Mines Maths 2 MP 2022

A2022 --- MATH II MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Autour des exponentielles de matrices

Dans tout le sujet, le corps K sera R ou EUR, et n est un entier naturel 
supérieur
ou égal à 2.

On note || - || une norme sur l'espace vectoriel M, (K), vérifiant les 
propriétés
Hnl = 1. (M)

2
V(A,B) EUR (MA (K)) IAB| < AI BT. (N2) On rappelle que l'exponentielle d'une matrice À de M, (K) est la matrice, notée e*, ou bien exp(A), définie par k=--0 On rappelle que, pour tout À EUR M,(K), l'application fa: RM,(K), te fa(t) = et4 est de classe CT sur R, avec VER  fat)=AeA=etA. On admettra que, si À et B sont deux matrices semblables de M,(K), plus précisément si on a B = P-TAP avec P EUR GL,(K), alors eP=P le{P. Si À et B sont deux matrices de M,(K), on définit leur crochet de Lie par LA, B] = AB -- BA. La partie 4 du problème est indépendante des parties 2 et 3. 1 Questions préliminaires On se donne deux matrices À et B dans M,(K). On suppose dans les questions 1) et 2) que À et B commutent. 1 > Montrer que les matrices À et e© commutent.
On définit une application

g : R -- M, {(K)

2 > Montrer que l'application g, et l'application f 4 définie en préambule, sont
solutions d'un même problème de Cauchy. En déduire une démonstration

de la relation
VteR elAth) 2 eiActh, (1)

3 > Réciproquement, on suppose la relation (1) satisfaite. En dérivant deux fois
cette relation par rapport à la variable réelle {, montrer que les matrices
A et B commutent.

4 > Pour toute matrice À EUR M,(K), prouver la relation le] < ellAl, 5 > Montrer que det(e4) -- etrA),

2 Formule de Trotter-Kato

Dans cette partie, on note À et B deux matrices quelconques de M, (K).
L'objectif est de prouver la relation

A B\° A B\\°
i kek] =efth i -- |) --
im le e ) e ou im (exp () exp ( L )) exp(A+B). (2)

Pour tout k entier naturel non nul, on pose

Ki = (À) av(9) «M er(ÉEE)

6 > Prouver les majorations

IA] + 181

IA + PI
L |

VkEN*  |Xxl|  M, {K)

ti ht) -- etAetB _ Qt(AFB)

N
7 > Montrer que
1
Xp -- Yy -- O(:5) lorsque ƣ -- +.

8 > Vérifier la relation
k--1
XF --YÉ = IN UXEXE ME.
i=0

En déduire la relation (2).

3 Vers les algèbres de Lie

Dans cette partie, K = R. Pour tout n entier naturel, n > 2, on introduit
l'ensemble, dit groupe spécial linéaire :

SLn(R) = {M EUR MAR) | det(M) = 1}.
Si G est un sous-groupe fermé de GL, (R), on introduit son algèbre de Lie :
Ac={MEM,(R)IVMER ef eG}.

L'ensemble SL, (R), ainsi que le groupe orthogonal O,(R), sont bien des sous-
groupes fermés de GL,(R). On ne demande pas de le démontrer.

9 > Déterminer AG lorsque G = SL, (R).

10> SiG--=O,(R), montrer que AG = A,(R), ensemble des matrices antisy-
métriques.

Dans les questions 11) à 14), G est un sous-groupe fermé quelconque

de GL,(R)).

11 > En utilisant la partie 2, montrer que AG est un sous-espace vectoriel de
MAR).
12 > Soient À EUR AG et B EUR AG. Montrer que l'application
tr u(t)=e".B.e t4

est à valeurs dans AG.
13 > En déduire que AG est stable par le crochet de Lie, i.e.
VA EUR Ac, VB EUR Ac, [A,B] EUR Ac.

On rappelle que, si M est une matrice de M, (R)), on dit que M est tangente
à G en 1, s'il existe EUR > 0 et une application 7 :| ---EUR,EUR[-- G, 
dérivable, telle
que (0) = 7, et y/(0) = M. L'ensemble des matrices tangentes à G en 1, est
appelé espace tangent à G en 1,, et noté 77,(G).

On rappelle aussi que l'application det : M,(R) -- R est différentiable en
tout point, par exemple parce qu'elle est polynomiale.

14 > Prouver l'inclusion AG C Tr,(G).
15 > Soit M EUR M,{R), que l'on pourra aussi considérer comme matrice
complexe, soit l'application 0m : R--R,tr ômt(t) = det(l, +tM).

En utilisant un développement limité à l'ordre 1, montrer que ôw est
dérivable en 0 et calculer 6,(0).

16 > Montrer que la différentielle au point /, de l'application det : M,(R) -- R
est la forme linéaire "trace".

17 > Montrer que, dans les cas particuliers G = SL,(R) et G = O,(R), on a
Ti,(G) = Ac.

4 Comportement asymptotique

Étude d'un exemple

On considère deux nombres complexes distincts « et 5. On suppose qu'une

matrice À EUR M3(C) admet a pour valeur propre simple, 6 pour valeur propre
double.

18 > Montrer que À est semblable à une matrice de la forme

a OÙ 0
T= 0 5 a
0 0 5

où a est un certain nombre complexe. Calculer 7" pour n entier naturel,
puis et? pour t réel. En déduire une condition nécessaire et suffisante sur
a et Ê pour que l'on ait limy 1 etA = O3.
Cas général

Dans tout ce qui suit, K = C. On pose E -- C7. L'espace vectoriel F,, identifié
à Mn1(C), peut être muni d'une quelconque norme notée || - ||£, on rappelle
qu'elles sont toutes équivalentes. On se donne À EUR M,(C) une matrice carrée
à coefficients complexes, et on note vw l'endomorphisme de C" canoniquement
associé à cette matrice. On s'intéresse au comportement asymptotique de la
fonction f4 introduite dans le préambule, et à celui des fonctions vectorielles
solutions du système différentiel linéaire à coefficients constants X' -- AX. 
Pour
tout t réel et pour (i, j) EUR [1,n]°, on notera v; ;(t) le coefficient 
d'indices (4, 5)
de la matrice e*4. Ainsi.

MER fat = et = (u5(0)4 2 EUR Mn(C) :

Pour toute valeur propre À de la matrice À, on note m1 sa multiplicité, et on
introduit le sous-espace vectoriel

F\ = Ker ((A -- A,)"*) = Ker ((u -- Aldg)"\) .

On posera aussi à = max}esp(4) Re(A).

19 > Montrer que, si lim fa(t) = 0», alors à < 0. 20 & Montrer que C7 = ®;esp(4) Fa: 21 > En déduire l'existence de trois matrices P, D et N dans M,,(C) telles
que :

P est inversible,
D est diagonale,
N est nilpotente,

ND = DN,
A= P(D+N)P"1,
XA -- XD:

22 > En déduire qu'il existe un entier naturel p tel que, pour tout (4, j) EUR 
[1,n]°,
on ait
v,5(t) = O(P e%) lorsque t -- + .
23 > Étudier la réciproque de la question 19).

24 © On suppose, dans cette question seulement, que les valeurs propres de la
matrice À ont toutes des parties réelles positives ou nulles. Montrer que,
si À E C",ona

lim eAX=0---- X--0.
1--+o

Dans les questions qui suivent, on introduit les polynômes suivants :

P;(X) -- Il (X -- A),
XESp(A)
Re(A)<0 P;(X) -- Il (X E À)", XESp(A) Re(À)>0

PA(X) = Il (X -- À)",
XESp(A)
Re(À)=0

et les sous-espaces ÆE, = Ker (P,(A)), E; = Ker (P;(A)) et E, = Ker (P,(A))
de E = CC. Les indices s, 1, n signifient respectivement stable, instable et 
neutre.

25 > Après avoir justifié que E£ = EE, E; @ E,, montrer que
E,={XEE] lim ex =0).
1-- +00

On prouverait de même, mais ce n'est pas demandé, que
E,={XEE] lim eX=0}.
t----00
26 > Montrer que
FE, ={XEE|ICERI PEN VER |eX|s