Mines Maths 2 MP 2016

Thème de l'épreuve Théorème taubérien de Hardy-Littlewood-Karamata
Principaux outils utilisés intégrales à paramètre, séries de fonctions, produit de Cauchy, comparaison série/intégrale, convergence uniforme, théorème de la double limite
Mots clefs théorème taubérien, théorème de Weierstrasss, sommes de carrés, Hardy, Littlewood, Karamata

Corrigé

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A 2016 - MATH. II MP. École des PONTS ParisTech, ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech, TÉLÉCOM ParisTech, MINES ParisTech, MINES Saint-Étienne, MINES Nancy, TÉLÉCOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filière MP). CONCOURS 2016 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle international). Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Théorème taubérien de Hardy­Littlewood-Karamata Dans tout le problème, I désigne l'intervalle ]0, +[. A Une intégrale à paramètre Pour tout x R on pose, sous réserve d'existence, F (x) = Ú + 0 e-u du u(u + x) et K= Ú + -u e 0 du. u e-u 1. Montrer que la fonction : u Ô est intégrable sur I. u 2. Déterminer les valeurs de x pour lesquelles F (x) est définie. 3. Montrer que la fonction F est de classe C1 sur I et exprimer F (x) sous forme intégrale. 4. En déduire que pour tout x I, xF (x) - (x - 12 )F (x) = -K. x e-x F (x). Montrer qu'il existe une Ú x -t e dt. constante réelle C telle que pour tout x I, G(x) = C - K · 0 t 5. Pour tout x I, on pose G(x) = 6. Déterminer les limites de G en 0 et +, et en déduire la valeur de K. B Étude de deux séries de fonctions Dans toute cette partie, on pose f (x) = + Ø + Ø e-nx et g(x) = ne-nx . n n=1 n=0 7. Montrer que f et g sont définies et continues sur I. Ú + -ux e du 6 f (x) 6 u 1 déduire un équivalent de f (x) lorsque x 0. 8. Montrer que pour tout x I, 9. Montrer que la suite 3Ø n 4 1 -2 n converge. n>1 k k=1 2 Ú + -ux e 0 du. En u n Ø1Ø 1 2 e-nx converge et exprik n>1 k=1 mer sa somme h(x) en fonction de f (x) pour tout x I. 10. Démontrer que pour tout x > 0, la série 11. En déduire unéquivalent de h(x) lorsque x 0. Montrer alors que g(x) est équivalent à 3/2 lorsque x 0. 2x C Séries de fonctions associées à des ensembles d'entiers À tout ensemble A N on associe la suite (an ) définie par an = 1 si n A, 0 sinon. Soit IA l'ensemble des réels x > 0 pour lesquels la série Ø an e-nx converge. On n>0 pose fA (x) = + Ø n=0 an e-nx pour tout x IA . Enfin, sous réserve d'existence, on pose (A) = lim x fA (x) et on note S l'ensemble des parties A N pour lesquelles x 0 (A) existe. 12. Quel est l'ensemble IA si A est fini ? Si A est infini, montrer que l'on peut extraire une suite (bn ) de la suite (an ) telle que pour tout n N, bn = 1. Déterminer IA dans ce cas. 13. Soit A S et (an ) la suite associée. Pour tout entier naturel n, on note A(n) l'ensemble Ø des éléments de A qui sont 6 n. Vérifier que pour tout x > 0 la série Card(A(n)) e-nx converge et que n>0 + Ø Card(A(n)) e-nx = n=0 fA (x) . 1 - e-x Dans la question suivante, A = A1 désigne l'ensemble des carrés d'entiers naturels non nuls. + Ø fA1 (x) = ne-nx où · désigne la partie entière. 1 - e-x n=0 + Ø fA1 (x) En déduire un encadrement de ne-nx - , puis un équivalent de 1 - e-x n=0 fA1 en 0. Prouver alors que A1 S et donner (A1 ). 14. Montrer que si x > 0, 3 TSVP Dans la question suivante, A = A2 désigne l'ensemble constitué des entiers qui sont la somme des carrés de deux entiers naturels non nuls. On admet que A2 S, et on désire majorer (A2 ). Soit v(n) le nombre de couples d'entiers naturels non nuls (p, q) pour lesquels n = p2 + q 2 . 15. Montrer que pour tout réel x > 0, la série n>0 v(n)e-nx converge et établir que + Ø v(n)e-nx = (fA1 (x))2 . q n=0 Montrer alors que pour tout x > 0, fA2 (x) 6 (fA1 (x))2 . En déduire un majorant de (A2 ). D Un théorème taubérien Soit (n )n>0 une suite de nombres réels positifs tels que pour tout réel x > 0, q la série n>0 n e-nx converge. On suppose que 1 lim x x 0 + Ø 2 n e-nx = [0, +[. n=0 On note F l'espace vectoriel des fonctions de [0, 1] dans R, E le sous-espace de F des fonctions continues par morceaux et E0 le sous-espace de E des fonctions continues sur [0, 1]. On munit E de la norme ë ë définie par la formule ëë = sup |(t)|. t[0,1] Si E, on note L() l'application qui à x > 0 associe (L())(x) = + Ø n e-nx (e-nx ). n=0 16. Montrer que L() est bien définie pour tout E et que l'application L est une application linéaire de E dans F . Vérifier que, pour tous 1 , 2 dans E, 1 6 2 entraîne L(1 ) 6 L(2 ). On note E1 l'ensemble des E pour lesquels lim x (L())(x) existe et si E1 , x 0 on pose () = lim x (L())(x). x 0 17. Vérifier que E1 est un sous-espace vectoriel de E et que l'application est une forme linéaire continue de (E1 , ë ë ). 18. Montrer que pour tout p N, ep : t [0, 1] Ô tp appartient à E1 et calculer (ep ). En déduire que E0 E1 et calculer () pour tout E0 . 4 Pour tous a, b [0, 1] tel que a < b, on note 1[a,b] : [0, 1] {0, 1} la fonction définie par 1 si x [a, b] 1[a,b] (x) = 0 sinon. Soit a ]0, 1[ et ]0, min(a, 1 - a)[. On note 1 si x [0, a - ] a-x g- (x) = 0 et si x ]a - , a[ si x [a, 1] 1 si x [0, a] a+-x g+ (x) = 0 si x ]a, a + [ si x [a + , 1]. 19. Vérifier que g- et g+ appartiennent à E0 et calculer (g- ) et (g+ ). Montrer alors que 1[0,a] E1 et calculer (1[0,a] ). En déduire que E1 = E et donner () pour tout E. On considère maintenant la fonction définie sur [0, 1] par la formule : 0 (x) = 1 x 1 si x [0, [ e 1 si x [ , 1]. e 20. Calculer (L())( N1 ) pour tout entier N > 0 et en déduire la limite N 1 Ø lim k N + N k=0 (théorème taubérien). On rappelle que v(n) est le nombre de couples d'entiers naturels non nuls (p, q) tels que n = p2 + q 2 . n 1 1Ø v(k). Card(A(n)) ? Déterminer alors lim n+ n n+ n k=1 21. Si A S, que vaut lim Fin du problème 5

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 Mines Maths 2 MP 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Guillaume Batog (Professeur en CPGE) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). L'objectif de ce problème est la démonstration du théorème taubérien de HardyLittlewood-Karamata : siP (n )nN est une suite de nombres réels positifs tels que pour tout x > 0, la série n e -nx converge vers un réel noté f (x), alors lim (xf (x)) = [ 0 ; + [ x0 = N 1 P n = N+ N n=0 lim Ce problème est composé de quatre parties indépendantes : · La partie A calcule l'intégrale K= Z + 0 e -u du u C'est un classique des intégrales à paramètre, avec toutefois des calculs à mener astucieusement dans les questions 4 et 6. · La partie B peut être vue comme une seconde partie préliminaire, qui aboutit à l'équivalent + P -nx ne x0 2x3/2 n=0 Il s'agit d'un problème typique de séries de fonctions, sans difficulté particulière. · La partie C s'intéresse aux suites de terme général n = 1A (n) où A est une partie de N. Si l'on note, pour tout n N, n = Card ({k A | k 6 n}), on prouve que f (x) 1 - e -x On s'intéresse ensuite au cas particulier des entiers s'écrivant comme somme de deux carrés non nuls. Cette partie demande de l'aisance dans la manipulation des cardinaux et surtout de l'habitude pour reconnaître des produits de Cauchy. · Si (n )nN est la suite intervenant dans le théorème taubérien, la partie D établit le résultat intermédiaire suivant (sans le donner) : Z 1 + P lim x n e -nx (e -nx ) = (t) dt x > 0 x0 n=0 f (x) = 0 que l'on démontre successivement pour une fonction polynomiale, puis continue, puis en escalier, puis continue par morceaux sur [ 0 ; 1 ]. On prouve enfin le théorème recherché que l'on applique ensuite pour établir que le nombre de décompositions d'un entier en somme de deux carrés vaut, en moyenne, /4. Ce problème est dans l'ensemble difficile : outre qu'il demande de bien maîtriser les séries de fonctions et les intégrales à paramètre (ce qui en fait un bon problème de révision sur ces sujets), certaines questions techniques sont ouvertes (la formule n'est pas fournie) et bloquantes pour la suite (on ne peut plus avancer sans trouver la formule). Indications Partie A 2 Montrer que la fonction F est définie sur I. 3 Vérifier les hypothèses de dérivation des intégrales à paramètre. 4 Pour x I, calculer F(x) à l'aide d'une intégration par parties, en posant a(u) = e -u u+x 1 b (u) = u et Reconnaître alors F(x) et F (x) dans le terme obtenu, en factorisant par 2e -u (u + x) u dans la nouvelle intégrale, et en écrivant x 1 u 1+ = (u + x) + (1 - x) - u+x u+x 5 Calculer la dérivée de G puis intégrer le résultat obtenu. 6 Pour la limite en 0, effectuer le changement de variable t = u/x et vérifier les hypothèses de la version continue du théorème de convergence dominée. Calculer alors l'intégrale obtenue avec le changement de variable u = t. Partie B 7 Montrer que les séries de fonctions convergent normalement sur [ a ; + [ pour tout a > 0. 8 Utiliser une comparaison série-intégrale puis effectuer le changement de variable affine u = tx. 9 Utiliser le théorème de comparaison série-intégrale du cours avec la fonction : x 7 1/ x + 1. 10 Chercher un équivalent du terme général. Reconnaître ensuite un produit de Cauchy en écrivant e -nx = e -kx e -(n-k)x . 11 Exprimer g(x) en fonction de h(x) et majorer le reste de l'égalité par un o (h(x)). x0 Partie C 12 Si A est infini, montrer que IA = ] 0 ; + [. 13 Écrire Card (A(n)) = n P ak k=0 et reconnaître un produit de Cauchy dans la somme. Remarquons que l'hypothèse A S est inutile dans cette question. 14 Utiliser l'inégalité 0 6 n - n 6 1 pour tout n > 0. 15 Écrire v(n) = Card {k [[ 1 ; n-1 ]]|(k, n-k) A1 2 } pour n N et reconnaître une nouvelle fois un produit de Cauchy. Partie D 16 Il y a une petite erreur d'énoncé : l'application L est en fait à valeurs dans l'espace vectoriel des fonctions de ] 0 ; + [ dans R. Z 1 = ep (t) dt 18 Montrer que p N (ep ) = p+1 0 et étendre le résultat aux polynômes par linéarité. Appliquer ensuite le théorème de Weierstrass ainsi que le théorème de double limite pour prouver que cette égalité reste vraie pour les fonctions continues. 19 Après avoir calculé (g- ) et (g+ ) grâce à la question précédente, montrer que 1[ 0 ; a ] E1 à partir de l'égalité g- 6 1[ 0 ; a ] 6 g+ et de la question 16. Prouver que les fonctions indicatrices 1{a} , 1[ a ; b ] , 1[ a ; b [ , 1] a ; b ] et 1] a ; b [ sont également dans E1 et en déduire que les fonctions en escalier sont dans E1 . Conclure comme à la question 18. 20 Appliquer la question 19. 21 Considérer la suite (an )nN de la partie C, prouver qu'elle vérifie les hypothèses de la partie D, puis utiliser la question 19 en remarquant que Card (A(n)) = n P ak k=0 Exploiter ensuite la question 15 pour justifier que la suite (v(n))nN vérifie elle aussi les hypothèses de la partie D. A. Une intégrale à paramètre 1 La fonction : u 7 e -u / u est continue sur I comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas, donc intégrable sur tout segment. Il reste à étudier l'intégrabilité de la fonction en 0 et en +. · D'une part, 0 6 (u) u0 1 u1/2 qui est intégrable en 0 puisque 1/2 < 1. u2 (u) = u3/2 e -u ---- 0 · D'autre part, u+ par croissances comparées, donc (u) = o (u-2 ), puis est intégrable u+ en + par comparaison avec une intégrale de Riemann (2 > 1). Finalement, La fonction : u 7 e -u / u est intégrable sur I. I - R 2 Définissons la fonction x : e -u u 7- u(u + x) et examinons les différents cas. · Si x < 0, la fonction x n'est pas définie en -x. Elle n'est donc pas continue par morceaux sur I, elle ne peut donc pas être intégrable sur I. · Si x > 0, la fonction x est continue sur I en tant que quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas. De plus, u > 0 0 6 x (u) 6 1 (u) x et u 7 (1/x)(u) est intégrable sur I d'après la question 1. Ainsi, par comparaison des fonctions positives, la fonction x est également intégrable sur I. · Si x = 0, 0 6 x (u) u0 1 u3/2 qui n'est pas intégrable en 0 car 3/2 > 1 (intégrale de Riemann). Par comparaison des intégrales positives, x n'est donc pas intégrable en 0. Par suite, La fonction F est définie sur I. Remarquons que la question 3 donne un élément de réponse au problème posé ici, en demandant de prouver que la fonction F est de classe C 1 sur I. 3 Définissons la fonction : I × I - R -u e (x, u) 7- u(u + x) et vérifions les hypothèses du théorème de dérivation des intégrales à paramètre. · Soit x I. La fonction u 7 (x, u) = x (u) est continue et intégrable sur I d'après la question précédente.