Mines Maths 2 MP 2019

Thème de l'épreuve Majoration du rayon spectral de la matrice de Hilbert
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, intégrales à paramètres, espaces euclidiens, suites numériques, polynômes, équations différentielles
Mots clefs Matrice de Hilbert, rayon spectral, opérateur intégral

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A2019 --- MATH II MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH,
CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVEP.

CONCOURS 2019
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur

d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Majoration du rayon spectral de la matrice de Hilbert

Soit n un entier > 1. L'espace vectoriel R° est muni de sa structure eucli-
dienne canonique. La norme euclidienne associée est notée || |. On note .ÆZ,(R)
l'ensemble des matrices carrées d'ordre ñn à coefficients réels, et on identi-
fiera R" à l'ensemble .#4 1 (R) des matrices colonnes à coefficients réels. On
note X = (Xo X1--:Xn-1) EUR Ai n(R) la matrice ligne transposée de la matrice

colonne
X0

X]
X = | EUR Mn, (R).

Xn-1

Enfin, on note X la fonction polynomiale définie sur R par la formule
... n--1
X (1) = D xgt".
k=0

L'objet du problème est l'étude de quelques propriétés de la matrice de

Hilbert H, = (RD oe ken 1 E Mn n(R) définie par

1 1
1 1 _17
H.=l?2 3 n+1
n =
1 17 |
ñ n+l  '" 2n-1l
On a donc h°7 = 1 pour tous j,kEe {0,1,...,n--1}.

jk j+k+1

A. Une propriété de Perron-Frobenius

1) Montrer que la matrice H, est symétrique réelle et définie positive. On

1
pourra s'aider du calcul de l'intégrale I (X ()d [.
0

On note 7 le sous-espace propre de H, associé à la plus grande valeur propre
On de Hy.

2) Montrer que X EUR 7 si et seulement si X H, X =0h be
Xo |Xo|

X] |X1 |
Soit Xo = | . |un vecteur non nul de 7. On note |Xo]| =

Xn-1 |Xn-1 |
3) Établir l'inégalité /Xo Hy Xo < '| Xol Hn|Xol et en déduire que |Xo| EUR Y. 4) Montrer que H,|X,|, puis que X,, n'a aucune coordonnée nulle. 5) En déduire la dimension du sous-espace propre 7. B. Inégalité de Hilbert X0 X] Soit X=| . |un vecteur de R" et P un polynôme à coefficients réels. Xn--1 TT e e 6) En s'aidant du calcul de l'intégrale I P(eY°)e° dO, montrer l'inégalité 0 1 | P(t)dt 1] 7) En déduire que XH,,X 1 est croissante et convergente.

TT . TT un .
< I |P(e°)| de, puis l'inégalité XH,X < I IX (e/°)[° de. 0 0 C. Un opérateur intégral Dans la suite du problème, pour tout entier ñn > 0 et tout réel x, on pose
n--1
Kn(9 = Y x°.
k=0

Soit E l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles, continues et 
intégrables
sur [0,1[et 7,:E -- E l'application définie par

I
Th(f) 0 = ll K\ (tx) FD dt.

9) Montrer que 7, est un endomorphisme de E, dont 0 est valeur propre.
(On rappelle que 1 e C est valeur propre de T, s'il existe f EUR E non nulle
telle que T,(f) = 1j.)

10) Pour tout X e R", calculer T, (X). En déduire que 7, et H, ont les mêmes
valeurs propres non nulles.
On note l'ensemble des fonctions @ EUR E à valeurs strictement positives
sur ]0,1[ telles que 5 admette un prolongement continu sur [0,1].On rappelle
que p, est la plus grande valeur propre de H;.

11) En utilisant un vecteur propre associé à p,, montrer que

On < inf Sup --[ Kh(tx)o(t) dt PES xe0,1[ PX) En utilisant la partie À, montrer que l'on a égalité dans l'inégalité précé- dente. D. Une majoration explicite des rayons spectraux SoitpeZ et neN. Dans la suite du problème, on pose, pour tout x EUR ]0,1[: 1 l Ge | Kh(tx)q(®) dt, E(X) Jo L 1 t(E) Jn(X) = [ 1 tx dé, X" Jn(X) (x) Pa(x) = La fonction Gamma d'Euler est définie sur R° par la formule +OO T'(x) = I P'e 'dt. 0 On admet, et on pourra utiliser sans démonstration, les formules suivantes : F(x+1) = xT(x) pour tout x > 0.
l(n)=(n-1)! pour tout entier ñn > 0.
F(a)r 1
Par (B) = I 10 nf lar pour tous réels & > 0, > 0.
F(a + D) 0

12) Montrer que /, est dérivable sur ]0,1[ et que l'on a l'égalité

1
! pt)
dt-J}
xXJ} (0 = | S oz din.

On suppose dorénavant que EUR £ est de classe C! sur [0, 1[ et que (1-- Hoe(r) 
--
0 lorsque t -- 1.
13) Montrer que

1 yn ln

n]n(x) = C+n]n-1(x) +(x-- D | EC ar+ | + w dt
où c est un coefficient à déterminer et où y' désigne la dérivée de @. (On
pourra traiter à part le cas n = 0, où l'on considère que ñn/;-1(x) =0etoù
l'on montrera que c = 0.)

14) Déduire des deux questions précédentes que

1

1 nn /
pt ds | PULHpWa,

x(1-x)J, (0 = c+(n+1)(x-1)J/,(x%)+n |
0 l--1x

0

15) Soit y EUR R. Résoudre l'équation différentielle (1 -- f)y' = ---y}y sur 
l'inter-
valle [0,1[. À quelles conditions une solution y(t) de cette équation
différentielle vérifie-t-elle les hypothèses faites sur o?

On suppose désormais ces conditions réalisées et que la fonction est la solu-
tion de cette équation différentielle telle que @(0) = 1.

16) Montrer que la fonction ®, est dérivable sur 10, 1[ et que l'on a:
®, (x) xl
+ On >
x (1 x)1+7

où l'on donnera l'expression de la constante c,; en fonction de ñn et de 7.

D, (0) = -(y +1)

17) En déduire que pour tout xe ]0,1f,

c' x tn+Y
Ph(x) = -- ------ dé
n x1+T o (1-- 147

18) En déduire que pour n2 1,

1 X 1-0,"
Pn < inf SUP = | ------------ dé aEUR]0,1[ xe]0,1[ X o (1-6) n! (1---a)(2-a)...(n-a) Un calcul montre, et on l'admet, que l'inégalité précédente implique l'inégalité : où l'on a posé 0h = < inf 909" I TT Pn ael0l " 0 ta(1--5)1-a 1 (n!}2 l/2n 19) En déduire que p, < 2wn arc sin(--), où l'on a posé why = 2 | | On (2n)! 1 20) Donner un équivalent de w, -- 1, puis un équivalent de x - 2w, arcsin D: lorsque ñn -- +oo. FIN DU PROBLÈME

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Bertrand Wiel (professeur en CPGE) ; il a été relu 
par
Florian Metzger (docteur en mathématiques) et Benjamin Monmege 
(enseignantchercheur à l'université).

L'objet de ce problème est la détermination d'une suite de majorants du rayon
spectral n de la matrice de Hilbert (1/(j + k + 1))06j,k6n-1 et l'étude du 
comportement asymptotique de cette suite. Il s'agit d'un résultat publié en 
2005 par
Peter Otte. Il établit une relation entre la matrice de Hilbert et un opérateur 
intégral
à noyau positif Kn auquel on applique un principe de min-max pour obtenir 
l'égalité
Z 1
1
n = inf sup
Kn (tx)(t) dt
A x] 0 ; 1 [ (x) 0
où A est un ensemble de fonctions.
· La première partie est consacrée à l'étude, à l'aide d'outils d'algèbre 
linéaire
et euclidienne, du sous-espace propre associé à n . On montre qu'il est de
dimension 1 et engendré par un vecteur à coordonnées strictement positives.
· La seconde établit la majoration n 6  à l'aide de relations entre les 
coefficients
de la matrice de Hilbert et l'intégration de fonctions polynomiales.
· La troisième fait le lien entre la matrice de Hilbert et l'opérateur intégral 
puis
établit l'expression de n comme borne inférieure sur l'ensemble A .
· La dernière partie a pour objectif de calculer cette expression pour une 
sousfamille particulière de fonctions à l'aide d'intégrales à paramètre et d'en 
déduire
une suite de majorants et son comportement asymptotique.
Le thème du sujet est intéressant et permet d'obtenir un résultat non trivial en
recourant à de nombreuses méthodes d'analyse et d'algèbre.
L'épreuve possède cependant plusieurs défauts très regrettables pour un sujet de
concours. Le plus important étant celui d'utiliser à la première question une 
notion
hors programme (matrice définie positive) sans en donner la définition. En 
outre, elle
n'est pas assez progressive. La question 2 comporte une implication difficile 
pour les
candidats qui n'ont pas rencontré l'étude de la matrice de Hilbert ou du 
théorème
de Perron-Frobenius. Enfin la dernière partie est une suite de calculs 
complexes.
L'énoncé comporte dans cette partie des erreurs qui n'ont certainement pas 
permis
aux candidats d'aborder la dernière question, elle aussi d'un niveau très élevé.
C'est un sujet dont les trois premières parties méritent d'être travaillées, 
pour les
méthodes employées et les résultats autour de la matrice de Hilbert, mais il 
n'intéressera comme outil de révision et d'entraînement que les tout meilleurs 
candidats.

Indications
Partie A
2 Pour l'implication réciproque, appliquer le théorème spectral afin de décompot
ser une colonne X dans une base orthonormée puis majorer la quantité X Hn X
par n kXk. Se servir alors de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour discuter le cas
d'égalité.
3 Utiliser la question 2 pour déduire que |X0 |  V .

4 Exploiter le fait que les coefficients de Hn sont strictement positifs.
5 Construire une combinaison linéaire de deux vecteurs propres de V dont un 
coefficient est nul et en déduire qu'ils sont proportionnels.

6 Commencer par calculer

Z

0

Partie B

P e i  d pour des polynômes élémentaires Xk .

e i  )|2 pour faire apparaître une somme de termes constants et une
7 Développer |X(e
somme de termes périodiques dont l'intégrale sur [ 0 ;  ] est nulle.
8 Construire à partir des coordonnées d'un vecteur propre X0 de Hn une colonne 
X0
t
de taille n + 1 telle que X0 Hn+1 X0 = n kX0 k2 .
Partie C
10 Identifier les coefficients de (Hn )j,k à l'intégrale sur [ 0 ; 1 ] de la 
fonction t 7- tj+k .
f0 / à l'aide de l'opérateur intégrale Tn puis la majorer
11 Exprimer la fonction n X
en faisant apparaître
f0 (t)
X
t] 0 ; 1 [ (t)
sup

dont on prouvera l'existence. Utiliser la définition de la borne supérieure.
Partie D
12 Appliquer le théorème de dérivation des intégrales à paramètre.
13 Intégrer Jn (x) par parties en utilisant la primitive t 7- t - 1.

16 Exploiter l'équation différentielle dont  est solution et utiliser le 
formulaire fourni
par l'énoncé pour exprimer le coefficient cn à l'aide de la fonction .
18 Dans le calcul de l'intégrale en question 11, utiliser le fait que Kn (tx) 
est la somme
des premiers termes d'une suite géométrique de raison tx.

19 Choisir la valeur  = 1/2 et utiliser le changement de variable u = t.

20 Utiliser la formule de Stirling, puis chercher un développement limité à 
l'ordre 1
et au voisinage de 0 de la fonction x 7- Arcsin (1 - x2 ).

A. Une propriété de Perron-Frobenius
1

La notion de matrice définie positive est explicitement hors programme
et aurait dû être définie dans l'énoncé. Si on fixe une base (e1 , e2 , . . . , 
en ) d'un
espace réel de dimension n, les matrices symétriques réelles définies positives
de taille n sont exactement les matrices dans cette base des produits scalaires,
la bijection entre la matrice S et le produit scalaire ( · | · ) étant réalisée 
par
la relation S = ((ei | ej ))16i,j6n .
Notons X la matrice des coordonnées dans la base (e1 , e2 , . . . , en ) d'un
vecteur de l'espace euclidien muni de ce produit scalaire, le réel t X SX 
s'identifie alors au carré de la norme euclidienne associée.
!
n
n
P
P
t
X SX =
Xi
Si,j Xj
i=1
j=1
!
n
n
P
P
=
Xi Xj (ei | ej )
(comme Si,j = (ei |ej ))
i=1 j=1
!
n
n
P
P
t
X SX =
Xi ei
Xj ej
i=1

j=1

La matrice Hn est réelle et symétrique puisque pour tous j, k de [[ 0 ; n - 1 ]]
(n)

hj,k =

1
(n)
= hk,j
j+k+1

Montrons son caractère définie positive, c'est-à-dire que pour toute matrice cot
lonne X  Mn,1 (R) non nulle, X Hn X > 0. Soit X  Mn,1 (R), développons
t

X Hn X =

n-1
P
j=0

xj (Hn X)j,1

n-1
P

n-1
P

1
xk
j
+
k
+1
j=0
k=0
Z 1

n-1
P n-1
P
j+k
=
xj
t
dt xk
=

xj

0

j=0

=
=
t

X Hn X =

k=0
1 n-1

Z

P

0 j=0
Z 1

Z

t

0

1

0

xj tj

n-1
P

xk tk dt

(linéarité de l'intégrale)

k=0

e X(t)
e dt
X(t)
e 2 dt
X(t)

Ceci fournit X Hn X > 0.
e 2 est continue et positive donc si
La fonction polynomiale X
Z 1
2
e
X(t)
dt = 0
0

e 2 est nulle sur [ 0 ; 1 ]. Son polynôme associé, possédant une infinité de 
racines,
alors X
t
est nul d'où X = 0. Réciproquement si X = 0, on a bien X Hn X = 0. Ainsi,
La matrice Hn est symétrique réelle et définie positive.

2 Si X  V alors Hn X = n X d'où
t

X Hn X = n t X X = n kXk2

Comme Hn est symétrique et réelle, elle possède des valeurs propres réelles et, 
d'après
le théorème spectral, il existe une base orthonormée de vecteurs propres de Hn .
Notons (Xi )16i6n une telle base, associée aux valeurs propres (i )16i6n , non 
nécessairement distinctes. Ces valeurs propres sont strictement positives. En 
effet, si on
applique le calcul de la question 1 à chaque Xi 6= 0 on trouve
0 < t Xi Hn Xi = t Xi (i Xi ) = i kXi k2 Soit X  Mn,1 (R) un vecteur quelconque décomposé dans la base orthonorn P mée (Xi )16i6n sous la forme X = ai Xi . D'après le théorème de Pythagore, i=1 kXk2 = n P ai 2 i=1 w n w2 w w P w kHn Xk2 = w H a X i i w w n i=1 w2 w n w wP w = w ai i Xi w w d'où i=1 = 6 n P i=1 n P ai 2 i 2 (théorème de Pythagore) a i 2 n 2 (car |i | = i 6 n ) i=1 kHn Xk2 6 kXk2 n 2 Donc pour tout X  Mn,1 (R), kHn Xk 6 n kXk t Supposons alors X Hn X = n kXk2 . Utilisons l'inégalité de Cauchy-Schwarz et la majoration précédente t n kXk2 = X Hn X 6 kXkkHn Xk 6 n kXk2 Tous les termes sont donc égaux et, par le cas d'égalité dans l'inégalité de CauchySchwarz, la famille de vecteurs (X, Hn X) est liée. Si X = 0, alors X  V . Sinon il existe   R tel que Hn X = X. L'hypothèse t X Hn X = kXk2 donne alors 2 = n 2 , car X 6= 0 et donc  = n puisque les valeurs propres de Hn sont positives. Par conséquent X  V également. On a montré X  V si et seulement si t XHn X = n kXk2 3 D'après l'inégalité triangulaire, pour tout t  [ 0 ; 1 ], n-1 n-1 g f0 (t) = P xk tk 6 P |xk | tk = |X X 0 |(t) k=0 k=0 En reprenant l'expression obtenue à la question 1 et par croissance de l'intégrale et de la fonction carré sur R+ , il vient Z 1 t f0 (t)2 dt X0 Hn X0 = X 0 Z 1 2 g 6 |X 0 |(t) dt 0 d'où t X0 Hn X0 6 t |X0 | Hn |X0 |