Mines Maths 2 MP 2021

Corrigé

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A2021 - MATH II MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Fonctions de matrices symétriques, continuité et convexité

Dans ce problème, on propose de définir la notion d'image d'une matrice réelle 
symétrique
par une fonction d'une variable réelle, puis d'étudier quelques propriétés de 
cette notion
(en particulier, relativement à la continuité et à la convexité). Ces notions 
présentent un
intérêt en sciences physiques (statistique ou quantique).

Notations

Dans tout le problème :

n désigne un entier naturel non nul;

si p et q sont des entiers naturels, l'ensemble des entiers k tels que p < k < q est noté [p, q] : si à et j sont des entiers naturels, alors 0; ; = 1 si à -- j et à; ; -- 0 sinon; B, désigne l'ensemble des bijections de [1,n] dans lui-même ; I est un intervalle de R qui n'est ni vide ni réduit à un singleton ; CU(I,R) désigne l'ensemble des fonctions continues de I dans R : une fonction ç de I dans R est dite polynomiale s'il existe P un polynôme réel tel que, pour tout x EUR 1, w(x) = P(x); Mh(R) (respectivement D, (R), resp. S,(R)), resp. O,(R))), désigne l'ensemble des matrices carrées (resp. diagonales, resp. symétriques, resp. orthogonales) d'ordre n à coefficients réels, et on confond un élément de M1(R)) avec son unique coefficient ; on note Tr l'application trace définie sur M, (R) ; si M EUR MAR), on note 'M sa transposée, on note Sp(M) son spectre réel, et si (i,j)e[1,n]", [M est le coefficient de M situé à la i-ème ligne et j-ème colonne : on munit M,(R) de sa norme infinie, notée || - [| et définie par : VMEM,(R), [MI =max{[W};;l,1 Démontrer que pour tout (o,0') EUR B£, w(a o a') = w(a)w(a').
2 > Démontrer que w(B,) EUR O,(R).

3 > Soit o EUR By et (di)i En déduire l'équivalence suivante concernant deux éléments D et D' de D, 
(R),

i) D et D' ont le même ensemble de coefficients diagonaux, chacun ayant le
même nombre d'occurrences dans D et D".

ii) il existe M EUR w(B,) telle que D' = 'MDM.

Fonctions de matrices symétriques

Cette partie a pour objectif de définir une correspondance entre l'espace des 
fonctions
de 7 dans R et l'espace des fonctions de $,(1) dans S,(R)), puis d'en démontrer 
quelques
propriétés. Dans cette partie, f est une fonction de I dans R.
5 > Soit S EUR S,(1). Justifier l'existence de Q EUR O,(R) et de (s;)1<; Pour tout (s;)1<; Montrer que l'on a alors :
1Q/ Diag((f(s!)) ce, Q! = Q Diag((f(si)),2,) Q,

puis que /Q Diag((f(si)),2,) QE S,(R).

Dans la suite du problème, on note u l'application qui, à toute fonction & de 1 
dans
R, associe u(ç) la fonction de $,(1) dans S,(R) définie par :

VS EUR Su(1), u(p)(5) = "A Diag((p(s))ie,)

où 5 = Q( Diag((s;)1 Vérifier que u et v sont linéaires, puis calculer, pour toute fonction & de 
I dans R
et pour tout x EUR I, u(w)(xl,).
9 > Étudier l'injectivité et la surjectivité de u.

10 > On suppose que f est polynomiale ; montrer qu'il existe P EUR R|X\ tel que 
pour
tout S EUR S,(1), u(f)(S) = P(S).

Réciproquement, est-il vrai que, s'il existe P EUR R|X\ tel que pour tout S EUR 
S,(1),
u(f)(S) = P(S), alors f est polynomiale ?
11 > Démontrer que, si (@x)£en est une suite de fonctions de 7 dans R qui 
converge
simplement sur 1 vers une fonction 4, alors les suites (u(wx)),.N et (v(wx))en
convergent simplement sur S,(1).

Y a-t-il convergence uniforme sur S,(1) si l'on suppose que (pz)reN converge
uniformément sur 1?

Norme et convexité

L'objectif de cette partie est de munir $,(R) d'une nouvelle norme qui 
permettra de
compléter l'étude des fonctions de matrices symétriques.

12 > On note Y -- {x E MailR); XX = 1}. Démontrer que si S EUR S,(R)) on a :

min (Sp(S)) =min{!X SX; X EXlet max (Sp(S)) =max{/XSX;, X EX}.

13 > Montrer finalement que S$,(1) est une partie convexe de $,(R)) et que 
l'application
p, de S,(R) dans R, qui à toute matrice M EUR S,(R)) associe

max { [A] ; À EUR Sp(M)},

est une norme sur S,(R)).

Continuité des fonctions de matrices symétriques

Dans cette partie, à l'aide de la norme précédemment introduite, on démontre 
quelques
résultats relatifs à la continuité des fonctions de matrices symétriques. On 
suppose dé-
sormais S,(R) muni de la norme p et on appelle x l'application de S,(R) dans 
R{[X]
qui, à tout élément de S,(R)), associe son polynôme caractéristique.

On définit aussi l'application, notée Sp, qui à toute matrice S EUR S,(R), 
associe son
spectre croissant (c'est-à-dire le n-uplet croissant des valeurs propres de $ 
dans lequel le
nombre d'occurrences de chaque valeur propre coïncide avec son ordre de 
multiplicité).

14 > Démontrer que y est continue.

On souhaite maintenant prouver que Sp; est continue. À cet effet, on introduit 
un
élément M de S,(R) et une suite (My)ren à valeurs dans S,(R) qui converge vers 
M.
Si k E N, on note À; = Sp.(M}).

15 > Démontrer que la suite (Ax)£en admet une valeur d'adhérence croissante.
16 > Montrer que, si « est une application strictement croissante de N dans N 
telle que
la suite (A,(x))keN converge, alors : A4(x) ------ Sp4(M).
k-- +00

17 > En déduire que Sp; est continue.
18 > Démontrer que O,(R)) est une partie compacte de M, (R).

19 > Démontrer que, si 6 EUR CU(I,R), alors u(w) et u(w) sont continues.

Convexité des fonctions de matrices symétriques

On démontre maintenant quelques résultats relatifs à la convexité des fonctions 
de
matrices symétriques. Dans cette partie, f est une fonction de 1 dans R.

20 > On suppose ici que f est convexe sur I et que SE S, (1). On note

Us ={'QOSQ; QEO,(R)}.

Justifier que pour tout U EUR Us, pour tout k EUR [1,n], [Ulrx EUR L.

Démontrer alors que :

max 5 F(Ux) : U EUR us = v(f)(5).

k=--1

21 > En déduire que, si f est convexe sur I, pour tout (A,B) EUR S,(1)?, pour 
tout
te [0,1], on a :

o(f)((L-- 0 A+4B) < (1-6) 0(F)(A) + to(f)(B). On dit qu'une fonction # de S,(1) dans R est convexe sur $,(1) si elle vérifie la relation : V(A,B)e S,(1), Vte[0,1,, w((1---t)A+4B) <(1--t)y(A) +ty(B). 22 > Démontrer finalement que la fonction v(f) est convexe sur $,(1) si, et 
seulement
si, f est convexe sur Î.

FIN DU PROBLÈME

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 MP 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Christophe Fiszka (professeur en CPGE) ; il a été 
relu
par Tristan Poullaouec (professeur en CPGE) et Gilbert Monna (professeur 
honoraire
en CPGE).

Ce sujet propose d'étudier les propriétés des matrices symétriques et des 
fonctions
de matrices symétriques.
· Dans la première partie, on introduit les matrices de permutation en tant que
cas particuliers de matrices orthogonales.
· La deuxième partie commence avec le théorème spectral et des polynômes de
matrices. Ensuite, on définit deux applications dont on étudie les propriétés
via une brève incursion en analyse, avec une étude de convergence simple et
uniforme sur les ensembles des applications de I dans R et de Sn (I) dans R.
· La partie 3 montre que la restriction du rayon spectral  à l'espace des 
matrices
symétriques réelles définit une norme. Pour rappel,
 M  Mn (C)

(M) = max

||

sp (M)

· Les deux dernières parties traitent des propriétés de continuité et de 
convexité
des fonctions de matrices symétriques.
La principale originalité (et difficulté) de ce sujet réside dans la 
compréhension de
l'énoncé. Par exemple, l'application u, définie comme application sur des 
ensembles
d'applications matricielles, est difficile à appréhender. Il fallait être 
rigoureux dans
la manipulation des différents objets mathématiques pour éviter les confusions.
Le sujet comporte plusieurs questions classiques (compacité de On (R), polynômes
interpolateurs de Lagrange...) ce qui peut en faire un sujet de révision sur la 
réduction des matrices symétriques, les polynômes de matrices et la topologie 
des espaces
matriciels.

Indications
Matrices de permutations
1 Rappelons la formule du produit matriciel. Si A  Mn,p (R) et B  Mp,q (R),
p
P
alors AB  Mn,q (R) avec [AB]i,j =
[A]i,k [B]k,j .
k=1
t

2 Pour vérifier que () est orthogonale, il suffit d'établir que () () = In .
4 Considérer une permutation  pour laquelle di 0 = d(i) pour tout i  [[ 1 ; n 
]].
Fonctions de matrices symétriques
5 C'est une conséquence du théorème spectral.
6 Penser aux polynômes interpolateurs de Lagrange.
7 Utiliser la question précédente et pour P  R[X], montrer que

t
t
t
P  diag (si )i  =  P diag (si )i  =  diag P(si ) i 
9 La fonction u est injective mais non surjective dès que n > 2.
10 La réciproque est vraie. Appliquer l'égalité à S = xIn pour x  I.
Norme et convexité
12 Se ramener au cas d'une matrice diagonale à l'aide du théorème spectral.
13 Utiliser le résultat précédent pour la convexité et l'inégalité triangulaire 
avec .
Continuité des fonctions symétriques
14 L'application déterminant det : Mn (R)  R est une application polynomiale en
les coefficients de la matrice.
15 Toute suite bornée d'un espace vectoriel de dimension finie admet une valeur
d'adhérence.
16 À l'aide de la continuité de , justifier que M = diag(lim (k) ) .
17 Penser à la caractérisation séquentielle de la continuité. En dimension 
finie, toute
suite bornée avec une unique valeur d'adhérence est convergente.
18 Montrer que On (R) est fermé en tant qu'image réciproque d'une partie fermée
par une application continue.
19 Utiliser la même démarche que pour la question 17.
Convexité des fonctions symétriques
20 De nouveau, se ramener au cas diagonal. Vérifier que v(f )(S) =
22 Pour la réciproque, utiliser A = xIn et B = yIn .

n
P
i=1

f (si ).

Publié dans les Annales des Concours

Matrices de permutations
0

2

1 Soit (,  )  Bn . Par définition du produit matriciel, pour (i, j)  [[ 1 ; n ]]

2

n 
n

P
P
i,(k) k0 (j)
()( 0 ) i,j =
() i,k ( 0 ) k,j =
k=1

k=1

0

Or, le terme k0 (j) vaut 1 si k =  (j) et 0 sinon. La somme précédente se 
réduit à
un unique terme i,(0 (j)) . Ainsi

()( 0 ) i,j = i,0 (j) = (   0 ) i,j
()( 0 ) = (   0 )

Finalement,

Soit f l'endomorphisme de Rn de matrice () dans la base canonique de R.
i  [[ 1 ; n ]]

f (ei ) = e(i)

où (e1 , . . . , en ) désigne la base canonique de Rn . C'est l'endomorphisme 
qui
permute les coordonnées : pour (x1 , . . . , xn )  Rn ,
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = (x(1) , x(2) , . . . , x(n) )
Avec  0 une seconde permutation, on trouve
(f  f0 )(x1 , x2 , . . . , xn ) =
=
=
0
(f  f )(x1 , x2 , . . . , xn ) =

f f0 (x1 , x2 , . . . , xn )
f (x0 (1) , x0 (2) , . . . , x0 (n) )
(x(0 (1)) , x(0 (2)) , . . . , x(0 (n)) )
f0 (x1 , x2 , . . . , xn )

Ainsi, f  f0 = f0 et on retrouve ()( 0 ) = (   0 ).
2

2 Soit   Bn . Soit (i, j)  [[ 1 ; n ]] . Alors
t

n 

P
t
() () i,j =
() i,k () k,j

=

k=1
n 
P

()

k=1
n
P

t

k,i

() k,j

=
k,(i) k,(j)
k=1

() () i,j = (i),(j)

Précisons que la condition (i) = (j) équivaut à i = j puisque  est une 
injection.
En résumé,
t

 (i, j)  [[ 1 ; n ]]2
() () i,j = i,j
t

De ce fait () () = In et la matrice () est orthogonale.
(Bn )  On (R)
Avec les notations de la remarque précédente, f transforme la base canonique, 
qui est orthonormale, en une autre base orthonormale, puisqu'il ne fait
que changer l'ordre des vecteurs, donc c'est un endomorphisme orthogonal.
Sa matrice dans la base canonique (orthonormale) est aussi orthogonale.
2

3 Vérifions que pour tout couple d'indices (i, j)  [[ 1 ; n ]] ,

Publié dans les Annales des Concours

h

i

diag (d` )` ()

i,j

h
i
= () diag (d(`) )`

i,j

2

Soit (i, j)  [[ 1 ; n ]] . D'une part
h
i
n h

i
P
diag (d` )` ()
=
diag (d` )`
i,j

k=1

h
i
()
i,k

k,j

h

i
i h
= diag (d` )`
()
i,i

h

diag (d` )` ()

i
i,j

h
i
(car diag (d` )`
= 0 si k 6= i)

i,j

i,k

= di i,(j)

h
i
D'autre part () diag (d(`) )`

i
n h
P
()

=

i,j

h

diag

i,k

k=1

h
i h
= ()
diag
i,j

h

() diag (d(`) )`

i
i,j

d(`) )`

d(`) )`

i
k,j

i
j,j

= i,(j) d(j)

Si i 6= (j), alors i,(j) = 0 et di i,(j) = 0 = i,(j) d(j) . Sinon i,(j) = 1 et

Dans tous les cas

h

di = d(j) puis di i,(j) = i,(j) d(j)
i
h

i
diag (d` )` ()
= () diag (d(`) )`
i,j

d'où

diag (d` )` () = () diag (d(`) )`

i,j

4 Raisonnons par double implication. Soient D = diag (di )i et D0 = diag (di 0 
)i .
· i)  ii) : Supposons que les matrices diagonales D et D0 aient les mêmes 
coefficients diagonaux avec les mêmes occurrences. Dans ce cas, il existe une
permutation   Bn telle que
di 0 = d(i)

 i  [[ 1 ; n ]]
Par exemple, pour

-1
0
D=
0
0

0 0 0
5 0 0

0 2 0
0 0 -1

On peut considérer les

1

2

3

4

5
0
0
et D = 
0
0

0
-1
0
0

0 0
0 0

2 0
0 -1

permutations
7
7

7

7

2
1
3
4

1

2
ou 
 3

4

7
7
7
7

4
1
3
2

Cet exemple montre qu'il n'y a pas unicité de la permutation dès qu'il
y a plusieurs occurrences d'un même coefficient.
D'après la question 3,

diag (d` )` () = () diag (d(`) )` = () diag (d` 0 )`
d'où DM = MD0 en posant M = (). Comme M est une matrice orthogot
nale, M est inversible avec M-1 = M. Par multiplication à gauche par l'inverse
t
0
de M, on a M DM = D . L'énoncé ii) est vérifié.