Mines Maths 2 MP 2013

Thème de l'épreuve Quelques propriétés géométriques du groupe orthogonal
Principaux outils utilisés espaces euclidiens, matrices orthogonales, théorème spectral, convexité
Mots clefs décomposition polaire, théorème de Carathéodory, projection sur un convexe compact, enveloppe convexe de On(R), points extrémaux

Corrigé

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A 2013 MATH. Il MP ECOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIËRE MP), ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIËRE TSI). CONCOURS 2013 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis àla disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-BNP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page dela copie: ZVIATHÊNIATIQUES II - MR L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur dénoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Quelques propriétés géométriques du groupe orthogonal Notations et définitions Soit E un espace vectoriel euclidien (préhilbertien réel de dimension finie). On note ( , ) le produit scalaire de E et || Il la norme euclidienne associée. Si H est une partie de E , on appelle enveloppe convexe de H, notée conv(H), la plus petite partie convexe de E contenant H, c'est-à-dire l'intersection de tous les convexes de E contenant H. Soit n un entier naturel > 2. On désigne par /%n(R) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. On note 1 la matrice identité de J%n([Râ) et si A E J%n(R), on note 'A la matrice transposée de A et tr(A) la trace de A. On rappelle que le groupe orthogonal On([R) de /Æn([Râ) est l'ensemble des matrices U de J%n(R) telles que U "U = I . On rappelle également qu'une matrice symétrique réelle est dite positive si ses valeurs propres sont positives ou nulles. On pourra identifier [R%" et l'ensemble des matrices colonnes J%n,1 (R), que l'on suppose muni du produit scalaire canonique, pour lequel la base canonique de [R%" est orthonormée. On note || "2 la norme sur J%n([Râ) subordonnée à la norme euclidienne de [R%" : pour tout A E /%n ([R), llAllz= sup "AX"- XeR",llel=l Les parties A, B, C et D sont indépendantes. A. Produit scalaire de matrices On rappelle que tr(A) désigne la trace de la matrice A E J%n([Râ). 1) Montrer que pour toute base orthonormée (el, 82, . . . , en) de R", on a la formule tr(A) : Zÿ=l(Ael--, ei}. 2) Montrer que l'application (A, B) --> tr(tA B) définit un produit scalaire sur J%n([Râ), noté (, ). On note || "1 la norme euclidienne associée à ce produit scalaire. L'attention du candidat est attirée sur le fait que J%n([Râ) est désormais muni de deux normes différentes || "1 et || "2. 3) Si A et B sont symétriques réelles positives, montrer que (A, B) > 0. On pourra utiliser une base orthonormée de vecteurs propres de B. B. Décomposition polaire Soit f un endomorphisme de E . On note A la matrice de f dans une base orthonormée de E, et on note f * l'adjoint de f. 4) Montrer que 'AA est une matrice symétrique réelle positive. Exprimer Il All2 en fonction des valeurs propres de 'AA. 5) Montrer qu'il existe un endomorphisme auto-adjoint positif h de E tel que f* 0 f = W. 6) Montrer que la restriction de h à Im h induit un automorphisme de Im h. On notera cet automorphisme Îz. 7) Montrer que llh(x)ll : llf(x)ll pour tout x E B. En déduire que Kerh et (Im f )i ont même dimension et qu'il existe un isomorphisme v de Ker h sur (Im f )i qui conserve la norme. 8) À l'aide de Îz et v, construire un automorphisme orthogonal u de E tel que f = u 0 h. 9) En déduire que toute matrice A E J%n([Râ) s'écrit sous la forme A : US, où U E On([R) et S est une matrice symétrique positive. On admet que si A est inversible, cette écriture est unique. C. Projeté sur un convexe compact Soit H une partie de E , convexe et compacte, et soit x E E . On note d(x,H) : inf llx-- hll. heH 10) Montrer qu'il existe un unique ho E H tel que d(x, H) : llx-- ho II. On pourra utiliser pour ho, m dans H la fonction définie pour tout t E [R par la formule ...) = llx-- the -- (1 -- t)h1||2. 11) Montrer que ho est caractérisé par la condition (x -- ho, h -- ho) < 0 pour tout h E H. On pourra utiliser la même fonction q(t) qu'à la question précédente. Le vecteur ho s'appelle projeté de x sur H. D. Théorème de Carathéodory et compacité Dans cette partie, on suppose que E est de dimension n. On dit que x E E est une combinaison convexe des 19 éléments x1, x2, . . . , xp E E s'il existe des réels /11, Àg, . . . , /1p positifs ou nuls tels que 19 19 x= 2/1ij et ZÂi=1- i=l ' 12) Montrer que l'enveloppe convexe conv(H) d'une partie H de E est consti- tuée des combinaisons convexes d'éléments de H. On souhaite montrer que l'enveloppe convexe conv(H ) est constituée des com- binaisons convexes d'au plus n + 1 éléments de H. Soit x : Z'Y_ À-x- une combinaison convexe de x1, x2, . . . , x E H avec 19 > n + 2. z-1 l 1 P 13) Montrer qu'il existe 19 réels non tous nuls ,Lt1,,Lt2, . . . , ,up tels que P Z,u,--x,--=O et Z,u,--=O. i=1 ' On pourra considérer la famille (362 -- x1, x3 -- x1, . . . , xp -- xl). 14) En déduire que x s'écrit comme combinaison convexe d'au plus 19 -- 1 éléments de H et conclure que conv(H ) est constituée des combinaisons convexes d'au plus n + 1 éléments de H. On pourra considérer une suite de coefficients de la forme À,-- -- Hu,-- > 0, i E {1,2, . . . , p} pour un réel 9 bien choisi. 15) Si H est une partie compacte de E, montrer que conv(H) est compacte. On pourra introduire l'ensemble compact de là"" défini par n+1 A= {(t1,...,tn+1), avec t,-- >Opourtoutie{1,...,n+l} et 2 t,-- = l}. i=1 E. Enveloppe convexe de O,,(IR) 16) Montrer que l'enveloppe convexe conv(On(lR{)) est compacte. On note 93 la boule unité fermée de (Æn(üä), Il "g). 17) Montrer que conv(On(lR{)) est contenue dans 93. On suppose qu'il existe M EUR 93 telle que M n'appartient pas a conv(On(üä)). On note N le projeté de M sur conv(On(lR{)) défini àla partie C pour la norme || || 1, et on pose A : t(M -- N). On écrit enfin A : US, avec U E O,,(llä) et S symétrique réelle positive (question 9). 18) Montrer que pour tout V E conv(On(R)), tr(AV) < tr(AN) < tr(AM). En déduire que tr(S) < tr(U SM). 19) Montrer que tr(M U S) S tr(S). On pourra appliquer le résultat de la ques- tion 1). 20) Conclure : déterminer conv(On(R)). F. Points extrémaux l Un élément A E 93 est dit extrémal dans 93 si l'écriture A = 5 (B + C), avec B,C appartenant à 93, entraîne A : B = C. Dans cette partie, on cherche à déterminer l'ensemble des points extrémaux de 93. l 21) On suppose que U E On([R) s'écrit sous la forme U = 5 (V + W), avec V, W appartenant à 93. Montrer que pour tout X EUR HQ", les vecteurs VX et WX sont liés. En déduire que U est extrémal dans 93. Soit A appartenant à 93 mais n'appartenant pas à On([R). 22) Montrer que l'on peut écrire A sous la forme A : PDQ, où P et Q sont deux matrices orthogonales et où D est une matrice diagonale dont les éléments diagonaux dl, dg, . . . , dn sont positifs ou nuls. 23) Montrer que di S 1 pour tout i E {1,2,...,n}, et qu'il existe j EUR {1,2,...,n} tel que dj < 1. 24) En déduire qu'il existe deux matrices Aa et A_a appartenant à 93 telles 1 que A = 5 (Aa + A_a). Conclure. FIN DU PROBLÈME

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 Mines Maths 2 MP 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Silvère Gangloff (ENS Ulm) et Nicolas Martin (ENS Lyon). Ce problème, composé d'algèbre et de topologie, a pour finalité de démontrer que l'enveloppe convexe de l'ensemble On (R) des matrices orthogonales est la boule unité fermée B de Mn (R), au sens de la norme subordonnée à la norme euclidienne canonique, et que les matrices orthogonales constituent les points extrémaux de B. Il se compose de six parties. Les quatre premières sont indépendantes entre elles mais les résultats que l'on y établit servent dans les deux dernières. · Dans la première partie, on s'intéresse à des résultats généraux sur les matrices. · La deuxième partie permet d'établir l'existence de la décomposition polaire d'une matrice : on y démontre que toute matrice A d'ordre n s'écrit sous la forme A = US, où U On (R) et S est une matrice symétrique réelle positive. · Dans la troisième partie, on démontre l'existence et l'unicité du projeté d'un vecteur x de E sur une partie H convexe et compacte d'un espace euclidien E : pour tout x E, il existe un unique h0 dans H tel que kx - h0 k = Inf kx - hk hH De plus, on établit une caractérisation de ce projeté à l'aide du produit scalaire. · La quatrième partie traite de l'enveloppe convexe conv(H) d'une partie H de E ; on y prouve que conv(H) est constituée des combinaisons convexes d'au plus dim E + 1 éléments et que l'enveloppe convexe d'un compact de E est elle-même une partie compacte de E. · Dans la cinquième partie, on démontre que l'enveloppe convexe conv(On (R)) de l'ensemble des matrices orthogonales est un compact de Mn (R), puis qu'elle est égale à la boule unité B. · Enfin, après avoir défini les points extrémaux de B comme les éléments A de B tels que l'écriture A = (B + C)/2, avec B et C appartenant à B, entraîne A = B = C, on établit que On (R) est l'ensemble des points extrémaux de B. Ce sujet est intéressant et bien construit. Les résultats qui y sont démontrés sont relativement classiques et peuvent avoir été rencontrés en exercice ou en problème durant l'année scolaire, mais que les candidats qui ne les ont pas vus se rassurent : les parties sont bien guidées et comportent suffisamment de questions intermédiaires pour pouvoir être traitées. Dans l'ensemble, le sujet est abordable, il n'est pas très long et il ne comporte pas de question exagérément difficile. C'est un bon problème de révision, à aborder après avoir fini les chapitres de topologie et d'algèbre euclidienne de deuxième année. Indications Partie A 3 On rappelle qu'une matrice symétrique A Mn (R) est positive si, et seulement si, hAX, Xi > 0 pour tout X Mn,1 (R). Partie B t 4 Travailler dans une base orthonormée de A A. Prouver par n de diagonalisation o double inégalité que kAk2 = Max | sp t A A . 5 Diagonaliser t A A dans une base orthonormée puis construire une racine carrée de la matrice diagonale obtenue. t 6 Travailler à nouveau dans une base orthonormée de diagonalisation de A A. 7 Pour construire un isomorphisme qui conserve la norme, il suffit de définir une application linéaire qui envoie une base orthonormée sur une base orthonormée. 8 Définir u par son action sur les sous-espaces supplémentaires Im h et Ker h. Partie C 10 Séparer l'existence de l'unicité. Pour l'unicité, remarquer que l'application q définie dans l'énoncé est polynomiale de degré 2. 11 Raisonner par double implication en utilisant l'indication de l'énoncé pour l'une des implications et l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour l'autre. Partie D 12 Utiliser la définition de l'enveloppe convexe, c'est-à-dire démontrer que l'ensemble des combinaisons convexes d'éléments de H est la plus petite partie convexe de E qui contient H. 14 Pour assurer la positivité des coefficients de la combinaison linéaire, introduire le plus petit élément de l'ensemble des i /|µi | pour i [[ 1 ; n ]] tel que µi 6= 0. 15 Suivre l'indication de l'énoncé. Partie E 16 Appliquer le résultat de la question 15. 18 Se servir de la condition caractérisant le projeté orthogonal établie dans la question 11. 19 Utiliser la formule de la question 1 avec une base orthonormée de diagonalisation de S. Partie F 21 22 23 24 Se souvenir du cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire. Appliquer le résultat de la question 9. Que pourrait-on dire de A si tous les di étaient égaux à 1 ? Commencer par construire deux matrices diagonales D et D- telles que D soit égale à (D + D- )/2, en modifiant le j e coefficient de la diagonale de D à l'aide du résultat de la question 23. Pour vérifier que A et A- sont bien dans B, penser à la question 4. A. Produit scalaire de matrices 1 Soient A une matrice d'ordre n et (e1 , . . . , en ) une base orthonormée de Rn . Notons u l'endomorphisme canoniquement associé à A et B = (bi,j )16i,j6n la matrice de u dans la base (e1 , . . . , en ). Puisque cette base est orthonormée, pour tout (i, j) [[ 1 ; n ]]2 , bi,j = hu(ej ), ei i = hAej , ei i L'énoncé autorise l'identification des vecteurs avec des matrices colonnes, ce qui justifie ici l'identification du vecteur u(ej ), élément de Rn , avec la matrice colonne Aej , élément de Mn,1 (R), le vecteur ej étant alors lui-même considéré comme une matrice colonne. Il s'ensuit, comme les matrices A et B sont semblables puis par définition de la trace d'une matrice, Tr A = Tr B = En conclusion, Tr A = n P bi,i = i=1 i=1 n P hAei , ei i i=1 2 Notons : ( n P Mn (R)2 - R (A, B) 7- Tr t hAei , ei i AB et démontrons que est un produit scalaire sur Mn (R). · est bien à valeurs dans R. · est symétrique. En effet, pour tout (A, B) Mn (R)2 , t t (B, A) = Tr t B A = Tr BA car une matrice et sa transposée ont la même trace. Ainsi, t (B, A) = Tr A B = (A, B) · Démontrons que est linéaire à gauche. Soient A, B et C dans Mn (R) et R. Par linéarité de la transposition, puis distributivité et linéarité de la trace, on a : t ( A + B, C) = Tr (A + B) C t t = Tr ( A + B) C t t = Tr A C + B C t t = Tr A C + Tr B C ( A + B, C) = (A, C) + (B, C) Ainsi, est une forme symétrique et linéaire à gauche, c'est donc une forme bilinéaire symétrique. · Pour démontrer que est définie positive, utilisons la question 1 avec la base canonique de Rn , notée (e1 , . . . , en ), qui est bien une base orthonormée pour le produit scalaire canonique de Rn . Soit A une matrice d'ordre n, (A, A) = Tr t n n n P P P AA = h t A Aei , ei i = hAei , Aei i = kAei k2 > 0 i=1 i=1 i=1 Rappelons en effet que, pour toute matrice B d'ordre n et tous vecteurs x et y de Rn , on a t h B x, yi = hx, Byi La forme bilinéaire est donc positive. En outre, si (A, A) = 0, alors i [[ 1 ; n ]] kAei k = 0 car une somme de termes positifs est nulle si et seulement si chaque terme est nul. Il en découle i [[ 1 ; n ]] Aei = 0Mn,1 (R) La famille (e1 , . . . , en ) étant une base de Rn , on conclut que A = 0Mn (R) . est une forme bilinéaire symétrique définie positive, c'est-à-dire un produit scalaire, sur Mn (R). 3 Soient A et B deux matrices symétriques réelles positives. D'après le cours, la matrice B est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres. Soit (e1 , . . . , en ) une telle base, soient également (1 , . . . , n ) Rn les valeurs propres, éventuellement confondues, associées à cette famille de vecteurs propres. Elles sont positives car B est positive. D'après le résultat de la question 1, n n P P t t t hA, Bi = Tr A B = h A Bei , ei i = i h A ei , ei i i=1 i=1 par définition des i et linéarité à gauche du produit scalaire. Puis n P hA, Bi = i hei , Aei i i=1 Or, la matrice A est également symétrique réelle positive. Par conséquent, i [[ 1 ; n ]] hei , Aei i > 0 d'où, par somme de nombres positifs, hA, Bi > 0. Pour toutes matrices symétriques réelles positives A et B, hA, Bi > 0. Dans ce sujet, une matrice symétrique réelle est dite positive lorsque ses valeurs propres sont positives ou nulles. Il s'agit habituellement d'une caractérisation et l'on définit usuellement les matrices symétriques réelles positives comme les matrices symétriques réelles telles que X Mn,1 (R) hAX, Xi > 0