Mines Maths 2 MP 2009

Thème de l'épreuve Théorème de Müntz
Principaux outils utilisés calcul de déterminant, topologie
Mots clefs déterminant

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2009 MATH. II MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2009 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Théorème de Müntz On désigne par C ([0, 1]) l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur [0, 1]. Pour tout Ê 0, on note l'élément de C ([0, 1]) défini par (x) = x . Par convention on a posé 00 = 1 de sorte que 0 est la fonction constante 1. Soit (k )kN une suite de réels Ê 0 deux à deux distincts. On note W le sousespace vectoriel de C ([0, 1]) engendré la famille (k )kN . Le but du problème est d'établir des critères de densité de l'espace W dans C ([0, 1]) pour l'une ou l'autre des deux normes classiques N ou N2 définies par : N ( f ) = sup | f (x)| et N2 ( f ) = x[0,1] µZ1 2 | f (x)| d x 0 ¶ 12 . La question préliminaire et les parties A, B, C et D sont indépendantes les unes des autres. Question préliminaire 1) Montrer que ( )Ê0 est une famille libre de C ([0, 1]). A. Déterminants de Cauchy On considère un entier n > 0 et deux suites finies (a k )1ÉkÉn et (b k )1ÉkÉn de réels telles que a k + b k 6= 0 pour tout k {1, 2, . . . , n}. Pour tout entier m tel que 0 < m É n, le déterminant de Cauchy d'ordre m est défini par : ¯ 1 ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯ a1 +b1 a1 +b2 · · · a1 +bm ¯ ¯ 1 ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯ a2 +b1 a2 +b2 · · · a2 +bm ¯ ¯ D m = ¯¯ . .. .. ¯ . ¯ .. ¯ . . ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 1 1 ¯ ¯ ··· a m +b 1 a m +b 2 a m +b m n-1 Y · On définit la fraction rationnelle : R(X ) = k=1 n Y k=1 2 (X - a k ) (X + b k ) 2) Montrer que si R(X ) est de la forme R(X ) = n X Ak , alors k=1 X + b k A n D n = R(a n )D n-1 . On pourra pour cela considérer le déterminant obtenu à partir de D n en remplaçant la dernière colonne par R(a 1 ) R(a 2 ) .. . . R(a n ) 3) En déduire que Y Dn = 1Éi < j Én (a j - a i )(b j - b i ) Y 1Éi Én 1É j Én (a i + b j ) · B. Distance d'un point à une partie dans un espace normé Soit E un espace vectoriel normé par une norme k · k. On rappelle que la distance d'un élément x E à une partie non vide A de E est le réel noté d (x, A) défini par : d (x, A) = inf kx - yk. yA 4) Montrer que d (x, A) = 0 si et seulement si x est adhérent à A. 5) Montrer que si (A n )nÊ0 est une suite croissante de parties de E et si S A = nÊ0 A n alors d (x, A) = limn d (x, A n ). On considère un sous-espace vectoriel V de dimension finie de E , et on note B = {y ; ky - xk É kxk}. 6) Montrer que B V est compacte et que d (x,V ) = d (x, B V ) pour tout x E. 7) En déduire que pour tout x E , il existe un élément y V tel que d (x,V ) = kx - yk. C. Distance d'un point à un sous-espace de dimension finie dans un espace euclidien Dans cette partie, on suppose que la norme sur l'espace vectoriel E est dép finie à partir d'un produit scalaire (·|·) sur E : kxk = (x|x). 3 8) Montrer que si V est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E , alors pour tout x E , la projection orthogonale de x sur V est l'unique élément y V vérifiant d (x,V ) = kx - yk. Pour tout suite finie (x 1 , x 2 , . . . , x n ) E n on désigne par G(x 1 , x 2 , . . . , x n ) le déterminant de la matrice de Gram d'ordre n définie par : (x 1 |x 1 ) (x 1 |x 2 ) · · · (x 1 |x n ) (x 2 |x 1 ) (x 2 |x 2 ) · · · (x 2 |x n ) M (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = . .. .. . .. . . (x n |x 1 ) (x n |x 2 ) · · · (x n |x n ) 9) Montrer que G(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0 si et seulement si la famille (x 1 , x 2 , . . . , x n ) est liée. 10) On suppose que la famille (x 1 , x 2 , . . . , x n ) est libre et l'on désigne par V l'espace vectoriel qu'elle engendre. Montrer que, pour tout x E , d (x,V )2 = G(x 1 , x 2 , . . . , x n , x) · G(x 1 , x 2 , . . . , x n ) D. Comparaison des normes N et N2 2 Pour toute partie A de C ([0, 1]) on note A et A les adhérences de A pour les normes N et N2 , respectivement. Pour f C ([0, 1]) la notation d ( f , A) désigne toujours la distance de f à A relativement à la norme N2 (on ne considérera jamais, dans l'énoncé, la distance d'un élément à une partie relativement à la norme N ). 11) Montrer que pour tout f C ([0, 1]), N2 ( f ) É N ( f ). En déduire que pour 2 toute partie A de C ([0, 1]) on a A A . © ª On considère l'ensemble V0 = f C ([0, 1]) ; f (0) = 0 , et on rappelle que 0 désigne la fonction constante 1. 2 12) Montrer que 0 V0 . 13) En déduire que V0 est dense dans C ([0, 1]) pour la norme N2 , mais n'est pas dense pour la norme N . 14) Montrer que si V est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel normé, alors son adhérence V est également un espace vectoriel. 15) Montrer qu'un sous-espace vectoriel V de C ([0, 1]) est dense pour la norme N si et seulement si pour tout entier m Ê 0, m V . 16) En déduire qu'un sous-espace vectoriel V de C ([0, 1]) est dense pour la 2 norme N2 si et seulement si pour tout entier m Ê 0, m V . 4 E. Un critère de densité de W pour la norme N2 Pour tout n N, on note Wn l'espace vectoriel engendré par la famille finie (k )0ÉkÉn . 17) Montrer que l'espace W est dense dans C ([0, 1]) pour la norme N2 si et seulement si limn d (µ ,Wn ) = 0 pour tout entier µ Ê 0. 18) Montrer que pour tout µ Ê 0, n Y 1 |k - µ| d (µ ,Wn ) = p . 2µ + 1 k=0 k + µ + 1 ³ | - µ| ´ k tend vers 1 si et 19) Montrer que pour tout µ Ê 0, la suite k + µ + 1 kN seulement si la suite (k )kN tend vers +. (On pourra pour cela étudier les variations de la fonction µ-x x [0, µ] 7 ·) x +µ+1 20) En déduire que l'espace W est dense dans C ([0, 1]) pour la norme N2 si et X 1 seulement si la série est divergente. k k F. Un critère de densité de W pour la norme N 21) Montrer que si W est dense dans C ([0, 1]) pour la norme N , alors la série X 1 est divergente. k k P 22) Soit = nk=0 a k k un élément quelconque de Wn . Montrer que si k Ê 1 pour tout k {0, 1, . . . , n}, alors pour tout µ Ê 1, on a : n X ¡ ¢ N (µ - ) É N2 µµ-1 - a k k k -1 . k=0 23) On suppose que la suite (k )kN vérifie les deux conditions suivantes : ( (i) : 0 = 0 (ii) : k Ê 1 pour tout k Ê 1. Montrer que sous ces conditions, si la série est dense dans C ([0, 1]) pour la norme N . X 1 est divergente, alors W k k 24) Montrer que la conclusion précédente est encore valable si on remplace la condition (ii) par la condition plus faible : (ii ) : inf k > 0. kÊ1 F IN DU PROBLÈME 5

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 Mines Maths 2 MP 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Alexis Gryson (ENS Cachan) ; il a été relu par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) et Laetitia Borel-Mathurin (ENS Cachan). L'épreuve se compose d'une question préliminaire et de six parties. La question préliminaire et les quatre premières parties de ce problème sont indépendantes. · La question préliminaire montre que la famille (infinie) des fonctions puissances (sur R+ ) est libre. · Dans la première partie, on calcule un déterminant de Cauchy. Cette section présente des résultats dont la preuve comporte plusieurs difficultés techniques. · On prouve dans la deuxième partie que la distance d'un point d'un espace vectoriel normé E à un sous-espace vectoriel de dimension finie est atteinte. · On considère dans la troisième partie le cas d'un espace euclidien. On démontre une formule importante, qui donne la distance d'un point à un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace euclidien comme quotient de déterminants de Gram. · La quatrième partie compare les normes N2 et N sur l'espace C ([0, 1]) des fonctions continues à valeurs réelles sur [0, 1]. On obtient un critère pour qu'un sous-espace vectoriel V de C ([0, 1]) soit dense au sens des deux normes étudiées. · La cinquième partie utilise les résultats précédents pour donner une condition nécessaire et suffisante de densité d'un espace vectoriel W, qui est engendré par une famille de fonctions puissances dans C ([0, 1]) muni de la norme N2 . · La dernière partie adapte les résultats de la partie précédente au cas de la norme N pour prouver le théorème de Müntz, une généralisation du théorème de Weierstrass. La question préliminaire et les quatre premières parties de ce sujet sont de facture assez classique et mettent principalement à contribution des résultats d'algèbre linéaire, d'algèbre bilinéaire et de topologie des espaces vectoriels normés de dimension quelconque. Ce sujet est particulièrement adapté pour la révision des chapitres portant sur les calculs de déterminants et la topologie des espaces vectoriels normés. Les deux dernières parties, plus originales, relèvent de la théorie de l'approximation. Indications 1 Considérer des n-uplets de réels ordonnés (i )16i6n . Remarquer ensuite que l'une des fonctions joue un rôle prépondérant au voisinage de zéro. Partie A 2 Calculer le déterminant suggéré par l'énoncé de deux façons différentes : d'une part, en développant par rapport à la dernière colonne et d'autre part, en utilisant la forme de la décomposition en éléments simples de R. 3 Remarquer que l'existence de la décomposition en éléments simples, énoncée à la question précédente pour R, entraîne que les bk sont deux à deux distincts. Calculer ensuite le coefficient An dans la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle R, puis raisonner par récurrence. Partie B 5 Noter que pour tout n, d(x, A) 6 d(x, An ), puis majorer d(x, An ) à l'aide de d(x, A) en utilisant la définition de la distance en tant que borne inférieure. 6 Utiliser le fait que tout sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel normé E est fermé. 7 Se rappeler qu'une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes ; puis, utiliser le résultat de la question précédente. Partie C 8 Utiliser le théorème de Pythagore dans un espace vectoriel euclidien. 10 Faire apparaître par des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes la différence entre x et son projeté orthogonal sur V dans le déterminant de Gram G (x1 , x2 , . . . , xn , x), et développer celui-ci par rapport à la dernière colonne. Partie D 11 Utiliser la caractérisation séquentielle de l'adhérence. 12 Considérer une suite de fonctions continues affines par morceaux (n )n>0 telle que n (0) = 0 et n 1 = 1. [ n ;1 ] 15 Faire appel au théorème de Weierstrass. 16 Utiliser les résultats des questions 11 et 15. Partie E 17 Utiliser les résultats des questions 4, 5 et 16. 18 Calculer pour (, ) R2+ le produit scalaire ( | ). Calculer les déterminants G (0 , 1 , . . . , n ) et G (0 , 1 , . . . , n , µ ), puis utiliser la question 10. 19 Remarquer que l'hypothèse lim k = + entraîne que pour tout µ > 0, k+ lim k+ |µ - k | =1 k + µ + 1 20 Traiter séparément le cas où la suite (k )k>0 ne tend pas vers +. Dans le cas où lim k = +, utiliser le résultat suivant : soit une suite de réels strictement k+ Qn positifs (uk )k , la suite de terme général k=0 uk admet une limite nulle si et P seulement si la série ln uk diverge vers -. Partie F 21 La question 11 permet de comparer l'adhérence de W au sens des normes étudiées. 22 Écrire la fonction f = µ - sous forme intégrale à l'aide de sa dérivée, puis utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz. 23 Adapter le résultat de la question 20 à la suite de réels (k - 1)k>1 et utiliser la majoration établie à la question 22. 24 Prouver le fait suivant : pour toute fonction f de C ([ 0 ; 1 ]) et pour tout réel strictement positif , N (f ) = N (f ). Enfin, appliquer le résultat de la question précédente à la suite (k /)k , avec = inf >1 . Les conseils du jury Le rapport de jury insiste sur le fait que les notions de topologie, intervenant constamment dans le problème, ont semblé décontenancer bon nombre de candidats, à un point tel que « les résultats de cette épreuve révèlent une profonde méconnaissance de résultats fondamentaux tels que le théorème de Pythagore ou le fait qu'une boule ne soit pas un sous-espace vectoriel. » Même si « la topologie n'est pas le domaine de prédilection des candidats au concours », un tiers des questions « relevaient directement du cours » ce qui a permis « à des candidats sérieux d'obtenir une note honorable ». Concernant la rédaction des copies, les correcteurs ont apprécié et récompensé l'honnêteté (les démonstrations partielles ou les calculs « arrangés » pour aboutir au résultat de l'énoncé sont jugés inutiles), la clarté (« les dessins (bienvenus en géométrie euclidienne) ­ sans pour autant se substituer à une démonstration ­ [...] ont probablement aidé les candidats dans leur démarche ») et la concision. Question préliminaire 1 Montrons par récurrence que la propriété : P(n) : « Pour tout n-uplet de réels positifs distincts (k )16k6n , la famille (k )16k6n est libre. » est vraie pour tout n > 1. · P(1) est vraie puisque pour tout > 0, la fonction est non nulle. · P(n) = P(n + 1) : Soit (k )16k6n+1 un n + 1-uplet de réels positifs distincts que l'on suppose ordonnés dans l'ordre décroissant sans perte de généralité, soit 0 6 n+1 < n < . . . < 1 Soit (ak )16k6n+1 un n + 1-uplet de réels vérifiant n+1 P ak k = 0 k=0 Alors, x [ 0 ; 1 ] n+1 P ak xk = 0 k=0 et on multiplie cette expression pour x > 0 par x-n+1 . Cela donne en passant à la limite n+1 P lim ak xk -n+1 = an+1 = 0 x0 et par conséquent, k=0 n P ak k = 0 k=0 et tous les (ak )16k6n sont nuls par hypothèse de récurrence. · Conclusion : Pour tout n > 1, pour tout n-uplet de réels positifs distincts (k )16k6n , la famille (k )16k6n est libre. Le rapport de jury rappelle que, « par définition, une famille infinie de vecteurs est libre si toute famille finie de cette famille P estlibre. Les candidats qui partaient d'une série, ou d'une vague relation a x , non seulement ne respectaient pas la définition du cours, mais introduisaient de plus le problème de l'existence de la somme écrite. »