Mines Maths 2 MP 2017

Thème de l'épreuve Sous-groupes compacts du groupe linéaire
Principaux outils utilisés matrices symétriques réelles, convexité, compacité, groupe orthogonal
Mots clefs enveloppe convexe, Borel-Lebesgue, théorème du point fixe de Markov-Kakutani, sous-groupe compact maximal

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A2017 ­ MATH II MP

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne),
ENSAE PARISTECH.
Concours Centrale-Supelec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2017
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Sous-groupes compacts du groupe linéaire

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n > 0 dont le produit scalaire
est noté ! , " et la norme euclidienne associée est notée # #. On note L(E) 
l'espace
vectoriel des endomorphismes de E et GL(E) le groupe des automorphismes de E.
Pour tout endomorphisme u de E, on note ui l'endomorphisme u  u  · · ·  u (i
fois) avec la convention u0 = IdE (identité). L'ensemble vide est noté .
On rappelle qu'un sous-ensemble C de E est convexe si pour tous x, y dans C
et tout   [0, 1], on a x + (1 - )y  C. De plus, pour toute famille a1 , ...., ap
d'éléments de C convexe et tous nombres réels positifs ou nuls 1 , ...., p dont 
la
somme égale 1, on a

p
!

i ai  C.

i=1

Si F est un sous-ensemble quelconque de E, on appelle enveloppe convexe de
F , et on note Conv(F ), le plus petit sous-ensemble convexe de E (au sens de
l'inclusion) contenant F . On note H l'ensemble des (1 , ..., n+1 )  (R+ )n+1 
tels
que

n+1
!

i = 1 et on admet que Conv(F ) est l'ensemble des combinaisons linéaires

i=1

de la forme

n+1
!

i xi où x1 , . . . , xn+1  F et (1 , ...., n+1 )  H.

i=1

L'espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayant n lignes et m 
colonnes
est noté Mn,m (R). On notera en particulier Mn (R) = Mn,n (R). La matrice 
transposée d'une matrice A à coefficients réels est notée AT . La trace de A  
Mn (R)
est notée Tr(A).
On note GLn (R) le groupe linéaire des matrices de Mn (R) inversibles et On (R)
le groupe orthogonal d'ordre n.
Les parties A, B et C sont indépendantes.

A

Préliminaires sur les matrices symétriques

On note Sn (R) le sous-espace vectoriel de Mn (R) formé des matrices 
symétriques. Une matrice S  Sn (R) est dite définie positive si et seulement si 
pour
tout X  Mn,1 (R) non nul, on a X T SX > 0. On note Sn++ (R) l'ensemble des
matrices symétriques définies positives.
1. Montrer qu'une matrice symétrique S  Sn (R) est définie positive si et 
seulement si son spectre est contenu dans R+ .
2. En déduire que pour tout S  Sn++ (R), il existe R  GLn (R) tel que S =
RT R. Réciproquement montrer que pour tout R  GLn (R), RT R  Sn++ (R).
1

TSVP

3. Montrer que l'ensemble Sn++ (R) est convexe.

B

Autres préliminaires
Les trois questions de cette partie sont mutuellement indépendantes.
4. Soit K un sous-ensemble compact de E et Conv(K) son enveloppe convexe.
On rappelle que H est l'ensemble des (1 , ..., n+1 )  (R+ )n+1 tels que
!n+1
n+1
× E n+1 dans E telle que
i=1 i = 1. Définir une application  de R
n+1
Conv(K) = (H × K ). En déduire que Conv(K) est un sous-ensemble
compact de E.
5. On désigne par g un endomorphisme de E tel que pour tous x, y dans E,
#x, y$ = 0 implique #g(x), g(y)$ = 0.
Montrer qu'il existe un nombre réel positif k tel que pour tout x  E,
%g(x)% = k%x%. (On pourra utiliser une base orthonormée (e1 , e2 , ..., en ) de
E et considérer les vecteurs e1 + ei et e1 - ei pour i  {2, . . . , n}.)
En déduire que g est la composée d'une homothétie et d'un endomorphisme
orthogonal.
6. On se place dans l'espace vectoriel euclidien Mn (R) muni du produit scalaire
défini par #A, B$ = Tr(AT B). (On ne demande pas de vérifier que c'est bien
un produit scalaire.)
Montrer que le groupe orthogonal On (R) est un sous-groupe compact du
groupe linéaire GLn (R).

C

Quelques propriétés de la compacité

Soit (xn )nN une suite d'éléments de E pour laquelle il existe un réel  > 0 tel
que pour tous entiers naturels n '= p, on ait %xn - xp % ! .
7. Montrer que cette suite n'admet aucune suite extraite convergente.
Soit K un sous-ensemble compact de E. On note B(x, r) la boule ouverte de centre
x  E et de rayon r.
8. Montrer que pour tout réel  > 0, il existe un entier p > 0 et x1 , . . . , xp
éléments de E tels que K 

p
"

B(xi , ). (On pourra raisonner par l'absurde.)

i=1

On considère une famille (i )iI de sous-ensembles ouverts de E, I étant un en2

!

semble quelconque, telle que K 

i .

iI

9. Montrer qu'il existe un réel  > 0 tel que pour tout x  K, il existe i  I tel
que B(x, ) soit contenue dans l'ouvert i . (On pourra raisonner par l'absurde 
pour construire une suite d'éléments de K n'ayant aucune suite extraite
convergente.) En déduire qu'il existe une sous-famille finie (i1 , ....ip ) de 
la
famille (i )iI telle que K 

p
!

ik .

k=1

Soit (Fi )iI une famille de fermés de E contenus dans K et d'intersection vide :
iI Fi = .

"

10. Montrer qu'il existe une sous-famille finie (Fi1 , ...., Fip ) de la 
famille (Fi )iI
"
telle que pk=1 Fik = .

D

Théorème du point fixe de Markov-Kakutani

Soit G un sous-groupe compact de GL(E) et K un sous-ensemble non vide,
compact et convexe de E. Pour tout x  E, on pose NG (x) = sup #u(x)#.
uG

11. Montrer que NG est bien définie, et que c'est une norme sur E.
12. Montrer en outre que NG vérifie les deux propriétés suivantes :
· pour tous u  G et x  E, NG (u(x)) = NG (x) ;
· pour tous x, y dans E avec x non nul, NG (x + y) = NG (x) + NG (y) si
et seulement si x = y où   R+ .
Pour la deuxième propriété on pourra utiliser le fait que si z  E, 
l'application qui à u  G associe ||u(z)|| est continue.
On considère un élément u de L(E) et on suppose que K est stable par u, 
c'està-dire que u(K) est inclus dans K. Pour tout x  K et n  N , on pose xn =
#
1 n-1
ui (x). Enfin, on appelle diamètre de K le nombre réel (K) = sup #x - y#
n i=0
x,yK
qui est bien défini car K est borné.
13. Montrer que la suite (xn )nN est à valeurs dans K et en déduire qu'il en
existe une suite extraite convergente vers un élément a de K. Montrer par
(K)
. En déduire que l'élément
ailleurs que pour tout n  N , #u(xn )-xn # !
n
a de K est un point fixe de u.
3

TSVP

On suppose maintenant que le compact non vide convexe K est stable par tous les
r
1!
éléments de G. Soit r un entier ! 1, u1 , u2 , ...., ur des éléments de G et u =
ui .
r i=1
14. Montrer que K est stable par u et en déduire l'existence d'un élément a  K
tel que u(a) = a.
15. Montrer que NG

r
"1 !

r

#

ui (a) =

i=1

$

j  {1, . . . , r}, on a NG uj (a) +

r
#
"
1!
NG ui (a) . En déduire que pour tout
r i=1

r
!
i=1
i!=j

%

"

#

ui (a) = NG uj (a) + NG

$!
r
i=1
i!=j

%

ui (a) .

16. En déduire, pour tout j  {1, . . . , r}, l'existence d'un nombre réel j ! 0 
tel
j + 1
que u(a) =
uj (a).
r
17. Déduire de la question précédente que a est un point fixe de tous les 
endomorphismes ui où i  {1, . . . , r}.
18. En utilisant le résultat de la question 10, montrer qu'il existe a  K tel 
que
pour tout u  G, u(a) = a.

E

Sous-groupes compacts de GLn(R)

On se place à nouveau dans l'espace vectoriel euclidien Mn (R) muni du produit
scalaire défini par "A, B# = Tr(AT B). On rappelle que GLn (R) désigne le groupe
linéaire et On (R) le groupe orthogonal d'ordre n.
Soit G un sous-groupe compact de GLn (R). Si A  G, on définit l'application
A de Mn (R) dans lui-même par la formule A (M ) = AT M A. On vérifie facilement,
et on l'admet, que pour tout M  Mn (R), l'application qui à A  G associe A (M )
est continue.
On note H = {A | A  G},  = {AT A | A  G} et K = Conv().
19. Montrer que A  GL(Mn (R)) et que H est un sous-groupe compact de
GL(Mn (R)).
20. Montrer que  est un compact contenu dans Sn++ et que K est un sousensemble 
compact de Sn++ (R) qui est stable par tous les éléments de H.
21. Montrer qu'il existe M  K tel que pour tout A  G, A (M ) = M . En
déduire l'existence de N  GLn (R) tel que pour tout A  G, N AN -1 
On (R). En déduire enfin qu'il existe un sous-groupe G1 de On (R) tel que
G = N -1 G1 N = {N -1 BN ; B  G1 }.
4

Soit K un sous-groupe compact de GLn (R) qui contient On (R), et N  GLn (R)
tel que N KN -1  On (R). On désigne par g l'automorphisme de Rn de matrice N
dans la base canonique de Rn , par P un hyperplan de Rn et par P la symétrie
orthogonale par rapport à P .
22. Montrer que g  p  g -1 est une symétrie, puis que c'est un endomorphisme
orthogonal de Rn . En déduire que gP g -1 = g(P ) . Montrer que g conserve
l'orthogonalité et en déduire K.

Fin du problème

5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 MP 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Robin Michaud (ENS Lyon) et Benoit Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet étudie des sous-groupes compacts du groupe linéaire GL(E) d'un espace 
vectoriel euclidien E. Il se compose de cinq parties, les trois premières étant
indépendantes.
· Dans la partie A, on établit des résultats préliminaires très classiques sur 
les
matrices symétriques réelles.
· La partie B est constituée de trois questions permettant d'obtenir des 
résultats
préliminaires sans lien entre eux : la compacité de l'enveloppe convexe d'une
partie compacte, une propriété des endomorphismes qui conservent 
l'orthogonalité et enfin la compacité du groupe On (R) des matrices 
orthogonales de
taille n.
· Dans la partie C, on établit un résultat important sur les parties compactes
de E : de tout recouvrement d'un compact de E par des parties ouvertes de E,
on peut extraire un sous-recouvrement fini.
· La partie D s'intéresse à un théorème du point fixe, le théorème de 
MarkovKakutani : soient G un sous-groupe compact de GL(E) et K un compact 
convexe
de E stable par tous les éléments de G, il existe alors a appartenant à K qui
est point fixe de tous les éléments de G.
· Dans la partie E, on établit que On (R) est un sous-groupe compact maximal
du groupe GLn (R) des matrices réelles inversibles de taille n, c'est-à-dire que
si K est un sous-groupe compact de GLn (R) qui contient On (R), alors K est
égal à On (R).
Ce sujet aborde plusieurs parties importantes du programme de MP : la topologie,
en particulier la convexité et la compacité, et l'algèbre euclidienne, 
notamment les
matrices symétriques réelles et les matrices orthogonales. D'une difficulté et 
d'une
longueur raisonnables, il est bien guidé : de nombreuses questions comportent 
des
indications ou sont découpées de façon à orienter le candidat. Globalement, 
c'est
un sujet très intéressant qui constitue un joli problème de révision en 
topologie et
en algèbre.

Indications
Partie A
1 Démontrer l'équivalence par double implication et utiliser le théorème 
spectral
pour le sens réciproque.
2 Utiliser à nouveau le théorème spectral.
Partie B
4 Démontrer que  est continu et que H × Kn+1 est compact.

6 Se servir du fait qu'en dimension finie, les parties compactes sont les 
parties
fermées et bornées.
Partie C
7 Procéder par l'absurde.
8 Lorsque K est non vide, procéder par l'absurde et construire par récurrence 
une
suite d'éléments de K qui vérifie les hypothèses de la question 7.
9 Suivre l'indication de l'énoncé puis faire appel à la question 8.
10 Introduire les complémentaires de Fi pour i  I afin d'appliquer le résultat 
de la
question 9.
Partie D
12 Pour le premier point, se servir du fait que G est un sous-groupe de GL(E).
Pour le second, utiliser l'indication de l'énoncé avec le vecteur z = x + y 
pour le
sens direct.
15 Le premier point de la question 12 aide à démontrer la première égalité. 
Pour la
seconde, se servir de la première et utiliser deux fois l'inégalité 
triangulaire.
16 Appliquer le résultat de la question 15 et le second point de la question 12 
lorsque a
est non nul.
17 Distinguer encore deux cas selon que a est nul ou pas.
18 Caractériser l'existence d'un point fixe commun à tous les éléments de G à 
l'aide
des ensembles Fu = Ker (u - IdE )  K, pour u  G, puis appliquer la question 10.
Partie E
19 Utiliser la caractérisation des sous-groupes et écrire H comme l'image d'un 
compact par une application continue.
20 Pour , appliquer la question 2. Pour K, se servir des questions 3, 4 et 19.
21 Appliquer la question 18 en vérifiant soigneusement toutes les hypothèses 
nécessaires à l'aide des questions 19 et 20. Pour l'existence de N, se souvenir 
de
la question 2.
22 Que peut-on dire d'un endomorphisme qui est à la fois une symétrie et un 
endomorphisme orthogonal ? Pour montrer que g préserve l'orthogonalité de deux
vecteurs x et y, introduire l'hyperplan P = Vect (x) lorsque x est non nul.
Appliquer enfin le résultat de la question 5.

A. Préliminaires sur les matrices symétriques
1 Soit S appartenant à Sn (R).
Supposons dans un premier temps que S est définie positive. Soient  une valeur 
propre de S et X  Mn,1 (R) un vecteur colonne propre associé, que l'on note
t
t
X = ( x1 , . . . , xn ). Alors X est non nul donc, par hypothèse, X SX > 0. 
Ainsi,
n
P
t
t
t
 xi 2 =  X X = X(X) = X SX > 0
i=1

Or, comme X est non nul, x1 2 + · · · + xn 2 est une somme de termes positifs 
non
tous nuls donc elle est strictement positive. Par conséquent,  > 0. Finalement, 
si S
est une matrice symétrique définie positive, alors ses valeurs propres sont des 
réels
strictement positifs.
Supposons maintenant que Sp(S)  R+ . La matrice S étant symétrique réelle,
le cours assure qu'il existe une matrice P  On (R) et une matrice diagonale 
réelle
D = diag(1 , . . . , n ), dont les coefficients diagonaux sont les valeurs 
propres de S,
t
telles que S = PDP-1 . Soit X = ( x1 , . . . , xn ) une matrice colonne réelle 
non nulle.
t
Comme P est orthogonale, P-1 = P et
t

X SX = t X(PDP-1 )X = t X(PD t P)X
t

d'où

t

t

t

X SX = ( P X)D( P X)

En notant Y = t P X = t ( y1 , . . . , yn ), on obtient alors
n
P
t
X SX = t Y DY =
i yi 2
i=1

Or, pour tout i  [[ 1 ; n ]], i > 0 et yi 2 > 0. De plus, Y est non nulle car t 
P est
inversible et X est non nulle, donc il s'agit d'une somme de termes positifs 
dont
t
au moins un des termes est strictement positif. Par conséquent, X SX > 0. On a
démontré que la matrice S est définie positive. Finalement,
S est définie positive

Sp(S)  R+

Cette caractérisation des matrices symétriques définies positives est une 
question très classique, que l'on retrouve dans de nombreux sujets, sous forme
matricielle comme ici, mais aussi pour des endomorphismes symétriques.
2 Soit S  S++
n (R). Comme S est symétrique réelle, il existe une matrice P  On (R)
et une matrice diagonale réelle D = diag(1 , . . . , n ), dont les coefficients 
diagonaux
sont des réels strictement positifs (puisque ce sont les valeurs propres de S), 
telles
que S = PDP-1 . Posons alors

 = diag( 1 , . . . , n )
puis
R = PP-1
La matrice  est diagonale à coefficients diagonaux tous strictement positifs, 
c'est
donc une matrice inversible et par suite la matrice R est inversible, la 
matrice P étant
aussi inversible. De plus,
t

R R = t ( PP-1 )(PP-1 ) = t P

-1 t

 t P PP-1 = P2 P-1

car P est orthogonale et  est diagonale. Par conséquent,
t

Ainsi,

R R = PDP-1 = S
t

Pour tout S  S++
n (R), il existe R  GLn (R) telle que S = R R.

Comme la première question, cette décomposition d'une matrice symétrique
définie positive sous la forme d'un produit d'une matrice inversible et de sa
transposée est extrêmement classique. Notons au passage que
t

t

t

t

t

R = ( PP-1 ) = P-1  P = PP-1 = R

On a donc construit une matrice symétrique.
t

Soit maintenant R une matrice réelle inversible de taille n, posons S = R R et
vérifions que S  S++
n (R). Déjà,
t

S = t ( t R R) = t R R = S

donc S est symétrique. De plus, pour tout vecteur colonne non nul X  Mn,1 (R),
t

X SX = t X t R RX = t ( RX)(RX) =

n
P

yi 2

i=1

où l'on a noté RX = t ( y1 , . . . , yn ). En outre, la matrice R est 
inversible et X est non
nul donc RX est non nul, d'où
t

X SX =

n
P

yi 2 > 0

i=1

On conclut que

t

Pour tout R  GLn (R), R R  S++
n (R).

3 Démontrons que l'ensemble S++
n (R) est une partie convexe de Mn (R). Soient A
et B dans S++
n (R) et t  [ 0 ; 1 ]. On pose C = t A + (1 - t) B, montrons que C est
symétrique définie positive. Notons déjà que si t = 0 ou t = 1, C = B ou C = A 
donc
le résultat est immédiat. Supposons alors t  ] 0 ; 1 [. La matrice C est 
symétrique
en tant que combinaison linéaire de deux matrices symétriques. De plus, pour 
toute
matrice colonne non nulle X  Mn,1 (R),
t

t

t

t

X CX = X(t A + (1 - t) B)X = t X AX + (1 - t) X BX
t

Or, comme t  ] 0 ; 1 [, t et 1 - t sont strictement positifs, de même que X AX
et t X BX puisque A et B sont définies positives. Donc, par produit et somme de 
réels
strictement positifs,
t

X CX > 0

On a ainsi prouvé que C appartient à S++
n (R). Finalement, pour toutes matrices A
et B dans S++
(R),
le
segment
[
A
;
B
],
égal
à {t A + (1 - t) B | t  [ 0 ; 1 ]}, est inclus
n
dans S++
(R).
Par
conséquent,
n
L'ensemble S++
n (R) est convexe.
La matrice C construite ci-dessus est symétrique définie positive et donc
en particulier elle est inversible. On a ainsi obtenu une partie convexe de
GLn (R), bien que celui-ci ne soit pas convexe : par exemple, In  GLn (R)
et -In  GLn (R), mais

1
1
In + 1 -
(-In ) = 0Mn (R) 6 GLn (R)
2
2