Mines Maths 2 MP-MPI 2025

A2025 ­ MATH II MP

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2025

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

.
Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

NOTE DE L'ÉDITEUR
Le sujet était commun
aux filières

MP et MPI

Critère de Schur-Cohn et généralisation au cas non inversible

Notations et objectifs du problème
Dans tout le problème :
-- n désigne un entier naturel non nul et l'ensemble {1, 2, . . . , n} est noté 
J1, nK.
-- Mn (R) (respectivement Sn (R), resp. Dn (R), resp. GLn (R)), désigne 
l'ensemble
des matrices carrées (resp. symétriques, resp. diagonales, resp. inversibles) 
réelles
de taille n, et on confond un élément de M1 (R) avec son unique coefficient ;
-- si M  Mn (R), on note M  sa transposée et pour tout (i, j)  J1, nK2 , on note
Mi,j le coefficient de M situé à la i-ème ligne et la j-ème colonne ;
-- on note (M ) le nombre de valeurs propres réelles strictement positives de M
comptées avec leur multiplicité, ainsi par exemple (In ) = n ;
-- si (u1 , . . . , un )  Rn on note Diag(u1 , . . . , un ) la matrice D  Dn 
(R) telle que
Di,i = ui pour tout i  J1, nK ;
-- si f et g sont deux polynômes non simultanément nuls, on note f  g leur PGCD 
;
-- si f est un polynôme, on note également f sa fonction polynomiale associée ;
-- on note (f ) le nombre de racines réelles de f appartenant à l'intervalle ] 
- 1; 1[,
comptées avec leur multiplicité, ainsi par exemple (X 2 (X - 1)(X + 1)) = 2 ;
-- on dit que le réel  est une racine stable de f si  = 0 et f () = f (-1 ) = 0 
;
-- si f est un polynôme de degré m  N et s'écrit
f = am X m + am-1 X m-1 + · · · + a1 X + a0 =

m
X

ak X k ,

k=0

on note f0 son polynôme réciproque, défini par
f0 = a0 X m + a1 X m-1 + · · · + am-1 X + am =

m
X

am-k X k ;

k=0

-- on note U = (1 0 · · · 0) la matrice colonne de taille n dont le premier
coefficient est égal à 1 et les autres à 0 ;

1

-- on note S la matrice de Mn (R) dont tous les coefficients sont nuls sauf les 
n - 1
coefficients situés juste au-dessus de la diagonale, égaux à 1 :
(i, j)  J1, nK2

Si,j = i+1,j (symbole de Kronecker);

-- pour tout polynôme réel f on définit la matrice J(f )  Sn (R) par
J(f ) = f0 (S) f0 (S) - f (S) f (S).

Dans ce problème p désigne un polynôme à coefficients réels, scindé sur R de 
degré n,
n
X

p = an X n + an-1 X n-1 + · · · + a1 X + a0 =

ak X k ,

an = 0,

k=0

et on note 1  · · ·  n ses racines toutes réelles, comptées avec leurs 
multiplicités.

L'objectif du problème est d'établir l'égalité (p) = (J(p)) (critère de 
Schur-Cohn)
dans le cas où J(p) est inversible, puis de proposer une démarche générale 
permettant
de compter les racines de p dans ] - 1; 1[, lorsque la matrice J(p) n'est pas 
inversible.
Ces résultats, généralisables aux polynômes à coefficients complexes, sont 
utiles dans
l'étude de la stabilité de certains systèmes dynamiques.

A. Propriétés du polynôme p0 et stabilité des racines
1  Montrer que p0 , le polynôme réciproque de p, vérifie
x  R

p0 (x) = xn p(1/x)

et en déduire que
p 0 = an

n
Y

(1 - j X).

j=1

2  Montrer que p  p0 = 1 si et seulement si p ne possède pas de racine stable.

Jusqu'à la fin de la partie A. on suppose que toutes les racines de p sont 
stables et
d'ordre de multiplicité 1.
3  Justifier qu'il existe   {-1, 1} tel que p = p0 .
Soit h le polynôme de degré n défini par h(X) = Xp , où p est le polynôme 
dérivé de p.
On note h0 et (p )0 les polynômes réciproques respectifs de h et p .

2

4  Montrer que h = np - (p )0 , puis que h0 = (np - Xp ).
5  Vérifier que p est scindé sur R puis montrer que h  h0 = 1 et en déduire que 
p
n'admet pas de racine stable.

B. Liberté d'une famille de polynômes
Pour tout entier j  J1, nK, on note fj le polynôme
n
Y

fj = an (1-n X) · · · (1-j+1 X)(X -j-1 ) · · · (X -1 ) = an

(1-k X)

k=j+1

avec, selon les conventions habituelles,

n
Y

(1 - k X) =

k=n+1

0
Y

j-1
Y

(X -k )

k=1

(X - k ) = 1.

k=1

6  Montrer que s'il existe deux entiers i, k tels que 1  i < k  n et i k = 1, alors i est racine de chaque polynôme fj , où j  J1, nK, et que la famille (f1 , . . . , fn ) est liée. Jusqu'à la fin de la partie B. on suppose qu'aucune racine de p n'est stable. On note E le sous-espace vectoriel des fractions rationnelles à coefficients réels dont les éventuels pôles sont des inverses de racines de p (on ne demande pas de justifier que E est un espace vectoriel). Les éléments de E sont donc les fractions rationnelles dont le dénominateur peut s'écrire comme produit fini, éventuellement égal à 1, de facteurs (1 - i X) où 1  i  n. Pour tout j  J1, nK, on définit la fraction rationnelle gj  E par gj = Y n fj (1 - i X) i=1 et l'application Pj , qui à une fraction rationnelle f  E associe la fraction rationnelle Pj (f ) = (1 - j X)f - (1 - j2 )f (j ) . X - j 7  Montrer que pour tout j  J1, nK, l'application Pj est un endomorphisme de E et déterminer son noyau. 3 ! 8  Pour tout j  J1, nK et tout g  E, calculer Pj (X - j )g . 1 - j X 9  En déduire que la famille (f1 , . . . , fn ) est libre. C. Expression de la matrice J(p) 10  Montrer que la famille ((S  )i U )0in-1 est une base de Mn,1 (R). Les matrices S et U ont été définies dans la partie préliminaire du problème. Pour tout entier j  J1, nK, on définit les matrices Bj = S - j In 11  Démontrer que J(p) = n X et Cj = In - j S. fj (S) (Cj Cj - Bj Bj )fj (S). j=1 Les polynômes f1 , . . . , fn ont été définis dans le préambule de la partie B. 12  Soit j  J1, nK. Montrer que Cj Cj - Bj Bj = (1 - j2 )U U  . 13  On note D la matrice diagonale de taille n : D = Diag((1 - j 2 )1jn ) et V  Mn (R) la matrice telle que pour tout j  J1, nK, la j-ème colonne de V est Vj = fj (S  ) U. Montrer que J(p) = V DV  . 14  En déduire, à l'aide de la question 6, que si p possède une racine stable alors J(p) n'est pas inversible. D. Cas où J(p) est inversible : critère de Schur-Cohn On rappelle que si M  Mn (R) alors (M ) désigne le cardinal de l'ensemble de ses valeurs propres strictement positives, comptées avec leurs multiplicités. On munit Mn,1 (R) de sa structure euclidienne canonique. On dit qu'un sous-espace vectoriel F de Mn,1 (R) vérifie la condition (CM ) quand X  M X > 0.

X  F \ {0n,1 }

4

On note d(M ) la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel F de Mn,1 (R) 
vérifiant la condition (CM ), c'est-à-dire :
d(M ) = max{dim F | F s.e.v de Mn,1 (R) vérifiant (CM )}.

15  Soit deux matrices A, B  Mn (R) telles qu'il existe une matrice P  GLn (R)
vérifiant A = P  BP . Montrer que d(B)  d(A) puis que d(B) = d(A).
16  Pour toute matrice M  Sn (R) construire un sous-espace vectoriel FM de Mn,1 
(R)
de dimension (M ) vérifiant la condition (CM ). On a donc d(M )  (M ).
17  On veut montrer que pour toute matrice M  Sn (R) on a (M ) = d(M ). Par
l'absurde, en supposant l'existence d'un sous-espace vectoriel G de Mn,1 (R) de

dimension dim G > (M ) vérifiant la condition (CM ), montrer dim(FM
 G)  1,
en déduire une contradiction et conclure.
18  Démontrer le critère de Schur-Cohn :
Si J(p) est inversible alors p ne possède aucune racine stable et (p) = (J(p)).

E. Condition nécessaire et suffisante d'inversibilité
19  Montrer, à l'aide des questions 9 et 13, que si p n'admet pas de racine 
stable et si
J(p) n'est pas inversible alors il existe un polynôme q non nul à coefficients 
réels
de degré au plus n - 1 tel que q(S  ) U = 0n,1 .
20  En déduire que la matrice J(p) est inversible si et seulement si p n'admet 
aucune
racine stable.

F. Un cas particulier
On suppose dans cette partie, comme on l'a fait aux questions 3 à 5, que toutes 
les
racines de p sont stables et de multiplicité 1 et on note h = Xp (où p est le 
polynôme
dérivé de p) et h0 le polynôme réciproque de h. On rappelle que, d'après la 
question 3,
il existe un réel   {-1, 1} tel que p = p0 .
21  Montrer que J(h) est inversible.
22  Montrer qu'il existe un réel  > 0 tel que pour tout r ]1-; 1[, le polynôme 
p(rX)

5

est scindé, admet exactement (p) racines à l'intérieur de l'intervalle ] - 1; 
1[ et ne
possède aucune racine stable.
Pour tout réel r > 0, on note F (r) = J(p(rX)).
23  Montrer que
!

n
lim- 
F (r) = n - (p).
r1
2(r - 1)

24  Justifier que l'application F : R+
 Sn (R) est dérivable et que

F  (1) = 2n(p(S)) p(S) - 2S  (p (S)) p(S) - 2(p(S)) p (S)S.
25  En déduire, à l'aide des résultats de la question 4, que
n
F (r) = J(h) + o(1).
r1
2(r - 1)
On admet que l'application définie sur Sn (R) à valeurs dans Rn qui à une 
matrice symétrique associe le n-uplet de ses valeurs propres réelles comptées 
avec leurs multiplicités,
rangées dans l'ordre décroissant, est continue.

26  En déduire que (p) = n - 1 - (J(p )).

G. Méthode générale.
On se place dans le cas général, sans disposer d'information sur la stabilité 
et la multiplicité des racines de p, et on cherche à calculer (p).
On construit les deux polynômes f et g vérifiant f = p  p0 et p = f g.
27  Montrer que (g) = (J(g)).
28  Proposer une méthode permettant de construire un nombre fini (éventuellement
nul) de polynômes g1 , . . . , g , dont les racines sont stables et de 
multiplicité 1, tels
que f = g1 g2 · · · g . Exprimer (p) à l'aide de n, deg g, (J(g)), , (J(g)) 
ainsi que

(J(g1 )), . . . , (J(g )).

Fin du problème

6