Mines Maths 2 MP 2008

Thème de l'épreuve Support de la transformation de Radon
Principaux outils utilisés intégrales à paramètre, intégrales doubles
Mots clefs transformée de Radon, tomographie, Green-Riemann

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2008 MATH. II MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2008 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Support de la transformation de Radon Notations de géométrie Dans tout le problème, on se place dans le plan affine P, muni d'un repère orthonormé direct (O, e1 , e2 ) et de la norme euclidienne, notée k k. On notera (x1 , x2 ) les coordonnées dans ce repère d'un élément x P. L'application x P 7 (x1 , x2 ) R2 permettra d'identifier le plan affine P et l'espace vectoriel R2 . On introduit les notations suivantes : B(x, r) = {y P, kx - yk < r} B(x, r) = {y P, kx - yk 6 r} S(x, r) = {y P, kx - yk = r}. Soit [0, 2[, on note u = cos e1 + sin e2 et v = - sin e1 + cos e2 . Pour tout [0, 2[, on note Rot la rotation de centre 0 et d'angle . Ainsi, Rot e1 = u x + R u = (x1 + R cos , x2 + R sin ). D pu + tv t v p u Fig. 1 ­ Notations À toute droite affine D ne passant pas par l'origine, on associe un unique couple (p, ) où p R+ et [0, 2[ sont tels que D = {pu + tv , t R}. 2 Si D passe par l'origine, on lui associera l'unique couple (0, ) qui convienne avec [0, [. On appelle p et les paramètres de la droite D. Notations d'analyse Pour X = R ou X = R2 et f fonction de X dans R, on appelle support de f , noté supp f , l'adhérence de l'ensemble des points où f est non nulle. Pour X = R ou X = R2 , on note CK1 (X; R) l'ensemble des fonctions f de X dans R, de classe C 1 sur X, à support compact : il existe M > 0, dépendant de f , avec f (x) = 0 si kxk > M , où kxk = |x| si X = R. En d'autres termes, supp f B(O, M ) si X = R2 et supp f [-M, M ] si X = R. On notera que de telles fonctions sont bornées et on posera kf k = sup |f (x)|. xX 2 Pour les fonctions de R dans R, si x = (x1 , x2 ) R2 , on utilisera, selon le contexte, la notation f (x) ou la notation f (x1 , x2 ) pour représenter l'image de x par f . Pour f CK1 (R; R), il existe M tel que supp f [-M, M ] et alors Z M f (x) dx = -M Z J f (x) dx, dès que J > M. -J R On note R f (x) dx la valeur commune de toutes les intégrales sur un intervalle contenant le support de f . Le même principe vaut pour la dimension 2 : pour f CK1 (R2 ; R), on remarque que ZZ ZZ f (x1 , x2 ) dx1 dx2 = f (x1 , x2 ) dx1 dx2 , B(O, M ) J pour tout compact J qui contient B(O, M ) où M est tel que supp f B(O, M ). On note ZZ f (x1 , x2 ) dx1 dx2 cette valeur commune. R2 Définition 1. On dit qu'une fonction f : R2 R est radiale lorsque pour tout [0, 2[, f Rot = f . Pour h : R+ R, continue, nulle en dehors d'un intervalle [0, M ], on pose Lh(x) = Z + x h(v) dv. v-x On admet que Lh est continue, nulle en dehors de [0, M ] et que L(Lh) est dérivable avec (L(Lh)) = -h. 3 (1) I Un peu de géométrie 1. Soit f CK1 (R2 , R). Montrer que si f est radiale, il existe F CK1 (R+ ; R) telle que f (x) = F (kxk), pour tout x R2 . 2. Soit f CK1 (R2 ; R) ; pour x R2 , on considère la fonction Tf,x : R2 × R - R (y, ) - 7 f (x + Rot (y)). Montrer que la fonction Tf, x (y, ) est continue sur R2 × R et que pour tout y R2 , la fonction 7 Tf, x (y, ) est 2-périodique. 3. Montrer que la fonction Tf,x : y 7 1 Z 2 Tf, x (y, ) d 2 0 est radiale. 4. Soit x R2 , que l'on écrit x = kxku où appartient à [0, 2[. Soit [0, 2[ et [0, 2[. Montrer que l'ensemble Dx, = {x + Rot (pu + tv ), t R} est une droite dont on précisera les paramètres en fonction de kxk, , , p et . On pourra commencer par étudier DO, . II Lemme préparatoire Soit A > 0, on note QA l'ensemble QA = {(x, R) R2 × R+ , R > kxk + A}. L'objectif de cette partie est de montrer le lemme suivant. Lemme 1. Soit f : R2 R, f CK1 (R2 ; R) telle que pour tout (x, R) QA , Z 2 f (x1 + R cos , x2 + R sin ) d = 0, 0 alors f est nulle sur le complémentaire de B(O, A). 4 (2) A R x O S(x, R) Fig. 2 ­ (x, R) QA 5. Soit f CK1 (R2 ; R). Soit (x, R) R2 × R+ . Montrer que les applications Vi : xi - 7 Z R f (x1 + r cos , x2 + r sin ) r dr, i = 1, 2 0 7 Wi : x i - Z 2 Z R 0 f (x1 + r cos , x2 + r sin ) r dr d, i = 1, 2 0 sont dérivables sur R et calculer leur dérivée. 6. Soient P et Q deux éléments de CK1 (R2 ; R) et soit (x, R) R2 × R+ . En utilisant la formule de Green-Riemann, montrer l'identité : Z 2 Z R 0 0 ! P Q (x + r u ) - (x + r u ) x1 x2 = Z 2 r dr d P (x + Ru )(-R sin ) d + 0 Z 2 Q(x + Ru )R cos d. 0 Dans les questions 7 à 13, on suppose que f vérifie les hypothèses du lemme. 7. Établir, pour tout (x, R) QA , les deux identités suivantes : ZZ R2 f (y1 , y2 ) dy1 dy2 = ZZ R2 f (x1 + z1 , x2 + z2 ) dz1 dz2 = Z 2 Z R 0 f (x1 + r cos , x2 + r sin ) r dr d. 0 8. Soit R > A. Montrer que W1 et W2 sont constantes sur B(O, R - A) et établir, pour tout x B(O, R - A), les relations : Z 2 f (x1 + R cos , x2 + R sin ) cos d = 0 0 5 (3) et Z 2 f (x1 + R cos , x2 + R sin ) sin d = 0. (4) 0 Pour i = 1, 2, on introduit les fonctions suivantes : yi f : R2 - R 7 yi f (y). y = (y1 , y2 ) - Plus généralement, pour une fonction g de R dans R, on note g(yi )f la fonction définie par g(yi )f : R2 - R 7 g(yi )f (y). y = (y1 , y2 ) - 9. Montrer que y1 f et y2 f satisfont les hypothèses du lemme. 10. Soit (x, R) QA . Montrer, pour tous les entiers k et l, l'identité suivante : Z 2 f (x + Ru ) cosk sinl d = 0. 0 On pourra raisonner par récurrence sur n = k + l. 11. Soit (x, R) QA . En déduire, pour tout entier n, les identités : Z 2 f (x + Ru ) cos(n) d = 0 et 0 Z 2 f (x + Ru ) sin(n) d = 0. 0 12. Établir, pour tout (x, R) QA , que Z 2 f 2 (x1 + R cos , x2 + R sin ) d = 0. 0 13. Prouver le lemme. 6 (5) III Théorème de support Définition 2. Pour f CK1 (R2 ; R), on pose Z fb(, p) = R f (pu + tv ) dt pour [0, 2[, p > 0. On veut montrer le théorème de support suivant : Théorème 1. Soit f CK1 (R2 ; R). Si il existe A > 0 tel que fb(, p) = 0 pour p > A quel que soit alors f (x) = 0 pour kxk > A. Soit f une fonction qui satisfait les hypothèses du théorème. On suppose dans les questions 14 à 16 que f est radiale. Soit F CK1 (R+ ; R) telle que f (x) = F (kxk). 14. Montrer, pour tout [0, 2[ et pour tout p > 0, les identités suivantes : fb(, p) = fb(0, p) = 2 Z + 0 q F ( p2 + t2 ) dt. 15. Établir, pour tout v > 0, l'identité fb(0, v) = Z + v F ( u)(u - v)-1/2 du. 16. En déduire que F est nulle sur ]A, +[. On ne suppose plus que f est radiale. Soit x un élément quelconque de R2 . 17. Établir, pour tout (, p), l'identité 1 Z 2 Z Tf, x (pu + tv , ) dt d. f, x (, p) = 2 0 R Td 18. Montrer pour tout [0, 2[, la propriété : Td f, x (, p) = 0 pour p > A + kxk. 19. Quel est géométriquement, l'ensemble {x + Rot y, [0, 2]} ? Que signifie géométriquement la condition kyk > A + kxk ? 20. Prouver le théorème. Fin du problème 7

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 Mines Maths 2 MP 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Laetitia Borel-Mathurin (ENS Cachan) ; il a été relu par David Lecomte (Professeur en CPGE) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE). L'objet de cette épreuve est de déterminer des informations sur le support d'une fonction à partir de données portant sur le support de sa transformée de Radon. Il s'agit d'une façon originale d'aborder un outil mathématique classique, la transformée de Radon, qui est très utilisée en imagerie médicale et, de façon plus générale, en tomographie. La transformée de Radon est un opérateur qui, dans le cadre de ce problème, agit sur l'ensemble des fonctions de classe C 1 sur R2 à valeurs dans R et à support compact. L'image d'une telle fonction f par cet opérateur est une fonction définie sur l'ensemble des droites du plan. À une droite donnée, elle associe l'intégrale de la fonction f suivant cette droite. Le problème est composé de trois parties, qui ne sont pas indépendantes. · La première partie sert à introduire les différents outils qui seront utilisés dans la suite. Elle permet de mettre au clair la géométrie utile à la transformée de Radon. · La deuxième partie est consacrée à l'établissement d'un lemme. Elle est prétexte à la manipulation de nombreux outils de l'analyse au programme de MP, notamment les théorèmes de continuité et de dérivation des intégrales à paramètre, mais aussi le théorème de Green-Riemann, qui est souvent mal connu des candidats. · La troisième et dernière partie est consacrée à la démonstration du théorème phare de cette épreuve. Il faut être vigilant et ne pas oublier de justifier l'existence des intégrales manipulées. Les points techniques sont essentiellement le théorème de changement de variable et le théorème de Fubini. Il faudra enfin faire preuve d'esprit de synthèse afin de remettre en place les résultats obtenus tout au long de l'épreuve pour conclure à la dernière question. Ce sujet allie vision géométrique et vision analytique de la transformation de Radon. Il constitue un bon entraînement au maniement des intégrales à paramètre et des fonctions à support compact. Sa longueur n'est pas excessive puisqu'il s'agit d'une épreuve en quatre heures. Cependant, la rédaction soignée de certaines questions, notamment celles nécessitant la vérification des hypothèses des théorèmes sur les intégrales à paramètre, est un peu fastidieuse. Pour un élève connaissant parfaitement son cours, les principales difficultés sont de rester concentré afin de garder à l'esprit tout au long du problème les conventions et les outils introduits par l'énoncé, mais aussi de ne pas se laisser déstabiliser par les quelques imprécisions et erreurs que l'on rencontre au détour de certaines questions (tout est détaillé dans les indications et le corps du corrigé). Indications I Un peu de géométrie 1 Se ramener sur l'axe des abscisses par une rotation bien choisie. 2 Exprimer Rot y dans la base (e1 , e2 ). II Lemme préparatoire 5 Pour la dérivabilité de Wi , utiliser le théorème de continuité des intégrales à paramètre sur l'intégrale par rapport à r pour appliquer le théorème de dérivation des intégrales à paramètre sur l'intégrale par rapport à . 6 Faire le changement de variables des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes, puis utiliser le théorème de Green-Riemann. 7 Remarquer que le support de f peut être inclus dans un pavé ou dans une boule. Utiliser le théorème de Fubini. 8 Relier B(O, R - A) et QA . Utiliser la question 6 pour exprimer la dérivée de Wi . 9 Utiliser la question 8. 10 Dans la récurrence, exprimer y1k y2l f à l'aide du binôme de Newton. Z 2 11 Calculer f (x + Ru )ein d de deux façons différentes. 0 12 Traduire le résultat de la question 11 dans le cadre des séries de Fourier. 13 Montrer que f est nulle sur S(x, R) en utilisant la question 12. III Théorème de support 15 Faire un changement de variable. 16 Utiliser l'application L introduite page 3 de l'énoncé. 17 Penser à justifier l'existence de Td f,x . 19 S'inspirer de la figure 2 de l'énoncé. 20 Appliquer la question 16 à Tf,x en vérifiant les hypothèses et utiliser le lemme 1. Les conseils du jury Dans le rapport de l'épreuve, le jury rappelle qu'une « bonne connaissance du cours est indispensable à la réussite d'une épreuve ». Il attire également l'attention sur les points suivants : · Les théorèmes employés doivent être soigneusement justifiés, leurs hypothèses rappelées et vérifiées (questions 5, 12, 17). Les noms doivent être correctement orthographiés (il s'agit du théorème de Fubini « et non Fubbini, Fubiny ou... Fibonacci »). · Les variables du problème sont à identifier avec précision (questions 3, 5 et 9). · À l'occasion d'un raisonnement par récurrence, l'hypothèse de récurrence doit être clairement énoncée (question 10). Le rapport souligne enfin que le grappillage n'est pas une stratégie payante et qu'il valait mieux s'efforcer de « suivre l'ordre des questions afin de mieux entrer dans la logique du problème. » I. Un peu de géométrie 1 Soit f CK1 (R2 , R). On suppose que f est radiale : [ 0 ; 2 [ f Rot = f 2 Soit x R . Il existe [ 0 ; 2 [ tel que x = kxku . On remarque que f (x) = f (kxk cos , kxk sin ) = f Rot (kxke1 ) = f (kxke1 ) Cette dernière égalité est assurée par le caractère radial de f . Posons alors x R+ F(x) = f (xe1 ) La fonction F est de classe C sur R+ en tant que composée de deux fonctions de classe C 1 , f étant de classe C 1 sur R2 . De plus, puisque f est à support compact, il existe M > 0 telle que son support est inclus dans B(O, M). Alors si x R+ est tel que x > M, xe1 / B(O, M) et donc F(x) = f (xe1 ) = 0. Cela signifie exactement que F est à support compact. Ainsi, on a bien F CK1 (R+ , R). De plus, la remarque préalablement effectuée entraîne 1 x R2 f (x) = F(kxk) En résumé Il existe F CK1 (R+ , R) telle que pour tout x R2 , f (x) = F(kxk). Le rapport du jury précise que « l'existence de F ne résulte pas de la force de conviction qu'y met le candidat. » Une expression explicite de F à l'aide de f était attendue. 2 Soit f CK1 (R2 , R). Soit x R2 . On considère ( 2 R × R - R Tf,x : (y, ) 7- f (x + Rot (y)) Étudions pour commencer la continuité de l'application Tf,x . Soient y R2 et R. Notons (x1 , x2 ) et (y1 , y2 ) les coordonnées dans le repère (O, e1 , e2 ) de x et y respectivement. Tf,x (y, ) = f (x + Rot (y)) = f (x1 + y1 cos - y2 sin , x2 + y1 sin + y2 cos ) L'application (y, ) 7- (x1 + y1 cos - y2 sin , x2 + y1 sin + y2 cos ) est continue sur R2 × R. Comme la fonction f est continue sur R2 par hypothèse, en tant que composée d'applications continues, Tf,x est continue sur R2 × R. Soit y R2 . Intéressons-nous maintenant à la périodicité de 7 Tf,x (y, ). Soit R. Par définition Tf,x (y, + 2) = f (x + Rot+2 (y)) or d'où Finalement, Rot+2 = Rot Tf,x (y, + 2) = f (x + Rot (y)) = Tf,x (y, ) 7 Tf,x (y, ) est 2-périodique. La continuité des fonctions y 7 Tf,x (y, ) et 7 Tf,x (y, ) n'entraîne pas la continuité de Tf,x . Le jury précise dans son rapport que « cette erreur [a été] très fréquente chez les candidats » et rappelle pour contre-exemple la fonction R2 - R ( (x, y) 7- xy x2 + y 2 0 si (x, y) 6= (0, 0) sinon dont les applications partielles sont indéfiniment dérivables mais qui n'est pas continue en (0, 0). 3 Soient f CK1 (R2 , R) et x R2 . Considérons la fonction 2 R - R Z Tf,x : 1 2 y 7- Tf,x (y, ) d 2 0 Soient [ 0 ; 2 [ et y R2 . Z Z 1 2 1 2 Tf,x Rot (y) = Tf,x (Rot (y), ) d = f (x + Rot (Rot y)) d 2 0 2 0 or Rot Rot = Rot+ 1 ainsi Tf,x Rot (y) = 2 Z 0 2 1 f (x + Rot+ (y)) d = 2 Z 2 Tf,x (y, + ) d 0 Le changement de variable = + conduit à Z 1 2+ Tf,x Rot (y) = Tf,x (y, ) d 2 Or, l'intégrale d'une fonction 2-périodique est la même sur tout intervalle de longueur 2 : la 2-périodicité de 7 Tf,x (y, ), établie à la question 2, entraîne Z 1 2 Tf,x Rot (y) = Tf,x (y, ) d = Tf,x (y) 2 0 En conclusion, Tf,x est radiale. La fonction Tf,x est bien définie car elle est définie comme l'intégrale sur un segment de 7 Tf,x (y, ), qui est continue sur R, d'après le résultat de la question 2. 4 Soient x R2 et , [ 0 ; 2 [. Considérons l'ensemble Dx, = {x + Rot (p u + t v ), t R} Posons pour le moment x = O. DO, = {p Rot (u ) + t Rot (v ), t R}