Mines Maths 2 MP 2017

Thème de l'épreuve Sous-groupes compacts du groupe linéaire
Principaux outils utilisés matrices symétriques réelles, convexité, compacité, groupe orthogonal
Mots clefs enveloppe convexe, Borel-Lebesgue, théorème du point fixe de Markov-Kakutani, sous-groupe compact maximal

Corrigé

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A2017 ­ MATH II MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH. Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP. CONCOURS 2017 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l'épreuve : 4 heures L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Sous-groupes compacts du groupe linéaire Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n > 0 dont le produit scalaire est noté ! , " et la norme euclidienne associée est notée # #. On note L(E) l'espace vectoriel des endomorphismes de E et GL(E) le groupe des automorphismes de E. Pour tout endomorphisme u de E, on note ui l'endomorphisme u u · · · u (i fois) avec la convention u0 = IdE (identité). L'ensemble vide est noté . On rappelle qu'un sous-ensemble C de E est convexe si pour tous x, y dans C et tout [0, 1], on a x + (1 - )y C. De plus, pour toute famille a1 , ...., ap d'éléments de C convexe et tous nombres réels positifs ou nuls 1 , ...., p dont la somme égale 1, on a p ! i ai C. i=1 Si F est un sous-ensemble quelconque de E, on appelle enveloppe convexe de F , et on note Conv(F ), le plus petit sous-ensemble convexe de E (au sens de l'inclusion) contenant F . On note H l'ensemble des (1 , ..., n+1 ) (R+ )n+1 tels que n+1 ! i = 1 et on admet que Conv(F ) est l'ensemble des combinaisons linéaires i=1 de la forme n+1 ! i xi où x1 , . . . , xn+1 F et (1 , ...., n+1 ) H. i=1 L'espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayant n lignes et m colonnes est noté Mn,m (R). On notera en particulier Mn (R) = Mn,n (R). La matrice transposée d'une matrice A à coefficients réels est notée AT . La trace de A Mn (R) est notée Tr(A). On note GLn (R) le groupe linéaire des matrices de Mn (R) inversibles et On (R) le groupe orthogonal d'ordre n. Les parties A, B et C sont indépendantes. A Préliminaires sur les matrices symétriques On note Sn (R) le sous-espace vectoriel de Mn (R) formé des matrices symétriques. Une matrice S Sn (R) est dite définie positive si et seulement si pour tout X Mn,1 (R) non nul, on a X T SX > 0. On note Sn++ (R) l'ensemble des matrices symétriques définies positives. 1. Montrer qu'une matrice symétrique S Sn (R) est définie positive si et seulement si son spectre est contenu dans R+ . 2. En déduire que pour tout S Sn++ (R), il existe R GLn (R) tel que S = RT R. Réciproquement montrer que pour tout R GLn (R), RT R Sn++ (R). 1 TSVP 3. Montrer que l'ensemble Sn++ (R) est convexe. B Autres préliminaires Les trois questions de cette partie sont mutuellement indépendantes. 4. Soit K un sous-ensemble compact de E et Conv(K) son enveloppe convexe. On rappelle que H est l'ensemble des (1 , ..., n+1 ) (R+ )n+1 tels que !n+1 n+1 × E n+1 dans E telle que i=1 i = 1. Définir une application de R n+1 Conv(K) = (H × K ). En déduire que Conv(K) est un sous-ensemble compact de E. 5. On désigne par g un endomorphisme de E tel que pour tous x, y dans E, #x, y$ = 0 implique #g(x), g(y)$ = 0. Montrer qu'il existe un nombre réel positif k tel que pour tout x E, %g(x)% = k%x%. (On pourra utiliser une base orthonormée (e1 , e2 , ..., en ) de E et considérer les vecteurs e1 + ei et e1 - ei pour i {2, . . . , n}.) En déduire que g est la composée d'une homothétie et d'un endomorphisme orthogonal. 6. On se place dans l'espace vectoriel euclidien Mn (R) muni du produit scalaire défini par #A, B$ = Tr(AT B). (On ne demande pas de vérifier que c'est bien un produit scalaire.) Montrer que le groupe orthogonal On (R) est un sous-groupe compact du groupe linéaire GLn (R). C Quelques propriétés de la compacité Soit (xn )nN une suite d'éléments de E pour laquelle il existe un réel > 0 tel que pour tous entiers naturels n '= p, on ait %xn - xp % ! . 7. Montrer que cette suite n'admet aucune suite extraite convergente. Soit K un sous-ensemble compact de E. On note B(x, r) la boule ouverte de centre x E et de rayon r. 8. Montrer que pour tout réel > 0, il existe un entier p > 0 et x1 , . . . , xp éléments de E tels que K p " B(xi , ). (On pourra raisonner par l'absurde.) i=1 On considère une famille (i )iI de sous-ensembles ouverts de E, I étant un en2 ! semble quelconque, telle que K i . iI 9. Montrer qu'il existe un réel > 0 tel que pour tout x K, il existe i I tel que B(x, ) soit contenue dans l'ouvert i . (On pourra raisonner par l'absurde pour construire une suite d'éléments de K n'ayant aucune suite extraite convergente.) En déduire qu'il existe une sous-famille finie (i1 , ....ip ) de la famille (i )iI telle que K p ! ik . k=1 Soit (Fi )iI une famille de fermés de E contenus dans K et d'intersection vide : iI Fi = . " 10. Montrer qu'il existe une sous-famille finie (Fi1 , ...., Fip ) de la famille (Fi )iI " telle que pk=1 Fik = . D Théorème du point fixe de Markov-Kakutani Soit G un sous-groupe compact de GL(E) et K un sous-ensemble non vide, compact et convexe de E. Pour tout x E, on pose NG (x) = sup #u(x)#. uG 11. Montrer que NG est bien définie, et que c'est une norme sur E. 12. Montrer en outre que NG vérifie les deux propriétés suivantes : · pour tous u G et x E, NG (u(x)) = NG (x) ; · pour tous x, y dans E avec x non nul, NG (x + y) = NG (x) + NG (y) si et seulement si x = y où R+ . Pour la deuxième propriété on pourra utiliser le fait que si z E, l'application qui à u G associe ||u(z)|| est continue. On considère un élément u de L(E) et on suppose que K est stable par u, c'està-dire que u(K) est inclus dans K. Pour tout x K et n N , on pose xn = # 1 n-1 ui (x). Enfin, on appelle diamètre de K le nombre réel (K) = sup #x - y# n i=0 x,yK qui est bien défini car K est borné. 13. Montrer que la suite (xn )nN est à valeurs dans K et en déduire qu'il en existe une suite extraite convergente vers un élément a de K. Montrer par (K) . En déduire que l'élément ailleurs que pour tout n N , #u(xn )-xn # ! n a de K est un point fixe de u. 3 TSVP On suppose maintenant que le compact non vide convexe K est stable par tous les r 1! éléments de G. Soit r un entier ! 1, u1 , u2 , ...., ur des éléments de G et u = ui . r i=1 14. Montrer que K est stable par u et en déduire l'existence d'un élément a K tel que u(a) = a. 15. Montrer que NG r "1 ! r # ui (a) = i=1 $ j {1, . . . , r}, on a NG uj (a) + r # " 1! NG ui (a) . En déduire que pour tout r i=1 r ! i=1 i!=j % " # ui (a) = NG uj (a) + NG $! r i=1 i!=j % ui (a) . 16. En déduire, pour tout j {1, . . . , r}, l'existence d'un nombre réel j ! 0 tel j + 1 que u(a) = uj (a). r 17. Déduire de la question précédente que a est un point fixe de tous les endomorphismes ui où i {1, . . . , r}. 18. En utilisant le résultat de la question 10, montrer qu'il existe a K tel que pour tout u G, u(a) = a. E Sous-groupes compacts de GLn(R) On se place à nouveau dans l'espace vectoriel euclidien Mn (R) muni du produit scalaire défini par "A, B# = Tr(AT B). On rappelle que GLn (R) désigne le groupe linéaire et On (R) le groupe orthogonal d'ordre n. Soit G un sous-groupe compact de GLn (R). Si A G, on définit l'application A de Mn (R) dans lui-même par la formule A (M ) = AT M A. On vérifie facilement, et on l'admet, que pour tout M Mn (R), l'application qui à A G associe A (M ) est continue. On note H = {A | A G}, = {AT A | A G} et K = Conv(). 19. Montrer que A GL(Mn (R)) et que H est un sous-groupe compact de GL(Mn (R)). 20. Montrer que est un compact contenu dans Sn++ et que K est un sousensemble compact de Sn++ (R) qui est stable par tous les éléments de H. 21. Montrer qu'il existe M K tel que pour tout A G, A (M ) = M . En déduire l'existence de N GLn (R) tel que pour tout A G, N AN -1 On (R). En déduire enfin qu'il existe un sous-groupe G1 de On (R) tel que G = N -1 G1 N = {N -1 BN ; B G1 }. 4 Soit K un sous-groupe compact de GLn (R) qui contient On (R), et N GLn (R) tel que N KN -1 On (R). On désigne par g l'automorphisme de Rn de matrice N dans la base canonique de Rn , par P un hyperplan de Rn et par P la symétrie orthogonale par rapport à P . 22. Montrer que g p g -1 est une symétrie, puis que c'est un endomorphisme orthogonal de Rn . En déduire que gP g -1 = g(P ) . Montrer que g conserve l'orthogonalité et en déduire K. Fin du problème 5

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 Mines Maths 2 MP 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (professeur en CPGE) ; il a été relu par Robin Michaud (ENS Lyon) et Benoit Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet étudie des sous-groupes compacts du groupe linéaire GL(E) d'un espace vectoriel euclidien E. Il se compose de cinq parties, les trois premières étant indépendantes. · Dans la partie A, on établit des résultats préliminaires très classiques sur les matrices symétriques réelles. · La partie B est constituée de trois questions permettant d'obtenir des résultats préliminaires sans lien entre eux : la compacité de l'enveloppe convexe d'une partie compacte, une propriété des endomorphismes qui conservent l'orthogonalité et enfin la compacité du groupe On (R) des matrices orthogonales de taille n. · Dans la partie C, on établit un résultat important sur les parties compactes de E : de tout recouvrement d'un compact de E par des parties ouvertes de E, on peut extraire un sous-recouvrement fini. · La partie D s'intéresse à un théorème du point fixe, le théorème de MarkovKakutani : soient G un sous-groupe compact de GL(E) et K un compact convexe de E stable par tous les éléments de G, il existe alors a appartenant à K qui est point fixe de tous les éléments de G. · Dans la partie E, on établit que On (R) est un sous-groupe compact maximal du groupe GLn (R) des matrices réelles inversibles de taille n, c'est-à-dire que si K est un sous-groupe compact de GLn (R) qui contient On (R), alors K est égal à On (R). Ce sujet aborde plusieurs parties importantes du programme de MP : la topologie, en particulier la convexité et la compacité, et l'algèbre euclidienne, notamment les matrices symétriques réelles et les matrices orthogonales. D'une difficulté et d'une longueur raisonnables, il est bien guidé : de nombreuses questions comportent des indications ou sont découpées de façon à orienter le candidat. Globalement, c'est un sujet très intéressant qui constitue un joli problème de révision en topologie et en algèbre. Indications Partie A 1 Démontrer l'équivalence par double implication et utiliser le théorème spectral pour le sens réciproque. 2 Utiliser à nouveau le théorème spectral. Partie B 4 Démontrer que est continu et que H × Kn+1 est compact. 6 Se servir du fait qu'en dimension finie, les parties compactes sont les parties fermées et bornées. Partie C 7 Procéder par l'absurde. 8 Lorsque K est non vide, procéder par l'absurde et construire par récurrence une suite d'éléments de K qui vérifie les hypothèses de la question 7. 9 Suivre l'indication de l'énoncé puis faire appel à la question 8. 10 Introduire les complémentaires de Fi pour i I afin d'appliquer le résultat de la question 9. Partie D 12 Pour le premier point, se servir du fait que G est un sous-groupe de GL(E). Pour le second, utiliser l'indication de l'énoncé avec le vecteur z = x + y pour le sens direct. 15 Le premier point de la question 12 aide à démontrer la première égalité. Pour la seconde, se servir de la première et utiliser deux fois l'inégalité triangulaire. 16 Appliquer le résultat de la question 15 et le second point de la question 12 lorsque a est non nul. 17 Distinguer encore deux cas selon que a est nul ou pas. 18 Caractériser l'existence d'un point fixe commun à tous les éléments de G à l'aide des ensembles Fu = Ker (u - IdE ) K, pour u G, puis appliquer la question 10. Partie E 19 Utiliser la caractérisation des sous-groupes et écrire H comme l'image d'un compact par une application continue. 20 Pour , appliquer la question 2. Pour K, se servir des questions 3, 4 et 19. 21 Appliquer la question 18 en vérifiant soigneusement toutes les hypothèses nécessaires à l'aide des questions 19 et 20. Pour l'existence de N, se souvenir de la question 2. 22 Que peut-on dire d'un endomorphisme qui est à la fois une symétrie et un endomorphisme orthogonal ? Pour montrer que g préserve l'orthogonalité de deux vecteurs x et y, introduire l'hyperplan P = Vect (x) lorsque x est non nul. Appliquer enfin le résultat de la question 5. A. Préliminaires sur les matrices symétriques 1 Soit S appartenant à Sn (R). Supposons dans un premier temps que S est définie positive. Soient une valeur propre de S et X Mn,1 (R) un vecteur colonne propre associé, que l'on note t t X = ( x1 , . . . , xn ). Alors X est non nul donc, par hypothèse, X SX > 0. Ainsi, n P t t t xi 2 = X X = X(X) = X SX > 0 i=1 Or, comme X est non nul, x1 2 + · · · + xn 2 est une somme de termes positifs non tous nuls donc elle est strictement positive. Par conséquent, > 0. Finalement, si S est une matrice symétrique définie positive, alors ses valeurs propres sont des réels strictement positifs. Supposons maintenant que Sp(S) R+ . La matrice S étant symétrique réelle, le cours assure qu'il existe une matrice P On (R) et une matrice diagonale réelle D = diag(1 , . . . , n ), dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres de S, t telles que S = PDP-1 . Soit X = ( x1 , . . . , xn ) une matrice colonne réelle non nulle. t Comme P est orthogonale, P-1 = P et t X SX = t X(PDP-1 )X = t X(PD t P)X t d'où t t t X SX = ( P X)D( P X) En notant Y = t P X = t ( y1 , . . . , yn ), on obtient alors n P t X SX = t Y DY = i yi 2 i=1 Or, pour tout i [[ 1 ; n ]], i > 0 et yi 2 > 0. De plus, Y est non nulle car t P est inversible et X est non nulle, donc il s'agit d'une somme de termes positifs dont t au moins un des termes est strictement positif. Par conséquent, X SX > 0. On a démontré que la matrice S est définie positive. Finalement, S est définie positive Sp(S) R+ Cette caractérisation des matrices symétriques définies positives est une question très classique, que l'on retrouve dans de nombreux sujets, sous forme matricielle comme ici, mais aussi pour des endomorphismes symétriques. 2 Soit S S++ n (R). Comme S est symétrique réelle, il existe une matrice P On (R) et une matrice diagonale réelle D = diag(1 , . . . , n ), dont les coefficients diagonaux sont des réels strictement positifs (puisque ce sont les valeurs propres de S), telles que S = PDP-1 . Posons alors = diag( 1 , . . . , n ) puis R = PP-1 La matrice est diagonale à coefficients diagonaux tous strictement positifs, c'est donc une matrice inversible et par suite la matrice R est inversible, la matrice P étant aussi inversible. De plus, t R R = t ( PP-1 )(PP-1 ) = t P -1 t t P PP-1 = P2 P-1 car P est orthogonale et est diagonale. Par conséquent, t Ainsi, R R = PDP-1 = S t Pour tout S S++ n (R), il existe R GLn (R) telle que S = R R. Comme la première question, cette décomposition d'une matrice symétrique définie positive sous la forme d'un produit d'une matrice inversible et de sa transposée est extrêmement classique. Notons au passage que t t t t t R = ( PP-1 ) = P-1 P = PP-1 = R On a donc construit une matrice symétrique. t Soit maintenant R une matrice réelle inversible de taille n, posons S = R R et vérifions que S S++ n (R). Déjà, t S = t ( t R R) = t R R = S donc S est symétrique. De plus, pour tout vecteur colonne non nul X Mn,1 (R), t X SX = t X t R RX = t ( RX)(RX) = n P yi 2 i=1 où l'on a noté RX = t ( y1 , . . . , yn ). En outre, la matrice R est inversible et X est non nul donc RX est non nul, d'où t X SX = n P yi 2 > 0 i=1 On conclut que t Pour tout R GLn (R), R R S++ n (R). 3 Démontrons que l'ensemble S++ n (R) est une partie convexe de Mn (R). Soient A et B dans S++ n (R) et t [ 0 ; 1 ]. On pose C = t A + (1 - t) B, montrons que C est symétrique définie positive. Notons déjà que si t = 0 ou t = 1, C = B ou C = A donc le résultat est immédiat. Supposons alors t ] 0 ; 1 [. La matrice C est symétrique en tant que combinaison linéaire de deux matrices symétriques. De plus, pour toute matrice colonne non nulle X Mn,1 (R), t t t t X CX = X(t A + (1 - t) B)X = t X AX + (1 - t) X BX t Or, comme t ] 0 ; 1 [, t et 1 - t sont strictement positifs, de même que X AX et t X BX puisque A et B sont définies positives. Donc, par produit et somme de réels strictement positifs, t X CX > 0 On a ainsi prouvé que C appartient à S++ n (R). Finalement, pour toutes matrices A et B dans S++ (R), le segment [ A ; B ], égal à {t A + (1 - t) B | t [ 0 ; 1 ]}, est inclus n dans S++ (R). Par conséquent, n L'ensemble S++ n (R) est convexe. La matrice C construite ci-dessus est symétrique définie positive et donc en particulier elle est inversible. On a ainsi obtenu une partie convexe de GLn (R), bien que celui-ci ne soit pas convexe : par exemple, In GLn (R) et -In GLn (R), mais 1 1 In + 1 - (-In ) = 0Mn (R) 6 GLn (R) 2 2