X Maths 1 MP 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) ; il a été relu par
Walter Appel (professeur en CPGE) et Thomas Chomette (ENS Ulm).
Ce problème d'analyse porte principalement sur l'étude de l'application
R - R
Z 1
:
x 7-
|f (t) - x| dt
0
où f est une application donnée sur ] 0 ; 1 [, continue par morceaux, monotone
par
morceaux et intégrable.
· La première partie propose une introduction au thème par l'étude de
l'applicaZ 1
tion x 7-
(f (t) - x)2 dt, précédée de l'analogue discret.
0
· La deuxième partie établit quelques premières propriétés de l'application
et propose ensuite l'étude de deux exemples concrets. Il s'agit essentiellement
d'analyse réelle.
· La troisième partie établit une correspondance entre et une application
définie sur les intervalles de R, portant le nom de mesure de probabilité ; elle
s'achève en proposant une caractérisation de l'ensemble des points où est
minimale. Cette partie est originale et assez difficile. De plus, elle nécessite
d'être parfaitement au point sur les fonctions convexes.
· Enfin, la quatrième partie précise où se situe (en fonction de f ) le minimum
de ; on y montre que si f est continue, ce minimum est atteint en un unique
point, et on situe ce point vis-à-vis de la norme kf k1 . Cette partie est
légèrement
plus classique que la précédente, mais reste difficile.
Comme d'habitude à ce concours, le problème est assez déroutant. Il faut
notamment utiliser l'inégalité triangulaire sous toutes ses formes sans la
moindre hésitation
et savoir jongler avec les reformulations d'une même question pour arriver aux
solutions. Hormis une utilisation non évidente du théorème de convergence
monotone,
les outils mathématiques utilisés sont assez simples (séries numériques,
intégration
sur un intervalle, manipulations ensemblistes).
Indications
Signalons d'abord quelques liens entre les questions :
· Les questions 1 et 2 sont indépendantes du reste du problème.
· Les questions de la deuxième partie sont liées les unes aux autres de façon
naturelle. En revanche, les résultats nécessaires pour répondre aux dernières
questions sont écrits dans l'énoncé.
· Les questions 7 et 8 sont indépendantes de la deuxième partie ; ce n'est pas
le cas des questions 9 et 10 ; de plus, dans ces deux questions, les résultats
demandés ne sont pas donnés par l'énoncé et sont néanmoins indispensables
pour répondre à la question 11.
· La question 12 est relativement indépendante des autres : les résultats utiles
sont énoncés dans le texte.
Première partie
1 et 2 Montrer que Da (respectivement Df ) est une fonction polynomiale
unitaire du
second degré ; pour cela, commencer par montrer que la série de terme général
-2wn an converge absolument.
Deuxième partie
4.b Utiliser l'inégalité triangulaire : |x - f (t)| > |x| - |f (t)|.
5 Utiliser la question précédente pour prouver l'existence du minimum. Montrer
que M est un convexe.
6 Faire des dessins dans la copie donne toujours au correcteur une bonne
impression.
Troisième partie
-1
7 Montrer que f (J) est une union finie d'intervalles et remarquer que J est
la fonction indicatrice de l'ensemble f -1 (J).
8.a Utiliser le fait que, si A1 , . . ., An sont des ensembles disjoints, alors
1[A1 ···An ] = 1A1 + · · · + 1An
8.b Appliquer le théorème de convergence monotone de manière adéquate.
10.b En utilisant la caractérisation séquentielle, montrer que est continue à
gauche
et que (· - 0) est continue à droite. Montrer que (x) ----- 0 et (x -
x-
0) ---- 1 .
x+
10.c On a M = N ; pour le montrer, utiliser le fait (que l'on peut justifier à
l'aide
d'un dessin sur la copie) que l'ensemble des points où une fonction convexe
atteint son minimum est exactement l'ensemble des points où la dérivée à
gauche est négative, et la dérivée à droite positive.
Quatrième partie
11.a Montrer que si x n'est pas dans f (I) et, si l'on choisit y « strictement
» entre
x et f (I), alors (y) < (x). Ce raisonnement est à peaufiner car f (I) n'est pas nécessairement un intervalle fermé. La remarque dans le corrigé donne une indication plus détaillée. 11.b Raisonner par l'absurde, avec Nf plutôt que Mf . 11.c Vf 6 (0). Prouver que Mf [ -2kf k1 ; 2kf k1 ] en montrant que si x est tel que |x| > 2kf k1 , alors (x) > kf k1 .
12 Montrer que gn converge uniformément vers g .
Première partie
1 Soit x R. De l'inégalité bien connue |2ab| 6 (a2 +b2 ) (qui n'est qu'une
réécriture
de (|a| - |b|)2 > 0) appliquée avec a = an et b = -wn , il vient :
N
P
N N
| - 2wn an | 6
n=0
N
P
wn an 2 +
n=0
N
P
wn
n=0
Vu que les deux sommes partielles du membre de droite convergent et que pour
tout n, | - 2wn an | est positif, la série de terme général -2wn an converge
absolument.
Donc chaque somme de l'expression
+
P
+
wn an 2 - 2x
n=0
P
wn an + x2
n=0
+
X
wn
n=0
| {z }
=1
existe. On peut de plus rassembler les sommes pour obtenir :
+
P
+
wn an 2 - 2x
n=0
P
+
wn an + x2 =
n=0
P
wn (an - x)2 = Da (x)
n=0
L'argument « on peut rassembler les sommes » utilisé ici découle de la
proposition suivante appliquée aux sommes partielles : si (an )n et (bn )n sont
deux suites convergentes, la suite (an + bn )n est également convergente, sa
limite étant la somme des limites de (an )n et (bn )n . La réciproque n'est
pas vraie : si l'on scinde en deux une série convergente, on n'obtient pas
nécessairement deux séries convergentes.
Ici, le meilleur moyen d'utiliser Da est de montrer qu'il s'agit d'une fonction
polynomiale ; c'est pour cela qu'on a raisonné avec trois termes.
Donc
Da est bien définie sur R
+
et
x R
Da (x) = x2 - 2x
P
+
wn an +
n=0
P
wn an 2
n=0
Da est donc une fonction polynomiale unitaire de degré 2. En particulier,
Da atteint son mimimum en un point unique sur R.
+
De plus, on a :
Da (x) = 2x - 2
P
wn an
n=0
Le point où Da atteint son minimum est naturellement le zéro de Da .
+
Da atteint son minimum en x0 =
P
wn an .
n=0
