Mines Maths 2 MP 2006

Thème de l'épreuve Comportement asymptotique des racines d'un polynôme
Principaux outils utilisés intégrales, polynômes, fonctions de la variable réelle, relations de comparaison

Corrigé

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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. - ' ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS-DE BRETAGNE. ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2006 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES ' Filière MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ( ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE--EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si au cours de l'é reuve un candidat re ère ce ui lui semble être une erreur d'énoncë il 7 7 7 le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Le but de ce problème est d'étudier le comportement asymptotique fin des racines de la dérivée du polynôme de degré n + 1, Pn(X) =X(X--1)...(X --n), lorsque n tend vers l'infini. On notera cot la fonction définie sur ]0, 7r[ par cos(oe) cot (a:) : sin(oe) . Cette fonction est une bijection de ]O, 7T[ sur R. On notera Arc cot sa fonction réciproque. Pour tout réel a:, [a:] désignera la partie entière de :s. On rappelle la formule de Stirling: n! ... v27rn . (fi)" quand n ----> +00. EUR Les parties I ethI sont indépendantes. 1. Quelques propriétésdes racines de PÂ 1) Montrer que, pour tout n _>_ 1, PQ admet exactement une racine a:...k dans chacun des intervalles ]k, k + 1[, pour k = O, . . . ,n -- 1. Notons ozn,k : a:...k -- k 6 ]0,1[, la partie fractionnaire de :cn,k. ' 2) Pour 77. > 1, en calculant les coefficients de degré n -- 1 et n de P,;, - ' n---1 - n--l -- expr1mer Zk=0 :un, k, pms Zk=0 a...k en fonct10n de n. 3) En comparant Pn(X ) et Pn(n -- X), exprimer xn,n_1_k en fonction de oe...;...pour toutn21,et pour toutk=0,....,n--l. * 4) Déterminer la valeur de an,k + an,n_1_k. Le but des questions suivantes est de montrer que, n étant fixé, la suite des a...k croît lorsque k croît de 0 a n --- 1. 5) Pour tout n 2 1, dresser, en fonction de la parité de n, le tableau de variations de P.,, On y fera apparaître les réels a:...k pour k = O, 1, . . . , n -- 1 ainsi que les entiers O, 1, . . . ,n. On pourra s'inspirer du modèle de la figure 1. 6) En déduire le signe de (--1)""'"Pn(æn,k) pour k = O, 1, - -- ,n -- 1. 7) En utilisant la relation P,,(X ) = (X -- n)Pn__l(X ), déterminer le signe de (--1)""kPâ(oen_l,k) pour k = O, 1, - -- ,n -- 2. 8) En déduire que pour k = O, 1, - -- ,n -- 2, on & oen__1,k > a:n,k. 9) En utilisant l'idendité P,,(X ) = X Pn_1(X --- 1), déterminer, en fonction ' de k et n, le signe de (--1)""'°P,Ç(1 + oen_1,k._1) pour k = 1, - --- ,n -- 1. 10) En déduire que pour k = 1, - --- ,n -- 1, on & a:...k > 1 + æn_1,k_1. ' 11) Conclure. II. Un développement asymptotique Pour 3: E R, on considère la fonction h,, définie sur Rj_ par hæ(t) = tm"le--t. 12) Déterminer 8 = {a: EUR R | h,, est intégrable sur ]0, + oo[}. Pour 3: EUR 8, on pose 13) Montrer que I' est strictement positive sur 8 . 14) Montrer que P est deux fois dérivable sur 8 . 15) Exprimer pour tout a: 6 8 , I'(oe + 1) en fonction de :r et I'(a:). On admet que la fonction P satisfait, pour tout a: E]0,1[, la formule: . 7r . I'(oe) F(1 ---- a:) -- sin(m:) (A) Désormais, on pose, pour tout :1: EUR 5, ["(CE) . \Il(oe) - F(oe) . 16) Montrer que 'Il est strictement croissante. 17) Établir, que pour tout a: EUR EUR , _ _ _ . _ 4 1 \I/(cc +1) : OE'(oe) + --. [C Le but des questions suivantes est de montrer que, pour tout a: > O, 1 _----lnm =D. a:+y m----++oO lim \Il(a:) + z j=0 On pose pour tout a: > O, $(OE) = OE(OE) --1n(OE)- 18) Montrer que la série de terme général (çb(n + 1) -- çz5(n)) converge. 19) Montrer que la suite (@(n), n 2 1) converge lorsque l'entier n tend vers l'infini. Soit G sa limite. 20) Établir que l'on a aussi: lim çb(oe) = o. æ---++oo 21) Montrer que si C # 0, +00 /æ çb(t) dt ... 0:13. 1 22) Montrer que C = O. 23) Conclure en considérant \I/(a: + m + 1). III. Comportement asymptotique des an,k- PI 24) En considérant la fraction É"--, montrer que le 1 n--k--1 1 j=0 an,k+ ] j=0 (1 _ an,k) + .7 25) Pour t EUR]0,1{ fixé, on pose un : an'[nt] pour t EUR]0, 1[. Démontrer que n----++OO t lim {XI/(un) -- xp(1 -- un) + In (1---- " t)) = o_. 26) Démontrer que la suite (a... n 2 1) est convergente et calculer sa limite, que l'on notera F(t) (En 2k: 2k+1 :L'n 2k+1 2k+2 . . . FIG. 1 -- Modèle de tableau de variation. FIN DU PROBLÈME

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 Mines Maths 2 MP 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) et Tristan Poullaouec (ENS Cachan). Ce problème propose d'étudier le comportement asymptotique des racines de la suite des polynômes Pn , où n Pn (X) = (X - k) k=0 Il est constitué de trois parties, les deux premières étant totalement indépendantes. · La première partie, qui vise à étudier quelques propriétés élémentaire des racines de Pn , est relativement simple. Elle ne demande pas l'utilisation de théorèmes complexes. · Dans la deuxième partie, on étudie la fonction que l'on retrouve chaque année à l'heure des concours. Les quatre premières questions établissent ses propriétés les plus courantes. Les suivantes nous font étudier la fonction /. Cette partie est beaucoup plus difficile que la précédente et demande astuce et dextérité dans le maniement des théorèmes d'intégration. · La troisième et dernière partie s'articule essentiellement autour d'une question particulièrement calculatoire (la question 25). Elle vise à préciser le comportement asymptotique des racines des polynômes Pn . Nous avons là un assez beau sujet d'analyse qui passe en revue un grand nombre des propriétés des polynômes réels et une large partie des notions d'intégration. Les calculs, quoiqu'assez longs, sont relativement simples et ne devraient pas poser de problèmes majeurs si l'on parvient à rester lucide jusqu'au bout. Indications Partie I 1 Commencer par montrer que Pn admet au moins une racine dans chaque intervalle ] k ; k + 1 [, puis qu'il n'y en a pas d'autre. 2 Exprimer les coefficients du polynôme Pn en fonction de ceux du polynôme Pn . 4 Utiliser la question 3. 7 Dériver la relation Pn (X) = (X - n)Pn-1 (X). 8 Utiliser les questions 5 et 7. 9 Dériver la relation Pn (X) = XPn-1 (X - 1). 10 Utiliser les questions 5 et 9. 11 Utiliser les questions 8 et 10. Partie II 13 Les fonctions hx sont non nulles. 14 Utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégral. 15 Intégrer (x + 1) par parties de façon à faire apparaître (x). 16 Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz. 17 Dériver la relation obtenue à la question 15. 18 Utiliser la question 17. 19 Utiliser la question 18. 20 Utiliser la question 16. 22 Utiliser la question 15, la formule de Stirling et la question précédente. Partie III 24 Le réel xn,k = n,k + k est une racine de Pn . 25 Établir n 1 P ---- - ln t [nt] j n et n 1 P ---- - ln(1 - t) n-[nt] j n puis utiliser les résultats de la partie II et de la question 24. 26 Dériver la relation (A) pour évaluer la différence (un ) - (1 - un ) et utiliser la question précédente. I. Quelques propriétés des racines de Pn 1 Soient n > 1 et k [[ 0 ; n - 1 ]]. La fonction x 7- Pn (x) vaut 0 en k et en k + 1. Comme elle est dérivable sur l'intervalle ouvert ] k ; k + 1 [ et continue sur l'intervalle fermé [ k ; k + 1 ], d'après le théorème de Rolle, sa dérivée s'annule au moins une fois sur l'intervalle ouvert ] k ; k + 1 [. En d'autres termes, le polynôme dérivé Pn admet au moins une racine dans l'intervalle ] k ; k + 1 [. Comme le polynôme Pn est de degré n+1, son polynôme dérivé Pn est lui de degré n et admet donc au plus n racines. Puisqu'il en admet au moins une dans chacun des n intervalles disjoints ] 0 ; 1 [ , ] 1 ; 2 [ , . . . , ] n - 1 ; n [, il ne peut en admettre plus dans aucun de ces intervalles. On en déduit que Pn admet exactement une racine xn,k dans chacun des intervalles ] k ; k + 1 [, pour k = 0, . . . , n - 1. Comme souvent dans les sujets, la première question est assez facile, du moins classique. Il s'agit donc de la rédiger du mieux possible afin de laisser une bonne impression au correcteur dès le début de la copie. Ici, on s'attache à citer correctement les hypothèses du théorème de Rolle. 2 Soit n > 1. En développant le polynôme Pn (X), on obtient soit Pn = X(X - 1) . . . (X - n) P n = Xn+1 - k Xn + . . . k=0 P n Pn (X) = (n + 1)Xn - n k Xn-1 + . . . k=0 en dérivant. En particulier, le coefficient de degré n de Pn est n + 1 et son coefficient de degré n - 1 vaut cn,n-1 = -n n P k k=0 = -n n(n + 1) 2 Comme la somme des racines d'un polynôme scindé à racines simples de degré n, comme l'est Pn , est égale à l'opposé du rapport de son coefficient de degré n et de son coefficient de degré n - 1, on a n-1 P xn,k = - k=0 Et donc n-1 P xn,k = k=0 -n × n(n + 1)/2 n+1 n2 2 Enfin, puisque pour tout k [[ 0 ; n ]], le réel n,k vérifie n,k = xn,k - k, on a n-1 P n,k = k=0 n-1 P (xn,k - k) k=0 = n-1 P xn,k - k=0 2 n,k = k=0 k k=0 n n(n - 1) - 2 2 = n-1 P n-1 P n 2 Les formules qui permettent d'exprimer les sommes de termes consécutifs d'une suite arithmétique sont à connaître absolument. 3 Soit n > 1. Calculons les polynômes Pn (n - X) puis Pn (n - X) : Pn (n - X) = (n - X)(n - X - 1) . . . (n - X - (n - 1))(n - X - n) = (n - X)((n - 1) - X) . . . (1 - X)(-X) = (-1)n+1 (X - n)(X - (n - 1)) . . . (X - 1)X Pn (n - X) = (-1)n+1 Pn (X) et -Pn (n - X) = (-1)n+1 Pn (X) en dérivant. Fixons maintenant un entier k dans [[ 0 ; n - 1 ]]. Puisque le réel xn,k est une racine du polynôme Pn , il vérifie Pn (n - xn,k ) = (-1)n Pn (xn,k ) = 0 si bien que le réel n - xn,k est également une racine du polynôme Pn . Puisque xn,k appartient à l'intervalle ] k ; k + 1 [, c'est-à-dire vérifie l'encadrement k < xn,k < k + 1 le réel n - xn,k vérifie, lui, l'encadrement n - k - 1 < n - xn,k < n - k et appartient donc à l'intervalle ] n - k - 1 ; n - k [. Enfin l'unicité du réel xn,n-k-1 établie à la la question 1 permet d'affirmer que l'on a n - xn,k = xn,n-k-1 , soit xn,k + xn,n-k-1 = n 4 Calculons n,k + n,n-k-1 = xn,k - k + xn,n-k-1 - (n - k - 1) = xn,k + xn,n-k-1 - n + 1 n,k + n,n-k-1 = n - n + 1 d'après la question précédente, soit n,k + n,n-k-1 = 1