Mines Maths 2 MP 2014

A 2014 MATH. Il MP

ECOLE DES PONTS PARISTECH,

SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIËRE MP),
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIËRE TSI).

CONCOURS 2014

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis àla disposition des concours :
CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page dela copie:

ZVIATHÊNIATIQUES II - MR

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
dénoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Points fixes et opérateurs à noyau

On considère un espace réel E de Banach, c'est--a ' -dire un espace vectoriel
sur [R muni d'une norme notée || II et cqmplet pour cette norme. Si A est une

partie de B, on note A son adhérence, A son intérieur, ôA= A \ A sa frontière,
et d(x,A)=1nfyeAllx--yll sa distance a un point x E B. On note respectivement
B(x, r)-- -- { yEUR E; ||y-- xll < r} etB(x, r)-- -- { yEUR E; ||y-- xll< r} les boules ouverte et fermée de centre x et de rayon r. Étant données deux parties A et B de E, et une application f : A --> B, on
rappelle que x E E est un point fixe de f si c'est une solution de l'équation
x = f(x). L'application f est dite contractante si elle est k-lipschitzienne de
rapport k E [O, 1 [, c'est-à-dire si pour tous x, y EUR A, il existe un réel k 
< 1 tel que "f(x) --f(y)ll < kllx--yll. On rappelle qu'une application lipschitzienne est continue. Dorénavant et dans tout le problème, A désigne une partie fermée non vide de E . A. Théorème du point fixe Dans cette partie préliminaire, on établit le Théorème (Picard). Toute application contractante f : A --> A admet un unique
pointfixe x E A.

Soit donc f : A --> A une application contractante.
1) Montrer que si f admet un point fixe x, celui-ci est unique.

Soit x0 EUR A et (xn)neN la suite d'éléments de A définie par la relation de 
récur-
rence xn+1 : f (X") pour tout entier naturel n.

2) Montrer que la suite (xn) ,OEN est de Cauchy.

3) Conclure.

B. Invariance par homotopie

Soit f : A --> E et g : A --> E deux applications contractantes. On suppose que
f et g sont homotopes, c'est-à-dire qu'il existe une application h : A >< [0,1] --> E
telle que pour tout x E A, on a h(x,0) : f(x) et h(x,1) : g(x), et qui vérifie 
en
outre les trois propriétés suivantes :

@ il existe k E [O, 1[ tel que pour tous x,y EUR A et tout t E [O, 1], on a
llh(x, t) -- h(y, t)ll < kllx--yll ; @ il existe un réel [c' > O tel que pour tout x E A et tous t, u E [O, 1],
"mx, t) -- h(x, u)ll < k'lt-- ul ; pour tous te [0,1] etxEUR (M, on ax;£ h(x, t). On suppose en outre que f admet un point fixe dans A et on pose T= {te [0,1] ; ElxeA, x= h(x,t)}. 4) Vérifier que T n'est pas vide. Soit (tn)neN une suite d'éléments de T qui converge vers un réel t E [O, 1]. On choisit une suite (xn) ,OEN d'éléments de A tels que pour tout entier naturel n, on a la relation xn : h(x... tn). 5) Vérifier qu'une telle suite (xn) neN existe et que pour tous entiers naturels n et m, on a I "x --x IIS--lt --t |. 6) Montrer alors que la suite (xn) ,OEN est de Cauchy et en déduire que T est fermée. Soit encore t E T et x E A tels que x : h(x, t). 7) Vérifier que d(x,ôA) > O.
(1 -- k) r

Soit r et 5 deux nombres réels strictement positifs tels que 5 < et r < d(x,ôA), et soit u E [O, 1] tel que lt-- ul < 5. 8) Montrer que pour tout y EURË(x, r) n A, on a llx -- h(y, u)) Il < r. 9) En déduire, en utilisant le théorème de Picard ci-dessus, que l'application y ---> h( y, u) possède un point fixe intérieur à A.

10) En déduire que T est un ouvert relatif à [O, 1]. Conclure alors que g pos-
sède un unique point fixe intérieur à A (on pourra considérer une borne
supérieure de T).

Une application. On ne suppose plus que l'application contractante f : A --> E
admet un point fixe, mais on fait les trois hypothèses suivantes :

@ le vecteur nul O est intérieur à A;
@ l'image f (A) de A par f est bornée ;
pour tout x E (M et tout t E [O, 1], on a x # tf(x).

1 1) Montrer que f possède un unique point fixe intérieur à A.

C. Étude de certains opérateurs à noyau

Soit 61 < 19 deux réels et f : [a, b] >< [R --> [R une application continue. On 
sup-
pose qu'il existe un sous-ensemble D c [R contenant 0 et un réel Ko > 0 
vérifiant
pour tous (t, u) et (t, u) dans [a, b] >< D, lf(tyu)_f(tyv)l SKOIM-- UI- L'espace de Banach C ([a, b]) des fonctions continues 
 [R est 
muni de

la norme llcpll : supOEW'b] lcp(t)l.
Soit K : [a, b] >< [a, 19] --> [R une fonction continue. On définit 
l'application F
de C ([a, b]) dans lui--même par la formule :

b
F( C, pas nécessairement contractante, telle que

le vecteur nul 0 est intérieur à A;
l'ensemble f (A) est compact;
pour tout x E (M et tout t E [0,1], on a x # tf(x).

Onpose
X={xeA; EltEUR [0,1] ; x= tf(x)}.

14) Montrer que X est non vide et fermé. En déduire que la fonction ,a : A -->
[O, 1] définie par la formule

_ d(x, ôA)
_ d(x,ôA) + d(x, X)

u(x)

est bien définie et continue. Déterminer ,u(x) lorsque x E X et lorsque
xeôA.

On définit une fonction g: C --> C par:

,u(x)f(x) sixeA
8...={ .
O s1xeC\A.

15) Montrer que g est continue sur C et que g(C) est compact.

On admet le

Théorème (Schauder). Si C est une partie convexe fermée de E , toute application
f : C --> C continue telle que f (C) est compact possède au moins un point fixe.

16) Conclure, a l'aide du théorème de Schauder, que f admet un point fixe
intérieur à A.

E. Application aux intégrales de Fredholm

On considère dans cette partie l'espace de Banach E = C ([O, 1]) des fonc-
tions 
 [R continues muni de la norme || [R continues muni de la 
norme

||< [R --> [R, h: [0,1] --> [R et K: [0,1] >< [0,1] --> [R des 
fonctions
continues. On pose, pour tout ça E E et t E [O, 1] :

1
F( 0, il existe ... E L2 tel que I yl < r implique lg(x, y)l < ,Ltr(x) pour tout x E [O, 1]. la fonction K,; définie pour tout t E [O, 1] par la formule K,;(x) : K (t, x) est dans L2, et l'application t ---> K,; est continue de [O, 1] dans L2.

On suppose en outre qu'il existe un réel M > 0 tel que pour tout /1 E [O, 1] et 
toute
solution (p de l'équation  ça dans E quand n --> +oo, on a la convergence simple
F( F( 0, il existe un réel 5 > 0 tel que pour tout

n E N et tous t, ue [O, 1], lt-- ul < 5 implique |F( 0, il existe une famille finie t1, t2, . . ., tN 
E [O, 1] telle
que le segment [O, 1] soit inclus dans la réunion des intervalles ] t,-- -- 5, 
t,-- + 5 [ pour
ie {1,2,...,N}.

21) Montrer que si la suite (F (