Mines Maths 2 MP 2012

Thème de l'épreuve Formule sommatoire de Poisson
Principaux outils utilisés séries de Fourier, intégrales dépendant d'un paramètre, séries de fonctions
Mots clefs transformée de Fourier, formule de Poisson

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2012 MATH. II MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (F ILIÈRE TSI). CONCOURS 2012 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : C YCLE I NTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Formule sommatoire de Poisson L'objectif de ce problème est d'établir sous quelles conditions la formule sommatoire de Poisson est vraie et d'en étudier certaines applications. Les fonctions considérées dans ce problème sont toutes définies sur R et à valeurs dans C. On note L l'espace vectoriel des fonctions continues par morceaux et intégrables sur R, et L l'espace vectoriel des fonctions continues f telles qu'il existe > 1 pour lequel la fonction x 7 |x| f (x) est bornée sur R. A. Préliminaires La transformée de Fourier de f L est la fonction f^ définie par la formule : Z ^ f (x) e -2i x dx. f () = - 1) Justifier que pour tout f L , f^ est bien définie et continue sur R. On désigne par W l'ensemble des fonctions f L telles que f^ L , et par W l'ensemble des fonctions f L telles que f^ L . 2) Établir que W et W sont des espaces vectoriels sur C, vérifiant l'inclusion W W . Étant donné f L , > 0 et y, R, on pose, pour tout x R, f (x) = f (x) et f y, (x) = f (x + y)e -2i x . 3) Déterminer les transformées de Fourier de f et f y, en fonction de f^. Que peut-on en déduire sur les espaces W et W ? 4) Calculer les transformées de Fourier des fonctions s et t définies sur R par les formules ( 1 pour |x| É 21 ; s(x) = 0 ailleurs, et t (x) = ( 1 - |x| pour |x| < 1 ; 0 ailleurs, pour tout x R. 5) Montrer que W et W sont distincts de L . On pourra pour cela s'aider de la fonction s définie à la question précédente. 6) Si f n est une suite de fonctions de W convergeant en moyenne vers une fonction f W , montrer que la suite f^n converge vers f^, uniformément sur R. 2 B. Formule sommatoire de Poisson P Soit f L . Sa périodisée f~ est définie par la formule f~(x) = nZ f (x + n). 7) Montrer que f~ est bien définie, 1-périodique et continue sur R. 8) Déterminer, en fonction de f^, les coefficients de Fourier de f~ définis pour tout n Z par la formule Z1 ~ f~(x) e -2i nx dx. cn ( f ) = 0 On rappelle que si deux fonctions continues périodiques ont les mêmes coefficients de Fourier, alors elles sont égales. 9) Montrer que si f^ L , alors f~ est égale à la somme de sa série de Fourier. En déduire, pour tout f W , la formule de Poisson : X X f (n) = f^(n). nZ nZ Les parties suivantes donnent diverses applications de la formule de Poisson. C. Application à la formule d'inversion de Fourier Soit f W . 10) En appliquant la formule de Poisson à la fonction f x, définie dans la partie A, établir la généralisation suivante, pour tous réels x et : X X f^(n + ) e 2i x(n+) . f (x + n) e -2i n = nZ nZ Montrer que cette formule donne un développement en série de Fourier fx , où F x est la fonction définie par F x () = de la fonction périodisée F 2i x ^ f ()e . 11) En déduire la formule d'inversion de Fourier : Z f^() e 2i x d. f (x) = - On pourra pour cela interpréter le second membre comme un coefficient fx . de Fourier particulier de F On dit que C est valeur propre de la transformation de Fourier dans W s'il existe f W non nulle telle que f^ = f . 12) Montrer qu'une telle valeur propre est une racine quatrième de l'unité, puis déterminer toutes les valeurs propres réelles de la transformation de Fourier dans W . On pourra s'aider de combinaisons linéaires des fonctions t et t où t est définie à la question 4). Les parties suivantes sont indépendantes les unes des autres. 3 D. Application au théorème d'échantillonnage de Whittaker On considère, dans cette partie, une fonction f W telle que f^ s'annule en dehors de l'intervalle [- 21 , 21 ]. de façon unique par la donnée de la 13) Montrer qu'alors f est ¡ déterminée ¢ suite des échantillons f (n) nZ . (On pourra s'aider de la formule généralisée de Poisson établie à la question 10).) 14) Ce résultat subsiste-t-il si l'on suppose seulement que f^ s'annule en dehors d'un intervalle [- 21 - , 12 + ] où > 0 ? (On pourra considérer la fonction 7 t ( + 12 - 12 ) - t ( ), où t est la fonction définie à la question 4).) E. Contre-exemple de Katznelson Dans cette partie, on considère la fonction t définie à la question 4) et l'on pose, pour tous x R, k N et N entier > 0 : u k (x) = t (2k x) - t (2k+1 x) u k,N (x) = |n| ´ 1 X ³ 1- u k (x - n). N nZ, N |n| 

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 Mines Maths 2 MP 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Romain Cosset (Professeur agrégé) ; il a été relu par Jean Louet (ENS Cachan) et Laetitia Borel-Mathurin (Professeur en CPGE). Ce problème concerne l'étude de la transformée de Fourier et de la formule sommatoire de Poisson. Il se compose de 6 parties dont les 3 dernières sont indépendantes entre elles. · Dans la première partie, on introduit et étudie la transformée de Fourier. Cette partie comporte essentiellement des calculs. · La deuxième partie utilise les séries de Fourier pour démontrer la formule sommatoire de Poisson. · La troisième concerne la formule d'inversion de Fourier permettant de relier les valeurs des images d'une fonction et la transformée de Fourier de celle-ci. · La quatrième partie utilise les résultats des deux précédentes. On y démontre que sous certaines conditions sur la transformée de Fourier, une fonction peut être entièrement déterminée par ses valeurs en les entiers. · Le but de la cinquième partie est de fournir un contre-exemple à la formule sommatoire de Poisson lorsque les hypothèses de croissance à l'infini ne sont plus vérifiées. Dans cette partie on utilise beaucoup les théorèmes de domination. · Finalement, dans la sixième partie, on calcule une approximation numérique fine d'une série. Cette épreuve est difficile dans la mesure où les questions calculatoires de la première partie sont ouvertes et systématiquement utilisées par la suite. Il est cependant possible d'admettre les résultats des parties B et C pour traiter la fin du sujet. Les trois dernières parties peuvent être abordées dans le désordre ; elles permettent de se familiariser avec l'utilisation de la transformée de Fourier et de la formule sommatoire de Poisson. Indications Partie A 3 Montrer que W et W sont stables par les opérations f 7 f et f 7 fy,v . Justifier en particulier que si f appartient à L alors il en est de même pour f et fy,v . 4 Ne pas oublier de traiter les cas = 0. Pour calculer b t(), intégrer par parties. 5 Pour montrer que la fonction x 7 sin(x)/(x) n'est pas intégrable sur R, décomZ N sin(x) dx en une somme d'intégrales sur des intervalles poser l'intégrale x -N de longueur 1 qu'il faut minorer par le terme général d'une série divergente. Partie B 8 Bien prendre des lettres différentes pour l'indice n de la somme et le n-ième coefficient de Fourier. 9 Montrer que la série de terme général fb(n)e 2inx est normalement convergente. Avec la question 8, exprimer fe comme la somme de sa série de Fourier et évaluer cette somme en 0. Partie C 10 La question 3 permet de justifier l'utilisation de la formule de la question 9 à la fonction fx, . De plus, elle fournit l'expression de fd x, . 12 Interpréter la formuler d'inversion de Fourier avec la transformée de Fourier de fb. Appliquer alors la transformation de Fourier à l'égalité fb = f . Partie D 13 Utiliser le résultat de la question 11 pour montrer qu'une fonction de W est uniquement déterminée par sa transformée de Fourier puis le résultat de la question 10 pour déterminer cette dernière. 14 Considérer une fonction g de W dont la transformée de Fourier est celle donnée par l'énoncé. Utiliser pour cela le résultat de la question 11. Partie E 15 Pour x Z, montrer que f (x) = 0. Pour x / Z, se placer sur des intervalles du type + 1/2K ; + 1 - 1/2K où Z et K N . 16 Remarquer que uk et uk,N sont positives. Les calculs des questions 3 et 4 permettent de déterminer u ck (0). Pour la seconde partie de la question, utiliser le résultat de la question 6. 18 Commencer par majorer sup |c uk | par un terme dépendant de n et k. Choisir [ n ;n+1 ] les Nk de façon à obtenir le terme général d'une série convergente. 19 Montrer que pour entier, u[ ck (). Déterminer la série de terme général k,Nk () = u uk à l'aide d'une sommation télescopique ce qui permet d'obtenir la valeur de fb() à l'aide des questions 3 et 4. Pour conclure, utiliser la question 15. Partie F 20 Utiliser la formule sommatoire de Poisson (prouvée à la question 9) avec la fonction x 7 g (x/100) pour accélérer la convergence de la somme. À l'aide de l'in2 égalité e -x 6 e -x , majorer le reste de la somme obtenue. Montrer que celui-ci 4 est inférieur à 10-10 dès le premier terme de la somme. A. Préliminaires 1 Soit un nombre réel quelconque. L'application qui à un nombre réel x associe f (x)e -2ix est continue par morceaux sur R (car f l'est). De plus on a l'égalité f (x)e -2ix = |f (x)| Comme la fonction f appartient à L , elle est intégrable donc f (x)e -2ix l'est aussi. Ceci justifie l'existence de fb() pour tout réel . Pour montrer que fb est continue, on commence par remarquer que · à x fixé dans R, l'application 7 f (x)e -2ix est continue sur R. · à fixé dans R, l'application x 7 f (x)e -2ix est continue par morceaux sur R (car f l'est). · pour tous réels x et , f (x)e -2ix = |f (x)|, c'est-à-dire qu'on a une majoration de x 7 f (x)e -2ix par une fonction intégrable sur R et indépendante de . D'après le théorème de continuité sous l'intégrale avec domination, on obtient que La fonction fb est bien définie et continue sur R. 2 Montrons l'inclusion L L . Soit f une fonction de L . La fonction f étant continue, elle est en particulier continue par morceaux. Pour montrer que la fonction continue f est intégrable sur R il suffit de le vérifier aux bornes. Comme f appartient à L , il existe des réels > 1 et M tels que pour tout réel x on a |x| |f (x)| 6 M donc |f (x)| 6 M/ |x| pour x non nul. Comme > 1, la fonction x 7 |x| est intégrable en + et en -. Il en est donc de même pour f . Ceci montre bien que L L . Pour définir W , on considère la transformée de Fourier d'une fonction de L , ce qui a un sens puisqu'on vient de montrer que cet espace est inclus dans L . Soit f une fonction de W , on a f L L et fb L L . Ainsi la fonction f appartient à W et on a montré que L'espace W est inclus dans l'espace W. Montrons que la transformation de Fourier est une application linéaire sur L . Soient f et g deux fonctions de L et soit un nombre réel. Comme L est un espace vectoriel, f + g appartient à L donc la transformée de Fourier de f + g existe. Pour tout réel on a Z + f\ + g() = (f (x) + g(x)) e -2ix dx par définition - Z + Z + g(x)e -2ix dx = f (x)e -2ix dx + - - f\ + g() = fb() + b g () On a donc bien vérifié que la transformation de Fourier est linéaire. Démontrons que l'ensemble W est un espace vectoriel. Il est non vide car la fonction nulle appartient à cet ensemble. Soient maintenant f et g deux fonctions de W et soit un nombre réel. La fonction f + g appartient à L et on vient de démontrer que la transformée de Fourier de f + g est égale à fb + b g . Or fb et gb b \ appartiennent à l'espace vectoriel L donc il en est de même de f +b g = f + g. Ainsi, L'espace W est un espace vectoriel. Procédons de même pour W . Une nouvelle fois, la fonction nulle est un élément de W . Soient f et g deux fonctions de W et soit un nombre réel. Comme L est un espace vectoriel, les fonctions f + g et fb + b g = f\ + g appartiennent aussi à L . Ainsi f + g est un élément de W . En conclusion, L'espace W est également un espace vectoriel. On a utilisé sans le démontrer l'affirmation suivante de l'énoncé : « L et L sont des espaces vectoriels. » Pour L , cela provient du fait que l'ensemble des fonctions continues par morceaux et l'ensemble des fonctions intégrables sont des espaces vectoriels. Montrons maintenant que L est bien un espace vectoriel. Soient f et g deux fonctions de L et soit un nombre réel. L'ensemble des fonctions continues est un espace vectoriel, f + g est continue. Comme f et g appartiennent à L , il existe des constantes f > 1 et g > 1 telles que les fonctions x 7 |x| f et f (x) x 7 |x| g g(x) soient bornées. Notons Mf et Mg les bornes correspondantes. La fonction x 7 |x| (f + g) est continue sur le compact [ -1 ; 1 ] donc bornée quelque soit réel. Prenons = min(f , g ), on a pour |x| > 1, |x| |(f + g) (x)| = |x| f (x) + |x| g(x) 6 |x| f f (x) + |x| |x| |(f + g) (x)| 6 Mf + Mg g g(x) Ainsi pour = min(f , g ) > 1, la fonction x 7 |x| (f + g) (x) est bornée. On vient de vérifier que L était bien un espace vectoriel. Une autre méthode pour montrer que W et W sont des espaces vectoriels consiste à remarquer que la transformation de Fourier TF est une application linéaire et que par définition, W = L T-1 F (L ) W = L T-1 F (L ) 3 Soient f L et > 0, la fonction f appartient à L . Calculons sa transformée de Fourier. Par définition, pour tout réel, Z + Z + -2ix fc () = f (x)e dx = f (x)e -2ix dx - - Effectuons le changement de variable u = x (l'application x 7 x étant C 1 et bijective de R dans R) : Z + du 1 b -2iu fc () = f (u)e = f - En résumé, R 1b fc () = f De même, la fonction fy,v appartient à L et Z + Z -2ix d fy,v () = fy,v (x)e dx = - + f (x + y)e -2ivx e -2ix dx -