Mines Maths 2 MP 2011

Thème de l'épreuve Sur le calcul des variations
Principaux outils utilisés fonctions réelles d'une variable réelle, équations différentielles linéaires, intégrales généralisées
Mots clefs lemme de du Bois-Reymond, condition d'Euler-Lagrange, inégalité de Hardy-Littlewood, calcul des variations

Corrigé

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A 2011 MATH. II MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (F ILIÈRE TSI). CONCOURS 2011 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : C YCLE I NTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Sur le calcul des variations Soit un intervalle I R, ni vide, ni réduit à un point, et un ensemble E de fonctions f : I R. On se donne une application J : E R définie au moyen d'une intégrale faisant intervenir f et ses dérivées. L'objectif de ce problème est d'étudier le minimum éventuel de J sur E : min J ( f ), f E et de déterminer, dans certains cas particuliers, les points f de E en lesquels J atteint son minimum. k On note E a,b l'ensemble des fonctions f : [0, 1] R de classe C k telles que f (0) = a et f (1) = b. La notation y (k) désigne la dérivée d'ordre k de la fonction y. A. Préliminaire 1) On pose j = exp(2i /3). Que vaut j 4 + j 2 + 1 ? On note Mn,p (C) l'espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes sur C et on considère la matrice A de M4,4 (C) suivante : 0 1 0 0 0 0 1 0 A= . 0 0 0 1 -1 0 -1 0 2) Proposer une matrice inversible U et une matrice diagonale D de M4,4 (C) telles que U -1 AU = D. La méthode choisie pour les obtenir doit être expliquée. 3) En déduire les solutions X : I M4,1 (C) de l'équation différentielle X = AX . (1) 4) Déterminer l'ensemble des solutions y : I C de l'équation différentielle y (4) + y + y = 0 (2) et préciser parmi ces solutions celles qui sont à valeurs dans R. On pourra considérer le vecteur y y Y = . y y (3) 2 B. Un lemme de du Bois-Reymond 5) On considère la fonction h : R R définie par h(t ) = (1 - t 2 )3 si |t | É 1 et h(t ) = 0 sinon. Montrer que h C 2 (R, R) et représenter son graphe. La fonction h est-elle de classe C 3 sur R ? 6) Soit x 0 , x 1 des nombres réels tels que x 0 < x 1 . Construire à partir de h une fonction g C 2 (R, R) vérifiant g (x) > 0 pour tout x ]x 0 , x 1 [ et g (x) = 0 ailleurs. Z1 0 2 7) Soit F C ([0, 1], R) telle que . DéF (x)u(x) dx = 0 pour tout u E 0,0 montrer qu'alors F est nulle. 0 C. Une condition nécessaire d'Euler-Lagrange 2 Dans cette partie, on prend E = E a,b pour un couple donné (a, b) de nombres réels. La fonction J est définie sur E par la formule J(f ) = Z1 0 £ ¡ ¢ ¡ ¢¤ P f (x) +Q f (x) dx, où P,Q R[X ] sont des polynômes fixés. Soit f 0 E . On se propose de prouver que si J ( f 0 ) É J ( f ) pour tout f E , 2 alors f 0 vérifie une certaine équation différentielle. Soit u E 0,0 . 8) Montrer que l'application q définie sur R par la formule q(t ) = J ( f 0 + t u) est polynomiale, c'est-à-dire qu'il existe une famille finie (a 0 , a 1 , . . . , a r ) de r P a k t k pour tout t R. Expliciter le coefnombres réels telle que q(t ) = k=0 ficient a 1 sous la forme d'une intégrale faisant intervenir les polynômes dérivés P et Q . 9) On suppose que pour tout f E , J ( f 0 ) É J ( f ). Montrer qu'alors a 1 = 0 et en déduire l'équation différentielle : x [0, 1], ¡ ¢ d £ ¡ ¢¤ Q f 0 (x) . P f 0 (x) = dx () Exemples Premier exemple. On choisit E 2 = E 0,1 et J = J 1 définie par J 1 ( f ) = 3 Z1 0 ( f (x))2 dx. 10) Former l'équation différentielle () correspondante. Parmi ses solutions, 2 préciser celles qui appartiennent à E 0,1 . 2 11) Montrer que J 1 admet un minimum sur E 0,1 , préciser sa valeur ainsi que les 2 points de E 0,1 où ce minimum est réalisé. (On pourra s'aider de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.) 2 Deuxième exemple. On choisit E = E 0,0 et J = J 2 définie par J2( f ) = Z1 0 ¡ ¢3 ¢2 ¡ f (x) + f (x) dx. 12) Former l'équation différentielle () correspondante. Parmi ses solutions, 2 montrer que seule la fonction nulle appartient à E 0,0 . 2 . (On pourra se servir de 13) Montrer que J 2 n'admet pas de minimum sur E 0,0 la fonction f définie sur l'intervalle [0, 1] par la formule f (x) = x 2 (1 - x).) D. Un exemple avec dérivée seconde Dans cette partie, E désigne l'ensemble des fonctions f C 4 (R+ , R) telles que f et ( f )2 soient intégrables sur R+ . On rappelle que l'ensemble des fonctions g C 0 (R+ , R) telles que g 2 soit intégrable sur R+ est un R-espace vectoriel, que l'on note L 2 . Dans les deux questions suivantes, on considère f E . 2 14) Montrer que le produit f f est intégrable sur R+ et que f (x) f (x) ne tend pas vers + quand x +. 15) En déduire que f L 2 , puis que f (x) f (x) 0 quand x +. Dans cette partie, la fonction J est définie par J(f ) = Z+ 0 £ ¤ ( f (x))2 - ( f (x))2 + ( f (x))2 dx. Par un raisonnement identique à celui de la partie C, on peut montrer, et on l'admettra, que si la fonction J présente un minimum en un élément f de E , alors f est solution sur R+ de l'équation (2) : y (4) + y + y = 0 . 16) Déterminer les solutions de (2) qui appartiennent à E . (On pourra d'abord étudier leur appartenance à L 2 .) On note e 1 et e 2 les fonctions définies sur R+ par les formules e 1 (t ) = e -t /2 ³ p3 ´ ³ p3 ´ -t /2 cos t et e 2 (t ) = e sin t . 2 2 4 Un calcul montre, et on l'admettra, que pour tous réels et , p 2 32 3 J (e 1 + e 2 ) = + + . 4 4 2 On pose également, pour tout t R+ , (t ) = e -t /2 ³ p3 ´ sin t - . 2 3 17) On suppose, dans cette question, que la fonction J présente un minimum en un élément f de E . Montrer que f est solution sur R+ de l'équation y + y + y = 0. Montrer par ailleurs qu'il existe R tel que f = . 18) Montrer que pour tout f E et tout réel A > 0, ZA h ¡ 0 ¢2 i ¢2 ¡ ¢2 ¡ dx f (x) - f (x) + f (x) ZA ¢2 ¡ ¢2 ¡ £ ¤2 = f (x) + f (x) + f (x) dx + f (0) + f (0) - f (A) + f (A) . 0 ¡ ¢2 Quel est le comportement de f (A)+ f (A) lorsque A + ? En déduire que la fonction J admet effectivement un minimum au point pour chaque R. 19) Indiquer comment le point de vue de la question précédente permet de retrouver directement toutes les fonctions f 0 E telles que J ( f 0 ) = min J ( f ), sans passer par l'équation différentielle (2). f E E. Application : une inégalité de Hardy et Littlewood On reprend les notations de la partie précédente, et pour tout g L 2 , on note sZ + ¡ ¢2 g (x) dx . kg k = 0 20) Montrer que pour tout f E , k f k2 É 2 k f k · k f k . On pourra poser f µ (x) = f (µx) et utiliser le fait que J ( f µ ) Ê 0, pour tout réel µ > 0. 21) Déterminer tous les cas d'égalité dans l'inégalité précédente. F IN DU PROBLÈME 5

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 Mines Maths 2 MP 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) ; il a été relu par Baptiste Morisse (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). Cette épreuve porte sur le calcul des variations. Le cadre d'étude est le suivant : étant donné un ensemble E de fonctions f : I R définies sur un intervalle I de R et suffisamment régulières, on considère une fonctionnelle J : E R où J(f ) s'exprime comme l'intégrale sur I d'une fonction polynomiale en f et ses dérivées. Il s'agit alors d'étudier l'existence de minimums pour J et de les caractériser. Le problème, composé de 5 parties, propose la démonstration de quelques résultats dans ce sens et l'étude d'exemples. · La première partie consiste en la diagonalisation d'une matrice réelle 4 × 4 de type compagnon afin de trouver les solutions sur I de l'équation différentielle y (4) + y (2) + y = 0 · La deuxième partie guide la démonstration d'un lemme de du Bois-Reymond qui sera utile par la suite. · La troisième partie propose la démonstration de la condition d'Euler-Lagrange lorsque I = [ 0 ; 1 ] et E est l'ensemble des fonctions de classe C 2 sur I dont les valeurs en 0 et en 1 sont fixées. On montre qu'un minimum éventuel de la fonctionnelle J est nécessairement solution d'une certaine équation différentielle. On étudie également deux exemples, l'un avec et l'autre sans minimum pour J. · La quatrième partie est consacrée à l'étude des minima de Z + J(f ) = f (x)2 - (f (x))2 + (f (x))2 dx 0 4 sur E = {f C (R+ , R) | f 2 et f 2 sont intégrables sur R+ }. L'énoncé admet plusieurs résultats pour montrer que J(f ) > 0 et étudier ses minima sur E. · Enfin, la cinquième partie est consacrée à la démonstration de l'inégalité de Hardy-Littlewood f E kf k2 6 2kf k · kf k Z + où kf k = f 2 (x) dx , et à l'étude du cas d'égalité. 0 D'une durée et d'une difficulté raisonnables pour une épreuve de quatre heures, ce sujet d'analyse parcourt un large spectre du programme de MP, notamment les fonctions d'une variable réelle, l'intégration, les équations différentielles et même un peu d'algèbre linéaire. Elle constitue à coup sûr une excellente opportunité de s'entraîner et de vérifier son aisance avec tous ces chapitres du cours. Indications Partie A 1 Observer que j3 = 1 donc j4 = j et 1 + j + j2 = 0. 2 Commencer par calculer le polynôme caractéristique de A pour en obtenir les valeurs propres puis calculer les vecteurs propres associés. 3 Calculer l'exponentielle de A à l'aide de la base propre obtenue précédemment. Partie B 6 Construire une fonction affine de R dans R envoyant [ x0 ; x1 ] sur [ -1 ; 1 ]. 7 Raisonner par l'absurde et utiliser la question précédente. Partie C 8 Utiliser la formule de Taylor pour les polynômes. 10 Montrer que () : f0 = 0. 11 Observer que pour f E20,1 1 = |f (1) - f (0)| = Z 0 1 f (x) dx 6 Z 1 0 1/2 Z 1 12 dx (f (x))2 dx 0 12 Utiliser le fait que Q (f0 ) est constant sur [ 0 ; 1 ] si f0 est une solution de () sur [ 0 ; 1 ]. 13 Raisonner avec J2 (µf ) pour µ assez grand. Partie D 14 Penser à l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Intégrer par parties f f . 17 Utiliser les résultats admis par l'énoncé et la question 16. 18 Montrer que pour tout f dans E, J(f ) > 0. 19 Utiliser également le résultat de la question 17. Partie E 20 Traduire la positivité de J(fµ ) en celle d'un polynôme de degré au plus 2 en µ2 sur R+ pour conclure en étudiant le signe de son discriminant. 21 Adapter la méthode mise en oeuvre à la question précédente. A. Préliminaire 1 Rappelons que j est une racine complexe 3e de l'unité, de sorte que j3 = 1 Ainsi, le polynôme X3 - 1 est annulateur de j. En outre, X3 - 1 = (X - 1) X2 + X + 1 Puisque j 6= 1, on conclut que j2 + j + 1 = 0 Remarquons que j4 = j × j3 = j, de sorte que j4 + j2 + 1 = j + j2 + 1 = 0 2 Calculons tout d'abord le polynôme caractéristique PA de la matrice A. Ensuite, on détermine pour chaque racine de PA une base du sous-espace propre correspondant. Pour C, on a - 1 0 0 0 - 1 0 PA () = 0 0 - 1 -1 0 -1 - Développons ce déterminant par rapport à la première colonne pour obtenir - 1 0 1 0 0 PA () = - 0 - 1 - (-1) - 1 0 0 -1 - 0 - 1 Le second terme dans la somme précédente vaut 1. Par ailleurs, en développant le premier déterminant à nouveau par rapport à la première colonne, on obtient - 1 0 - 1 0 - 1 = - = - 2 + 1 -1 - 0 -1 - Finalement, PA = X2 (X2 + 1) + 1 = X4 + X2 + 1. D'après la question précédente, le nombre j est racine de PA . Puisque PA est à coefficients réels, j2 = j est également racine de PA . Par suite, le polynôme (X-j)(X-j2 ) = X2 +X+1 divise PA . Par division euclidienne, on obtient PA = X4 + X2 + 1 = X2 + X + 1 X2 - X + 1 Le discriminant du polynôme X2 - X + 1 étant négatif, ce dernier admet deux racines complexes conjuguées. Ces racines sont 1 3 1 3 ei3 = + i = -j2 et e -i 3 = - i = -j 2 2 2 2 On retrouve ici l'exercice classique suivant : un polynôme unitaire P = Xn + an-1 Xn-1 + · · · + a1 X + a0 de Cn [X] étant donné, la matrice 0 1 . .. C(P) = (0) -a0 . . . compagnon de ce polynôme, définie par .. . .. . (0) .. . .. . .. . 0 -an-2 ... ... 1 -an-1 admet exactement P comme polynôme caractéristique. La matrice A M4,4 (C) admet ainsi quatre valeurs propres complexes distinctes, qui sont les racines de PA . Elle est donc diagonalisable. Posons 1 = -j2 , 2 = j , 3 = j2 , 4 = -j et déterminons un vecteur propre associé à chacune de ces valeurs propres de A. Pour k {1, . . . , 4}, on cherche donc une solution non triviale du système 4 × 4 d'inconnues complexes x, y, z et t : y = k x z = k y t = k z -x - z = k t À l'aide des relations z = 2k x et t = 3k x, la dernière ligne du système se réécrit -x - 2k x = 4k x, soit PA (k ) x = 0. Puisque PA (k ) = 0, le système précédent équivaut à y = k x z = 2k x t = 3k x de sorte qu'un vecteur propre associé à k est uk = t 1 k 2k 3k En remplissant la matrice U M4,4 (C) par colonne avec ces vecteurs, proposons 1 1 1 1 -j2 j j2 -j U= j j2 j j2 -1 1 1 -1 Les colonnes de la matrice U sont des vecteurs propres de A pour des valeurs propres distinctes. Elles forment donc une famille libre de 4 vecteurs de C4 , donc une base de C4 . Par conséquent, la matrice U est inversible. De plus, en raisonnant colonne par colonne, on a AU = UD. Par suite, 2 -j 0 0 0 0 j 0 0 U-1 A U = D = 0 0 j2 0 0 0 0 -j