ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP
CONCOURS D'ADMISSION 2000
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
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On attachem la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la
concision de la
rédaction.
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On se propose d'étudier certaines équations différentielles, d'abord dans le
cadre des séries
entières, ensuite dans celui des fonctions indéfiniment dérivables.
Notations des parties I, II et III.
On désigne par E l'espace vectoriel sur C formé des suites de nombres complexes
u =
(Uk)k=1,2,..., et par en la suite u où uk = 1 si k = n et 0 si k # n. Pour tout
il de E on note
00
r(u) le rayon de convergence, éventuellement nul ou infini, de la série entière
z uk mk; pour
k=1
tout nombre réel R > 0 on note ER l'ensemble des u de E tels que r u 2 R; enfin
on note E
+
l'ensemble des U E E tels que r(u) > 0.
Première partie
1. Démontrer les assertions suivantes :
a) Un élément u de E appartient à E+ si et seulement s'il existe un nombre réel
M > 0
1
tel que l'on ait [uk] £ Mk pour tout k; dans ce cas on a r(u) Z Ü'
. , k 1
b) Si, pour un reel M > 0, on a |uk| 2 M pour tout k, on a r(u) £ Ü
2. Déterminer un nombre réel 7 > 0 tel que l'on ait, pour tout k 2 2 :
k--l 1
12(k -- z)2 k2
i=1
Deuxième partie
On fixe un nombre complexe a et on désigne par Aa l'endomorphisme de E défini
par
(Aau);Ç = (k + a)uk pour tout k.
3. Déterminer le noyau et l'image de Aa.
4. Vérifier que, si @ n'est pas un entier strictement négatif, pour tout R > 0,
la restriction
de Aa à ER est un isomorphisme de ce sous--espace sur lui--même.
Troisième partie
On définit le produit u * v de deux éléments u et v de E par (u * v)1 = 0 et
Ic--1
(u*v)k = ZUiUk--i pour k 2 2.
i=1
On fixe deux nombres complexes a et c, a n'étant pas un entier strictement
négatif; on note
T l'application de E dans lui--même définie par Tu : Aau + ou * u.
5.a) Supposant que Tu = 'U où u et 1) sont des éléments de E, écrire m en
fonction de m,
puis uk en fonction de uk, ..., . .. ,uk_1 pour k 2 2.
b) Déterminer le noyau et l'image de T. L'application T est--elle injective ?
surjective ?
6. On se propose de démontrer que la restriction de T à E+ est une bijection de
ce sous--espace
sur lui--même.
a) Vérifier que T(E+) est inclus dans E+.
b) Soit U E E tel que 1} = Tu EUR E+. Démontrer l'existence de nombres réels 6,
M , Mg, ]tI1
strictement positifs satisfaisant les conditions suivantes :
(l) VkEN*,|k--Æ-aIZÔ
(2) 2|c|*y M0 S 5, où w est la constante introduite à la question 2.
(3) Vk E N*, |... S Mk
(4) M S 5M0M1
(5) Vk EUR N*, 2k:2Mlc g 5M0Mf .
MOMÏ
c) Comparer |uk| et k2
d) Conclure.
7. Exemple. On prend a = 0, c = --1, v = Àe1 où A E R* , et on suppose encore
Tu = v.
&) Montrer que uk est de la forme uk = ak/\k avec ak EUR Ri et
214" S ak S 1 pour tout k .
b) En déduire un encadrement de T(u)
Quatrième partie
Pour tout intervalle ouvert I de B on note 000 (I ) l'espace des fonctions
complexes indéfini--
ment dérivables sur I. On désigne par a un nombre réel non nul et par D
l'endomorphisme de
C°°(I) défini par
(Df)(t) = t f'(t) + @ N)-
8. Déterminer les solutions maximales de l'équation différentielle D f = 0 sur
les intervalles
]0, +00[ et ] -- 00, 0[, et préciser leurs intervalles de définition.
9. Dire pour quelles valeurs de a il existe une fonction f E C°° (R), vérifiant
D f = O, nulle
en 0 mais non identiquement nulle.
Dans la suite, on prend pour I un intervalle de la forme ]0,9[ avec 0 EUR]0,
+00]. On désigne
par 150 un point de I , par g une fonction de C°°(I), et enfin par a un nombre
complexe.
10. Déterminer la solution maximale de l'équation différentielle D f = g sur I
telle que
f (to) = a [on pourra introduire la fonction
t
t»--> sa_1 g(s)ds]
to
11. On suppose dans cette question que @ n'est pas un entier strictement
négatif et que g est
00
la restriction à I de la somme d'une série entière î: 'Uk tk ayant un rayon de
convergence Z @.
k=1
Déterminer & de façon que f soit aussi la restriction à I de la somme d'une
série entière
ayant un rayon de convergence 2 EUR.
12. On se propose d'étudier le comportement de f (t) lorsque t tend vers 0,
sous l'hypothèse
que g(t) tend vers 0 lorsque t tend vers 0.
&) Supposant a < 0, déterminer la limite de f (t) lorsque t tend vers 0. b) On suppose maintenant que a > 0 et que la fonction g, prolongée par 0 au
point 0,
admet une dérivée à droite en ce point. Trouver un nombre a tel que f (t) tende
vers 0 lorsque
t tend vers 0.
