur R 
et atteint son minimum.
0

On déterminera ce minimum ainsi que l'ensemble des points où il est atteint.

Deuxième partie

Dans cette partie, on se donne une fonction réelle f sur l'intervalle I =]0,1[, 
continue par
morceaux et intégrable.

1
3. Vérifier que la fonction a: +--> A(oe) = / | f (t) -- æ|dt est bien définie 
sur R.
0

4.51) Montrer que la fonction A est continue et convexe.

b) Déterminer les limites de A(oe) lorsque a: tend vers +00 ou --oo.

5. Montrer que A admet un minimum, que l'on notera V, et que l'ensemble M des 
points
où A atteint ce minimum est un intervalle.

6. Eæemples. Déterminer A, V et M dans les deux cas suivants :

1sit1/2

b) W) = t.

Troisième part ie

On se donne à nouveau une fonction f ayant les propriétés indiquées dans la 
deuxième
partie; on suppose en outre que f est monotone par morceaux, c'est--à--dire 
qu'il existe des

nombres
tg=Û = îä£. ....

c) Etant donnée une suite décroissante d'intervalles (Jn)nEURN, on a

/\( nQN J") =ÉÊ1£r MJ") '

9. Soit 33 un réel et 5 un réel > 0; on pose

J1 =]--oo,oe], J2 =]æ,oe+e[, J3= [oe+e,+oo{.

&) Démontrer l'égalité suivante :

1 2

g(A(æ + e) -- A(æ)) -- À(J1) + À(J3) = À(J2) + E /01 X,, (t)(oe - f(t))dt,

où A est la fonction définie à la question 3.
b) Montrer que A admet en tout point 56 une dérivée a droite que l'on 
déterminera.
c) Même question pour la dérivée à gauche.
(1) Comparer ces deux dérivées et dire pour quelles valeurs de a: elles sont 
égales.

10. On pose
@(OE) = /\(l -- oo,oe]) ...
...... =.ÆOEJ(OE+È) ......) =sææ(æ--;Ë) @)

a) Exprimer çb(oe + O) et çb(oe -- 0) en fonction de çb(oe) et de À({oe}).

b) Montrer que l'ensemble N des réels a: vérifiant qb(oe -- 0) < 1 / 2 < @(oe), s'il n'est pas vide, est un intervalle fermé borné. c) Comparer les ensembles M (défini a la question 5.) et N et préciser le comportement de (15 sur l'intérieur de N lorsque N n'est pas réduit à un point. Quatrième partie 11. On se donne une fonction f sur I, réelle, continue, intégrable et monotone par morceaux; on note M f et Vf ce qui était noté M et V. &) Démontrer l'inclusion M f C f (I ) b) Montrer que M f est réduit à un point, que l'on notera m f. 1 1 c) Comparer Vf et / lf(t)|dt, puis mf et 2/ |f(t)|dt. 0 0 12. On considère une suite ( g,,) de fonctions sur I , réelles, continues, intégrables et monotones par morceaux; on suppose que cette suite converge en moyenne vers une fonction 9 continue par morceaux, intégrable et monotone par morceaux. On pose mn = mg,". Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite (mn) est non vide et inclus dans l'ensemble Mg des points 1 où la fonction oe 1--> / lg(t) -- a:|dt atteint son minimum.
0