X Maths 1 MP 2001

Thème de l'épreuve Recherche de fonctions propres d'un opérateur différentiel sur un demi-plan
Principaux outils utilisés analyse réelle et vectorielle, actions de groupe, algèbre linéaire

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2001 PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** On attachcm la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. *** Première partie On désigne par S le plan complexe C privé du sous--ensemble --N -- 1/2 = {--1/2, --3/27 . . . }. Pour tout s dans S on note (ES) l'équation différentielle 2æ(1 _ oe)f"(oe) + (23 + 1 _ (28 + 3)oe)f'(oe) -- sf(oe) : 0 . On cherche une solution de (E3) sous la forme d'une série entière fs(OE) = z an(s)oen avec ao : 1. 7120 1. Écrire an+1(s) en fonction de an(s). an+1(5) an(s) 2. Déterminer la limite de lorsque 3 n'est pas un entier négatif ou nul. 3. Montrer que le rayon de convergence de la série est égal à 1 ou à +00 et que sa somme f3(oe) est effectivement une solution de (ES). 4. Montrer que la fonction (5, 513) l----> fs(oe) est continue sur SX] -- 1,1[. 5. On considère maintenant l'équation différentielle (EQ) t2(1 -- t2)F"(t) -- 2t3F'(t) + 5(1 -- 3)(1 -- t2)F(t) : 0 , t e]0,1[ . &) Ramener sa résolution à celle de (E3) en cherchant F (t) sous la forme ts f (752). [On dts __1 : ts . dt " ] rappelle que b) Montrer que, si 5 n'appartient pas a Z + 1/2, les fonctions Cl>3(t) : t3f3(t2) et 1_S(t) : t1_3f1_3(t2) forment une base de l'espace des solutions de (EQ). Deuxième partie On désigne par H l'ensemble des nombres complexes z = a: + iy tels que y > 0; on pose Rez=oe, Imz=y. 6. Démontrer les résultats suivants : zcos9--sin0 &) Pour tout z E H et tout 9 E R, le nombre complexe ------_------------- est bien défini et z sm 9 + cos 9 appartient à. H (on précisera sa partie imaginaire). 9 -- ' 9 b) Si l'on pose Ag(2) : M on obtient une action du groupe additif R sur H. zsin9+cos9' est invariante par les transformations A9, c) La fonction réelle sur H : z +----> C(Z) = c'est--à--dire C(A9(Z)) : c(z) VZ E H, V9 E R. d) Si 2 est différent de i, on a A9(Z) : A9/(Z) si et seulement si 9 ---- 9' EUR 7rZ. 7. On fixe un point 20 de H, distinct de i. &) Vérifier que l'orbite de zo sous l'action du groupe R est incluse dans le cercle de centre ic(z0) et de rayon (c(z0)2 -- 1)1/2. b) Montrer que l'orbite de zo est égale à ce cercle. 8. On définit une application indéfiniment difiérentiable U de ]O,1[XR dans H par U(t, @) : Ag(ü). &) Calculer le déterminant jacobien de U , qu'on notera J (t, (9). [On utilisera la formule J(t, @) : Im (ôU ÔU>]. 555 b) Démontrer les assertions suivantes : (1) U(]O, 1[>1_3 ont été définies à la question 5.b). 15. Supposant Re 3 < 1/2, exprimer À8 sous la forme d'une intégrale sur l'intervalle ]0, 7T[. Nota : L'ensemble H est appelé demi-plan de Poincaré et est le cadre d'une géométrie non az + b cz + d analogue à celui des déplacements du plan euclidien, les transformations Ag un rôle analogue à celui des rotations. Enfin l'opérateur différentiel D est l'analogue du laplacien. euclidienne; les transformations z f--> (a,b,c,d réels et ad -- bc : l) jouent un rôle

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 X Maths 1 MP 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Perrier (ENS Lyon) et Olivier Schmitt (École Polytechnique). Comme souvent au concours de Polytechnique, ce problème étudie un sujet a priori inaccessible en premier cycle (à savoir l'étude de fonctions propres d'un opérateur différentiel sur une variété riemannienne) ­ la démarche de l'énoncé rendant bien sûr le sujet accessible à un bon élève de classes préparatoires. Ce sujet fait un large tour d'horizon du programme des classes préparatoires : on y parle surtout d'analyse sur R et R2 , mais aussi de géométrie, d'action de groupe et d'applications linéaires sur des espaces de fonctions. Un certain nombre de questions sont relativement simples et pourraient se rencontrer dans tous les concours (1, 2, 3, 5, 12, 13). D'autres sont assez typiques de ce concours en particulier (4, 6, 7, 8, 11, 15) parmi lesquelles certaines nécessitent un certain recul (10, 14). Une question est très difficile (9). La première partie étudie une équation différentielle linéaire à un paramètre réel, avec recherche de solutions développables en série entière, afin d'établir les solutions d'une autre équation de ce type. La seconde partie établit et utilise des propriétés d'une action de groupe sur un demi-plan. Enfin, la troisième partie étudie un opérateur différentiel sur ce demi-plan. Indications Première partie an est uniforme sur tout compact. an+1 Construire ensuite une famille de compacts de S, (K )>0 recouvrant S : S P K = S. Étudier ensuite la convergence normale de la série an (s) xn sur 4 Montrer entre autres que la limite de >0 K × [ -1 + ; 1 - ]. 5.b Remarquer que (Es ) = (E1-s ). Deuxième partie 6.c Montrer que 2 (Im z) c(A (z)) = |z|2 + 1. Le calcul sera beaucoup plus simple. 6.d Utiliser la question 6.b. 7.a Utiliser la question 6.c, puis (pour le calcul restant) adapter l'indication 6.c à cette question. 7.b Utiliser le théorème de relèvement pour une fonction qui dépend de A de façon affine, et à valeurs dans U. 8.a Si le sens de la question n'est pas compris, lire la remarque dans le texte. 8.b Utiliser la question 7.b habilement permet de répondre aux deux assertions d'un coup. Troisième partie 9 Cette question est bien difficile et serait davantage attendue dans une épreuve d'ENS. Peut-être la sauter dans un premier temps (seul le résultat donné par l'énoncé est utile par la suite). Dans un second temps, lire la première remarque du corrigé. 10 La difficulté principale est de comprendre ce que l'on fait. Quand on manipule un objet de l'énoncé, il faut bien savoir ce que c'est. 11 Pour le début de la question, s'inspirer d'un théorème vu en cours dans le cas d'une variable. Pour la fin, commencer par calculer D, les idées viendront alors. 13 Tourner la page de l'énoncé, une indication est donnée ! (Ainsi, ce genre de blagues arrive aux concours : penser donc à regarder en haut de la page suivante quand on arrive en bas d'une page ­ dans le même ordre d'idée, rappelons qu'il est toujours utile, et donc vivement conseillé, de lire l'intégralité de l'énoncé 1 u d'un problème). Faire ensuite les changements de variable v = , puis w = . t v 14 En considérant Fs : (t, ) 7 Fs (t) comme élément de C (] 0 ; 1 [ × R)per, montrer que Fs = V(s ) 15 Chercher de deux manières un équivalent de Fs . Première partie 1 Cherchons une solution de (Es ) sous la forme d'une série entière de rayon de P convergence non nul fs (x) = an (s) xn . f est de classe C sur son intervalle n>0 ouvert de définition, ses dérivées successives s'obtenant en dérivant termes à termes. P Ainsi fs (x) = nan (s) xn-1 n>1 fs (x) = P n(n - 1)an (s) xn-2 n>2 2x(1 - x)fs (x) + (2s + 1 - (2s + 3)x)) fs (x) - sfs (x) = P P 2n(n - 1)an (s) xn-1 - 2n(n - 1)an (s) xn n>2 n>2 P P P + (2s + 1)nan (s) xn-1 - (2s + 3)nan (s) xn - san (s) xn n>1 = n>1 P P 2(k + 1)kak+1 (s) xk - 2k(k - 1)ak (s) xk k>0 k>0 P P P + (2s + 1)(k + 1)ak+1 (s) xk - (2s + 3)kak (s) xk - sak (s) xn k>0 = n>0 P k>0 k>0 ((k + 1)(2k + 2s + 1)ak+1 (s) + (-2k(k - 1) - k(2s + 3) - s)ak (s)) xk k>0 L'unicité du développement en série entière induit que fs est solution de (Es ) si et seulement si : n N (n + 1)(2n + 2s + 1)an+1 (s) - (2n(n - 1) + n(2s + 3) + s)an (s) = 0 Comme s S n N (2n + 2s + 1) 6= 0 Finalement, fs est solution de (Es ) si et seulement si : n N an+1 (s) = s + n(2s + 3) + 2n(n - 1) an (s) (n + 1)(2n + 2s + 1) 2 L'énoncé semble admettre la non nullité des an (s) si s n'est pas un entier négatif ou nul. Nous allons quand même la vérifier et même, plus précisément, déterminer à quelle condition sur s, an (s) est nul (ce qui nous servira pour la question 3). Tout d'abord, il est clair que si ak (s) = 0, alors ak+1 (s) = 0 (et par récurrence immédiate, an (s) = 0 pour n > k). Cherchons donc les couples (s, k) pour lesquels ak (s) 6= 0 et ak+1 (s) = 0. Ceci nécessite s + k(2s + 3) + 2k(k - 1) = 0 Soit s(2k + 1) = -3k - 2k(k - 1) ou encore et enfin s(2k + 1) = -2k 2 - k s = -k De fait, comme a0 (s) = 1 6= 0 une récurrence immédiate prouve que : · si -s N, alors : an (s) = 0 · si -s 6 N, alors : n N n > -s ; an (s) 6= 0. an+1 (s) 2n2 + (2s + 1)n + s = an (s) 2n2 + (2s + 3)n + (2s + 1) On a alors 2n2 n+ 2n2 an+1 (s) 1 an (s) n+ Donc lim n+ an+1 (s) =1 an (s) 3 D'après ce qui a été dit à la question 2, si -s N, alors fs est une fonction polynomiale de degré -s (donc de rayon de convergence infini). Si -s 6 N, alors d'après la question 2, on a lim n+ an+1 (s) =1 an (s) 1 = 1. 1 Dans tous les cas, la somme fs (x) de la série existe bien, sur ] - 1, 1[ ou sur R, et les calculs faits à la question 1 sont justifiés. La fin de ces calculs donnant 0, ceci montre bien que fs est effectivement solution de (Es ). La règle de D'Alembert nous dit que fs a pour rayon de convergence C'est pour cette raison que, dans l'exposé de la première question, nous n'avions pas supposé a priori que fs était dès le départ une solution. 4 On notera fe la fonction (s, x) 7 fs (x). Nous allons considérer une famille de compacts de S × ] -1 ; 1 [, (K )>0 , telle S que K = S. Nous montrerons, en utilisant des arguments de convergence >0 normale de la série, que fe est continue sur K pour tout > 0, et le caractère local de la continuité permettra de conclure. Pour > 0, on pose et 1 1 K = s S |s| 6 , n N, x - n - > 2 K = K × [ -1 + ; 1 - ] Nous avons alors 1 1 K = (s, x) S × ] -1 + ; 1 - [ |s| < , n N, x - n - > 2 et donc [ K = S × ] -1 ; 1 [ >0