A 2010 MATH. II MP
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIÈRE MP),
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (F ILIÈRE TSI).
CONCOURS 2010
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
C YCLE I NTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons
des
initiatives qu'il est amené à prendre.
Dénombrements de certaines matrices binaires
Soit n un entier Ê 2. On note Mn (R ) l'espace vectoriel des matrices réelles
à n lignes et n colonnes. On appelle matrice binaire de taille n une matrice
A Mn (R ) dont tous les coefficients sont égaux à 0 ou à 1. L'élément d'une
telle
matrice situé sur la i -ième ligne et la j -ième colonne est dit en position (i
, j ), où
1 É i É n et 1 É j É n.
On désigne par U n l'ensemble des matrices binaires de taille n comportant
exactement deux 1 dans chaque ligne et exactement deux 1 dans chaque colonne.
L'exemple suivant :
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0
est une matrice de U 4 .
On note u n le cardinal de U n , et on pose par convention u 0 = 1 et u 1 = 0.
La partie D est indépendante des parties B et C.
A. Questions préliminaires
1) Exhiber toutes les matrices de U n pour n = 2 et 3, et déterminer les valeurs
correspondantes de u n . (Dans le cas n = 3, on pourra raisonner sur la
position des éléments nuls dans chacune de ces matrices.)
Soit X 0 le vecteur de R n dont tous les coefficients sont égaux à 1 et J la
matrice
de Mn (R ) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
2) Si A U n , montrer que X 0 est un vecteur propre de A. Quelle est la valeur
propre associée ?
Soit H n l'ensemble des éléments de U n comportant un 1 en position (1,1). On
note h n le cardinal de H n .
3) Calculer la somme de toutes les matrices de U n en fonction de h n et de J .
B. Étude du cardinal de U n
4) Établir la relation u n = n2 h n pour tout n Ê 2. (On pourra s'aider des deux
questions précédentes.)
Soit K n l'ensemble des éléments de H n comportant un 1 en position (1,2) et un
1 en position (2,1). On note k n le cardinal de K n .
2
5) Pour tout n Ê 2, établir une relation donnant h n en fonction de k n et de
(n - 1)2 .
6) En examinant les possibilités pour le coefficient situé en position (2,2),
démontrer la relation k n = u n-2 + h n-1 pour tout n Ê 4.
un
On pose w n =
pour tout n N .
(n!)2
7) Déduire de ce qui précède une relation de récurrence pour la suite (u n )nN ,
puis pour la suite (w n )nN .
8) Prouver que w n [0, 1] pour tout n N , et que la série de terme général
w n diverge. Que
en déduire pour le rayon de convergence de la
X peut-on
n
série entière w n x ?
On pose W (x) =
X
n=0
w n x n pour tout x ] - 1, 1[.
9) Donner une équation différentielle vérifiée par W et en déduire une
expression de W (x) en fonction de x.
C. Équivalent d'une suite de coefficients d'un développement
en série entière
Cette partie permet d'obtenir un équivalent de u n pour n +. Soit un
réel et un réel > 0. On considère la fonction définie pour x ] - 1, 1[ par la
formule :
e x
(x) =
·
(1 - x)
R
On note (t ) = 0 x t -1 e -x dx la fonction Gamma définie pour tout réel t > 0 ;
p
on rappelle que ( 21 ) = et que (t + 1) = t (t ) pour tout t > 0.
X
10) Montrer que (x) est la somme d'une série entière
n x n pour tout
x ] - 1, 1[.
11) Montrer que si x ] - 1, 1[, on peut écrire :
1
(1 - x)
=
X
an x n
n=0
où l'on exprimera les coefficients a n en fonction de n!, () et (n + ).
n
pour tout n N , où l'on a posé :
12) En déduire que n =
n! ()
Z
n =
u -1 e -u ( + u)n du.
0
3
13) On fixe a R tel que a > ||. A l'aide des variations de la fonction
u 7 e -u ( + u)n
¯R a
¯
définie pour tout
Ê -, montrer que ¯ 0 u -1 e -u ( + u)n du ¯ est négliR u -1
geable devant a u
e -u ( + u)n du quand n +.
qu'il existe a > || tel que n soit équivalent à l'intégrale
14) En
R déduire
-u
( + u)n+-1 du quand n +.
a e
15) En conclure que les suites n et e (n + ) sont équivalentes.
On revient sur la suite (u n )nN définie au début du problème.
16) Établir un équivalent de n , puis de u n quand n +. On prendra soin
de simplifier l'équivalent trouvé de u n en utilisant la formule de Stirling.
D. Étude de rang
Dans cette partie, on cherche à déterminer le rang r n du système constitué
des u n matrices de U n , considérées comme des éléments de Mn (R ). On rappelle
que X 0 est le vecteur de R n dont tous les coefficients sont égaux à 1, et que
J est
la matrice de Mn (R ) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
17) Calculer r n pour n = 2 et 3. (Dans le cas n = 3, on pourra considérer les
matrices J - A, où A U 3 .)
On considère l'espace vectoriel Vn des matrices A Mn (R ) telles que X 0 soit
à la
fois un vecteur propre pour A et pour sa transposée tA.
18) Montrer que U n Vn et comparer les valeurs propres de A et de tA associées
à X 0 lorsque A Vn .
19) Déterminer la dimension de Vn . (On pourra considérer une base orthonormée
de R n dont un des vecteurs est colinéaire à X 0 .) En déduire une
majoration sur r n .
Pour n Ê 3, soit A une matrice de U n comportant des 1 en positions (1, 1) et
(2, 2)
et des 0 en positions (1, 2) et (2, 1).
20) Montrer qu'il existe une matrice B de U n telle que A - B ne comporte que
des éléments nuls, sauf en positions (i , j ) pour i É 2 et j É 2. En déduire
que si r n désigne le rang du système constitué de toutes les matrices U -V
où U ,V U n , on a r n Ê (n - 1)2 .
21) Conclure.
F IN DU PROBLÈME
4
