Mines Maths 2 MP 2019

Thème de l'épreuve Majoration du rayon spectral de la matrice de Hilbert
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, intégrales à paramètres, espaces euclidiens, suites numériques, polynômes, équations différentielles
Mots clefs Matrice de Hilbert, rayon spectral, opérateur intégral

Corrigé

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Mines Maths 2 MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Bertrand Wiel (professeur en CPGE) ; il a été relu 
par
Florian Metzger (docteur en mathématiques) et Benjamin Monmege 
(enseignantchercheur à l'université).

L'objet de ce problème est la détermination d'une suite de majorants du rayon
spectral n de la matrice de Hilbert (1/(j + k + 1))06j,k6n-1 et l'étude du 
comportement asymptotique de cette suite. Il s'agit d'un résultat publié en 
2005 par
Peter Otte. Il établit une relation entre la matrice de Hilbert et un opérateur 
intégral
à noyau positif Kn auquel on applique un principe de min-max pour obtenir 
l'égalité
Z 1
1
n = inf sup
Kn (tx)(t) dt
A x] 0 ; 1 [ (x) 0
où A est un ensemble de fonctions.
· La première partie est consacrée à l'étude, à l'aide d'outils d'algèbre 
linéaire
et euclidienne, du sous-espace propre associé à n . On montre qu'il est de
dimension 1 et engendré par un vecteur à coordonnées strictement positives.
· La seconde établit la majoration n 6  à l'aide de relations entre les 
coefficients
de la matrice de Hilbert et l'intégration de fonctions polynomiales.
· La troisième fait le lien entre la matrice de Hilbert et l'opérateur intégral 
puis
établit l'expression de n comme borne inférieure sur l'ensemble A .
· La dernière partie a pour objectif de calculer cette expression pour une 
sousfamille particulière de fonctions à l'aide d'intégrales à paramètre et d'en 
déduire
une suite de majorants et son comportement asymptotique.
Le thème du sujet est intéressant et permet d'obtenir un résultat non trivial en
recourant à de nombreuses méthodes d'analyse et d'algèbre.
L'épreuve possède cependant plusieurs défauts très regrettables pour un sujet de
concours. Le plus important étant celui d'utiliser à la première question une 
notion
hors programme (matrice définie positive) sans en donner la définition. En 
outre, elle
n'est pas assez progressive. La question 2 comporte une implication difficile 
pour les
candidats qui n'ont pas rencontré l'étude de la matrice de Hilbert ou du 
théorème
de Perron-Frobenius. Enfin la dernière partie est une suite de calculs 
complexes.
L'énoncé comporte dans cette partie des erreurs qui n'ont certainement pas 
permis
aux candidats d'aborder la dernière question, elle aussi d'un niveau très élevé.
C'est un sujet dont les trois premières parties méritent d'être travaillées, 
pour les
méthodes employées et les résultats autour de la matrice de Hilbert, mais il 
n'intéressera comme outil de révision et d'entraînement que les tout meilleurs 
candidats.

Indications
Partie A
2 Pour l'implication réciproque, appliquer le théorème spectral afin de décompot
ser une colonne X dans une base orthonormée puis majorer la quantité X Hn X
par n kXk. Se servir alors de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour discuter le cas
d'égalité.
3 Utiliser la question 2 pour déduire que |X0 |  V .

4 Exploiter le fait que les coefficients de Hn sont strictement positifs.
5 Construire une combinaison linéaire de deux vecteurs propres de V dont un 
coefficient est nul et en déduire qu'ils sont proportionnels.

6 Commencer par calculer

Z

0

Partie B

P e i  d pour des polynômes élémentaires Xk .

e i  )|2 pour faire apparaître une somme de termes constants et une
7 Développer |X(e
somme de termes périodiques dont l'intégrale sur [ 0 ;  ] est nulle.
8 Construire à partir des coordonnées d'un vecteur propre X0 de Hn une colonne 
X0
t
de taille n + 1 telle que X0 Hn+1 X0 = n kX0 k2 .
Partie C
10 Identifier les coefficients de (Hn )j,k à l'intégrale sur [ 0 ; 1 ] de la 
fonction t 7- tj+k .
f0 / à l'aide de l'opérateur intégrale Tn puis la majorer
11 Exprimer la fonction n X
en faisant apparaître
f0 (t)
X
t] 0 ; 1 [ (t)
sup

dont on prouvera l'existence. Utiliser la définition de la borne supérieure.
Partie D
12 Appliquer le théorème de dérivation des intégrales à paramètre.
13 Intégrer Jn (x) par parties en utilisant la primitive t 7- t - 1.

16 Exploiter l'équation différentielle dont  est solution et utiliser le 
formulaire fourni
par l'énoncé pour exprimer le coefficient cn à l'aide de la fonction .
18 Dans le calcul de l'intégrale en question 11, utiliser le fait que Kn (tx) 
est la somme
des premiers termes d'une suite géométrique de raison tx.

19 Choisir la valeur  = 1/2 et utiliser le changement de variable u = t.

20 Utiliser la formule de Stirling, puis chercher un développement limité à 
l'ordre 1
et au voisinage de 0 de la fonction x 7- Arcsin (1 - x2 ).

A. Une propriété de Perron-Frobenius
1

La notion de matrice définie positive est explicitement hors programme
et aurait dû être définie dans l'énoncé. Si on fixe une base (e1 , e2 , . . . , 
en ) d'un
espace réel de dimension n, les matrices symétriques réelles définies positives
de taille n sont exactement les matrices dans cette base des produits scalaires,
la bijection entre la matrice S et le produit scalaire ( · | · ) étant réalisée 
par
la relation S = ((ei | ej ))16i,j6n .
Notons X la matrice des coordonnées dans la base (e1 , e2 , . . . , en ) d'un
vecteur de l'espace euclidien muni de ce produit scalaire, le réel t X SX 
s'identifie alors au carré de la norme euclidienne associée.
!
n
n
P
P
t
X SX =
Xi
Si,j Xj
i=1
j=1
!
n
n
P
P
=
Xi Xj (ei | ej )
(comme Si,j = (ei |ej ))
i=1 j=1
!
n
n
P
P
t
X SX =
Xi ei
Xj ej
i=1

j=1

La matrice Hn est réelle et symétrique puisque pour tous j, k de [[ 0 ; n - 1 ]]
(n)

hj,k =

1
(n)
= hk,j
j+k+1

Montrons son caractère définie positive, c'est-à-dire que pour toute matrice cot
lonne X  Mn,1 (R) non nulle, X Hn X > 0. Soit X  Mn,1 (R), développons
t

X Hn X =

n-1
P
j=0

xj (Hn X)j,1

n-1
P

n-1
P

1
xk
j
+
k
+1
j=0
k=0
Z 1

n-1
P n-1
P
j+k
=
xj
t
dt xk
=

xj

0

j=0

=
=
t

X Hn X =

k=0
1 n-1

Z

P

0 j=0
Z 1

Z

t

0

1

0

xj tj

n-1
P

xk tk dt

(linéarité de l'intégrale)

k=0

e X(t)
e dt
X(t)
e 2 dt
X(t)

Ceci fournit X Hn X > 0.
e 2 est continue et positive donc si
La fonction polynomiale X
Z 1
2
e
X(t)
dt = 0
0

e 2 est nulle sur [ 0 ; 1 ]. Son polynôme associé, possédant une infinité de 
racines,
alors X
t
est nul d'où X = 0. Réciproquement si X = 0, on a bien X Hn X = 0. Ainsi,
La matrice Hn est symétrique réelle et définie positive.

2 Si X  V alors Hn X = n X d'où
t

X Hn X = n t X X = n kXk2

Comme Hn est symétrique et réelle, elle possède des valeurs propres réelles et, 
d'après
le théorème spectral, il existe une base orthonormée de vecteurs propres de Hn .
Notons (Xi )16i6n une telle base, associée aux valeurs propres (i )16i6n , non 
nécessairement distinctes. Ces valeurs propres sont strictement positives. En 
effet, si on
applique le calcul de la question 1 à chaque Xi 6= 0 on trouve
0 < t Xi Hn Xi = t Xi (i Xi ) = i kXi k2

Soit X  Mn,1 (R) un vecteur quelconque décomposé dans la base orthonorn
P
mée (Xi )16i6n sous la forme X =
ai Xi . D'après le théorème de Pythagore,
i=1

kXk2 =

n
P

ai 2

i=1

w n
w2
w
w
P
w
kHn Xk2 = w
H
a
X
i i w
w n
i=1
w2
w n
w
wP
w
= w ai i Xi w
w

d'où

i=1

=
6

n
P

i=1
n
P

ai 2 i 2

(théorème de Pythagore)

a i 2 n 2

(car |i | = i 6 n )

i=1

kHn Xk2 6 kXk2 n 2

Donc pour tout X  Mn,1 (R),

kHn Xk 6 n kXk

t

Supposons alors X Hn X = n kXk2 . Utilisons l'inégalité de Cauchy-Schwarz et la
majoration précédente
t

n kXk2 = X Hn X 6 kXkkHn Xk 6 n kXk2

Tous les termes sont donc égaux et, par le cas d'égalité dans l'inégalité de 
CauchySchwarz, la famille de vecteurs (X, Hn X) est liée. Si X = 0, alors X  V 
. Sinon il
existe   R tel que Hn X = X. L'hypothèse t X Hn X = kXk2 donne alors 2 = n 2 ,
car X 6= 0 et donc  = n puisque les valeurs propres de Hn sont positives. Par
conséquent X  V également. On a montré
X  V si et seulement si t XHn X = n kXk2

3 D'après l'inégalité triangulaire, pour tout t  [ 0 ; 1 ],

n-1
n-1
g
f0 (t) = P xk tk 6 P |xk | tk = |X
X
0 |(t)
k=0

k=0

En reprenant l'expression obtenue à la question 1 et par croissance de 
l'intégrale et
de la fonction carré sur R+ , il vient
Z 1
t
f0 (t)2 dt
X0 Hn X0 =
X
0
Z 1
2
g
6
|X
0 |(t) dt
0

d'où

t

X0 Hn X0 6

t

|X0 | Hn |X0 |