Mines Maths 2 MP 2018

Thème de l'épreuve Racine carrée d'une matrice
Principaux outils utilisés réduction, récurrence, algèbre linéaire, calcul différentiel, suites
Mots clefs racine carrée, matrice, différentielle, matrice symétrique, méthode de Newton, conditionnement d'une matrice, norme, Bezout, spectre

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CONCOURS MINES
COMMUN... PONTS
..

ECOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ETIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines--Télécom, Concours Commun TPE / EIVP.

CONCOURS 2018
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d 'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Racines carrées de matrices complexes : existence et calcul numérique

Dans ce problème, on étudie l'existence de racines carrées d'une matrice
complexe, puis on introduit l'algorithme de Newton pour calculer numérique--
ment l'une de ces racines carrées, avec des considérations sur la convergence et
la stabilité de l'algorithme.

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On note J%n(C) l'ensemble des ma--
trices carrées d'ordre n à coefficients complexes. La matrice identité de Æn(C)
est notée I n. On appelle racine carrée de A EUR Æn(C) toute matrice X EUR Æn(C)
solution de l'équation X2 = A.

On note <ÎÎ l'ensemble des nombres complexes non nuls qui ne sont pas des
nombres réels négatifs.

A. Quelques exemples

1) Montrer que la matrice A = 12 admet une infinité de racines carrées (on
pourra utiliser la notion de symétrie). Lesquelles sont des polynômes

en A?
0 0 1
2) Montrer que A = 0 0 0 admet une infinité de racines carrées et
0 0 0

qu'aucune d'entre elles n'est un polynôme en A.
Dans la question suivante, A EUR Æ,,(IR) est une matrice symétrique réelle qui 
est
définie positive, c'est--à--dire que ses valeurs propres sont strictement 
positives.

3) Montrer que A admet une unique racine carrée symétrique réelle définie
positive.

(On pourra montrer que deux racines carrées de ce type possèdent les
mêmes valeurs et sous--espaces propres.)

B. Existence et calcul d'une racine carrée

Dans cette partie A EUR Æn(C) désigne une matrice inversine quelconque.

4) Soit T : (ti,j)1gi,jsn et U: (ui,j)1si,jsn EUR Æn(C) deux matrices com--
plexes triangulaires supérieures. On suppose que T est inversible. Mon--

5)

trer que l'équation U2= T est équivalente au système d'équations sui--
vant .

uîi=ti,i (1SiSn)

(uni + uj,j)ui,j = t,--,,-- -- Z "::/«MJ (1 S i < 1 $ ")-
k=i+l
Montrer que T étant donnée, on peut résoudre ce système en choisissant
une solution U telle que u...-- + u... 75 0 pour tous i,j EUR {1,2,...,n}. (On
pourra considérer les parties réelles et imaginaires des u,--y,--.)

En déduire que A admet une racine carrée. Si en outre, les valeurs propres
de A appartiennent à EUR, montrer que A admet une racine carrée dont les
valeurs propres sont de partie réelle strictement positive.

On admet qu'une telle racine carrée est unique et on la notera \/Â dans
toute la suite du problème.

C. Algorithme de Newton

Pour tout A : (ai,J--)1si,an EUR Jtn(C) on pose

II=AII \/ ËÊI lai,jl2

et on admet que Il - Il définit une norme sur Æn(C). On note B(X , r) et B (X , 
r) les
boules, respectivement ouverte et fermée, de centre X EUR Æn (C) et de rayon r.
Soit A et B deux matrices quelconques de Æ,,(C).

6)

Montrer que ||ABII EUR "A" ||Bll.

On note rn A le polynôme minimal de A.

7)

8)

Montrer que la matrice rn A(B) est inversible si et seulement si A et B
n'ont aucune valeur propre commune.

En déduire que s'il existe une matrice M EUR Æn(C) non nulle telle que
AM : MB, alors A et B ont au moins une valeur propre commune.

Réciproquement, si A et B ont au moins une valeur propre commune,
montrer qu'il existe une matrice M EUR Æn( Æn(C) l'application définie par la formule F (X) = X2 -- A.
9) Montrer que la différentielle dFX de F en X EUR Æn(C) est donnée par

VHEUR fln(C), dFX(H) : XH+ HX.

Déduire des deux questions précédentes une condition nécessaire et
suffisante pour que dFX soit inversible. Montrer que cette condition
implique que X est inversible.

Dans toute la suite du problème, A désigne une matrice inversible de ./%n (C) 
dont
les valeurs propres appartiennent à C. On pose X * : \/Â (la matrice \/Â a été
définie àla question 5).

On définit, sous réserve d'existence, une suite (Xk)keN d'éléments de Æn(C)
par:

XO EUR fln(C)
(N) _1
Vic e N, Xk+1= Xk -- (dek) (Pom).

Dans les questions suivantes, on étudie l'existence et la convergence de la 
suite
(Xk) kEURN-

10) Montrer que dFX* est inversible et qu'il existe r > 0 tel que dFX soit
inversible pour tout X EUR B(X*, r).

Pour tout Y EURË(X*, r) on pose G(Y) : Y -- (dFy)_l(F(Y)).
Il) Calculer G(X*) et montrer que pour tout H EUR B(0, r),

G(X* + H) -- G(X*) = (de*+Hr1(H2)

(cuth+H)_1 = (Id+(dFX*)_1odFH)_1o(dFX*)_1.

12) En déduire qu'il existe une constante C > 0 telle que pour tout X de
B(X*, r), || G(X) -- X* Il EUR CIIX -- X* "2. (On pourra utiliser le résultat 
de la
question 6.)

13) Montrer qu'il existe p > 0 tel que pour tout XO EUR B(X*,p) la suite (Xk) 
keN
soit bien définie et vérifie, pour tout k EUR l\],

(p\/Ü)2k

X --X* EUR
Il k Il C

Que peut--on en conclure?

D. Forme équivalente

Dans cette partie, on étudie deux algorithmes équivalents à celui de Newton.
On rappelle que A désigne une matrice inversible de vfl,,(C) dont les valeurs
propres appartiennent à @. Soit U0 et VO deux matrices de Æn(0

et (VIC) ;OEN la suite de matrices de Jtn(C) définie par

(... Vo EUR JMC)
V,,+1 : %(Vk + Vk--1A) pour tout lc ; 0.

14) Si la suite (Xk) keN est bien définie par (N) et U0 : XO, montrer que la 
suite
(Uk) 1OEN est bien définie par (I) et égale à (Xk) 1OEN. Réciproquement si
la suite (U k)keN est bien définie par (I) et XO : U0, montrer que la suite
(Xk) keN est bien définie par (N) et égale à (Uk) 1OEN.

On suppose dorénavant ces conditions vérifiées.

15) On suppose que U0 : VO commute avec A. Montrer que la suite (Vk)keN
est bien définie par (II) et que pour tout k EUR l\], U k : Vk commute avec A.
(On pourra d'abord montrer que Uk est inversible pour tout k EUR N et
considérer la matrice Gk : % (UIÇ1A-- Uk).)

On rappelle qu'une matrice symétrique réelle est définie positive si ses valeurs
propres sont strictement positives, et qu'une telle matrice admet une unique
racine carrée définie positive (question 3).

Dans la suite du problème, A désigne une matrice symétrique réelle définie 
positive.

On considère la suite (Vk)keN définie par la relation (II) avec V0 : [JIn et
[J > 0. On fixe une matrice orthogonale P de sorte que A : PDPT où D est
une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres
À1,...,Àn de A, ordonnées par ordre croissant. On note e1,...,en les vecteurs
propres correspondants.

Soit k EUR N et EUR EUR {I, . . ., n} quelconques.

16) Montrer que Vk est symétrique réelle définie positive de mêmes vecteurs
propres el, . . . , en que A dont on notera Àk,1,. . ., À]... les valeurs 
propres
correspondantes. Trouver une relation entre Âk+1,e et MM .

17) Montrer que
2k+1

n...... Æ : (u-- Æ)
Àk----1,Æ + \/À_z u+ \/Â_Æ

18) Déterminer la limite de la suite (Vk) 1OEN.

E. Stabilité

On considère la suite (Vk)keN définie par la relation (II) avec V0 : \/Â. Soit
5 > 0 et i, j deux indices distincts de {l, . . ., n}. On note C1, . . . , C" 
les colonnes de
la matrice orthogonale P définie dans la partie précédente et on pose A : 8C5CÎ.

Soit VB : V0 + A. La matrice VÏ est calculée par la relation (Il) à partir de V8
et on pose A1 : V1 -- V1. Ensuite V2 est calculé à partir de V1 par la relation 
(11),
puis V3, V4 . .. de la même manière.

19) Montrer les relations suivantes :

{(VO +A)--1 : V0--1 -- V0--1AVO--1
_ 1 -- --
A1 _ î(A--VO 1AV01A).

20) Déterminer la valeur de 17 EUR IR telle que pour tout k EUR N,
V; : \/Â + n'" A.

21) On appelle conditionnement de A le rapport entre sa plus grande valeur
propre et sa plus petite. Que doit vérifier le conditionnement de A pour

que la suite (V2) [90 converge?

FIN DU PROBLÈME

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 MP 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (docteur en mathématiques) ; il a été
relu par Thierry Limoges (professeur en CPGE) et Sophie Rainero (professeur en
CPGE).

Ce sujet porte sur l'étude de plusieurs aspects des racines carrées d'une 
matrice
complexe donnée. Il est composé de cinq parties non indépendantes.
· La première partie est l'occasion d'étudier l'existence d'une racine carrée 
pour
quelques matrices données. On prouve également l'existence et l'unicité d'une
racine carrée pour toute matrice symétrique réelle à spectre dans R+ . Les 
questions sont très classiques.
· La deuxième partie a pour but de montrer l'existence d'une racine carrée de
toute matrice complexe inversible en résolvant le système linéaire associé après
trigonalisation de la matrice.
· La troisième partie est consacrée à la méthode de Newton pour le calcul 
effectif
d'une racine carrée. On construit une suite de matrices analogue à celle 
utilisée
dans le cas des suites réelles pour résoudre l'équation f (x) = 0. On montre
la convergence de la méthode avec des outils d'algèbre linéaire, dont certains
font appel à des résultats sortis du programme il y a peu (norme subordonnée). 
Certaines questions nécessitent une solide maîtrise du programme pour
les résoudre.
· Dans la quatrième partie est décrite une formulation récurrente équivalente à
la méthode de Newton qui permet de montrer la convergence de la méthode
pour le calcul de la racine carrée. Beaucoup de raisonnements par récurrence
sont employés.
· Enfin, la dernière partie permet d'obtenir une condition suffisante sur le 
conditionnement d'une matrice afin que la méthode de Newton soit stable, 
c'est-àdire qu'elle converge encore vers la racine si on bouge un peu le 
premier terme
de la suite utilisée pour le calcul des termes par récurrence.
Le sujet aborde plusieurs notions fondamentales du programme de prépa : algèbre
linéaire, réduction, espaces vectoriels normés, calcul différentiel. 
Mathématiquement
intéressant, de difficulté inégale (parfois soutenue mais jamais excessive), il 
constitue
un bon entraînement aux concours.

Indications
Partie A
1 Considérer pour tout réel a 6= 0, la symétrie par rapport à la droite 
d'équation y = ax dans R2 . Attention : on demande quelles sont les matrices 
racines
de A qui sont des polynômes en A. On ne cherche pas les polynômes parmi
l'infinité de racines trouvée précédemment. Cette remarque est valable pour la
deuxième question.
2 Pour l'existence de racines carrées, on pourra expliciter des matrices 
triangulaires
supérieures strictes.
3 Pour l'existence utiliser la réduction des matrices réelles symétriques.Pour 
l'unicité montrer l'égalité des spectres puis Ker (A -  In ) = Ker (R -  In ) 
pour
toute racine carrée R de A vérifiant les conditions requises.
Partie B
4 Exprimer sous la forme d'un système l'égalité des coefficients de U2 et T en 
utilisant le fait que les matrices sont triangulaires. Pour la résolution du 
système,
remarquer que la condition à vérifier permet de construire les coefficients par
récurrence double sur les indices i et j. Noter en outre que ui,i + uj,j = 0 
implique ti,i = tj,j puis considérer les éléments diagonaux distincts de T.
5 La condition sur le spectre de A assure que les racines carrées de ses valeurs
propres sont de partie imaginaire non nulle. Se servir alors de la construction
faite à la question 4.
Partie C
6 Utiliser la formule sommatoire du coefficient (AB)i,j .
7 Raisonner par double implication. Pour le sens direct utiliser un vecteur 
propre
de B. Pour l'autre, justifier que mA et mB sont premiers entre eux et écrire une
relation de Bezout.
t

8 Pour   sp Asp B, montrer que   sp ( B) et considérer deux vecteurs propres
t
pour A et B.
9 Remarquer que H  Ker dFX s'écrit X H = H(-X) et mettre cela en perspective
avec les questions 7 et 8.
10 Montrer plus généralement que dans E espace vectoriel normé de dimension 
finie,
l'ensemble GL(E) est un ouvert en explicitant l'inverse de u + h avec la série 
de
terme général (-1)n (h u-1 )n pour h assez petit. On pourra d'abord montrer que
u 7- Sup ku(x)k
kxk61

définit une norme sur L(E) qui vérifie la même propriété sur l'espace vectoriel 
L(Mn (C)) que celle démontrée à la question 6.

11 Expliciter dFX +H et son inverse.

12 Utiliser la question 11 avec X = X + H ainsi que la norme de la question 10.
13 Remarquer que Xk+1 = G(Xk ) et en déduire le résultat par récurrence sur k.
L'énoncé donne une propriété sur  que l'on n'est pas en mesure de prouver :
k
établir que kXk - X k 6 ( C)2 /C pour tout k > 0 avec 0 <  < Min (r, 1/C).

Partie D
14 Raisonner par récurrence pour les deux implications. Pour la réciproque, 
montrer
que dFXk est inversible en remarquant que dFXk (Y) = -F(Xk ) est une équation
affine n'admettant qu'une seule solution.
15 Raisonner par récurrence et prouver que Gk = Hk .
16 Utiliser la relation (II) pour prouver les propriétés demandées par 
récurrence
sur k.
17 Remarquer que 0, = µ pour initialiser une récurrence sur k et faire appel à 
la
question 16.

18 La question 17 entraîne que k, ----  pour tout . Utiliser ensuite une
k+

diagonalisation de Vk et passer à la limite.

Partie E
19 Calculer (V0 + )(V0 -1 - V0 -1 V0 -1 ) puis montrer que (V0 -1 )2 = 0.
20 Utiliser la question 19 pour prouver le résultat par récurrence sur k.

21 La question 20 fournit un critère de convergence portant sur . En déduire une
condition suffisante sur le conditionnement.

1 Soient a  R et sa la symétrie axiale par rapport à la droite d'équation y = ax
dans R2 . Alors, d'après le cours, sa est une application linéaire involutive : 
sa 2 = Id R2 .
Soit Sa la matrice de sa dans la base canonique. On a alors Sa 2 = I2 . Comme 
sa 6= sb
pour tous réels non nuls a 6= b et que R est de cardinal infini et inclus dans 
C, il en
résulte que
La matrice A = I2 admet une infinité de racines carrées dans M2 (C).
La matrice de la symétrie par rapport à la droite d'équation y = (tan )x est

cos(2)
sin(2)
M =
sin(2) - cos(2)
En effet on vérifie que
t

t

M (cos , sin ) = (cos , sin )
ainsi que

t

t

M (- sin , cos ) = - (- sin , cos )

Ce qui caractérise ladite symétrie.
On calcule aisément avec A = I2 que Ak = I2 pour tout entier k  N. Soit P  C[X]
n
P
écrit sous forme développée P =
ak Xk . Il vient donc
k=0

P(A) =

n
P

a k I2 =

k=0

Il en découle que

n
P

k=0

P(A)2 = A 

P(A)2 = A 

ak

I2 = P(1) I2

P(1)2 I2 = I2
P(1)2 = 1
P(1) = +
-1
P(A) = +
- I2

Les seules racines carrées de I2 qui sont des polynômes en I2 sont I2 et -I2 .

0 1 a
2 Posons pour tout a  C
Ja = 0 0 1 
0 0 0
Il vient alors Ja 2 = A pour tout a  C. Comme Ja 6= Jb pour tous nombres 
complexes a 6= b, on obtient

0 0 1
La matrice 0 0 0 admet une infinité de racines carrées dans M3 (C).
0 0 0
On calcule aisément A2 = 0 puis Ak = 0 pour tout entier k > 2. Soit alors P un
n
P
polynôme de C[X] écrit sous forme développée P =
ak Xk . Il vient donc
k=0

P(A) =

n
P

ak Ak = a0 I3 + a1 A

k=0

Comme I2 et A commutent, il en découle avec la formule du binôme de Newton
 2

a0
0 2a0 a1
0 
P(A)2 = a0 2 I2 + 2a0 a1 A =  0 a0 2
0
0
a0 2