Mines Maths 2 MP 2021

Thème de l'épreuve Fonctions de matrices symétriques, continuité et convexité
Principaux outils utilisés topologie, calculs matriciels, réduction, suites et séries de fonctions
Mots clefs matrices symétriques, théorème spectral, rayon spectral, convexité, continuité, matrice orthogonale, matrice de permutation

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A2021 - MATH II MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Fonctions de matrices symétriques, continuité et convexité

Dans ce problème, on propose de définir la notion d'image d'une matrice réelle 
symétrique
par une fonction d'une variable réelle, puis d'étudier quelques propriétés de 
cette notion
(en particulier, relativement à la continuité et à la convexité). Ces notions 
présentent un
intérêt en sciences physiques (statistique ou quantique).

Notations

Dans tout le problème :

n désigne un entier naturel non nul;

si p et q sont des entiers naturels, l'ensemble des entiers k tels que p < k < q est noté [p, q] : si à et j sont des entiers naturels, alors 0; ; = 1 si à -- j et à; ; -- 0 sinon; B, désigne l'ensemble des bijections de [1,n] dans lui-même ; I est un intervalle de R qui n'est ni vide ni réduit à un singleton ; CU(I,R) désigne l'ensemble des fonctions continues de I dans R : une fonction ç de I dans R est dite polynomiale s'il existe P un polynôme réel tel que, pour tout x EUR 1, w(x) = P(x); Mh(R) (respectivement D, (R), resp. S,(R)), resp. O,(R))), désigne l'ensemble des matrices carrées (resp. diagonales, resp. symétriques, resp. orthogonales) d'ordre n à coefficients réels, et on confond un élément de M1(R)) avec son unique coefficient ; on note Tr l'application trace définie sur M, (R) ; si M EUR MAR), on note 'M sa transposée, on note Sp(M) son spectre réel, et si (i,j)e[1,n]", [M est le coefficient de M situé à la i-ème ligne et j-ème colonne : on munit M,(R) de sa norme infinie, notée || - [| et définie par : VMEM,(R), [MI =max{[W};;l,1 Démontrer que pour tout (o,0') EUR B£, w(a o a') = w(a)w(a').
2 > Démontrer que w(B,) EUR O,(R).

3 > Soit o EUR By et (di)i En déduire l'équivalence suivante concernant deux éléments D et D' de D, 
(R),

i) D et D' ont le même ensemble de coefficients diagonaux, chacun ayant le
même nombre d'occurrences dans D et D".

ii) il existe M EUR w(B,) telle que D' = 'MDM.

Fonctions de matrices symétriques

Cette partie a pour objectif de définir une correspondance entre l'espace des 
fonctions
de 7 dans R et l'espace des fonctions de $,(1) dans S,(R)), puis d'en démontrer 
quelques
propriétés. Dans cette partie, f est une fonction de I dans R.
5 > Soit S EUR S,(1). Justifier l'existence de Q EUR O,(R) et de (s;)1<; Pour tout (s;)1<; Montrer que l'on a alors :
1Q/ Diag((f(s!)) ce, Q! = Q Diag((f(si)),2,) Q,

puis que /Q Diag((f(si)),2,) QE S,(R).

Dans la suite du problème, on note u l'application qui, à toute fonction & de 1 
dans
R, associe u(ç) la fonction de $,(1) dans S,(R) définie par :

VS EUR Su(1), u(p)(5) = "A Diag((p(s))ie,)

où 5 = Q( Diag((s;)1 Vérifier que u et v sont linéaires, puis calculer, pour toute fonction & de 
I dans R
et pour tout x EUR I, u(w)(xl,).
9 > Étudier l'injectivité et la surjectivité de u.

10 > On suppose que f est polynomiale ; montrer qu'il existe P EUR R|X\ tel que 
pour
tout S EUR S,(1), u(f)(S) = P(S).

Réciproquement, est-il vrai que, s'il existe P EUR R|X\ tel que pour tout S EUR 
S,(1),
u(f)(S) = P(S), alors f est polynomiale ?
11 > Démontrer que, si (@x)£en est une suite de fonctions de 7 dans R qui 
converge
simplement sur 1 vers une fonction 4, alors les suites (u(wx)),.N et (v(wx))en
convergent simplement sur S,(1).

Y a-t-il convergence uniforme sur S,(1) si l'on suppose que (pz)reN converge
uniformément sur 1?

Norme et convexité

L'objectif de cette partie est de munir $,(R) d'une nouvelle norme qui 
permettra de
compléter l'étude des fonctions de matrices symétriques.

12 > On note Y -- {x E MailR); XX = 1}. Démontrer que si S EUR S,(R)) on a :

min (Sp(S)) =min{!X SX; X EXlet max (Sp(S)) =max{/XSX;, X EX}.

13 > Montrer finalement que S$,(1) est une partie convexe de $,(R)) et que 
l'application
p, de S,(R) dans R, qui à toute matrice M EUR S,(R)) associe

max { [A] ; À EUR Sp(M)},

est une norme sur S,(R)).

Continuité des fonctions de matrices symétriques

Dans cette partie, à l'aide de la norme précédemment introduite, on démontre 
quelques
résultats relatifs à la continuité des fonctions de matrices symétriques. On 
suppose dé-
sormais S,(R) muni de la norme p et on appelle x l'application de S,(R) dans 
R{[X]
qui, à tout élément de S,(R)), associe son polynôme caractéristique.

On définit aussi l'application, notée Sp, qui à toute matrice S EUR S,(R), 
associe son
spectre croissant (c'est-à-dire le n-uplet croissant des valeurs propres de $ 
dans lequel le
nombre d'occurrences de chaque valeur propre coïncide avec son ordre de 
multiplicité).

14 > Démontrer que y est continue.

On souhaite maintenant prouver que Sp; est continue. À cet effet, on introduit 
un
élément M de S,(R) et une suite (My)ren à valeurs dans S,(R) qui converge vers 
M.
Si k E N, on note À; = Sp.(M}).

15 > Démontrer que la suite (Ax)£en admet une valeur d'adhérence croissante.
16 > Montrer que, si « est une application strictement croissante de N dans N 
telle que
la suite (A,(x))keN converge, alors : A4(x) ------ Sp4(M).
k-- +00

17 > En déduire que Sp; est continue.
18 > Démontrer que O,(R)) est une partie compacte de M, (R).

19 > Démontrer que, si 6 EUR CU(I,R), alors u(w) et u(w) sont continues.

Convexité des fonctions de matrices symétriques

On démontre maintenant quelques résultats relatifs à la convexité des fonctions 
de
matrices symétriques. Dans cette partie, f est une fonction de 1 dans R.

20 > On suppose ici que f est convexe sur I et que SE S, (1). On note

Us ={'QOSQ; QEO,(R)}.

Justifier que pour tout U EUR Us, pour tout k EUR [1,n], [Ulrx EUR L.

Démontrer alors que :

max 5 F(Ux) : U EUR us = v(f)(5).

k=--1

21 > En déduire que, si f est convexe sur I, pour tout (A,B) EUR S,(1)?, pour 
tout
te [0,1], on a :

o(f)((L-- 0 A+4B) < (1-6) 0(F)(A) + to(f)(B). On dit qu'une fonction # de S,(1) dans R est convexe sur $,(1) si elle vérifie la relation : V(A,B)e S,(1), Vte[0,1,, w((1---t)A+4B) <(1--t)y(A) +ty(B). 22 > Démontrer finalement que la fonction v(f) est convexe sur $,(1) si, et 
seulement
si, f est convexe sur Î.

FIN DU PROBLÈME