Mines Maths 2 MP 2010

Thème de l'épreuve Dénombrement de certaines matrices binaires
Principaux outils utilisés matrices, dénombrement, intégrales généralisées, séries entières
Mots clefs matrices binaires

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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A 2010 MATH. II MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (F ILIÈRE TSI). CONCOURS 2010 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : C YCLE I NTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Dénombrements de certaines matrices binaires Soit n un entier Ê 2. On note Mn (R ) l'espace vectoriel des matrices réelles à n lignes et n colonnes. On appelle matrice binaire de taille n une matrice A Mn (R ) dont tous les coefficients sont égaux à 0 ou à 1. L'élément d'une telle matrice situé sur la i -ième ligne et la j -ième colonne est dit en position (i , j ), où 1 É i É n et 1 É j É n. On désigne par U n l'ensemble des matrices binaires de taille n comportant exactement deux 1 dans chaque ligne et exactement deux 1 dans chaque colonne. L'exemple suivant : 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 est une matrice de U 4 . On note u n le cardinal de U n , et on pose par convention u 0 = 1 et u 1 = 0. La partie D est indépendante des parties B et C. A. Questions préliminaires 1) Exhiber toutes les matrices de U n pour n = 2 et 3, et déterminer les valeurs correspondantes de u n . (Dans le cas n = 3, on pourra raisonner sur la position des éléments nuls dans chacune de ces matrices.) Soit X 0 le vecteur de R n dont tous les coefficients sont égaux à 1 et J la matrice de Mn (R ) dont tous les coefficients sont égaux à 1. 2) Si A U n , montrer que X 0 est un vecteur propre de A. Quelle est la valeur propre associée ? Soit H n l'ensemble des éléments de U n comportant un 1 en position (1,1). On note h n le cardinal de H n . 3) Calculer la somme de toutes les matrices de U n en fonction de h n et de J . B. Étude du cardinal de U n 4) Établir la relation u n = n2 h n pour tout n Ê 2. (On pourra s'aider des deux questions précédentes.) Soit K n l'ensemble des éléments de H n comportant un 1 en position (1,2) et un 1 en position (2,1). On note k n le cardinal de K n . 2 5) Pour tout n Ê 2, établir une relation donnant h n en fonction de k n et de (n - 1)2 . 6) En examinant les possibilités pour le coefficient situé en position (2,2), démontrer la relation k n = u n-2 + h n-1 pour tout n Ê 4. un On pose w n = pour tout n N . (n!)2 7) Déduire de ce qui précède une relation de récurrence pour la suite (u n )nN , puis pour la suite (w n )nN . 8) Prouver que w n [0, 1] pour tout n N , et que la série de terme général w n diverge. Que en déduire pour le rayon de convergence de la X peut-on n série entière w n x ? On pose W (x) = X n=0 w n x n pour tout x ] - 1, 1[. 9) Donner une équation différentielle vérifiée par W et en déduire une expression de W (x) en fonction de x. C. Équivalent d'une suite de coefficients d'un développement en série entière Cette partie permet d'obtenir un équivalent de u n pour n +. Soit un réel et un réel > 0. On considère la fonction définie pour x ] - 1, 1[ par la formule : e x (x) = · (1 - x) R On note (t ) = 0 x t -1 e -x dx la fonction Gamma définie pour tout réel t > 0 ; p on rappelle que ( 21 ) = et que (t + 1) = t (t ) pour tout t > 0. X 10) Montrer que (x) est la somme d'une série entière n x n pour tout x ] - 1, 1[. 11) Montrer que si x ] - 1, 1[, on peut écrire : 1 (1 - x) = X an x n n=0 où l'on exprimera les coefficients a n en fonction de n!, () et (n + ). n pour tout n N , où l'on a posé : 12) En déduire que n = n! () Z n = u -1 e -u ( + u)n du. 0 3 13) On fixe a R tel que a > ||. A l'aide des variations de la fonction u 7 e -u ( + u)n ¯R a ¯ définie pour tout Ê -, montrer que ¯ 0 u -1 e -u ( + u)n du ¯ est négliR u -1 geable devant a u e -u ( + u)n du quand n +. qu'il existe a > || tel que n soit équivalent à l'intégrale 14) En R déduire -u ( + u)n+-1 du quand n +. a e 15) En conclure que les suites n et e (n + ) sont équivalentes. On revient sur la suite (u n )nN définie au début du problème. 16) Établir un équivalent de n , puis de u n quand n +. On prendra soin de simplifier l'équivalent trouvé de u n en utilisant la formule de Stirling. D. Étude de rang Dans cette partie, on cherche à déterminer le rang r n du système constitué des u n matrices de U n , considérées comme des éléments de Mn (R ). On rappelle que X 0 est le vecteur de R n dont tous les coefficients sont égaux à 1, et que J est la matrice de Mn (R ) dont tous les coefficients sont égaux à 1. 17) Calculer r n pour n = 2 et 3. (Dans le cas n = 3, on pourra considérer les matrices J - A, où A U 3 .) On considère l'espace vectoriel Vn des matrices A Mn (R ) telles que X 0 soit à la fois un vecteur propre pour A et pour sa transposée tA. 18) Montrer que U n Vn et comparer les valeurs propres de A et de tA associées à X 0 lorsque A Vn . 19) Déterminer la dimension de Vn . (On pourra considérer une base orthonormée de R n dont un des vecteurs est colinéaire à X 0 .) En déduire une majoration sur r n . Pour n Ê 3, soit A une matrice de U n comportant des 1 en positions (1, 1) et (2, 2) et des 0 en positions (1, 2) et (2, 1). 20) Montrer qu'il existe une matrice B de U n telle que A - B ne comporte que des éléments nuls, sauf en positions (i , j ) pour i É 2 et j É 2. En déduire que si r n désigne le rang du système constitué de toutes les matrices U -V où U ,V U n , on a r n Ê (n - 1)2 . 21) Conclure. F IN DU PROBLÈME 4

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 Mines Maths 2 MP 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Pauline Tan (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce problème, mêlant dénombrement, analyse et algèbre, porte sur les matrices binaires, c'est-à-dire à coefficients dans {0 ; 1}, et plus précisément sur l'ensemble noté Un de celles d'ordre n dont la somme des coefficients de chaque ligne et chaque colonne vaut 2. Il se compose de quatre parties. · Dans la première, on établit des résultats utiles dans la suite. On détermine en particulier un vecteur propre commun à toutes les matrices de Un puis on calcule la somme de tous les éléments de Un . · La deuxième partie commence par des questions assez fines de dénombrement, qui aboutissent à une relation de récurrence satisfaite par la suite (un )nN des des ensembles Un . On étudie ensuite la somme de la série entière P cardinaux un xn /(n!)2 à l'aide d'une équation différentielle. · La troisième partie a pour finalité d'établir un équivalent du cardinal de Un quand n tend vers l'infini. On y exprime les coefficients de la série entière introduite précédemment, à l'aide de la fonction , et on obtient des équivalents de ces coefficients. · Dans la quatrième partie, on calcule le rang de la famille Un d'abord pour des petites valeurs de n puis dans le cas général, en utilisant des raisonnements d'algèbre linéaire et de dénombrement. C'est un sujet intéressant, d'autant plus qu'il aborde des domaines variés du programme de MPSI et MP (allant du dénombrement à la réduction en base orthonormée en passant par les séries entières et les intégrales généralisées). Les parties de dénombrement sont amusantes et peuvent sembler plus faciles que celles d'analyse. Néanmoins, il faut se méfier des questions pour lesquelles l'intuition du résultat vient aisément, sans que l'on ait établi une démonstration rigoureuse : seuls les candidats ayant défini proprement des bijections pour établir les égalités des cardinaux obtiennent la totalité des points. Dans l'ensemble, les questions d'analyse sont classiques, à l'exception peut-être de la question 14 qui nécessite des majorations assez délicates pour démontrer l'équivalence demandée. Indications A. Questions préliminaires 3 Étudier les cas n = 2 et n = 3 pour avoir une idée du résultat. Puis, pour chaque couple (i, j) [[ 1 ; n ]]2 , introduire l'application qui échange les lignes 1 et i et les colonnes 1 et j d'une matrice de Un . B. Étude du cardinal de Un 4 Calculer Sn X0 de deux manières en utilisant les questions 2 et 3. 5 Partitionner l'ensemble Hn en (n - 1)2 sous-ensembles en fonction des positions comportant un 1 sur la première ligne et la première colonne. 6 Suivre l'indication de l'énoncé. Établir une bijection entre Un-2 et l'ensemble des matrices de Kn qui comportent un 1 en position (2, 2) d'une part, entre Kn-1 et l'ensemble des matrices de Kn qui comportent un 0 en position (2, 2) d'autre part. 7 Utiliser les résultats des questions 4, 5 et 6. 8 Procéder par l'absurde pour démontrer que P wn diverge. 9 Faire appel à la relation de récurrence trouvée à la question 7. C. Équivalent d'une suite de coefficients d'un développement en série entière 11 Utiliser le développement en série entière d'une fonction usuelle et la formule satisfaite par la fonction rappelée dans l'énoncé. 14 Se servir du résultat de la question 13 et majorer la différence des deux intégrales qui doivent être équivalentes à l'aide d'une intégration par parties. 15 Utiliser le résultat de la question 14 et faire apparaître (n+) par un changement de variable affine. 16 Appliquer ce qui précède avec = -1/2 et = 1/2. D. Étude de rang 17 Suivre l'indication de l'énoncé. Que peut-on dire de la somme des coefficients d'une relation de dépendance linéaire de U3 ? 18 Si est une valeur propre de A associée au vecteur propre X0 , calculer t X0 X0 de deux façons. 19 En notant P la matrice de passage de la base canonique de Rn à une base orthonormée dont le premier vecteur est colinéaire à X0 , vérifier qu'une matrice B est t dans Vn si et seulement si P B P a une certaine forme. 20 Pour minorer rn , construire une famille libre de (n - 1)2 matrices en adaptant la construction de B avec d'autres lignes et d'autres colonnes. Les conseils du jury Commençons par quelques remarques générales sur le sujet issues du rapport du jury. Dans celui-ci, le rapporteur compare une épreuve de mathématiques à « une sorte de jeu de piste dans lequel, partant d'une question souvent simple, l'auteur s'efforce d'orienter le candidat vers la réponse en fournissant une série d'indices qui doivent lui permettre de se diriger à l'aide de ses connaissances du cours et de sa perspicacité. » À l'opposé de toute incitation au « bachotage stérile dont sont accusées régulièrement les classes préparatoires », le sujet propose une « continuité dans la réflexion », contribuant ainsi « à la mise en oeuvre [des] connaissances, au développement de l'esprit scientifique et à l'initiation à la démarche de recherche. » Dans cet objectif figurent « plusieurs questions ponctuelles » permettant « aux étudiants désorientés de faire au moins valoir leur connaissance du cours et leur capacité à résoudre des exercices particuliers » et « de nombreuses questions ouvertes » mobilisant les « capacités de réflexion [des candidats] pour faire usage des informations [...] fournies par les questions précédentes du problème. » En conclusion, le rapport explique les qualités attendues chez les étudiants pour réussir cette épreuve. « Ce problème a donné à de nombreux candidats l'opportunité de faire montre de la connaissance de leur cours et ils en ont été récompensés. Mais plus encore l'ont été ceux qui ont su suivre quelques bouts du chemin qui leur était tracé en faisant le lien entre les différentes questions. » A. Questions préliminaires 1 Par définition, Un est l'ensemble des matrices réelles à n lignes et n colonnes, à coefficients dans {0 ;1}, comportant exactement deux 1 dans chaque ligne et dans chaque colonne. Notons dès à présent qu'une caractérisation des matrices de Un est : pour toute matrice A Mn (R), A appartient à Un si, et seulement si, tous ses coefficients sont dans {0 ;1} et la somme des coefficients de chaque ligne et chaque colonne vaut 2. En particulier, l'ensemble U2 est un singleton car la seule matrice à deux lignes et deux colonnes vérifiant ces conditions est la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. 1 1 U2 = 1 1 Déterminons maintenant les éléments de U3 . La première ligne d'une matrice de U3 doit contenir deux 1 et un 0. Précisons d'abord les matrices de U3 dont la première ligne est (0, 1, 1). La première colonne d'une telle matrice est nécessairement (0, 1, 1). Ainsi, il y a deux possibilités : 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 et 1 1 0 1 0 1 De même, il y a exactement deux matrices de U3 dont la première ligne est (1, 0, 1), puisqu'alors la deuxième colonne ne peut être que (0, 1, 1), ce sont 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 et 0 1 1 1 1 0 En procédant de la même façon pour les matrices dont la première ligne est (1, 1, 0), on conclut que les matrices de U3 sont 0 1 1 1 0 1 En conséquence, 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 u2 = 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 et 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 u3 = 6 2 Soit A = (aij )16i,j6n Un . Notons Y0 = (yi )16i6n = A X0 . Soit i [[ 1 ; n ]]. yi = n P j=1 aij × 1 = n P aij j=1 Comme A est un élément de Un , la somme des coefficients d'une même ligne de A vaut 2. Par suite, yi = 2 pour tout i [[ 1 ; n ]]. Ainsi, A X0 = Y0 = 2 X0 . Finalement, X0 étant non nul, X0 est un vecteur propre de A associé à la valeur propre 2. Cette question est très classique. Plus généralement, pour tout réel , on peut démontrer que X0 est un vecteur propre associé à la valeur propre de toute matrice dont la somme des coefficients de chaque ligne vaut . 3 Notons Sn la somme de toutes les matrices de Un . Commençons par observer que, pour n = 2, on trouve 1 1 S2 = = J = h2 J 1 1 puisque h2 = u2 = 1. Pour n = 3, S3 = 4 J = h3 J car h3 = 4 d'après la question 1. Revenons à présent au cas général. Parmi les un matrices de Un , un nombre hn d'entre elles comportent un 1 en position (1, 1) et les un -hn autres ont un 0 dans cette position. Le coefficient de Sn en position (1, 1) est donc égal à hn . Démontrons que les autres coefficients de Sn ont la même valeur, c'est-à-dire que pour tout couple (i, j) d'entiers compris entre 1 et n, il y a exactement hn matrices de Un qui comportent un 1 en position (i, j). À cette fin, fixons un couple (i, j) [[ 1 ; n ]]2 et introduisons l'application i,j définie sur Un qui à une matrice A associe la matrice B obtenue à partir de A en échangeant la ligne 1 et la ligne i puis la colonne 1 et la colonne j. Pour tout A Un , i,j (A) est également dans Un et i,j i,j (A) = A On constate ainsi que i,j 2 est égale à l'identité, donc i,j est inversible et réalise une bijection sur l'ensemble fini Un , c'est-à-dire une permutation de Un . Notons aussi que