Mines Maths 2 MP 2005

Thème de l'épreuve Preuve de l'inégalité det(A+B) <= maxσ∈ Sn Πk=1n(ak+bσ(k)) lorsque A et B sont des matrices symétriques réelles
Principaux outils utilisés réduction des endomorphismes, matrices symétriques réelles, déterminants, topologie des espaces vectoriels normés, notations de Landau

Corrigé

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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2005 EPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME EPREUVE Filière MP Durée de l'épreuve : 4 heures L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, EN ST IM, ENSAE (Statistique), INT, TPE--EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 2 - Filière MP. Cet énoncé comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Soient A et B deux matrices symétriques de M,, (IR) dont les valeurs propres sont notées respectivement (ak, 1 5 [<: _<_ 77) et (b,... 1 _<_ !: _<_ n), répétées suivant leur multiplicité. On veut démontrer l'inégalité: det(A + B) < ;2äî H(...c + b,...) (1) où 6" désigne le groupe des permutations de l'ensemble { 1, - - - , n}. Notations On note par ||." la norme euclidienne canonique sur R" et on munit M,,(IR) de la norme matricielle subordonnée que, pour alléger les notations, on notera aussi II.". Pour toute matrice carrée M, on note M t sa matrice transposée, det(M ) son déterminant et tr(M ) sa trace. La matrice identité de M,,(IR) est notée I. Une matrice M E M,, (IR) est dite symétrique (respectivement anti- symétrique) lorsque M = M t (respectivement M t = ----M ) On note Sn (respectivement AT,) le sous--espace vectoriel des matrices symétriques (res-- pectivement anti--symétriques). Résultats admis On admet les propriétés suivantes: P1 -- Si A et B sont deux matrices diagonalisables et si elles commutent, il existe une base de diagonalisation commune à. A et B. P2 -- Si A et B commutent alors exp(A + B) = exp(A) exp(B). I. Préliminaires 1) Montrer que M=n(IR) Sn EB An 2) On note (EQ--J), (i,j) EUR {1,---- , n} >< {1,--- , n}) la base canonique de Mn(]R.). Pour M EUR M,,(IR), expliciter tr(ME(m-)) en fonction des coefficients de M. 3) Soit M EUR Mn (IR) telle que pour toute matrice T EUR A... tr(M T) = 0. La matrice M est--elle symétrique ou anti--symétrique? 4) Soit T EUR A... montrer que eT est orthogonale. 5) Soit M EUR Mn(IR). Montrer que, pour s au voisinage de O, e'9M : l+sM + O(s2). (2) 6) Soit M EUR Mn(lR). Pour j EUR {0,- - --- ,n}, on note cry--(M) le coefi'icient de Xj dans le polynôme caractéristique de M : n , det(M -- X 1) = }: aj(M)xf . j=o _ Montrer que pour tout j EUR {0,. . . ,n}, l'application (M l--> aj(M )) est continue. 7) Soit M EUR Mn(lR). Montrer que pour s au voisinage de O, det(I +sM) : 1 + s tr(M) + O(s2), et que det(l +sM + O(sZ)) : l + s tr(M) + O(s2). (3) 8) On suppose que M EUR Mn(lR) n'est pas inversible. Construire une ma-- trice No de MMC) telle que, pour tout s > 0, on ait det(M + sNo) > O. 9) Montrer que l'on peut choisir No, à coefficients réels, diagonalisable (res-- pectivement symétrique) si M est diagonalisable (respectivement symé-- trique) . II. Démonstration de l'inégalité (1) On rappelle que A et B sont des matrices réelles symétriques. 10) Montrer que si les matrices A et B commutent alors il existe 0 EUR 6,1 telle que: det(A + B) = H(.... + (...)). k=1 11) Soit On l'ensemble des matrices orthogonales de Mn(lR). Montrer que On est une partie compacte de Mn (IR). 12) Pour tout M & Mn(lR), on considère la partie On(M ) de Mn(lR) définie par On(M) = {UMU"; U <=. on}. Montrer qu'il existe Bo EUR On(B) telle que det(A + Bo) : sup det(A + C'). CEOn(B) II.1 A + Bo inversible De cette question a la question 17, on suppose que A + Bo est inversible. Pour T E An et pour tout réel 3, on définit rpg--(s) par tpT(s) = det (A + eSTBOe_3T) . 13) Montrer que pour s au voisinage de 0, on a «pc,--(s) : det(A+Bg) [1 + s tr ((TBO - BOT)(A + Bo)"1)]+0(52). (4) 14) Montrer que pour tout s réel, on a ng(s) S wT(O). 15) Montrer l'égalité suivante: tr(TBO(A + Bo)--l) : tr(T(A + Bo)--1Bo). (5) 16) Montrer que BO commute avec (A + BO)"1 et A. 17) Montrer l'inégalité ( 1). II.2 A + Bo singulière On suppose dorénavant que A + Bo n'est pas inversible. 18) Montrer qu'il existe deux suites de Mn(lR), (BIC, k > O) et (N,... k > O) telles que (i) Nk converge vers Bo quand k tend vers +00, (ii) Bk EUR O,,(Nk) pour tout k > 0, (iii) det(A + Nk) 5 det(A + B,) pour tout k > O, (iv) Bk commute avec A pour tout le > O. 19) Montrer l'inégalité (1). III. Une permutation qui réalise le maximum Indépendamment des matrices A et B, étant données deux suites de réels (ak, 1 _<_ [<: _<_ n) et (b,... 1 5 k 5 n), on se propose de préciser l'inégalité (1), en explicitant une permutation 0 EUR G,, pour laquelle le produit n P(Û) = H(Gk + ba(k)) k=l est maximum. On supposera que les hypothèses suivantes sont vérifiées: aiSazS..- 0 pour tout (71,3). Pour tout entier n 2 1, on considère la propriété 7r(n) suivante: pour toutes les suites (al,, 1 < k < n) et (b,,, 1 < k < n) vérifiant (H) et toute permutation 0 EUR 6... on a n H(ak + ba(k)) S H(% + b --k+1)- k=1 k=1 20) Établir 7r(n) pour tout n 2 2. Indication: pour n > 2 et 0" EUR EUR,, donnés, on distinguera deux cas: Cas 1 : a vérifie a(n) : 1. On montrera qu'il existe alors T E 6n_1 telle que pour i E {l,-... , n-- 1}, a(z') : T(Z) + 1. Cas 2: Il existei < n et j > 1 tels que a(z') : 1 et a(n) : j et on ramènera l'étude du second cas au premier en factorisant P(a) par (a,-- + b1)(an + b,). FIN DU PROBLÈME

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 Mines Maths 2 MP 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (ENS Cachan) ; il a été relu par Arnaud Durand (ENS Cachan) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE). Le but de cette épreuve d'algèbre est le suivant. On se donne A et B deux matrices carrées d'ordre n N réelles symétriques, ainsi que la liste des valeurs propres (réelles) de chacune de ces deux matrices, que l'on note (a1 , . . . , an ) et (b1 , . . . , bn ). En notant Sn le groupe des permutations de l'ensemble {1; . . . ; n}, on veut montrer la majoration suivante du déterminant de la matrice A + B : n det(A + B) 6 Max Sn (ai + b(i) ) i=1 (1) Cette épreuve se compose de trois parties. · La première fait directement appel à des connaissances élémentaires du cours d'algèbre linéaire de seconde année (définitions, propriétés et théorèmes). Elle est l'occasion de démontrer des résultats qui seront utilisés par la suite. C'est sans doute l'occasion pour le correcteur de vérifier que le candidat maîtrise son cours. · La deuxième partie est consacrée à la démonstration de l'inégalité (1). On y fait apparaître, par un argument de compacité suggéré par l'énoncé, une matrice symétrique B0 . On montre alors l'inégalité dans le cas où A + B0 est inversible. Le cas où A+ B0 est singulière est traité ensuite et l'on est amené à construire deux suites bien choisies de matrices symétriques permettant de se ramener au cas précédent avant de conclure par extraction de sous-suites et passage à la limite. · Enfin, une troisième partie, indépendante des autres (ce n'est pas indiqué au début du sujet), est consacrée à un calcul explicite, sous certaines hypothèses, de n Max Sn (ai + b(i) ) i=1 où les réels (ai )16i6n et (bi )16i6n peuvent être vus comme des valeurs propres de matrices symétriques dans la situation précédente. Indications Partie I 1 Raisonner par analyse-synthèse. 2 Exploiter le caractère creux des matrices de la base canonique de Mn (R). 3 Utiliser le résultat de la question précédente. 4 Utiliser le résultat admis P2. 5 Utiliser la définition de l'exponentielle d'une matrice. 6 Utiliser la définition du déterminant. 7 Mettre s en facteur dans l'expression I + s M + O(s2 ) lorsque s 6= 0, puis utiliser la n-linéarité du déterminant. Ensuite, utiliser la question précédente ainsi que la relation du cours n-1 (M) = (-1)n-1 tr(M). 8 Réduire la matrice M, considérée comme un élément de Mn (C). 9 Adapter la démarche mise en oeuvre à la question précédente. Partie II 10 Utiliser le résultat admis P1. 11 On pourra se contenter (pourquoi ?) de montrer que On est une partie fermée et bornée de (Mn (R), k.k). 12 Montrer que On (B) est une partie compacte et se ramener à choisir judicieusement une fonction numérique continue sur ce compact à l'aide du résultat établi à la question 6. 13 Utiliser le résultat (2) de la question 5. 14 Utiliser le résultat de la question 4 ainsi que la définition de B0 . 15 Étudier le signe de T (s) - T (0) au voisinage de 0 à l'aide du résultat de la question 13. 16 Utiliser le résultat de la question précédente et celui obtenu à la question 3. 17 Utiliser la question précédente afin d'appliquer le résultat obtenu à la question 10, pour pouvoir conclure à l'aide de la définition de B0 . 18 Appliquer le résultat de la question 9 à A + B0 , puis utiliser les résultats des questions 12 et 16. 19 Considérer deux suites vérifiant (i), (ii), (iii) et (iv), effectuer une réduction sur chacun des termes d'une des deux suites, utiliser la question 11, et extraire deux sous-suites bien choisies pour conclure par un passage à la limite. Partie III 20 On pourra raisonner par récurrence sur n. I. Préliminaires 1 Sn et An sont deux sous-espaces vectoriels de Mn (R). Pour montrer l'égalité demandée, il suffit de montrer les deux égalités suivantes : Sn (R) An (R) = {0} et Sn (R) + An (R) = Mn (R) Pour démontrer que Sn (R) An (R) = {0}, on considère M Sn (R) An (R). Alors on a t M = -M car M An (R) Mt = M car M Sn (R) et donc M = -M, soit encore M = 0. On en déduit Sn (R) An (R) = {0} Pour démontrer que Mn (R) = Sn (R) + An (R), on cherche à décomposer une matrice quelconque M Mn (R) sous la forme M = S+A où S Sn (R) et A An (R). Supposons l'existence d'une telle décomposition. Celle-ci implique Mt = (S + A)t = St + At = S - A t S = M+M t M+M = 2S 2 t et par suite soit M - Mt = 2 A A = M - M 2 t Réciproquement, si l'on pose A = (M - M )/2 et S = (M + Mt )/2, alors A est antisymétrique et S est symétrique. De plus, M est la somme de ces deux matrices. Donc toute matrice de Mn (R) est somme d'une matrice de Sn (R) et d'une matrice de An (R), soit Mn (R) = Sn (R) + An (R) On en déduit Mn (R) = Sn (R) An (R) 2 Pour tout (i, j) dans {1; . . . ; n}×{1; . . . ; n}, notons mij le coefficient de la matrice M Mn (R) situé à la ie ligne et à la j e colonne et Eij la matrice de Mn (R) dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui situé à la ie ligne et à la j e colonne, qui vaut 1. Fixons (i, j) dans {1; . . . ; n}×{1; . . . ; n}. Un calcul colonne par colonne du produit MEij montre que celui-ci s'écrit 0 · · · 0 m1i 0 · · · 0 .. .. .. .. .. . . . . . 0 · · · 0 mni 0 · · · 0 j e colonne C'est-à-dire que la matrice MEij est nulle, sauf peut-être sa j e colonne qui est composée des éléments de la ie colonne de M. La trace de cette matrice est donc la somme de n - 1 coefficients nuls et du coefficient situé à la j e ligne de la j e colonne de MEij . Or ce coefficient est précisément mji ; on en déduit tr(MEij ) = mji 3 Les n(n - 1) /2 vecteurs de An (R) que sont les (Eij - Eji )16i 0 > 0 s ] - ; [ w s (k + 2) ! w 6 C k=0